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近世代数学习系列二群近世代数的主要研究对象是具有代数运算的集合，这样的集合称为代数系。
群就是具有一个代数运算的代数系，群的理论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础.现在它已发展成为一门内容丰富、应用广泛的数学分支，在物理学、力学、化学、生物学、计算机科学等方面都有越来越广泛的应用。
群是一个集合，在这集合上定义了一种二项演算，也就是说存在一个映射，给这集合的任意两个元的有序对，都对应了这集合的另一个元，作为这两个元关于这种演算的结果。
这演算通常称为乘法，两个元a、b关于这乘法进行演算的结果，通常写为a∙b或者就简略记为ab。
乘法被要求满足下面三个条件：1.结合律。
a∙ ( b∙c ) = ( a∙b ) ∙c2.存在单位元e，对任意元a都有e∙a = a∙e = a3.对任意元a，都存在a的逆元a-1，满足a∙a-1 = a-1∙a = e如果这乘法还满足交换律a∙b = b∙a，则把这群称为加群或Abel群。
这时更多地把演算写成加法。
群的单位元有时写为 1，Abel群的时候则写为0。
单位元是唯一的，这是因为如果d和e都是单位元，则根据定义我们有d = de = e。
同样逆元也是唯一的，因为如果b和c都是a的逆元，则b = bac = c。
显然 ( a-1 ) -1 = a。
在一个集合A上定义一个满足上面三个条件的演算使其做成一个群，这有时被称为“给集合A加上了群的结构”。
有一种结构就有保持这种结构的映射。
从群G到群H的映射f被称为同态映射，如果f满足条件：对于G中任意两个元σ、τ，总有f ( στ ) = f ( σ ) f ( τ )。
这也可以说成f是和两个群中的乘法演算相容的。
容易看出同态映射一定把单位元映到单位元，逆元映到逆元。
如果一个同态映射是全单射，那它一定是同构，也就是说其逆映射也一定是同态映射。
群的例子有比如说映一个集合A到其自身的所有全单射的全体，关于映射的合成做成一个群。
近世代数群（续一）作用设有集合G作用于集合A上。
如果G是一个群，并且群的乘法和作用的合成是一致的，我们就说群G作用于A上。
如果G是不可换的，那么“群的乘法和作用的合成是一致的”这话还会稍微有一点歧意。
对于G的两个元σ、τ，先把σ作用于A再把τ作用于A，这个合成是由στ来对应还是由τσ来对应呢？我们把前者称为G从右边作用于A，后者则称为G 从左边作用于A。
左和右的区别，来自于我们书写的时候，如果把映射写在左边，即对于A的元a，把先作用σ再作用τ写成τ ( σ ( a ) )，那么自然的这合成的样子就像是τσ；反之如果把映射写在右边，记为 ( aσ ) τ，这看起来的样子就像是στ了。
如果把群G本身看成一个集合，我们比如说可以这样定义群G在集合G 上的作用：对于群G的任意一个元σ，σ的作用定义为把集合G上的每个元都“左乘” σ。
即，对于集合G的任意元g，σ的作用把g映到σg。
这显然是从左边的作用。
这作用有时被称为“左移动”。
同样的我们也可以定义“右移动”。
一个左（右）移动显然是集合G的一个置换，并且对于不同的σ，其所对应的置换显然是不同的。
于是群G就可以看成是集合G上的置换群的一个子群。
于是我们得到，任何群都是某个置换群的子群。
G还可以像这样作用于G本身：对于群G的任意一个元σ，σ的作用把G的任意元g映到σgσ-1。
这作用的特点是它保持G的群结构不变。
也就是说，把G的任意元g映到σgσ-1是G的一个自同构。
这是因为对于G 的任意两元f、g，我们显然有 ( σfσ-1 )( σgσ-1 ) = σ ( fg ) σ-1。
这作用是从左边的，我们也可以同样地定义从右边的作用为，σ把G的任意元g映到σ-1gσ。
对于G的元g或G的子群U，我们通常把形如σgσ-1的元和形如σUσ-1的子群分别称为g和U的共轭。
于是U是正规子群的条件也可以陈述为，U在取共轭的作用下不变。
一般的如果X是具有某种结构的集合，则X的所有自同构关于映射的合成做成一个群。
近世代数预备知识集合论（续）____对“集合”的一些看法集合可以说是最简单的结构。
或者说简直简单得没有结构。
对于一个抽象的集合（意思是说，我们只知道它是一个集合，其他什么也不知道）来说，它的每个元都是完全一样的，元和元的相互之间也没有任何关系——当然，要说的话还是有那么一点关系，我们总是能判断两个元是否相等。
从这个角度来看，我们关于一个抽象的集合所能知道的唯一信息，就是它的元的“个数”。
这是集合这种“结构”的最重要的“不变量”，也是唯一的不变量。
当然我还根本没有说过所谓“个数”是什么。
OK ，那现在我就这样来定义：所谓个数，就是指集合的不变量。
讲这话并不是找打。
我们已经定义了集合的“同构”，也就是一一对应（参看前文《映射》）。
所谓“不变量”，当然是指“在同构映射下不变的东西”，于是我们就得到下面的定义：定义。
如果两个集合 A 和 B 是同构的（也就是说它们之间存在一一对应），我们就说它们同等。
写做 A ~ B 。
这显然是一个等价关系（参看前文《关系》）。
我们把关于这个等价关系的任意等价类称为个数，或者为了区别于我们的直观，换一个词称做浓度。
对于任意一个集合 A ，它的浓度当然定义为与 A 同等的所有集合做成的等价类。
从我们的直观上来说，“部分”的个数要比“全体”的个数来的“小”。
这句话中已经暗示了一个重要的定理。
首先，所谓“部分”当然可以指“子集”。
而鉴于现在我们考虑的同等关系，下面的定义应该是恰当的：定义。
如果存在一个从集合 A 到集合 B 的单射f : A → B （这时 A 和 f ( A 同等），我们就说 A 比 B 小。
写做A ≤ B 。
而所谓的“小”，当然不只是说说就算了。
我们谈论大小的时候在暗默中就假定了一些事，关于这个请参看前文《关系》。
这些“暗默中假定的事”确实成立，这就是下面的定理。
定理。
≤ 是一个偏序关系。
证明。
显然对任意集合 A 都有A ≤ A 。
而如果A ≤ B ，B ≤ C ，只要考虑映射的合成我们就有A ≤ C 。
第二章群论群是最简单，最重要，有广泛应用的代数系统。
在本章里主要研究具有某种特殊的群存在，结构和构造等。
学习中我们从群的定义开如直到同态基本定理和不变子群，共讲十一个问题，它是以下几章的基础，本章开头提出的十一问题是：一、群在的定义及其基本性质七、循环群；二、单位元、逆元、消去律；八、子群；三、有限群的另一定义；九、子群的陪集；四、群的同态；十、不变子群、商群；五、变换群；十一、同态与不变子群。
六、置换群；§2.1 群的定义●课时安排约1课时●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P31-35群的思想：第一，它有满足结合律的代数运算；第二，这个代数运算具有逆运算。
定义：一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群，则等价于下列条件: （1）（G，·）有单位元，且G中每一个元有逆元。
（2）（G，·）有左单位元，且G 中每个元有左逆元；（3）（G，·）有右单位元，且G 中每个元有右逆元；（4）a,b∈G，方程a.x=b和y.a=b在G中都有解，是一个有限整数；不然的话，这个群叫做无限群，有限群的元素个数叫做这个群的阶。
定义：对 a,b∈G来说，满足ab=ba条件的群叫做交换群。
例 1：证明若G包含一个元g，且乘法是gg=g，则G对于这个第六法来说作成一个群。
例2：设G是一个全体整数的集合，证明G对于普通加法来说作成一个群。
例3：设G是所有不等于零的整数集合，证明G对于普通乘法来说不作成一个群。
习题选讲：P38 1，3●教学重点群的定义，基本特点，群的思想方法，群的判定常用的方法。
●教学难点群定义，群的判定常用的方法，利用群的定义证明性质和判定。
●教学要求理解群的定义，掌握群定义中的四个等价条件，和群的判定方法，多训练（做题）。
●布置作业 P35 1，3（2）●教学辅导一、掌握三个基本概念（1）群的最本质的特点（2）群的思想方法主要体现在包含的方面。
（3）代数系充（G，·）是群当且仅当（i）结合律成立（ii）方程ax=b，ya=b在G中有解，其 a,b∈G.二、精选习题：（1）在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)（2）设（G，·）为半群，如果方程ax=b与ya=b a,b∈G在G中有解，（不要求唯一性）则G（）。
近世代数学习系列二群近世代数的主要研究对象是具有代数运算的集合，这样的集合称为代数系。
群就是具有一个代数运算的代数系，群的理论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础.现在它已发展成为一门内容丰富、应用广泛的数学分支，在物理学、力学、化学、生物学、计算机科学等方面都有越来越广泛的应用。
群是一个集合，在这集合上定义了一种二项演算，也就是说存在一个映射，给这集合的任意两个元的有序对，都对应了这集合的另一个元，作为这两个元关于这种演算的结果。
这演算通常称为乘法，两个元a、b关于这乘法进行演算的结果，通常写为a∙b或者就简略记为ab。
乘法被要求满足下面三个条件：1.结合律。
a∙ ( b∙c ) = ( a∙b ) ∙c2.存在单位元e，对任意元a都有e∙a = a∙e = a3.对任意元a，都存在a的逆元a-1，满足a∙a-1 = a-1∙a = e如果这乘法还满足交换律a∙b = b∙a，则把这群称为加群或Abel群。
这时更多地把演算写成加法。
群的单位元有时写为 1，Abel群的时候则写为0。
单位元是唯一的，这是因为如果d和e都是单位元，则根据定义我们有d = de = e。
同样逆元也是唯一的，因为如果b和c都是a的逆元，则b = bac = c。
显然 ( a-1 ) -1 = a。
在一个集合A上定义一个满足上面三个条件的演算使其做成一个群，这有时被称为“给集合A加上了群的结构”。
有一种结构就有保持这种结构的映射。
从群G到群H的映射f被称为同态映射，如果f满足条件：对于G中任意两个元σ、τ，总有f ( στ ) = f ( σ ) f ( τ )。
这也可以说成f是和两个群中的乘法演算相容的。
容易看出同态映射一定把单位元映到单位元，逆元映到逆元。
如果一个同态映射是全单射，那它一定是同构，也就是说其逆映射也一定是同态映射。
群的例子有比如说映一个集合A到其自身的所有全单射的全体，关于映射的合成做成一个群。
映射的合成满足结合律，单位元是恒等映射，逆元正是逆映射。
这样的群称为置换群。
一般来说，一个“对称”就对应了一个群。
所谓对称，是指某事物经过某种变换后仍然保持不变。
这时所有这样的变换全体，关于变换的合成做成一个群。
可以想见这样做成的一个群的代数性质，会在很大程度上反映出具有这种对称性的那个“某事物”的性质。
群也出现在各种基本的代数对象中。
所有整数关于加法做成可换群。
所有非 0 有理数关于通常的乘法做成可换群。
所有n阶正方可逆矩阵关于矩阵的乘法做成所谓“一般线性群”，当n≥ 2 时这群是不可交换的。
置换群的元如前所述是映集合A到其自身的一个全单射，这有时被称为作用在集合A上的一个置换。
一般来说，如果一个集合Γ的每个元都对应了映集合A到其自身的一个映射，我们就说Γ作用在A上。
而Γ的某个元γ所对应的这个映射，就被称为γ在A上的作用。
在很多时候，Γ是一个群，并且这群的乘法和映射的合成是一致的；同时A具有某种结构，Γ的每个元在A上的作用都保持这结构不变。
由于群的每个元都有逆元，这时Γ的每个元都是同构。
这样的Γ有时被称为A的自同构群。
同样对于某个群G来说，如果有一个集合Γ的每个元都对应了映G到其自身的一个同态映射，我们就说Γ作用于G上，或说G是“Γ上的群”，简称为“Γ-群”。
这概念出现于代数中，比如“向量空间”，换个说法就是“体上的加群”。
如果把“体”改成“环”，我们有关于“环上的加群”的理论。
显然“XX上的群”的概念是群的概念的加强，我们这一节要证明的基本定理，全都适用于这加强之后的概念。
Γ-群G到Γ-群H的Γ-同态映射定义为与Γ的作用可换的同态映射f，即f是从G到H的同态映射，并且满足：对于Γ中任意一元γ和G中任意一元σ，总有f ( γσ ) = γf ( σ )。
一个群是可换的还是非可换的，这中间是有巨大差别的。
非常初等的探讨就可以完全勾画出所有有限生成的可换群的结构，这就是被称为“有限生成Abel群的基本定理”的定理。
但是对于非可换群，即使我们假定这群是有限的、单纯的（单纯的定义见后），分类也仍然是非常困难的。
这分类虽然已经完成，就是被称为“有限单群的分类定理”的东西，但它的证明据说长达两万页，大部分都是繁琐、单调的计算，是几代人的共同努力的结果。
这证明时不时会被发现有一点小错误，修修补补的工作似乎一直延续到现在还没有结束。
子群，正规子群，商群定义。
对于一个Γ-群G，其子群定义为满足下列条件的G的子集H：1.H中任意两元的积仍然属于H2.H中的元的逆元属于H3.对于Γ中任意一元γ和H中任意一元h，γh属于H注意由条件 1、 2 立即得到单位元属于H。
设一个Γ-群G有子群H，则对于G的任意两元σ、τ，G的子集σH和τH（σH定义为形如σh ( h∈H ) 的元所组成的集。
τH也是一样）要么不交，要么相等。
这是因为如果σH和τH相交，即存在h1、h2∈H满足σh1 = τh2，则对于H中任意一元h，都有σh = τh2h1-1h，而根据子群的定义h2h1-1h是H的元。
这说明σH⊆τH，而显然根据对称性反方向σH⊇τH也是成立的，于是σH = τH。
形如σH的G的子集称为H的（左）旁系。
由上可知左旁系将G分成几个互不相交的部分。
对于右旁系也是一样。
左旁系和右旁系一般说来是不同的，当它们相同的时候子群H称为G的正规子群。
更具体的说，正规子群是指G中满足这样条件的子群H：对于G中任意一元σ都有σH = Hσ。
如果G是可换的，当然G的任意子群都是正规的。
设一个Γ-群G有正规子群H，则H的所有旁系做成的集合自然地具有Γ-群的结构。
换句话说，在G上规定这样一个等价关系 ~：σ ~ τ当且仅当σH = τH。
关于这个等价关系的等价类（即旁系）所做成的集合（即商集合）自然地具有Γ-群的结构。
如我在前文《关系》中所说的，一个集合的商集合可以理解为“还是那个集合，只不过把其中的一些元看成是一样的”，或者说同样的元有不同的表示。
现在在G中已经定义了乘法和Γ的作用，我们所要确认的只是这定义在商集合中仍然是well-defined的——即不管我们采用什么样的表示，结果都是一样的。
为了看出这一点，把形如ab ( a∈σH, b∈τH ) 的所有元组成的集合记为 ( σH )( τH )，则 ( σH )( τH ) = ( σH )( Hτ ) = σ ( HH ) τ⊆σHτ = στH，即不管我们从σ和τ的等价类中选择了哪两个元，它们的积最后都是属于στ的等价类的，于是我们看到积是well-defined的。
同样，对于Γ中任意一元γ，因为γ是群的同态映射，所以γ ( σH ) = ( γσ )( γH )，而由子群的条件 3 我们有γH⊆H，所以γ ( σH ) ⊆ ( γσ ) H，于是γ的作用也是well-defined的。
这样在G的商集合上乘法和Γ的作用都定义好了，由于这是由原来的群G上的乘法和作用诱导出来的，显然它们确实满足乘法和作用所应该满足的条件（结合律什么的），因此这确实做成了一个Γ-群。
这群称为G的商群，记为G / H。
同构定理定义。
设有Γ-群G、H以及Γ-同态映射f: G→ H，我们把f ( G ) 称为f的像，记为 Im f。
把f-1 ( e )（e是H的单位元）称为f的核，记为 Ker f。
定理。
Im f是H的子群， Ker f是G的正规子群。
证明。
由Γ-同态映射的定义，这基本上是显然的。
Ker f是正规的，因为对于G的任意一元σ，有σ ( Ker f ) = f-1 ( f ( σ ) ) = ( Ker f ) σ。
（证毕）设一个Γ-群G有正规子群H，则从G到G / H的标准映射（把G的元σ映到σ的旁系）显然是一个全射并且是Γ-同态，而它的核显然是H。
这件事的反之也是成立的，这就是第一同构定理。
（总共有三个同构定理，它们是如此的显然以至于我几乎都不知道该如何写证明。
请你也把它们如同常识一样融入自己的血液里）定理。
（第一同构定理）设有Γ-群G、H以及全射Γ-同态映射f: G → H。
把 Ker f记为U，则f自然诱导出从G / U到H的同构。
更一般的，“G中包含U的子群” M与“H的子群” N之间存在一一对应，这对应由M|→ f ( M ) 和N|→ f-1 ( N ) 给出。
如果G中某个包含U的子群P 像这样对应于H的一个子群Q，则f自然诱导出从P / U到Q的同构。
证明。
对于G的任意一元σ，其关于U的旁系正是G中其像与σ相同的所有那些元的的集合。
因此f自然诱导出从G / U到H的全单射。
接下来只要确认在G / U中定义的乘法和Γ的作用是与H中的一致的，这由f 是Γ-同态立得。
后半部分子群的一一对应，只要注意对于G中任意一个包含U的子群M，如果x∈M，就一定有xU⊆M。
因此M一定是由若干个U的旁系拼成的。
（证毕）定理。
（第二同构定理）设有Γ-群G和G的正规子群U。
则对于G的任意子群M，MU = UM（MU定义为形如ab ( a∈M, b∈U ) 的所有元组成的集合，UM也是一样）是G的子群，M∩ U是M的正规子群，并且MU / U 与M / ( M∩ U ) 同构。
进一步，如果M也是正规的，则MU和M∩ U都是G的正规子群。
证明。
因为U是正规的，MU = UM是显然的。
不难确认MU关于乘法、取逆元、Γ的作用都是封闭的，于是MU是子群。
对于M的元m，显然m ( M ∩ U ) = ( mM) ∩ ( mU ) = M∩ ( Um ) = ( M∩ U ) m，所以M∩ U 是M的正规子群。
如果M是正规的，则对于G的任意元σ都有σ ( MU ) = ( σM ) U = MσU = ( MU ) σ和σ ( M∩ U ) = ( σM) ∩ ( σU ) = ( Mσ) ∩ ( Uσ ) = ( M∩ U ) σ，于是MU和M∩ U都是G的正规子群。
剩下我们要证明MU / U与M / ( M∩ U ) 同构，为了看到这一点我们考虑标准映射f: G→ G / U，容易知道f-1 ( f ( M ) ) = MU，于是由第一同构定理我们知道MU / U与f ( M ) 同构。
另一方面如果把f限制在M 上，考虑全射f |M: M→ f ( M )，显然f |M的核是M∩ U，于是再次根据第一同构定理，我们有M / ( M∩ U ) 与f ( M ) 同构。
（证毕）定理。
（第三同构定理）设有Γ-群G和G的正规子群U，并设M是G 的包含U的子群。
则M / U是G / U的正规子群当且仅当M是G的正规子群，进一步当这条件成立时我们有G / M与 ( G / U ) / ( M / U ) 同构。
证明。
考虑商群的定义，这基本上是显然的。
（证毕）Jordan-Hölder定理和极大极小条件同构定理的一个几乎是立即的应用体现在Jordan-Hölder定理中。
