lsw-矩阵论(第二版)杨明-华中科技大学

[转]一些矩阵论的书线性代数：国内的我觉得李尚志的线性代数和蓝以中的高代简明教程非常好，概念讲解很通俗易懂，学计算技巧的话建议研读许以超的线性代数与矩阵论（第二版），里面有传说中的打洞技巧。

龚晟写了本小书《线性代数五讲》，观点很高，阅读时需要有一定代数基础。

国外的最好的书我认为是strang的Linear Algebra and Its Applications 最新是第三版，这本书临睡前看可能兴奋的让人失眠的，其中有侯自新翻译的第2版的译本叫线性代数及其应用。

strang在mit 讲课视配套的是An Introduction To Linear Algebra，找不到电子版，国内近几年引进的David C Lay的Linear Algebra And Its Applications 与leon的Linear Algebra with Applications都不错。

最近读过的David.Poole的Linear Algebra 内容上同lay的书差不多，但讲解要清晰，是一本难得的好书。

国外的线性代数书籍基本上结合一些数值分析方面的问题，而且讲国内书不常讲的svd，LMS，有时还讲一点伪逆，一般结合应用，讲的非常好，也让人感觉线性代数非常美。

矩阵论：Meyer C.D的Matrix analysis and applied linear algebra很好懂，可作为线性代数到矩阵论的过渡书籍。

张贤达的《矩阵分析与应用》与Horn,R.A.的Matrix Analysis 可作为参考手册，经常翻翻不坏。

方保镕的矩阵论书有几章不错，比如广义逆那章。

程云鹏的矩阵论已经出到第3版了（和第2版区别不大），是许多学校的考博参考书，我觉得一般。

矩阵计算：Watkins D. Fundamentals of Matrix Computations最容易最好看的矩阵计算书籍，千万别错过！GENE.H.GOLUB 矩阵计算，经典名著，网上有评价。

矩阵论方保镕第二版1. 前言矩阵论是一门非常重要的数学分支，它的应用范围非常广泛。

矩阵论的研究对象是矩阵，矩阵是由数字或变量按矩形排列而成的一种数据结构。

本文档是《矩阵论方保镕第二版》的概述，对于矩阵论的基本概念、原理和应用进行了介绍。

2. 矩阵的定义与基本运算2.1 矩阵的定义矩阵是由m行n列元素排列成矩形形式的数组。

我们用大写字母表示矩阵，如A，B，C等，而元素通常用小写字母表示，如a，b，c等。

矩阵A的元素可以表示为aij，其中i表示行数，j表示列数。

2.2 矩阵的基本运算矩阵有许多基本的运算，包括加法、减法、数乘和矩阵乘法。

矩阵之间的加法和减法只能在维度相同的矩阵之间进行。

数乘是指将矩阵的每个元素与一个标量相乘。

矩阵乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵，其中第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。

3. 矩阵的性质与运算规则矩阵具有许多性质和运算规则，这些性质和规则对于矩阵的运算和应用非常重要。

3.1 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行交换得到的新矩阵。

转置后的矩阵表示为AT，其中A为原矩阵。

转置矩阵的性质包括：(1) (AT)T=A； (2) (A+B)T=AT+BT；(3) (cA)T=cAT。

3.2 矩阵的逆矩阵的逆是指如果矩阵A乘以它的逆矩阵得到单位矩阵，则称A为可逆矩阵。

可逆矩阵的逆矩阵表示为A-1，其中A 为原矩阵。

可逆矩阵具有以下性质：(1) (A-1)-1=A； (2) (AB)-1=B-1A-1；(3) (cA)-1=c-1A-1。

需要注意的是，并不是所有的矩阵都有逆矩阵。

3.3 矩阵的行列式矩阵的行列式是一个标量，用于判断一个矩阵是否可逆。

行列式的计算方法比较复杂，我们在这里只给出基本的计算公式：对于2阶矩阵A=[a11 a12; a21 a22]，它的行列式为|A|=a11a22-a12a21。

对于n阶矩阵，行列式的计算方法类似。

4. 矩阵的应用领域矩阵论在许多领域都有广泛的应用，例如工程、计算机科学、经济学等。

习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。

解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。

2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。

解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。

证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=而()()1212r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈由此，得21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。

习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。

解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。

2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。

解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩L L L ⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。

证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r αααL 为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββL 为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=L L而()()1212r r C αααβββ=L L ，C 为过渡矩阵，且可逆 于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈L L L L L L由此，得 21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。