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近世代数知识点近世代数，又称抽象代数，是数学的一个重要分支，它为许多其他数学领域提供了基础和工具。
下面让我们一起来了解一些近世代数的关键知识点。
首先是群的概念。
群是近世代数中最基本的结构之一。
简单来说，一个群就是一个集合 G 以及定义在这个集合上的一种运算“”，满足一些特定的条件。
比如，对于集合中的任意两个元素 a 和 b，运算的结果ab 仍然属于这个集合；存在一个单位元 e，使得对于任意元素 a，都有ae ＝ ea ＝ a；对于每个元素 a，都存在一个逆元 a^（－1)，使得 aa^（－1) ＝ a^（－1)a ＝ e。
群的例子在生活中也有不少，比如整数集合在加法运算下构成一个群。
环也是近世代数中的重要概念。
一个环 R 是一个集合，上面定义了两种运算：加法“＋”和乘法“·”。
加法满足交换律、结合律，有零元，每个元素都有相反数；乘法满足结合律；乘法对加法满足分配律。
常见的环有整数环、多项式环等。
接下来是域。
域是一种特殊的环，它要求非零元素对于乘法运算构成一个群。
比如有理数域、实数域和复数域。
同态和同构是近世代数中用来比较不同代数结构的重要工具。
同态是指两个代数结构之间存在一种保持运算的映射。
如果这个映射还是一一对应的，那就是同构。
同构的两个代数结构在本质上可以看作是相同的。
在近世代数中，子群、子环和理想也具有重要地位。
子群是群的一个子集，在原来的运算下也构成群；子环是环的一个子集，在原来的两种运算下也构成环；理想则是环中的一个特殊子集，对于环中的乘法和加法有特定的性质。
再来说说商群和商环。
以商群为例，给定一个群 G 和它的一个正规子群N，就可以构造出商群G/N。
商群中的元素是由N 的陪集构成的。
近世代数中的重要定理也不少。
比如拉格朗日定理，它对于理解群的结构和性质非常有帮助。
该定理指出，子群的阶整除群的阶。
最后，我们谈谈近世代数的应用。
在密码学中，群和环的理论被广泛用于加密和解密算法的设计。
近世代数引言近世代数是数学中一个重要的分支，研究代数结构及其性质的理论体系。
通常包括群论、环论、域论等内容。
近世代数的发展对于数学的各个领域产生了深远的影响，也在应用数学和计算机科学中起着重要作用。
群论群论是近世代数的一个基础概念和重要分支。
群由三个基本要素组成：集合、运算和满足一定性质（结合律、封闭性、单位元、逆元）的公理。
群论研究集合中的元素如何进行运算，并研究这些运算的性质。
•子群：给定一个群，若一个集合中的元素满足群的性质和封闭性，则称其为一个子群。
•循环群：由一个元素生成的群称为循环群，循环群的结构相对简单。
•群的同态：将一个群的元素映射到另一个群中，并保持运算结构，称为群的同态。
同态的研究对于理解群之间的关系和性质非常重要。
环论环论是近世代数的另一个重要分支，研究满足特定性质的运算集合和运算规则。
环由两个基本要素组成：集合和满足一定性质（结合律、封闭性、零元、乘法交换律、分配律）的公理。
环论的研究主要关注集合中的元素之间的加法和乘法运算。
•子环：给定一个环，若一个集合中的元素满足环的定义和封闭性，则称其为一个子环。
•理想：一个环中的子集，满足特定运算性质（左右理想、乘法吸收律）的集合。
•商环：对于一个环和其中的一个理想，可以通过模运算构建一个新的环，称为商环。
商环中的元素相当于原环中的一个等价类。
域论域论是近世代数中的一个重要分支，研究满足一定性质的运算集合和运算规则。
域是一个满足加法和乘法交换律、分配律以及存在加法和乘法的单位元和乘法的逆元的环。
域是一种结构相对简单但非常重要的代数结构。
•子域：给定一个域，若一个集合中的元素满足域的定义和封闭性，则称其为一个子域。
•拓展域：给定一个域F，在F中添加一个新的元素，并扩展运算规则，得到的新的集合和运算称为拓展域。
•有限域：域中的元素个数是有限的，则称该域为有限域。
有限域具有特殊的性质和应用。
应用领域近世代数的研究对于数学的各个领域产生了深远的影响，也在应用数学和计算机科学中起着重要作用。
近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。
近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。
近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。
下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。
3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。
“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。
设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。
若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。
若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。
不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。
集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。
例如：{}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。
本文中常用的集合及记号有：整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ； 正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z ；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。
一个集合A 的元素个数用A 表示。
当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。
用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。
群论与魔方：群论基础知识要了解破解魔方攻略背后的数学原理，「群论」(Group Theory)是必不可少的知识，本章介绍群论的基础知识。
群论是「抽象代数学」(Abstract Algebra)的重要分支，是有关「群」(Group)的理论。
抽象代数学跟一般代数学或线性代数学不同，其要旨不是解方程或方程组，而是研究各种代数结构的特性，「群」就是一种非常重要的代数结构。
群的基本定义设有一个集合G和G上的「二元运算」(Binary Operation)「•」。
如果G 的元素和「•」满足以下「公理」(Axiom)，我们便说(G, •)构成一个「群」(为了行文方便，有时可以把「群(G, •)」径直称为「群G」)：1.「封闭性」(Closure)－对G中任何两个元素a和b而言，a • b ∈ G。
2.「结合性」(Associativity)－对G中任何三个元素a、b和c而言，(a • b) • c = a • (b • c)。
3.「单位元」(Identity)－存在G中一个元素e (称为「单位元」)，使得对于G中任何元素a而言，e • a = a • e = a。
4.「逆元」(Inverse)－对于G中任何元素a而言，都有G中的元素a−1 (称为a的「逆元」)，使得a • a−1 = a−1• a = e。
请注意由于「•」满足结合性，在写出三个或以上元素之间的运算时，可以不用括号，即写成a • b • c。
如果某个运算涉及同一个元素，我们可以像一般乘法那样采用「指数」记法，例如可以把a • a • a写成a3。
我们还可以仿照一般乘法规定零指数和负指数的定义如下：a0= e，a−n= (a−1)n。
另外，可以证明上述定义中的「单位元」是唯一的，而且对于G中任一元素a而言，其「逆元」a−1也是唯一的。
根据「封闭性」，若a和b是G的元素，则(a • b)也是G 的元素，因此我们也可以谈论(a • b)的逆元，而且这个逆元满足(a • b)−1 = b−1• a−1(1)如果(G, •)还满足「交换性」(Commutativity)，即对G中任何两个元素a、b 而言，a • b = b • a，我们便说(G, •)是「交换群」(Commutative Group)或「阿贝尔群」(Abelian Group)。
“近世代数”是一门比较抽象的学科，初学者往往感到虚无飘渺，困难重重。
为此，下面介绍五种常用的学习方法。
一、通过例子来加深对基本理论的理解 ?针对“近世代数”课程的概念抽象、难于理解的特点，我们认为理解概念的一种有效方法是多举已学过的典型例子。
例如，一元多项式环和整数环是主理想整环的例子，关于主理想整环的许多结论都是通过推广关于多项式和整数的结论得到；一个无零因子交换环的商域就是模仿整数环和有理数环间的关系构造的；整环里的因子分解理论就是分解质因数和多项式的因式分解理论的推广。
当我们学习“近世代数”时，就仅仅背下来一些命题、性质和定理，并不意味着真正地理解。
要想真正理解，需要清楚这些命题、性质和定理的前提条件为什么是必要的？而达到这个目的的最有效的方法就是构造反例。
通常的做法是：去掉一个前提条件后，构造一个结论不成立的例子，从而表明所去掉的前提条件是必要的。
例如，关于素理想和极大理想的关系有结论：设R是含1交换环，则R的极大理想一定是素理想。
那么这个结论的条件“含1”是必要的吗？这个问题的答案可从下面的例子容易得到。
例：设R是所有偶数构成的环，Z 表示整数环，则4Z是R的极大理想，但4Z不是R的素理想。
?二、通过变换角度来寻求问题的解法 ?通过变换角度来寻求问题的解法是一种很普遍的解题方法，通常是将已知或未知较复杂的问题变换为等价的较简单的问题，或者是将新问题变换为已经解决的问题，或者是将未知与已知关系较少的问题变为已知与未知关系较多的问题等等。
下面举例说明这种方法：例：设是从G1到G2的满同态，N2是G2的不变子群，N1= -1(N2)，证明G1/N1同构于G2/N2。
对于这个问题，我们不直接证明G1/N1同构于G2/N2，而是将问题进行变换，先构造从G1到G2/N2的满同态，再证明N1是的核，然后根据同态基本定理知结论正确。
?三、通过“同构”的观点将知识点（问题）归类 ?“同构”的概念非常重要，因为凡是具有同构性质的结构在本质上可看成是同一结构。
探究7x7魔方与群论的关系魔方是一种经典的益智玩具，许多人在解决魔方时常常对其内部结构感到好奇。
而群论是数学中一个重要的分支，它研究的是对称性与变换的性质。
本文将探究7x7魔方与群论之间的关系。
1. 魔方的基本原理魔方是由27个小立方体组成的，每一面都由9个小方块组成。
通过旋转魔方的各个面，我们可以改变魔方上每个小方块所处的位置。
目标是将每个面上的小方块都排列成统一的颜色。
2. 群论与魔方的关联群论是由国际数学家提出的一种数学结构，它研究的是集合上的一种运算。
对于魔方这个具体的例子，群论能够帮助我们分析魔方的旋转行为。
3. 群的定义在群论中，一个群由两个基本要素组成：一个集合和一个运算。
对于魔方来说，集合就是所有可能的旋转操作，而运算就是旋转操作的组合。
具体而言，每个旋转操作都可以表示为一个符号，例如R表示顺时针旋转右侧面，U表示顺时针旋转上方面等等。
通过将不同的旋转操作按照一定的顺序组合，就能够得到新的旋转操作。
4. 群的性质群具有一些特殊的性质，这些性质对于理解魔方的旋转行为非常重要。
首先，群中必须存在一个单位元素，对于魔方来说，单位元素就是不进行任何旋转操作。
其次，每个旋转操作必须存在逆操作，例如，旋转顺时针90度的操作存在逆操作，即旋转逆时针90度。
此外，群的运算必须满足结合律和封闭性。
5. 旋转行为的分析群论帮助我们理解魔方的旋转行为，并通过群的概念对其进行分析。
通过对群的研究，我们可以得到魔方的某些性质，例如旋转次数与旋转顺序的关系。
这些分析可以帮助我们更有效地解决魔方。
6. 群的变换理论群论中，对称性与变换是重要的研究内容之一。
在7x7魔方中，每个旋转操作都代表着一种变换，改变魔方上小方块的位置。
通过群论的变换理论，我们可以研究不同旋转操作之间的关系，帮助我们更好地理解魔方的结构。
7. 应用领域拓展除了在魔方的研究中有广泛应用之外，群论在许多其他领域也有着重要的应用。
例如密码学、量子力学等领域都涉及到群论的应用。
近代代数知识点总结近代代数是代数学的一个重要分支，它涉及了一系列复杂的数学概念和技巧。
近代代数的研究对象是数学结构及其性质，主要包括代数系统、线性代数、群论、环论、域论等。
本文将重点总结近代代数的几个重要知识点，包括代数系统的基本概念、线性代数、群论、环论和域论等内容。
一、代数系统的基本概念代数系统是近代代数的基础，它包括了一系列代数结构，如半群、幺半群、群、环、域等。
代数系统的研究是为了更好地理解和描述代数结构之间的联系和性质，为其他分支的发展奠定了基础。
1.1 半群和幺半群半群是代数系统中最基本的结构之一。
一个半群是一个集合S，其上定义了一个二元运算∗，满足封闭性、结合律。
即对于任意a，b，c∈S，有(a∗b)∗c=a∗(b∗c)。
当半群中存在一个元素e，使得对于任意a∈S，都有e∗a=a∗e=a时，这个半群称为幺半群。
1.2 群群是代数系统中最重要的结构之一。
一个集合G上的一个二元运算∗称为一个群，如果满足以下四个性质：封闭性、结合律、单位元存在性、逆元存在性。
即对于任意a，b∈G，都有a∗b∈G，且存在一个元素e∈G，对于任意a∈G，都有e∗a=a∗e=a，对于任意a∈G，存在一个元素b∈G，使得a∗b=b∗a=e。
1.3 环环是一个包含了加法和乘法运算的代数结构，它满足一定的性质。
一个集合R上定义了两个二元运算+和∗，如果满足以下性质，则称为一个环：加法封闭性、加法结合律、加法交换律、加法单位元存在性、加法逆元存在性、乘法封闭性、乘法结合律、乘法分配律。
1.4 域域是一个更为抽象和严格的代数结构，它包含了加法和乘法运算，并且满足一定的性质。
一个集合F上定义了两个二元运算+和∗，如果满足以下性质，则称为一个域：加法和乘法满足环的所有性质，乘法交换律、乘法单位元存在性、乘法逆元存在性。
以上是代数系统的基本概念，对于这些概念的理解和应用将对后续的代数学习起到重要的指导作用。
二、线性代数线性代数是代数系统中的一个重要分支，它主要研究向量空间、线性变换和矩阵等内容。
近世代数课程总结学习资料近世代数基础Ⅱ学习报告现代数学现代数学的主要研究方向为结构数学,结构反映事物构成部分之间的关系，部分与整体的关系,或几种事物间的相互组成联系。
现代数学的基础是集合，在集合上附加代数结构、分析结构和拓扑结构或集合结构得到数学的各种分支。
本门课程的主要学习内容就是以集合理论为基础而逐步展开的。
群论是在集合上赋予运算法则，形成群、环、域等基本的运算系统；流形同样是在集合上赋予相应的结构而形成具有独特性质的数学研究对象。
这些抽象的理论往往会在实际系统中得到应用，用集合的思想去解决问题往往会提升效率。
一抽象代数1.1 群定义群是特殊的集合，它是一个包含了二元运算法则并满足一定条件的集合。
一般说来，群G是指对于某种运算法则满足以下四个条件的集合：(1)封闭性：若,a b G，则存在唯一确定的c G使得a b c；(2)结合律成立：任意,,a b c a b c；a b c G，有()()(3)单位元存在：存在e G对任意a G，满足a e e a a；(4)逆元存在：对任意a G，存在唯一确定的b G使得a b b a e；若群还满足交换律，则成为交换群或者阿贝尔群。
若群G中元素个数有限，则G为有限群；否则称为无限群。
有限群的元素个数称为有限群的阶。
子群对于群G，若集合H G对于群G上定义的二元运算构成一个群，则称H是G的子群，记做H G。
小结在群论的研究中，我们需要关心的是个元素之间的运算关系，即群的结构，而不用去管某个元素的具体含义是什么。
1.2 环当在一个集合上附加两种代数运算，而这两种运算是有机集合，可得到所谓的环。
定义设R是一个非空集合，其上定义了两种二元运算，通常表示为加法+和乘法，R是交换群若(1) (,)(2) (,)R是半群(3) 乘法对加法满足分配律则称R为一个环。
环也是一种群。
子环环R的一个非空子集S，若对于R的两种运算构成一个环，则称S 为R的子环。
整环设R为含单位的环，且10。
近世代数群论总结近世代数群论是一门研究近世数理结构的领域。
它涉及到各类数学结构，包括但不限于集、群、域、环、模、同余类和余弦类。
它是数论学科的重要组成部分，是20世纪有关近世代数的U-结构理论的发展的基础。
在本文中，我们将重点介绍近世代数群论的主要思想、发展现状、应用以及未来的发展方向。
近世代数群论的核心是发现和深入分析数的结构，并且把它们放在一种数学框架中，以实现更好的理解和整理。
在这个领域中，代数结构（如群、域、环、模等）是一些最重要的概念，也是数学家们最关注的研究方向，因为它们不仅独立地表示了数学结构本身，而且也可以用来描述数学物体（如群、域等）之间的关系，帮助我们更好地理解它们。
例如，群论可以用来描述群的结构，从而帮助数学家们了解群之间的关系，还能够帮助我们明确群中的元素之间的关系。
近世代数群论发展至今，已取得很多突破性的成果。
如果说20世纪的U-结构理论是近世代数群论的基础，那么21世纪已经取得了大量新发现，如环理论和结构理论、几何代数、结构论和表示论等。
这些新发现使近世代数群论得到了极大的拓展，使它可以用来解决更多复杂的问题。
另外，在近世代数群论的包含的范围持续扩大，这些新的领域又把新的层次带入了这一领域，使得其发展更加丰富和多样。
在应用方面，近世代数群论在数学和计算机科学领域都有广泛的应用。
在数学领域，它为解决复杂数学问题，如代数方程，提供了有效的方法和理论；在计算机科学领域，它可以用来支持复杂的计算，如网络监督、密码学和密码学安全性等。
此外，近世代数群论还可以用于更广泛的领域，如统计学、生物统计学、物理学等。
未来，近世代数群论的发展前景是非常可观的，尤其在解决当下数学和计算机科学问题的过程中，这一理论的作用将会越来越明显。
例如，在网络监督方面，随着近世代数在密码学安全性方面的发展，可以更好地实现网络安全性的目标；在生物统计学方面，近世代数群论可以提高统计分析的准确性，从而使我们更有效地分析生物数据；同时，在物理学方面，也可以使用近世代数群论来深入分析物理结构，从而解决许多物理问题。
近世代数内容近世代数是数学发展中的一个重要领域，它涉及到了许多重要的数学概念和定理。
在近世代数的发展中，许多数学家通过研究代数结构的性质和规律，推动了数学的发展。
本文将从多个角度介绍近世代数的一些重要内容。
一、群论群论是近世代数的基石之一，它研究的是集合上的一种代数结构。
群由一个集合和一个运算组成，这个运算满足封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元等性质。
群论的研究对象可以是任意集合，如整数集、矩阵集等。
群论的研究内容包括子群、正规子群、同态映射等，它对于研究对称性和变换具有重要的意义。
二、环论环论是近世代数的另一个重要分支，它研究的是集合上的两个运算。
环由一个集合和两个运算组成，这两个运算分别满足封闭性、结合律、交换律和分配律等性质。
环论的研究对象可以是整数集、多项式集等。
环论的研究内容包括理想、素环、域等，它对于研究代数方程和代数几何等领域具有重要的影响。
三、域论域论是近世代数的另一个重要分支，它研究的是集合上的四个运算。
域由一个集合和四个运算组成，这四个运算满足环的所有性质，并且除法运算有定义。
域论的研究对象可以是有理数集、实数集、复数集等。
域论的研究内容包括子域、域扩张、代数闭域等，它对于研究代数方程和代数几何等领域起到了重要的推动作用。
四、线性代数线性代数是近世代数的一个重要分支，它研究的是向量空间和线性变换。
线性代数的研究内容包括向量的线性组合、线性方程组的解、矩阵的特征值和特征向量等。
线性代数在几何学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用，它是许多数学分支的基础。
五、代数几何代数几何是近世代数与几何学的结合，它研究的是代数方程的几何性质。
代数几何的研究内容包括代数曲线、代数曲面、射影空间等。
代数几何在解析几何、拓扑学和数论等领域有着广泛的应用，它为研究几何形体和曲线提供了重要的数学工具。
近世代数涵盖了群论、环论、域论、线性代数和代数几何等多个重要的数学分支。
这些数学概念和定理的研究推动了数学的发展，并在实际应用中发挥着重要作用。
近世代数引言近世代数是数学中的一个分支，是研究代数结构的一种方法。
它主要研究了群、环、域等代数结构，以及它们之间的关系和性质。
本文将介绍近世代数的基本概念和一些重要的定理。
群群是近世代数的基础概念之一，它是一个集合和一个二元运算的组合。
这个二元运算满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性等性质。
封闭性对于群中的任意两个元素a和b，它们的运算结果ab也必须属于群中的元素。
结合律群中的运算满足结合律，即对于群中的任意三个元素a、b 和c，满足(a·b)·c = a·(b·c)。
单位元存在性群中存在一个元素e，称为单位元，对于群中的任意元素a，满足a·e = e·a = a。
逆元存在性对于群中的任意元素a，存在一个元素a’，称为逆元，满足a·a’ = a’·a = e，其中e是单位元。
环环是一种比群更一般的代数结构，它是一个集合和两个运算的组合。
这两个运算分别是加法和乘法，并且满足封闭性、结合律、分配律和单位元存在性等性质。
封闭性对于环中的任意两个元素a和b，它们的加法和乘法结果a+b和a·b也必须属于环中的元素。
结合律环中的加法和乘法满足结合律，即对于环中的任意三个元素a、b和c，满足(a+b)+c = a+(b+c)和(a·b)·c = a·(b·c)。
分配律环中的加法和乘法满足分配律，即对于环中的任意三个元素a、b和c，满足a·(b+c) = a·b + a·c和(b+c)·a = b·a + c·a。
单位元存在性环中存在一个元素0，称为加法的单位元，对于环中的任意元素a，满足a+0 = 0+a = a。
同时，环中存在一个元素1，称为乘法的单位元，对于环中的任意元素a，满足a·1 = 1·a = a。
群论与魔方：群论基础知识要了解破解魔方攻略背后的数学原理，「群论」(Group Theory)是必不可少的知识，本章介绍群论的基础知识。
群论是「抽象代数学」(Abstract Algebra)的重要分支，是有关「群」(Group)的理论。
抽象代数学跟一般代数学或线性代数学不同，其要旨不是解方程或方程组，而是研究各种代数结构的特性，「群」就是一种非常重要的代数结构。
群的基本定义设有一个集合G和G上的「二元运算」(Binary Operation)「•」。
如果G 的元素和「•」满足以下「公理」(Axiom)，我们便说(G, •)构成一个「群」(为了行文方便，有时可以把「群(G, •)」径直称为「群G」)：1.「封闭性」(Closure)－对G中任何两个元素a和b而言，a • b ∈ G。
2.「结合性」(Associativity)－对G中任何三个元素a、b和c而言，(a • b) • c = a • (b • c)。
3.「单位元」(Identity)－存在G中一个元素e (称为「单位元」)，使得对于G中任何元素a而言，e • a = a • e = a。
4.「逆元」(Inverse)－对于G中任何元素a而言，都有G中的元素a−1 (称为a的「逆元」)，使得a • a−1 = a−1• a = e。
请注意由于「•」满足结合性，在写出三个或以上元素之间的运算时，可以不用括号，即写成a • b • c。
如果某个运算涉及同一个元素，我们可以像一般乘法那样采用「指数」记法，例如可以把a • a • a写成a3。
我们还可以仿照一般乘法规定零指数和负指数的定义如下：a0= e，a−n= (a−1)n。
另外，可以证明上述定义中的「单位元」是唯一的，而且对于G中任一元素a而言，其「逆元」a−1也是唯一的。
根据「封闭性」，若a和b是G的元素，则(a • b)也是G 的元素，因此我们也可以谈论(a • b)的逆元，而且这个逆元满足(a • b)−1 = b−1• a−1(1)如果(G, •)还满足「交换性」(Commutativity)，即对G中任何两个元素a、b 而言，a • b = b • a，我们便说(G, •)是「交换群」(Commutative Group)或「阿贝尔群」(Abelian Group)。
此外，如果在G中存在一个元素g使得对G中任何元素a，都有a = g n，其中n为0、正整数或负整数，我们便说(G, •)是「循环群」(Cyclic Group)。
在此情况下，我们说G由g生成，记作G = < g >，其中< g >称为g的「生成集合」(Span)，其定义为< g > = {g n: n是整数}，我们也说g是G的「生成元」(Generator)。
举例说，如果我们把G定为整数集Z，把「•」定为整数的加法「+」，那么容易验证(Z, +)构成一个交换群，这个群的「单位元」是0，对每个整数n而言，其「逆元」就是其负数−n。
而且(Z, +)也是一个循环群，其生成元就是1，因为Z中的元素要么是0，要么是正整数，要么是负整数，而对任何正整数n 而言，我们有n = 1 + 1 + ... 1 (共n个1)，以及−n = (−1) + (−1) + ... (−1) (共n个−1)。
由此我们有Z = < 1 >。
类似地，如果我们把G定为非零实数集R*，把「•」定为实数的乘法「×」，那么容易验证(R*, ×)也构成一个交换群，这个群的「单位元」是1，对每个非零实数x而言，其「逆元」就是其倒数 1 / x。
但(R*, ×)不是一个循环群，因为我们无法找到R*的生成元。
「群」是一个非常广泛的概念，其定义中的集合G的元素可以是各式各样的对象，除了上述较为具体的整数／非零实数外，还可以是某些抽象数学对象，例如「几何变换」。
以下介绍一种特殊的几何变换－「对称变换」，即可保持几何图形的形状不变的变换，以下图为例：上图显示一个等边三角形的三个顶点A、B、C以及三条对称轴。
上图共有以下六种对称变换：恒等变换(Identity Transformation，记作I，即不作任何变换，亦等同于逆时针旋转0°)、逆时针旋转120° (记作R)、逆时针旋转240° (记作R2)、以通过三角形上方顶点(即上图中的A点)的轴为对称轴的反射(记作R A)、以通过三角形左下方顶点(即上图中的B点)的轴为对称轴的反射(记作R B)、以通过三角形右下方顶点(即上图中的C点)的轴为对称轴的反射(记作R C)(注1)。
我们可以把上述六种对称变换组成一个集合，记作S3(下标"3"代表三角形)。
这个集合中的元素有一种二元运算，称为「复合」(Composition)，记作「•」。
两个变换的「复合」就是先后进行该两个变换，举例说，R A• R2便代表先以通过A点的轴为对称轴进行反射，然后逆时针旋转120° (注2)。
基于上述定义，容易推出(S3, •)构成一个群，称为「对称群」(Symmetry Group)。
首先，任何两个对称变换的复合显然也是一个对称变换，例如R A• R2 = R B，因此「•」满足封闭性。
其次，「•」显然也满足结合性。
第三，I显然就是S3中的单位元。
最后，每个对称变换都有其逆变换，而且这个逆变换显然也是对称变换，例如R−1 = R2，(R A)−1 = R A等。
我们也可以把S3的元素看成对顶点集合{A, B, C}进行「排列」(Permutation，亦译作「置换」)的结果，一个集合的排列就是该集合上的一个「双射」(Bijection)。
例如前述的R A就相当于把A映像为A，B映射为C和C 映射为B的变换。
由于这个集合有3个元素，所以共有3! = 6种排列，刚好对应着前述的六种对称变换，因此S3也称为「排列群」(Permutation Group，亦译作「置换群」)(注3)。
(S3, •)既非交换群，亦非循环群。
首先，变换的复合并不满足交换性。
举例说，R A• R2≠ R2• R A，因为上式的左方等于R B，而右方则等于R C。
其次，S3也不存在生成元，因为旋转和反射是两类很不相同的变换，不能把某一类变换表达为重复进行另一类中某变换的结果。
子群接着我们引入「子群」(Subgroup)的概念。
给定群(G, •)和G的子集H，如果(H, •)本身也是群，那么我们说(H, •)是(G, •)的「子群」。
由于H的运算跟G的运算相同，若(G, •)满足结合性，(H, •)自然也满足结合性，所以给定G 的某子集H，如要检验(H, •)是否(G, •)的子群，只需检验1.「封闭性」－对H中任何两个元素a和b而言，a • b ∈ H。
2.「单位元」－G的「单位元」e ∈ H。
3.「逆元」－对于H中任何元素a而言，a−1∈ H。
如果在H中存在一个元素h使得对H中任何元素a，都有a = h n，其中n为整数，我们便说(H, •)是(G, •)的「循环子群」(Cyclic Subgroup)，并记作H = < h >。
请注意即使G不是循环群，它也可以有循环子群。
事实上，给定群G和G 的某个元素h，不难构造出由h生成的循环子群< h >，方法是先写出h0 = e，然后依次写出h、h2 ... 直至h n= e，其中n为使h n= e成立的最小正整数。
容易验证< h > = {e, h, h2 ... h n−1}是G的一个循环子群。
请注意对G中任何元素h而言，必有某个最小的正整数n使得h n= e，我们把这个n称为h的「阶」(Order)，这个数字也就是< h >的基数。
以前述的等边三角形对称群S3为例，这个群不是循环群，但却包含多个循环子群。
举例说，所有旋转变换便组成一个循环子群：< R > = {I, R, R2}。
此外，每个反射变换也各自生成一个循环子群，例如< R A> = {I, R A}。
最后，I本身也构成一个(平凡)循环子群：< I > = {I}。
魔方群把以上介绍的内容推广应用于魔方，便可得到一个「魔方群」(Rubik Group)，记作(RUBIK, •)，其中集合RUBIK包含对魔方的各种操作，这些操作包括笔者在上一章，即《群论与魔方：魔方的基本概念》中介绍的操作以及这些操作的复合。
举例说，上一章介绍了以下两种操作：「顺时针旋转前面90°」(F)和「逆时针旋转上面180°」(U−2)，这两个操作的复合(F • U−2)也是一个操作，代表「先顺时针旋转前面90°，然后再逆时针旋转上面180°」，因此也是RUBIK的元素(注4)。
「魔方群」的二元运算「•」则代表魔方上各种运算之间的复合。
请注意「复合」(•)在这里出现于两个不同层面。
一方面它是RUBIK中元素之间的二元运算，另一方面它又是RUBIK中某些复合元素的代号的一个组成部分，例如前述的F • U−2。
之所以出现这个情况，是因为RUBIK包含非常多元素。
根据某些数学家的计算，RUBIK元素的数目为8! × 12! × 38× 212/ 12 = 4.3252 × 1019(2)由于RUBIK的元素极多，难以亦无必要为每一个元素提供一个独特的代号，所以无可避免要把某些复合元素写成其它较简单元素的复合。
不过，有时我们也需要区分上述两个层面。
为此，以下将把作为复合元素代号一部分的「•」略去不写。
在这个约定下，FU−2代表一个复合元素，而 F • U−2则代表两个元素的复合。
容易验证(RUBIK, •)满足上述公理。
首先，如前所述，任意两个操作的复合显然也是一个操作，故满足封闭性。
其次，操作之间的复合显然满足「结合性」。
第三，RUBIK的单位元就是「恒等变换」，即不作任何操作，以下记作I。
最后，RUBIK的每个元素都有逆元。
对于简单元素而言，其逆元在上一章中已有所定义，例如F的逆元就是F−1。
对于复合元素而言，只需应用前述的公式(1)便可找到其逆元，例如FU−2的逆元就是U2F−1。
RUBIK显然不是交换群，因为调换两个操作的先后次序，所得结果可能不同，例如 F • U ≠ U • F。
RUBIK包含多个循环子群，上一章介绍的各种90°旋转(包括顺时针和逆时针)便可生成4阶的循环子群，例如< F > = {I, F, F2, F−1}和< F−1 > = {I, F−1, F2, F}。
除此以外，各种180°旋转也可生成2阶的循环子群，例如< F2 > = {I, F2}。
