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习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。
解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。
证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=而()()1212r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈由此，得 21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。
双语国际教育版系统分析的数学工具——工程矩阵理论（适用于数学专业和其它理工科研究生）倪郁东编著合肥工业大学数学学院目录第一章线性空间与线性变换 1 §1.1 线性空间 1§1.2 线性变换及其矩阵 3§1.3 内积空间8§1.4 正交变换及其几何与代数特征§1.5 应用于小波变换的框架理论15 第二章矩阵的标准形理论§2.1 线性变换的特征值和特征向量29 §2.2 矩阵的相似对角化32 §2.3 特征矩阵的Smith标准形34 §2.4 矩阵的Jordan标准形34 §2.5 矩阵的最小多项式第三章矩阵分解29 §3.1 Gauss消去法与矩阵三角分解29 §3.2 矩阵的QR分解32 §3.3 矩阵的满秩分解34 §3.4 矩阵的奇异值分解34§3.5 矩阵分解的应用第四章矩阵范数理论及其应用16 §4.1 范数与赋范线性空间§4.2 向量范数及其性质17 §4.3 矩阵的范数18 §4.4 范数的应用19 第五章矩阵分析及其应用20 §5.1 矩阵序列20 §5.2 矩阵级数21 §5.3 矩阵函数22 §5.4 矩阵的微分和积分25 §5.5 矩阵函数的一些应用26 §5.6 梯度分析和最优化27 第六章特征值估计及极性38 §6.1 特征值的估计38 §6.2 广义特征值问题40 §6.3 对称矩阵特征值的极性41 §6.4 广义特征值分析的应用42 第七章广义逆矩阵43 §7.1 投影矩阵43 §7.2 广义逆矩阵46 §7.3 总体最小二乘方法49第八章Matlab中的矩阵运算简介50 §8.1 基本矩阵运算50 §8.2 矩阵分解52 §8.3 广义逆矩阵和解线性系统54 参考文献57编著者说明1、体例格式为：知识要点，章节内容，各章习题。
第一章 线性空间与线性映射 习题一 (43-45)1、（1）对于V y x ∈∀,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211；（2）对于V z y x ∈∀,,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(1111112221111112112211121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(1111112221111111122211111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ，即)()(z y x z y x ++=++。
（3）对于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00θ和V x ∈∀，显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+21121000θ； （4）对于V x ∈∀，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2211x x x y ， 则θ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0021221211221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。
（5）对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+（6）对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+211112211112211))(1(21)()()(y x y x y x y x y x y x y x y x λλλλλλ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+211112211112212211122111122122121121212121))(1(21)()()1(21)1(21)()1(21)1(21)1(21)1(21y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y x x y x y y y x x x y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ，即y x y x λλλ+=+)(。
习 题 一1. 设λ为的任一特征值,则因 λλ22- 为A =-A 22O 的特征值, 故022=-λλ. 即 λ=0或2.2. A ～B , C ～D 时, 分别存在可逆矩阵P 和Q , 使得 P 1-AP =B , Q 1-CQ =D .令T =⎪⎪⎭⎫⎝⎛Q O O P则 T 是可逆矩阵,且 T1-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C O O AT =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--Q OO PC OO A Q O O P 11=⎪⎪⎭⎫⎝⎛D OO B3. 设i x 是对应于特征值i λ的特征向量, 则 A i x =i λi x , 用1-A 左乘得iiix A x 1-λ=.即i i i x x A 11--λ= 故 1-i λ是A 的特征值, i =1,2,, n .4. (1) 可以. A E -λ=)2)(1)(1(-+-λλλ,=P ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--104003214, ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2111AP P . (2) 不可以. (3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110101010P , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1221AP P . 5. (1) A 的特征值是0, 1, 2. 故A =－(b －a )2=0. 从而 b =a .又11111-λ----λ----λ=-λaa aa A I =)223(22+---a λλλ将λ=1, 2 代入上式求得 A =0.(2) P =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010101. 6.AI -λ=)1()2(2+-λλ, A 有特征值 2, 2, －1.λ=2所对应的方程组 (2I －A )x =0 有解向量p 1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛041,p 2=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛401 λ=－1所对应的方程组 (I +A )x =0 有解向量p 3=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001令P =(p ,1p ,2p 3)=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛140004111, 则P 1-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4416414030121. 于是有A 100=P ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛122100100P 1-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-⋅-⋅---12412244023012122431100100100100100100100.7．(1)A I -λ=)1(2+λλ=D 3(λ),λI －A 有2阶子式172111----λ=λ－4λ－4不是D 3(λ)的因子, 所以D 2(λ)=D 1(λ)=1, A 的初等因子为λ－1, 2λ. A 的 Jordan 标准形为J =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000100001 设A 的相似变换矩阵为P =(p 1,p 2,p 3), 则由AP =PJ 得 ⎪⎩⎪⎨⎧==-=23211pAp Ap p Ap 0解出P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----241231111; (2) 因为),2()1()(23--=λλλD1)()(12==λλD D ，故A ～J =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛200010011设变换矩阵为 P =(321,,p p p ), 则⎪⎩⎪⎨⎧=+==33212112pAp p p Ap p Ap⇒P =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---502513803(3) ),2()1()(23-+=-=λλλλA I D ,1)(2+=λλD1)(1=λD .A的不变因子是11=d ,12+=λd )2)(1(3-+=λλdA ～J =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--211因为A 可对角化，可分别求出特征值－1，2所对应的三个线性无关的特征向量：当λ=－1时，解方程组 ,0)(=+x A I 求得两个线性无关的特征向量,1011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0122p 当λ=2时，解方程组,0)2(=-x A I 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1123p ,P =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101110221(4)因⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=-41131621λλλλA I ～⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2)1(11λλ, 故A ～J =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10111 设变换矩阵为P =),,(321p p p , 则⎪⎩⎪⎨⎧+===3232211pp Ap p Ap p Ap21,p p 是线性方程组 0=-x A I )(的解向量，此方程仴的一般解形为p =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-t s t s 3取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111p ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1032p 为求滿足方程23)(p p A I -=-的解向量3p , 再取,2p p = 根据⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------t s t s 3113113622～⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----t s t s s033000311由此可得 s =t , 从而向量 T3213),,(x x x =p 的坐标应満足方程 s x x x -=-+3213取T3)0,0,1(-=p , 最后得P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--010001131 8. 设 f (λ)=4322458-++-λλλλ. A 的最小多项式为 12)(3+-=λλλA m ,作带余除法得 f(λ)=(149542235-+-+λλλλ),(λA m +1037242+-λλ, 于是f (A )=I A A 1037242+-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----346106195026483. 9. A 的最小多项式为 76)(2+-=λλλA m , 设 f(λ)=372919122234+-+-λλλλ,则f (λ)=)()52(2λλA m ++2+λ. 于是 [f (A )]1-=1)2(-+I A .由此求出[f (A )]1-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3217231 10. (1)λI －A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+41131621λλλ标准形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2)1(000101λλ, A 的最小多项式为 2)1(-λ;2) )1)(1(+-λλ; (3) 2λ.11. 将方程组写成矩阵形式:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321188034011d d d d d d x x x tx t x t x , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321x x x x ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=tx t x t x td d d d d d d d 321x , A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----188034011则有J =PAP 1-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100010011, .其中P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛124012001.令 x =Py , 将原方程组改写成 :,d d Jy y =t则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+==3321211d d d d d d yty y y ty y t y解此方程组得: y 1=C 1e t +C 2T e t , y 2=C 2e t , y 3=C 3e t -. 于是x =Py =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++-t t t tt tt c )t (c c )t (c c t c c e e 24e 4e 12e 2e e 3212121. 12. (1) A 是实对称矩阵. A I -λ=2)1)(10(--λλ,A 有特征值 10, 2, 2. 当λ=10时. 对应的齐次线性方程组 (10I －A )x =0的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--542452228～⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110102由此求出特征向量p 1=(－1, －2, 2)T , 单位化后得 e 1= (32,32,31--)T .当λ=1时, 对应的齐次线性方程组 (I －A )x =0的系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----442442221～⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000221由此求出特征向量 p 2=(－2, 1, 0)T , p 3=(2, 0, 1)T . 单位化后得 e 2=(0,51,52-)T, e 3=(535,534,532)T . 令U =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---5353253451325325231, 则U 1-AU =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1110.(2) A 是Hermit 矩阵. 同理可求出相似变换矩阵U =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2121212i 2i 2i21210, U 1-AU =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22. 13. 若A 是Hermit 正定矩阵,则由定理1.24可知存在n 阶酉矩阵U , 使得U H AU =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21, i λ﹥0, I =1, 2, , n . 于是A =U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21U H= U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21U H U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21U H令B =U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21U H则 A =B 2.反之,当 A =B 2且B 是Hermit 正定矩阵时,则因Hermit 正定矩阵的乘积仍为Hermit 正定矩阵,故A 是Hermit 正定的. 14. (1)⇒(2). 因A 是Hermit 矩阵,则存在酉矩阵U,使得U H AU =diag(n λλλ,,,21 )令x =Uy , 其中 y =e k . 则 x ≠0. 于是x H Ax =y H (U H AU )y =k λ≧0 (k =1, 2, , n ).(2)⇒(3).A =U diag(n λλλ,,,21 )U H =U diag(n λλλ,,,21 )diag(n λλλ,,,21 )U H令 P =diag(n λλλ,,,21 )U H , 则 A =P H P . (3)⇒(1). 任取x ≠0, 有x HAx =x H P H Px =22Px ≧0. 习 题 二1.1x=01i 42i 1+++-++=7+2,2x =1i)4i(4)2(i)1i)(1(2+-+-+-+=23, ∞x =max {}1i 42i 1,,,-+=4.2. 当 x ≠0时, 有 x ﹥0; 当 x ﹦0时, 显然有 x=0. 对任意∈λC , 有xλ=xnk kk nk kk λξωλλξω==∑∑==1212.为证明三角不等式成立,先证明Minkowski 不等式: 设 1≦p ﹤∞, 则对任意实数 x k ,y k (k =1, 2, , n )有pnk pkk y x 11)(∑=+≦∑∑==+nk ppknk ppky x 1111)()(证 当 p =1时，此不等式显然成立. 下设 p ﹥1, 则有∑=+nk pkk y x 1≦∑∑=-=-+++nk p kk k nk p kk k y x y y x x 1111对上式右边的每一个加式分别使用H ölder 不等式, 并由 (p －1)q =p , 得∑=+nk pkk y x 1≦qnk qp kk pnk pkqnk qp kk pnk pky x y y x x 11)1(1111)1(11)()()()(∑∑∑∑=-==-=+++=qnk pkk pnk pkpnk pky x y x 111111)]()()[(∑∑∑===++再用 qnk pkk y x 11)(∑=+ 除上式两边,即得 Minkowski 不等式.现设任意 y =(n ηηη,,,21 )T ∈C n , 则有∑=+=+nk kk k y x 12ηξω=∑=+nk k k k 12)(ηξω≦∑=+nk k k k k 12)(ηωξω≦∑∑==+nk jk nk k k 1212()(ηωξω=yx +.3. (1) 函数的非负性与齐次性是显然的,我们只证三角不等式.利用最大函数的等价定义:max(A , B )=)(21b a b a -++max(),b a y x y x ++≦max(bba ayxy x++,)=)(21bbaababayxyxyyxx --+++++ ≦)(21babababayyxx y yxx-+-++++=)(21)(21bababa bay yyyxxxx-+++-++=max( b a x x ,)+max( b a y y ,) (2) 只证三角不等式.k 1a y x ++k 2b y x +≦k 1a x +k 1a y +k 2b x +k 2by=( k 1a x +k 2b x )+( k 1a y +k 2b y ) .4. 218132i 453i 11m +=+++++++=A ;66132i 453i 1222222F=+++++++=A;15m =∞A;=1A列和范数(最大列模和)=27+;∞A =行和范数(最大行模和)=9 ;5. 非负性: A ≠O 时S 1-AS ≠O , 于是 m 1AS S A -=＞0. A =O 时, 显然A=0;齐次性: 设λ∈C , 则λλλ==-m1)(SA SA m1ASS-=λA;三角不等式: m11m1)(BSSAS SSB A S B A ---+=+=+≦BA BS S ASS+=+--m1m 1;相容性:m11m1)(BSASSSS AB SAB ---==≦m1m1BSSAS S--=A B.6. 因为I n ≠O , 所以nI ＞0.从而利用矩阵范数的相容性得:n n n I I I =≦n I n I ,即n I ≧1.7. 设 A =(A ij)∈C n n ⨯, x =∈ξξξT21),,,(nC n , 且 A =ij ji a ,max , 则 ∑∑=ikkikAxξa1≦∑∑i kkik a ξ=∑∑kiik k a ][ξ≦n A ∑kkξ=∞m A1x;∑∑=ikkikAx22ξa≦∑∑ikk ik a 2][ξ=∑∑ikk a 22][ξ=nA2x≦n A =∞m A2x.8. 非负性与齐次性是显然的, 我们先证三角不等式和相容性成立. A =(a ij), B =(b ij)∈C n m ⨯,C =(c st )∈C l n ⨯且 A =ijji a ,max, B =ijji a ,max, C =stts c ,max. 则MBA +=max{m ,n }ijij ji b a +,max≦max{m ,n })(max ,ij ij ji b a +≦max{m ,n }(A +B )=max{m ,n }A +max{m ,n }B =MMBA+;MAC=max{m ,l }∑kkt ik t i c a ,max ≦max{m ,n }}{max ,∑kkt ik ti c a≦max{m ,n }}{max 22,∑∑⋅kkt kikti c a(Minkowski 不等式)=max{m ,n }n AC ≦max{m ,n }max{n ,l }AC =M M C A .下证与相应的向量范数的相容性.设 x =∈ξξξT21),,,(nC n , d =kmax {k ξ}, 则有∑∑=ikkikaAxξ1≦∑∑ikkik a ξ=∑∑ki ik k a )(ξ≦∑kk na ξ=n A ∑kk ξ≦max{m ,n }A ∑kk ξ=1MxA;2Ax=∑∑ikk ik a 2ξ≦∑∑ikk ik a 2)(ξ≦∑∑∑ikkk ika )(22ξ (H ölder 不等式)=∑∑∑⋅kkikika 22ξ≦mnA 2x≦max{m ,n }A2x=2MxA;}{max 1∑=∞=nk k ik iAxξa ≦∑=n k k ik ia 1}{max ξ≦}{max22∑∑⋅kk kikia ξ≦}max{22nd nai⋅=n AD ≦max{m ,n }AD =∞x A M .9. 只证范数的相容性公理及与向量2–范数的相容性. 设 A =(a ij)∈C n m ⨯, B =(b st )∈C l n ⨯, x =∈ξξξT21),,,(nC n 且 A =ij ji a ,max , B =st ts b ,max , 则 ∑=≤≤≤≤=nk ktiklt m i AB11,1Gmaxb aml≦}{max ,kt kik ti b a ml ∑≦}{max 22,∑∑⋅kkt kikti b a ml(Minkowski 不等式)≦mln ab =))((b nl a mn =GGBA.∑∑===mi nk k ikAx1212ξa≦∑∑ikk ik a 2)(ξ≦∑∑∑⋅ikkk ika )(22ξ（H ölder 不等式） ≦∑∑⋅ikkna )(22ξ=mnA2x=2G x A .10. 利用定理2.12得122H2===nI UU U.11.A 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0110211214321cond 1(A )=225255111=⋅=-AA; cond ∞(A )=10251=⋅=∞-∞AA.12．设x 是对应于λ的特征向量, 则A x x m m λ=.又设 v⋅是C n 上与矩阵范数⋅相容的向量范数,那么vmvmvmxA xx==λλ≦vmxA因vx＞0, 故由上式可得 mλ≦mA⇒λ≦mmA.习 题 三1. 2c λc λλ))(2(+-=-AI , 当c λρ=)(﹤1时, 根据定理3.3, A 为收敛矩阵.2. 令S )N (=∑=N)(k k A,)(lim N N S+∞→=S , 则0)(lim lim )()()(=-=+∞→+∞→k k k k k SSA .反例: 设A )(k =k⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001k , 则因 ∑+∞=01k k发散, 故 ∑+∞=0)(k k A发散, 但)(lim k k A+∞→=O .3. 设 A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛6.03.07.01.0, 则)(A ρ≦=∞A行和范数=0.9＜1, 根据定理3.7,∑∞+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛06.03.07.01.0k k=(I －A )1-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛937432.4. 我们用用两种方法求矩阵函数e A : 相似对角化法. 22a λλ+=-A I , a -a i ,i =λ 当=λi a 时, 解方程组 (i a －A )x =0, 得解向量 p 1=(i, 1)T .当 λ=－i a 时, 解方程组 (i a +A )x =0, 得解向量 p 2=(－i, 1)T .令 P =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11i i , 则P 1-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-i 1i 1i 21, 于是e A =P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a a i 00i P 1-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛a a a -acos sin sin cos . 利用待定系数法. 设e λ=(2λ+a 2)q (λ)+r (λ), 且 r (λ)=b 0+b 1λ, 则由⎩⎨⎧=-=+-a aa b b a b b i 10i 10ei e i⇒b 0=cos a , b 1=a1sin a .于是e A =b 0I +b 1A =cos a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛11+a1sin a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a a a a cos sin sin cos . 后一求法显然比前一种方法更简便, 以后我们多用待定系数法. 设f (λ)=cos λ, 或 sin λ则有⎩⎨⎧=-=+a -a b b aa b b sini i sini i 1010 与⎩⎨⎧=-=+aa b b aa b b i cos i i cos i 1010由此可得⎪⎩⎪⎨⎧-==a a b b sini i 010 与⎩⎨⎧==0i cos 10b ab故 (a2i sini a )A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0isini isini 0aa =sin A 与(cosi a )I =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a acosi 0cosi =cos A .5. 对A 求得P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--013013111, P 1-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-24633011061, P 1-AP =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-211根据p69方法二,e At =P diag(e t -,e t ,e t2)P 1-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++---------tt tt t tt ttt t tt t e3e 3e3e 30e 3e 3e 3e 30e e 3e 2e e 3e 4e 661222tsin A =P diag(sin(－1),sin1,sin2)P 1-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--01sin 601sin 6001sin 42sin 21sin 22sin 42sin 616. D 3(λ)=110011----λλλ=2)1(-λλ, D 2(λ)=D 1(λ)=1, A ~J =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010011. 现设r (λ,t )=b 0+b 1λ+b 2λ2, 则有⎪⎩⎪⎨⎧==+=++1e 2e 021210b t b b b b b ttb 0=1, b 1=2e t －t e t －2, b 2=t e t －e t +1. 于是e t A =r (A , t )=b 0I +b 1A +b 2A 2=I +(2e `t －t e t－2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100100011+(t e t －e t+1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100100111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--tt e 01e 101e e 1e e ttttt同理,由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=++1sin 2cos 021210b t t b b t b b b⇒b 0=1, b 1=t sin t +2cos t －2, b 2=1－t sin t －cos t . 将其代入cos A t =b 0I +b 1A +b 2A 2, 求出cos A t =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----t t t t t t t cos 001cos 10cos sin 11cos cos7. 设 f (A )=∑+∞=0k k A ka ,S N=∑=Nk k A 0k a .则 f (A )=NN S +∞→lim 并且由于 (S N)T=T)(∑=Nk kk Aa =∑=Nk k k A 0T )(a所以, f (A T )=T)(lim N N S +∞→=f (A )T . 8, (1) 对A 求得P =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1111, P 1-=P ,J =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1111111 则有e t A =P ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛t t tt tt tttt t t t ttt e eee 2e ee 6e2e 232e P 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛t ttt ttt t t e ee 2e 60ee e 200ee 000e 232t tt t t t tsin A t =P ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t t t tt t t t tt tt tt t t sin cos sin sin 2cos sin cos 6sin 2cos sin 232P 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t tt ttt t t t t t t t t t t sin cos sin 2cos 6sin cos sin 2sin cos sin 232cos A t =P ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----t t t tt t t t tt tttt t t cos sin cos cos 2sin cos sin 6cos 2sin cos 232P=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----t tt ttt t t t t t t t tt t cos sin cos 2sin 60cos sin cos 200cos sin 000cos 232 (2) 对A 求出P =P 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010100000100001,J =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010212则有eAt=P ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11ee e 222tt ttt P 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---100010000e000e e 222tt tttsin A t =P ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--002sin 2cos 2sin t tt t tP 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000000002sin 0002cos 2sin tt t t tcos A t =P ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1012cos 2sin 2cos t tt tP 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10000100002cos 0002sin 2cos t t t t 9. (1) sin 2A +cos `2A =[)e (e i 21i i A A --]2=[)(e 21i i A A e -+]2=)e e e (e 41)e e e (e 41i 2i 2i 2i 2O O A A O O A A ++++--+---=e O =I(2) sin(A +2πI )=sin A cos(2πI )+cos A sin(2πI ) =sin A [I －!21(2πI )2+!41(2πI )4－…]+cos A [2πI －!31(2πI )3+!51(2πI )5－…] = sin A [1－!21(2π)2+!41(2π)4－…]I +cos A [2π－!31(2π)3+!51(2π)5－…]I=sin A cos2π+cos A sin2π （3）的证明同上.(4) 因为 A （2πi I ）=(2πi I )A ,所以根据定理3.10可得 e I A i π2+=e A e I πi 2=e A [I +(2πI )+!21(2πi I )2+!31(2πi I )3+…]=e A {[1－!21(2π)2+!41(2π)4－…]+i[2π－!31(2π)3+!51(2π)5－…]}I=e A {cos2π+isin2π}I =e A此题还可用下列方法证明:eIA πi 2+=e ⋅AeIi π2=e ⋅A P ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛i π2iπ2πi 2e eeP 1-=e ⋅A PIP 1-=e A用同样的方法可证: e I A πi 2-=e A e I πi 2-.10. A T =－A , 根据第7题的结果得 (e A )T =e TA =e A -, 于是有e A (e A )T =e A e TA =e A A -=e O =I11. 因A 是Herm(i A )H =－i A H =－i A , 于是有e A i (e A i )H =e A i e A i -=e O =I12. 根据定理3.13, A 1-tt A e d d =e At , 利用定理3.14得⎰tA 0d eττ=⎰-tA A1d ed d τττ=A 1-τττd ed d 0A t⎰=A 1-(e -At I ).13.t d dA (t )=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---t t t tsin cos cos sin , t d d(det A (t ))=td d (1)=0, det(td d A (t ))=1, A 1-(t )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-t tt t cos sin sin cos , t d dA 1-(t )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t tt t sin cos cos sin14. ⎰tA 0d )(ττ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰⎰⎰⎰-0d 30d e2d e d d e d e 02002002ttt ttt τττττττττττττ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+---002301e e 1311e e )1(e 212232t t t ttttt15. 取 m =2, A (t )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛t t t 02, 则A2(t )=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2234t t t t , t d d(A (t ))2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+t t t t 2023423≠2A (t )t d dA (t )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+t t t t 2022423. 困为++==--21)]()[(d d )()]()[(d d )]()()([d d )]([d d m m A A A A A A A A A t t tt t t tt t t tt t m+)(d d )]([1t tt A A m -所以当(td d A (t ))A (t )=A (t )td d A (t )时, 有)(d d )]([)(d d )]([)(d d )]([)]([d d 111t tt t tt t tt t tA A A A A A A m m m m---++==m [A (t )])(d d 1t tA m -16. (1) 设 B =(ijb )n m ⨯, X =(ijξ)m n ⨯, 则 BX =(∑=nk kj ik 1ξb )m m ⨯,于是有tr(BX )=∑∑∑===++++nk kmmkn k kjjk n k k k 11111ξξξbb bijBX ξ∂∂)tr(=jib (i =1,2,…,n ;j =1,2,…,m )⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn nm BX X b bb b1111)(tr(d d=T B由于 BX 与TT T )(BX BX =的迹相同，所以TTT))(tr(d d ))(tr(d d BBX XB X X==(2) 设A =(ija )n n ⨯,f=tr(AX X T ), 则有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nm mn Xξξξξ1111T，AX =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑∑∑∑kkmnkkk nk km kk k k ξξξξaa a a1111 f =∑∑∑∑∑∑++++lkkmlklmlkkjlk lj lkk lk l ξξξξξξaa a 11)]()([][∑∑∑∑∑∂∂⋅+⋅∂∂=∂∂=∂∂kkj lk lkijlj kj lk ijlj lkkj lk lj ijijξξξξξξξξξξa a a f=∑∑+klj li kkj ik ξξa amn ij X ⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=ξf fd d =XA A X A AX)(TT +=+17. 设A =(ija )m n ⨯, 则 F (x )=(∑∑∑===nk kn k nk k nk k k 1211,,,a a a 1k ξξξ ),且A d F F F x Fnn n n n n n =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a a a a a a a21222211121121d d d d d d d ξξξ18. ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=='tt tt t t t tt t tt t t t ttt AtAt A 222222222e4e 3e 3e 6e3e 6e2e ee 4e e 2e 2e e e 2e e 4ee在上式中令t =0, 则有A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=133131113e OA19. A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---502613803, x (0)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111, A的最小多项式为 2)1()(+=λλϕ. 记f (λ)=t λe ,并设f (λ)=g(λ))(λϕ+)(10λb b +, 则⎩⎨⎧==---tte e 110t b b b ⇒tt--=+=e,)1(10t b et b于是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=++=---t t t tt t t t 41026138041e ee)1(etttAtA I , x (t )=Ate x (0)=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-t t t 6191121e t20. A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--101024012, f (t )=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1e 21t , x (0)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111, =)(λϕdet(λI －A)=23λλ-. 根据O A =)(ϕ,可得；252423,,A A A A A A ===,….于是23232)!31!21()(!31)(!21)(eAA I A A A I At++++=++++=t t t t t t=2)1(e A A I t t t --++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++--t tt e 1e e 210124021t t t t t tx (t )=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎰⎰-t t t t f e )1(11]02111[e ]d 021)0([]d )(e )0([e 00Att At tA At x e x ττττ习 题 四1. Doolite 分解的说明,以3阶矩阵为例: 11r 12r 13r 第1框 21l 22r 23r 第2框 31l 32l 33r 第3框 计算方法如下: (ⅰ) 先i 框，后i +1框,先r 后l .第1框中行元素为A 的第1行元素； （ⅱ）第2框中的jr 2为A 中的对应元素ja 2减去第１框中同行的21l 与同列的jr 1之积．第3框中的33r 为A 中的对应元素33a 先减去第1框中同行的31l 与同列的13r 之积，再减去第2框中同行的32l 与同列的23r 之积； （ⅲ）第2框中的32l 为A 中的对应元素32a 先减去第1框中同行的31l 与同列的12r 之积，再除以22r . 计算如下:1 3 02 -3 0 2 2 -6A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛60030031122012001 2.Crout 分解的说明,以3阶矩阵为例:11l 12u 13u 第1框 21l 22l 23u 第2框 31l 32l 33l 第3框(ⅰ) 先i 框,后i +1框.每框中先l 后r .第1框中的列元素为A 的第1列的对应元素;(ⅱ)第2框中的2i l 为A 中对应元素2i a 减去第1框中同行的1i l 与同列的12u 之积;(ⅲ)第2框中的23u 为A 中的对应元素23a 减去第1框中同行的21l 与同列的13u 之积,再除以22l .第3框中的33l 为A 中的对应元素33a 先减去第1框中同行的31l 与同列的13u 之积,再减去第2框中同行的32l 与同列的23u 之积. 计算如下:1 3 02 -3 02 -6 -6A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1000100316620320012. 先看下三角矩阵的一种写法:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231222111000a a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛332211223211311121000000101001a a aa a a a a a , ii a ≠0对本题中的矩阵A 求得Crout 分解为A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10021********240512005利用下三角矩阵的写法对上面的分解变形可得A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10021********0051000512540152001=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10021********0510005100051000512540152001=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10052510545251525405152005 3.对A 的第1列向量)1(β, 构造Householder 矩阵1H 使得 =)1(1βH 12)1(e β, 31C e ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010)1(β, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-01112)1()1(e ββ, u =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--01121212)1()1(12)1()1(e e ββββ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=1000010102T1uuI H ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2301401111A H , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=23141A对1A 的第1列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=34)2(β, 类似构造Householder 矩阵2H :⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=3110122)2)2(12)2()2ββββe u , 21C e ∈,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=4334512T22uu I H ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102512A H 令12001H H H ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=, 则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100250111HA =R 并且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==---10025*******300015354000101T2T 112111R H H R H H R H A =QR4. 对A 的第1列向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=202)1(β, 构造Givens 矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210210102102113T ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0022)1(13βT , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1132221210220232322A O A T对1A 的第1列向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=212)2(β, 构造⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3223131322~12T , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=023~)2(12βT ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=34023723~112A T 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12T12~1T O O T , 则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==3402372302323221312R A T T . 于是QR R T T A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==34023723023232232231213123403223121H13H 125. 设A =),,(i i0i 0i0i 1321ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----, 对向量组321,,ααα施行正交化, 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==0i 111αβ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=i 212i 0i 12i i 0i ],[],[1111222ββββααβ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=323i 232i 212i 3i 0i 1211i 0],[],[],[],[222231111333ββββαββββααβ于是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=+-==3213212113i 212i βββαββαβα写成矩阵行式K ),,(1003i 10212i 1),,(),,(321321321ββββββααα=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32632316i 203i 612i 316i 21),,(321βββ 最后得A =K ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----32632316i 203i 612i 316i 21=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----3206i 630212i 2316i 203i 612i 316i 21=QR 6. 令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==1000515205251121T T 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110005205501140220110005152052511A T再令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==305061010610305132T T ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3010305000061061612A T T最后令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0101000013T , RA T T T =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=30103050610616123A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=03010305061061603056151302625230161H 3H 2H 3R T T T =QR7.=)1(β(0, 1)T,12)1(=β, u =2121)1(1)1(=--e e ββ(－1, 1)T ,H 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-01102T2uu I , H =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001H 则有HAH T=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01100001111210121010100001=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--120111211, H 是Householder 矩阵.同理, 对)1(β, 取 c =0, s =1, T 12=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0110, T =⎪⎪⎭⎫⎝⎛12001T , 则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=='-011000011112101210101000011TATT TA=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---120111211, T 是Givens 矩阵.8. 对⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1612)1(β, 计算u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--2151202021)1(1)1(e e ββ, H =I －2uuT=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-344351 令Q =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛H 001, 则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0750756********TQAQ同理，对1(β,为构造Givens 矩阵，令c =53, s =54, ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5354545312T ，则 当⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12001T T时，='T TA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--07575600200200. 1. (1) 对A 施行初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10424201011200010321～⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---142002102121100111201 S=,1420210011⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2121101201422021(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------10001111010011110010111100011111～⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----110011000002102111100210210001S=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---110011021021021021,A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----1110000111111111 （3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000126420100632100101264200016321～⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1010010100000011000000016321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1010010100110001S ,()63212121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A10. (1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000005TA A 的特征值是5，0，0. 分别对应特征向量321,,e e e ,从而V=I,),(11p V = ∑=(5),11AV U =∑1-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2151. 令,12512⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=U ()21U U U =,则I U A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000005(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2112T A A 的特征值是，，1321==λλ对应的特征向量分别为TT11,11⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.于是∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1003， ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21212121V =1V ,11AV U =∑1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-06221612161取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3131312U , 构造正交矩阵()21U U U ==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---31062312161312161‘所以，A 的奇异值分解为T001003V U A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11. 根据第一章定理1.5, A A H 的特征值之和为其迹，而由第二章2.7 F－范数的定义AA A A AHH2F)tr(==的特征值之和=∑=ri i 12σ习 题 五1．设x =T21),,,(nηηη 为对应于特征值λ的单位特征向量，即(QD )x =λx两边取转置共轭：HHHHx Q D x λ=与上式左乘得2H H λ=Dx D x即22222221212nn ηηηd d d λ+++= ,由此立即有2min iid ≤2λ≤2maxiid从而i dim i n ≤λ≤idimax.后一不等式的另一证明：根据定理2.13，λ≤)(QD ρ≤2QD i dimax 最大特征值的H 22.11定理==D D D2. A 的四个盖尔园是1G : 9-z ≤6,2G : 8-z ≤2, 3G : 4-z ≤1,4G :1-z ≤1.由于4G 是一个单独的连通区域，故其中必有一个实特征值.321G G G ⋃⋃是连通区域，其中恰有三个特征值，因而含有一个实特征值 .3. A 的四个盖尔园:1G 1-z ≤2713,:2G 2-z ≤2713, :3G 3-z ≤2713,:4G 4-z ≤2713是互相隔离的，并且都在右半平面，从而每个盖尔园中恰有一个特征值且为正实数.。
