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矩阵论1、意义随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其应用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容《矩阵论》与工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异：线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容．矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二与第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数与条件数、广义逆与分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵与特殊运算等,内容十分丰富．3、方法在研究的方法上，矩阵论与线性代数也有很大的不同：线性代数：引入概念直观，着重计算．矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将来正确处理实际问题有很大的作用．第1讲线性空间内容： 1.线性空间的概念；2.基变换与坐标变换；3.子空间与维数定理；4.线性空间的同构线性空间与线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象．§1 线性空间的概念1. 群，环，域代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数．代数运算：假定对于集A中的任意元素a与集B中的任意元素b，按某一法则与集C中唯一确定的元素c对应，则称这个对应为A、B的一个（二元）代数运算．代数系统：指一个集A满足某些代数运算的系统．1.1群定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν与他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群．1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα；2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；3）在V 中有一个元e ，若,V ∈β有 βββ=+=+e e ；e 称为单位元；4）对于,V ∈β有 e =+=+αββα．称α为β的逆元．注：对V 任意元素βα,，都有αββα+=+，则称V 为交换群或阿贝尔群．1.2 环定义1.2 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了两种代数运算，分别叫做加法、乘法，记为“+”与“*”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素α,β，在V 中都有惟一的一个元ν与他们对应，称ν为α,β的和与积，记为βαν+=（βαν*=）．满足下列三个条件，则称V 为一个环． 1）V 在“+”下是阿贝尔群；2) V 在“*”下是可结合的．即，)()(νβανβα**=**；3）乘法对加法满足左、右分配律，即对于V 中任意元素α，β，ν，有 βνανβαν**)(*+=+，νβνανβα*+*=*+)(．注：对V 任意元素βα,，都有αββα*=*，则称V 为交换环．1.3 域定义 1.3 设V 满足环的条件，且在对“加法”群中去除单位元的集合对于“乘法”满足交换群的条件，则称V 为域．例：有理数集对于通常的数的加法和乘法运算构成域，称之为有理数域．最常见的数域有有理数域Q 、实数域R 、复数域C ．实数域和复数域是工程上较常用的两个数域．此外，还有其它很多数域.如{}.,2)2(Q b a b a Q ∈+=，不难验证，)2(Q 对实数四则运算封闭的，所以)2(Q 也是一个数域.而整数集合Z 就不是数域. 数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分．特别，每个数域都包含整数0和1．2. 线性空间定义 1.4 设V 是一个非空集合，P 是一个数域．在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”：即，给出了一个法则对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν与他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种代数运算，称为数量乘法（数乘），记为“•”：即，对于数域P 中任一数k 和V 中任一元α，在V 中都有惟一的一个元δ与它们对应，称δ为k 与α的数乘，记为αδ•=k ．如果加法与数乘这两种运算在V 中是封闭的，且满足如下八条规则：⑴ 交换律αββα+=+；⑵ 结合律)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；⑶ V V ∈∃∈∀0,α，有αα=+0，（0称为零元素）；⑷ V V ∈∃∈∀βα,，有 0=+βα，（β称为的α负元素，记为α-）； ⑸ P V ∈∈∀1,α，有 αα=•1；⑹ αα•=••)()(kl l k ，P l k ∈,；⑺ ααα•+•=•+l k l k )(；⑻ βαβα•+•=+•k k k )(，则称集合V 为数域P 上的线性空间.当数域P 为实数域时，V 就称为实线性空间；P 为复数域，V 就称为复线性空间．例 1.按通常向量的加法与数乘运算，由全体实n 维向量组成的集合，在实数域R 上构成一个实线性空间，记为n R ；由全体复n 维向量组成的集合，在复数域C 上构成—个复线性空间，记为n C ．例 2.按照矩阵的加法及数与矩阵的乘法，由数域P 上的元素构成的全体n m ⨯矩阵所成的集合，在数域P 上构成一个线性空间，记为n m P ⨯．而其中秩为)0(>r r 的全体矩阵所成的集合rR 则不构成线性空间，为什么？（事实上，零矩阵r R O ∉）．例3.按通常意义的函数加法和数乘函数，闭区间[]b a ,上的连续函数的全体所成的集合，构成线性空间[]b a C ,．例4. 设+R ＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为xy y x =+, k x x k = 。
第十讲 UR(QR)分解与Schur 分解一、 UR 分解和QR 分解（UR 的推广）1. 定义：如果实（复）矩阵A 可化为正交（酉）矩阵U 与实（复）上三角矩阵R(主对角线元为正)的乘积，即，则称上式为A 的UR 分解。
=A UR 2. 可逆方阵的UR 分解①存在性：P74 定理3.7：设A 是n 阶的非奇异矩阵，则存在正交（酉）矩阵U 与实（复）上三角矩阵R 使得，其中=A UR ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=>⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11121n 22ii nn r r r r R ,r 0;i 1,2,...,n.r = [证明]：设A 记为[]ααα=12n A ，A 非奇异线性无关 ααα→12n ,,, 采用Gram-schmidt 正交化方法将它们正交化，可得 βββ12n ,,,[][][]βαεαεβααααεεεβεεεε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=121n 2n 12n 12n n 12n ||||(,)(,)||||(,)||||R12 Q 是正交（酉）矩阵，R 是实（复）上三角矩阵。
② 求可逆矩阵的UR 分解(Schmidt 正交化方法)例，设 ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100A 110111将UR 分解推广到对列满秩矩阵进行：3，列满秩矩阵的QR 分解P76,定理3.8. 设A 是的实（复）矩阵，且其k 个列线性无关（即列满秩），则A 具有分解。
其中Q 是阶实（复）矩阵，且满足，R 是k 阶实（复）非奇异上三角矩阵。
×m k A QR =×m k T H Q Q I(Q Q I)==n H二，Schur 定理（Schur 分解）1，内容：设，则存在酉矩阵U 和上三角矩阵T 使得×∈n n A C λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1121n 22H n t t t U AU T [证明]： −==⇒=1A HA PJ P ,P UR A UTU2，酉相似定义：A 酉相似于B ⇔=H U,st,U AU B 存在酉三，正规矩阵1， 定义：满足，称为正规矩阵。
矩阵论为何要学矩阵论？自然界和社会发展的本质——“变”（change ）。
种子幼苗 树林 房梁、桌椅…… 婴儿小学生中学生硕士、博士……数学描述：f ：x y=f(x)：RxRy function推于T ： )(αβαT =→： βαB B T −→− transformationB α，B β具有线性结构：ααααααB B 2121∈⇒∈，，， 变换具有线性性质：)()()(2121ααααT T T +=+，)()(ααkT k T =那么α可表为向量α=（x1，… xn ）T ，T 可表为矩阵n m ij a A ⨯=)( ，αβA y T =⋯=)y (m 1因此要研究矩阵的性质。
（等于研究线性变换的性质） 如解线性方程组：Ax=b b A x 1-=⇒，1-A 存在？唯一？ 正如二次型Ax x x x a x x f T ji j i ij n ==⋯∑，，),(1若有P 使∧=⋯=)(n 1λλ，，diag AP P T 则2n 211y )()(x n T T y Px Px Ax λλ+⋯+=∧= ~标准化其中T n y y Px y )(1，，⋯== 引出相似对角化问题。
2.方阵的相似化简2.1 Jordan 标准型2．1.1 矩阵的相似及对角化A 与B 有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。
A 课相似对角化~)(~1n diag A λλ，，⋯ 定理1.5.6 A 可相似对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量。
事实上i i i x Ax λ= n i ，，⋯=1 取)x (1n x P ⋯= （可选）有P -1AP =)(1n diag λλ，，⋯ 为求特征值∑==-⋯⋯-⋯⋯-=-n n I A i ns nin m ，（）（0))(||1s 1i 11λλλλλλλi λ的代数重数~i n为求特征向量解0)(=-x I A i λ有)(I A R n i λ--个线性无关的解i λ的几何重数~)(I A R n k i i λ--=定理2.1.1 对任何方阵A 的特征值i λ有i i n k ≤证明：t i t A αλα= t=1，…，i k 。
