下载文档原格式
第一章答案 第二章答案 第三章答案 第四章答案第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{{1,6},{2,7},{3,8},…,3,8},…,3,8},…,{45,50} {45,50} ) (b) 45´5+(4+3+2+1) = 235 ( 1®2~6, 2®3~7, 3®4~8, …,45®46~50, 46®47~50, 47®48~50, 48®49~50, 49®50 ) 2．(a) 5!8! (b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)! (c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20! 5. 因首数字可分别为偶数或奇数，知结果为因首数字可分别为偶数或奇数，知结果为 2´5´P(8,2)+3´4´P(8,2). 6. (n+1)!-1 7. 用数学归纳法易证。
用数学归纳法易证。
8. 两数的公共部分为240530, 故全部公因数均形如2m 5n ,个数为41´31. 9. 设有素数因子分解设有素数因子分解 n=p 1n 11p 2 n 22…p k nk k , 则n 2的除数个数为的除数个数为( 2n 1+1) (2n 2+1)…(…(2n 2n k +1). 10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。
；这说明表达式是唯一的。
11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。
验证等式成立。
第三章3.12.一年级有100名学生参加中文，英语和数学的考试，其中92人通过中文考试，75人通过英语考试，65人通过数学考试；其中65人通过中，英文考试，54人通过中文和数学考试，45人通过英语和数学考试，试求通过3门学科考试的学生数。
[解].令：A 1={通过中文考试的学生}A 2={通过英语考试的学生}A 3={通过数学考试的学生}于是 |Z| =100，|A 1|=92，|A 2|=75，|A 3|=65|A 1∩A 2|=65，|A 1∩A 3|=54，|A 2∩A 3|=45此题没有给出：有多少人通过三门中至少一门；有多少人一门都没通过。
但是由 max{ |A 1|,|A 2|,|A 3| }=max{92,75,65}=92故可以认为：至少有92人通过三门中至少一门考试，即100≥|A 1∪A 2∪A 3|≥92至多有8人没通过一门考试，即0≤|1A ∩2A ∩3A | ≤8于是，根据容斥原理，有|A 1∪A 2∪A 3|=(|A 1|+|A 2|+|A 3|)-(|A 1∩A 2|+|A 1∩A 3|+|A 2∩A 3|)+|A 1∩A 2∩A 3|即 |A 1∩A 2∩A 3|=|A 1∪A 2∪A 3|-(|A 1|+|A 2|+|A 3|)+(|A 1∩A 2|+|A 1∩A 3|+|A 2∩A 3|)=|A 1∪A 2∪A 3|-(92+75+65)+(65+54+45)=|A 1∪A 2∪A 3|-232+164=|A 1∪A 2∪A 3|-68从而由 92-68≤|A 1∪A 2∪A 3|-68≤100-68即 24≤|A 1∪A 2∪A 3|-68≤32可得 24≤|A 1∩A 2∩A 3| ≤32故此，通过3门学科考试的学生数在24到32人之间。
也可用容斥原理，即|1A ∩2A ∩3A |=|Z|-(|A 1|+|A 2|+|A 3|)+(|A 1∩A 2|+|A 1∩A 3|+|A 2∩A 3|)-|A 1∩A 2∩A 3|=100-(92+75+65)+(65+54+45)-|A 1∩A 2∩A 3|=100-232+164-|A 1∩A 2∩A 3|=32－|A 1∩A 2∩A 3|从而有 |A 1∩A 2∩A 3|=32-|1A ∩2A ∩3A |由已知 0≤|1A ∩2A ∩3A |≤8，可得24≤|A 1∩A 2∩A 3|≤32故此，通过3门学科考试的学生数在24到32之间。
1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a ，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|≤5；解：（1）：由|a-b|=5⇒a-b=5或者a-b=-5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。
当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。
所以这样的序列有90对。
（2）：由题意知，|a-b|≤5⇒|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。
当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。
当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=5201.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？解：（a ）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！， （b ）用x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C （8，5）×7！×5！ （c ）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下： 6. 若A ，B 之间存在0个男生， A ，B 之间共有3个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2 1．若A ，B 之间存在1个男生， A ，B 之间共有4个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2 2．若A ，B 之间存在2个男生，A ，B 之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2 3．若A ，B 之间存在3个男生，A ，B 之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2 4．若A ，B 之间存在4个男生，A ，B 之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2 5．若A ，B 之间存在5个男生，A ，B 之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2所以总的排列数为上述6种情况之和。
第三章 递推关系§3.1 基本概念（一） 递推关系【定义3.1.1】（隐式）对数列{}0≥i a i 和任意自然数n ，一个关系到n a 和某些个i a （i ＜n ）的方程式，称为递推关系，记作()0,,,10=n a a a F例 022022212=-------n a a a a n n n 01223121=-------a a a a n n n 【定义3.1. 1'】（显式） 对数列{}0≥i a i ，把n a 与其之前若干项联系起来的等式对所有n ≥k 均成立（k 为某个给定的自然数），称该等式为{}i a 的递推关系，记为()k n n n n a a a F a ---=,,,21 （3.1.1）＇例 1223121++++=--a a a a n n n（二） 分类（1）按常量部分：① 齐次递推关系：指常量＝0，如21--+=n n n F F F ； ② 非齐次递推关系，即常量≠0，如121=--n n h h 。
（2）按i a 的运算关系：① 线性关系，F 是关于i a 的线性函数，如（1）中的nF 与n h 均是如此；② 非线性关系，F 是i a 的非线性函数，如112211h h h h h h h n n n n ---+++= 。
（3）按i a 的系数：① 常系数递推关系，如（1）中的n F 与n h ；② 变系数递推关系，如1-=n n np p ，1-n p 之前的系数是随着n 而变的。
（4） 按数列的多少：① 一元递推关系，其中的方程只涉及一个数列，如（3.1.1）和（3.1.1）＇均为一元的；② 多元递推关系，方程中涉及多个数列，如⎩⎨⎧+=+=----111177n n n n n n a b b b a a （5）显式与隐式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=++++11112n n n n n y x y h y y （三） 定解问题 【定义3.1.2】（定解问题）称含有初始条件的递推关系为定解问题，其一般形式为()⎩⎨⎧====--11110010,,,,0,,,k k n d a d a d a a a a F （3.1.2）解递推关系：求n a 的与a 0、a 1、…、a n －1无关的解析表达式或数列{}n a 的母函数。
组合数学课后习题答案问题1求解以下组合数：(a)C(5, 2)(b)C(7, 3)(c)C(10, 5)解答：(a)C(5, 2) 表示从5个不同元素中选取2个的组合数。
根据组合数的定义，我们可以使用公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) 来计算组合数。
计算 C(5, 2)： C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4 * 3!) / (2! * 3!) = (5 * 4) / 2 = 10所以 C(5, 2) = 10。
(b)C(7, 3) 表示从7个不同元素中选取3个的组合数。
计算 C(7, 3)： C(7, 3) = 7! / (3! * (7-3)!) = 7! / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5 * 4!) / (3! * 4!) = (7 * 6 * 5) / 3 = 35 * 2 = 70所以 C(7, 3) = 70。
(c)C(10, 5) 表示从10个不同元素中选取5个的组合数。
计算 C(10, 5)： C(10, 5) = 10! / (5! * (10-5)!) = 10! / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5!) / (5! * 5!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 252所以 C(10, 5) = 252。
问题2在一个集合 {a, b, c, d, e} 中，求解以下问题：(a)有多少种不同的3个元素的子集？(b)有多少种不同的4个元素的子集？(c)有多少种不同的空集合？(a)在一个集合 {a, b, c, d, e} 中选取3个元素的子集。
子集的元素个数为3，所以我们需要从5个元素中选取3个。
利用组合数的公式 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，我们可以计算组合数。
第1章 排列与组合1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=1，2，…，45时，b ＝6，7，…，50。
满足a=b-5的点共50-5=45个点. a = b+5，a=5，6，…，50时，b ＝0，1，2，…，45。
满足a=b+5的点共45个点. 所以，共计2×45=90个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。
1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。
（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。
将女生插入，有5!种方案。
故按乘法原理，有：7!×58C ×5!=33868800(种)方案。
(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有(7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≤n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有mn C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。
习题四4.1.若群G的元素a均可表示为某一元素x的幂，即a= x m，则称这个群为循环群。
若群的元素交换律成立，即a , b∈G满足a⋅b = b⋅a则称这个群为阿贝尔(Abel)群，试证明所有的循环群都是阿贝尔群。
[证].设循环群(G, ⋅)的生成元是x0∈G。
于是，对任何元素a , b∈G，∃m，n∈N，使得a= x0m , b= x0n ,从而a⋅b = x0m⋅x0n= x0m +n (指数律)= x0n +m (数的加法交换律)= x0n⋅x0m(指数律)= b⋅a故⋅运算满足交换律；即(G, ⋅)是交换群。
4.2.若x是群G的一个元素，存在一个最小的正整数m，使x m=e，则称m为x的阶，试证：C={e,x,x2, ⋯,x m-1}是G的一个子群。
[证].(1)非空性C ≠∅：因为∃e∈G；(2)包含性C⊆G：因为x∈G，根据群G的封闭性，可知x2, ⋯,x m-1,(x m=)e∈G，故C⊆G；(3)封闭性∀a , b∈C⇒ a ⋅b∈C：∀ a , b∈C，∃k，l∈N (0≤k<m，0≤l<m)，使a = x k, b = x l，从而a ⋅b = x k⋅ x l = x(k+l) mod m∈C(因为0 ≤ (k+l) mod m < m) ；(4)有逆元∀a ∈C⇒ a -1∈C：∀ a ∈C，∃k∈N (0≤k<m)，使a = x k, 从而a -1= x m-k∈C(因为0 ≤m-k < m) 。
综合(1) (2) (3) (4)，可知(C, ⋅)是(G, ⋅)的一个子群。
4.3.若G是阶为n的有限群，则G的所有元素的阶都不超过n。
[证].对任一元素x∈G，设其阶为m，并令C={e,x,x2, ⋯,x m-1}，则由习题4.2.可知(C, ⋅)是(G, ⋅)的一个子群，故具有包含性C⊆G。
因此有m = |C| ≤ | G | = n所以群G的所有元素的阶都不超过n。
1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a ，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|≤5；解：（1）：由|a-b|=5⇒a-b=5或者a-b=-5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。
当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。
所以这样的序列有90对。
（2）：由题意知，|a-b|≤5⇒|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。
当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。
当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=5201.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？解：（a ）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！， （b ）用x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C （8，5）×7！×5！ （c ）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下： 6. 若A ，B 之间存在0个男生， A ，B 之间共有3个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2 1．若A ，B 之间存在1个男生， A ，B 之间共有4个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2 2．若A ，B 之间存在2个男生，A ，B 之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2 3．若A ，B 之间存在3个男生，A ，B 之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2 4．若A ，B 之间存在4个男生，A ，B 之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2 5．若A ，B 之间存在5个男生，A ，B 之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2所以总的排列数为上述6种情况之和。
3.1 某甲参加一种会议,会上有6位朋友,某甲和其中每一个人在会上各相遇12次,每两人各相遇6次,每3人各相遇4次,每4人各相遇3次,每5人各相遇2次,每6人各相遇1次,1人也没遇见的有5次,问某甲共参加几次会议?解:设A 为甲与第i 个朋友相遇的会议集.i=1,2,3,4,5,6.则 │∪A i │=12*C(6,1)-6*C(6,2)+4*C(6,3)-3*(6,4)+2*(6,5)-C(6,6) =28甲参加的会议数为 28+5=333.2：求从1到500的整数中被3和5整除但是不能被7整除的数的个数。
解：设 A 3：被3整除的数的集合A 5：被5整除的数的集合 A 7：被7整除的数的集合 所以 ||=||-||=-=33-4=29 3.3 n 个代表参加会议，试证其中至少有2个人各自的朋友数相等解：每个人的朋友数只能取0，1，…，n －1．但若有人的朋友数为0，即此人和其 他人都不认识，则其他人的最大取数不超过n －2．故这n 个人的朋友数的实际取数只 有n －1种可能．，根据鸽巢原理所以至少有２人的朋友数相等．×3.4试给出下列等式的组合意义0j j 0(1)=(1), 1n-m -j+1(2)(1)1 j 1(3)...(1) 1 12m l l n ml n m m n l n k m n k l k l n m l n m l m l m l m l m l m l m m m m m l =-=--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥≥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑证明：（1）从n 个不同元素中取k ，使得其中必含有m 个特定元素的方案数为)()(kn m n mk m n --=--。
设这m 个元素为a 1,a 2,…,a m , Ai 为包含a i 的组合（子集），i=1,…,m.1212|...|(...)12 =( (1))1 2 =(1) m m ml n A A A A A A k n m n m n m n m k k k m k m n l l k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛- ⎪⎝⎭ 0ml =⎫ ⎪⎝⎭∑ （2）把l 个无区别的球放到n 个不同的盒子，但有m 个空盒子的方案数为11n l m n m -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭令k=n-m ，设A i 为第i 个盒子有球，i=1，2，…k12k 121|...|(...)1k 11211 =(...(1)) 1 2 k kk l A A A A A A k k l k l k k l k k k l k l l k l +-⎛⎫=- ⎪⎝⎭+--+--+--+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭kj j 0k k-j+1 =(1)j l l =-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑（3）设A i 为m+l 个元素中去m+i 个，含特定元素a 的方案集；N i 为m+l 个元素中取m+i个的方案数。
则：10000101101211 |A |= |A |=1 m +i 1|A ||A |= m +i |A ||A | i=12|A ||A |= |A |=(|A |)...(1)1 1 i i i i i i i i ll m l m l m l N m i m i m l N lN N N N N N N N m l m l m m +++-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫= ⎪⎝⎭=-=----=-+-+-+-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ -⎝⎭⎝⎭，，...,...(1)12l m l m l m l m m m l +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.5 设有3个7位的二进制数432143214321c c c c b b b b a a a a 665765765c c c b b b a a a试证存在整数i 和71,≤<≤j i j ，使得下列之一必然成立：j i j i j i j i j i j i c c b b c c a a b b a a =========,解：应用鸽巢原理，在每一个纵列中，含有三个元素，分别都只由两种选择0 或1，应用鸽巢原理所以必有i i ii i i c b c a b a ===,中至少一个必然成立；成立的时候取值的不同可以有这样几种情况：223⨯C =6种，而每一横行共有七个元素， 再次用鸽巢原理，必有两列是相同的 即： j i j i ji j i j i j i c c b b c c a a b b a a =========,之一必然成立3.6 在边长为1的正方形内任取5。
证明：分别连接对边的中点，这样正方形被均匀的分成四个域，在正方形内任取5点，根据鸽巢原理，至少有两点在同一个域中，而一个域内两点的最远距离小。
3.7 在边长为1的等边三角形内任取5点，试证至少有两点距离小于21。
证明：将边长为1的等边三角行分成4三角形的边长为21，离小于21。
3.8．任取11个整数，求证其中至少有两个数它们的差是10的倍数。
解：易知任意整数的个位数的可能取值只可能为0,1,2,,9 ，共10种可能，而利用鸽巢原理，任取的11个整数中，其中至少有两个整数的个位数相同，这两个个位数相同的整数的差显然是10的倍数。
即证。
×3.9 把从1到326的326个整数任意分为5个部分，试证其中有一部分至少有一个数是某两个数之和，或是另一个数的两倍。
解：用反证法。
设存在划分 ]326,1[54321= P P P P P ， P i 中没有数是两数之和，即P i 中没有数是两数之差。
设1到326中至少有66151326=+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-个元素属于P 1，并设为},,{6621a a a A =，不妨设6621a a a <<< ，若A 中存在一个元素是某两个元素之差，则满足要求。
否则，令166********,,,a a b a a b a a b -=-=-= ，令},,{6521b b b B =，显然B 中的元素仍然是1到326之间的数，即3261<≤i b 。
根据假定B 中无一属于P 1，否则与假定矛盾。
所以B 的元素属于P 2 ，P 3 ，P 4 ，P 5。
与前面讨论类似，设B 中至少存在属于P 2的1714165=+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-个元素。
设为1721c c c <<< 。
令},,{1721c c c C =。
根据假定，C 中没有数是两数之差。
令11716132121,,,c c d c c d c c d -=-=-= ，},,{1621d d d D =，那么，对于所有16,2,1,326 =<i d i 。
易知存在整数m l ,使得m l m l k k a a a a a a c c d -=---=-=+)()(1111。
所以，D 中的元素不属于P 1，也不属于P 2，只能属于P 3 ，P 4 ，P 5。
故根据鸽巢原理，设至少存在613116=+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-个元素属于P 3。
设为326654321<<<<<<f f f f f f 。
令},,,,,{654321f f f f f f F =。
根据假定，F 中不存在元素是某两个元素之差，令165132121,,,f f g f f g f f g -=-=-= 。
显然G 中的元素不属于P 3。
且，对于g i 存在m l q p ,,,使得m l m l q p q p i i a a a a a a c c c c c c f f g -=---=-=---=-=+)()()()(111111。
故G 中的元素也不属于P 1和P 2。
则G 中的元素属于P 4 ，P 5。
对于G 中的5个元素，根据鸽巢原理，设至少存在31215=+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-个属于P 4 。
设为326321<<<h h h 。
令},,{321h h h H =。
令},{,,21132121t t T h h t h h t =-=-=。
显然，T 中的元素不属于P 1， P 2， P 3 ，P 4 ，故T 的元素属于P 5。
但根据假定121t t t -≠，令12t t u -=，则3261<≤u 且u 不属于P 5 。
同样，u 不属于P 1， P 2， P 3 ，P 4 ，即存在一个整数3261<≤u ，不属于P 1， P 2， P 3 ，P 4 ，P 5 。
这与将1至326之间的整数任意分为5部分的假定相矛盾。
3.10 A,B,C 三种材料用作产品1，2，3的原料，但要求1禁止用B 和C 作原料，2不能用B 作原料，3不允许用A 作原料，问有多少种安排方案？（假定每种材料只做一种产品的原料）。
解：此问题为有禁区的排列可转化为棋盘多项式求解如图所示：P=R=XR+R=1+4x+42x+3x1r=4,2r=4,3r=1根据定理：n!-1r(n-1)!+2r(n-2)!-3r(n-3)!……±n r故方案为：3！-4（3-1）！+4（3-2）！-1=13.11 n个球放到m个盒子中去，(1)2mn m<-，试证其中必有两个盒子有相同的球数。
题解：设m个盒子的球的个数是a1,…,a m，各不相等，且有0≤a1＜a2＜···＜a m．则有 a2≥1、am≥m－1，故≥1+2+…+m－1＝(1)2mm-，与(1)2mn m<-相矛盾！所以必有两个盒子的球数相等．×3.12 一年级有100名学生参加中文，英语和数学考试，其中92通过中文考试，75人通过英语考试，65人通过数学考试；其中65人通过中，英文考试，54人通过中文和数学考试，45人通过英语和数学考试，求通过3门学科考试的学生数。
题解：设A为通过中文的人数，B为通过英语的人数，C为通过数学的人数。
A B C A B C A B A C B CA B C⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂10092756565544532A B C⋂⋂=---+++=3.13试证1 |A B|=|B|-|A B|2 |A B C|=|C|-|A C|-|B C|+|A B C| 证：设全集为S|A B| = |（S-A ） B|=|S B|-|A B|=|B|-|A B| 同理可证|A B C|=|C|-|A C|-|B C|+|A B C|3.14 }1000,2,1{ =N ，求其中不被5和7除尽，但被3除尽的数的数目。
