第五章 刚体力学习题课ppt课件

【例】基础训练（18）如图5-17所示、质量分别为m 和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在 一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴
， 转动，对转轴的转动惯量为9mr2/2，大小圆盘边缘都 绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，求盘的 角加速度的大小．
【解】：受力分析如图
T1 = T1'
角动量定理 的微分形式
M = dL dt
角动量定理
t2
t1
Mdt
=
Jw2
Jw1
角动量守恒定律 M=0时，Jw=恒量
.
刚体力学两个重要公式
• 转动定律
Mz
=J
dw
dt
=J
• 角动量守恒定律
Mz =0
Lz =Jw=恒量
.
• 机械能守恒定律： • 当除重力矩以外的其他合外力矩不作功或
作功为零时，则刚体机械能守恒。
第五章 刚体力学
定轴转动定律 M=Ja
刚体定轴转动
力矩M=rFsinq
力矩的功
W = M (q )dq
描述转动的物理量
角位置 q
角速度 w = dq dt
角加速度 a=
dw dt
=
d 2q dt 2
转动动能
Ek
=
1 Jw 2 2
动能定理
W
=
1 2
Jw 2
1 2
Jw02
重力势能 E p = mghC
T2
=
T
' 2
对质点： mgT1 =ma1
对刚体： T2mg=ma2
T12rT2r=J
a1 = 2r a2 = r
联立以上几式解得： 2 g
19r
.
【例】基础训练（18）如图5-17所示、质量分别为m 和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在 一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴 ， 转动，对转轴的转动惯量为9mr2/2，大小圆盘边缘都 绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，求盘的
T1 = T1'
T2
=
T
' 2
对质点： mgT1 =ma1
对刚体： T2mg=ma2
T12rT2r=J
a1 = 2r a2 = r
联立以上几式解得： 2 g
19r
.
【例】基础训练（16）一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初
角速度为 ，设它所受阻力矩与转动角速度成M正=比kw，即
(k为正
的常数)，求圆盘的角速w 0 度从 w 0 变为 时所需时间．
2 绳子，绳子下端挂一质量 m1=1.0 kg 的物体，如图所 示。起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v0=0.6 m/s 匀速上升，若撤去所加力矩，问经历多少时间 圆盘开始做反向转动？
r O
m1
.
m1g T = m1a
解
：
T a
r= =r
J
v0 a t = 0
代
入
J=
1 2
m
r
2
有 a = m1g = 6.32m / s2 m1 m 2
w = 3v0 2l
.
例：基础训练（5）如图5-9所示，一静止的均匀细棒，长为L、 质量为M，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O 在水平面内转动，转动惯量为 ．一质量为m、速率为v的子 弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设
穿过棒后子弹的速率为 ，则此时棒的角速度应为
解：把质点与子弹看作一个系统，该系统所受合外力矩为零，
m
力矩为零,系统角动量守恒。
O
M
Jw0 LL = (J J子弹)w
w
=
J
Jw0
J子弹
w0
.
【例】（17）如图5-25所示，一质量均匀分布的圆盘，质量 为 ，半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的
摩擦系数为)，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴
转动．开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度 v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上。求：(1) 子 弹击中圆盘后，盘所获得的角速度．(2) 经过多少时间后， 圆盘停止转动．(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为 ，忽 略子弹重力造成的摩擦阻力矩)
O
v0 R
m
.
解:（1）子弹和圆盘为系统角动量守恒
（2小）环圆m w带v盘00，R =的质= (质12(量mm 量m0R 元面v20d m 密m )1 2 R度=m 02 R =2r)d mw Rr002 在圆盘上取一半v径m0 为Rr,宽O为dr的
• 此环带受到的摩擦阻力矩 d M f= rg d m = rg 2 r2 d r
R w
R /2
v
.
解：（1）设当人以速率v沿相对圆盘转动相反的方向走动时， 圆盘对地的绕轴角速度为ω，则人对地的绕轴角速度为
w=w v =w2v
12R
R
(1)
视人与盘为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量
守恒，设盘的质量为M，则人的质量为M/10，有：
w w w 1 2 M R 2 1 M 0 R 2 2 0= 1 2 M R 2 1 M 0 R 2 2 (2 )
M f =0 R2gr2dr=2 3gR 3
M f
=J
dw
dt
w w 0 t M fd t=w 0 0Jd=w 0 0 1 2m 0R 2 m R 2 d
t = 3m v0
2m0g
.
例：如图所示，一均质杆可绕通过其一端的水平光 滑轴在竖直平面内自由转动，l=(5/3)m,今使杆从与 竖直方向成60⁰角又静止释放，求杆的最大角速度。
速中和度AJ、B相=B12同轮m，B绕rB2相O）应轴的转拉动力时f的A、转fB动之惯比量应分为别多为少B J？A =r（B12m其ArA2
A
rA
fB fA
5-23 图
.
【解】据转动定律有：
fArA =JAA
fBrB = JBrB
要使A、B 轮边缘处的切向加速度相同，应有：
a=rAA=rBB
A = rA B rB
所以有：
fA =JArBA =mArAA fB JBrAB mBrBB
故
fA = mA = 1
fB mB 2
.
【例】自测提高（16）如图5-24所示，长为 l 的轻杆，
两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕水平光
滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为 l 3 后和小以球2 l 3v，v 0．2 以轻的水杆速平原度速来返度静回v止，0 与在试杆竖求下直碰端位后小置轻球．杆m今所作有获对一得心质的碰量角撞为速，m度碰的？
2m
l
vv 0 2
O3 2l 3
m v0 m
图5-24
.
【解】系统所受的合外力矩为零，角动量守恒：
碰前的角动量为： 碰后的角动量为：
m
v0
2 3
l
m 1 2v03 2l[m (3 2l)22m (1 3l)2]w
所以： 得：
w m v 02 3 l= m 1 2 v 02 3 l [m (2 3 l)2 2 m (1 3 l)2 ]
600 解：机械能守恒（主要零势点选取）
mghc=1 2Jw2
(J=1ml2) 3
mgl (1cosq)=1Jw2
2
2
w= 3g =3 (rad/s)
2l
.
例题5-3一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的均匀圆盘 状定滑轮， 绳的两端分别挂着质量为m和2m的重物，如图52a所示．绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑．两个定滑轮 的转动惯量均为 ．将由两个定滑轮以及质量为m和2m的重物 组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内的张力．
根据牛顿运动定律和转动定律得：
mgT＝ma ①
2分
Tr = J ②
2分
a = J ③
2分
由①、②、③式解得： J＝m( g－a) r2 / a ④
又根据已知条件 v0＝0
S = 1 at 2 a＝2S / t 2 ⑤ 2
2分 将⑤式代入④式得：
J =mr2(gt2 1) 2分
2S
.
T
r
a
T mg
P2
【例】基础训练（17）在半径为R的具有光滑竖直固 定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在距转轴为 处，人的质量是圆盘质量的1/10．开始时盘1 2 R载人对地 以角速度 匀速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘 以速率v沿与盘转动相反方向作圆周运动，如图5-16所 示圆．盘对已地知1的圆2 M角盘R 2速对度中1．2心R (轴2) 的欲转使动圆惯盘量对为地静止，．人求应：沿(1着) 圆周 对圆盘的速度 的大小及方向？
.
【例】 一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另 一端绕在一轮轴的轴上，如图所示．轴水平且垂直于
轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之 上．当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离 S．试求整个轮轴的转动惯量(用m、r、t和S表示)．
T
r
r O
a
T mg
m
.
【解】设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T，则
m ,r m
m ,r 2m
.
解：受力分析如图所示．
2m gT 1=2m a (1)
对右侧物体：
T2mg=ma (2)
T
T2
am
P1
对左侧物体：T1rTr=12mr2 (3) 对右侧滑轮：TrT2r=12mr2 (4)
a=r (5)
对左侧滑轮：
T = 11 mg 8
解上述5个联立方程得：
.
T1 2m a