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习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。
解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。
证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=而()()1212r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈由此，得21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。
习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。
解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩L L L ⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。
证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r αααL 为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββL 为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=L L而()()1212r r C αααβββ=L L ，C 为过渡矩阵，且可逆 于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈L L L L L L由此，得 21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。
第十讲 UR(QR)分解与Schur 分解一、 UR 分解和QR 分解（UR 的推广）1. 定义：如果实（复）矩阵A 可化为正交（酉）矩阵U 与实（复）上三角矩阵R(主对角线元为正)的乘积，即，则称上式为A 的UR 分解。
=A UR 2. 可逆方阵的UR 分解①存在性：P74 定理3.7：设A 是n 阶的非奇异矩阵，则存在正交（酉）矩阵U 与实（复）上三角矩阵R 使得，其中=A UR ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=>⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦11121n 22ii nn r r r r R ,r 0;i 1,2,...,n.r = [证明]：设A 记为[]ααα=12n A ，A 非奇异线性无关 ααα→12n ,,, 采用Gram-schmidt 正交化方法将它们正交化，可得 βββ12n ,,,[][][]βαεαεβααααεεεβεεεε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=121n 2n 12n 12n n 12n ||||(,)(,)||||(,)||||R12 Q 是正交（酉）矩阵，R 是实（复）上三角矩阵。
② 求可逆矩阵的UR 分解(Schmidt 正交化方法)例，设 ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100A 110111将UR 分解推广到对列满秩矩阵进行：3，列满秩矩阵的QR 分解P76,定理3.8. 设A 是的实（复）矩阵，且其k 个列线性无关（即列满秩），则A 具有分解。
其中Q 是阶实（复）矩阵，且满足，R 是k 阶实（复）非奇异上三角矩阵。
×m k A QR =×m k T H Q Q I(Q Q I)==n H二，Schur 定理（Schur 分解）1，内容：设，则存在酉矩阵U 和上三角矩阵T 使得×∈n n A C λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1121n 22H n t t t U AU T [证明]： −==⇒=1A HA PJ P ,P UR A UTU2，酉相似定义：A 酉相似于B ⇔=H U,st,U AU B 存在酉三，正规矩阵1， 定义：满足，称为正规矩阵。
（2）由得
所以
，求 e ， e ，sinA。
解：由的特征值
由此得
对，对 f ，
对 f ，
2cos
已知 A2=A，求 sinA。
解：设为 A 的特征值，为特征向量由得
因 A2=A，故有于是为矩阵 A 的化零多项式（最小多项式），且为一次银子乘积，所以 A 可对角化即有
这里
10.求解微分方程组
解：
习题五
设，求解：
取矩阵 A 的第1、3 列构成列满秩矩阵 B，取矩阵 F 第 1、2 行构成行满秩矩阵
证明非齐次线性方程组有解的充分必要条件是。
证明：必要性设有解，由得，，即有
充分性设，则有，令 x，于是，故方程组
有解
设，且 A 的 n 个列是标准正交的，证明。
证明：因为矩阵 A 的 n 个列向量是标准正交的，则矩阵 A 为列满秩的矩阵，且有于是是幂等且为 Hermite 矩阵，证明。
证明：因为，且，矩阵 A 是正规阵，可酉相似对角阵，即于是，U 为酉矩阵，并设
求线性方程组的最佳的最小二乘解。
解：
最佳最小二乘解为。
华中科技大学博士研究生入学考试《软件工程理论基础综合》考试大纲（科目代码：3543）第一部分考试说明一、考试性质博士生入学考试是为华中科技大学招收博士研究生而设置的。
其中，“软件工程理论基础综合”考试科目主要是针对报考软件工程学科软件服务与应用、数字媒体技术方向的考生而设置的。
该课程的评价标准是高等学校优秀硕士毕业生能达到及格或及格以上水平，以保证被录取者具有基本的专业理论素质并有利于招收单位和导师择优选拔。
考试对象为参加博士生入学考试的硕士毕业生，以及具有同等学力的在职人员。
二、评价目标1．掌握软件工程领域的基本原理、技术和方法；2．“X”部分的评价目标见各选项具体要求。
三、考试形式和试卷结构1．考试形式：闭卷、笔试；2．答题时间：180分钟；3．试卷题型：基础部分为选择题、问答题、计算题；“X”部分见各选项说明；4．各部分内容的考试比例：软件工程理论基础综合 = 软件工程理论基础（40%）+X（60%）其中：“X”有二项选择（1.现代计算机网络； 2.计算机图形学），考生报名时只需选考其一。
第二部分考察要点一、软件工程理论基础部分1．软件需求需求获取；需求分类；需求验证；需求管理。
2．软件设计体系结构；面向对象技术；实时软件的设计；用户界面设计。
3．软件开发设计模式；软件复用；组件模型；内聚和耦合。
4．软件检验和验证软件测试；测试自动化；软件检验；软件检验验证。
5．软件工程管理软件过程及改进，软件生存期模型；软件度量；软件质量6．软件工程新兴技术二、“X”部分——现代计算机网络●评价目标：掌握计算机网络的基本概念、基本原理与技术；应用计算机网络理论知识分析问题与解决问题能力。
●试卷题型：填空题、选择题、简答题、计算与分析题。
●参考书目：《计算机网络》第五版，谢希仁，电子工业出版社；《网络协议工程》，吴礼发，电子工业出版社，2011.4。
针对专业特点，本课程主要考察考生对计算机网络了解、掌握的广度和深度。
习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。
解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。
解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩L L L ⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。
证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r αααL 为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββL 为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=L L而()()1212r r C αααβββ=L L ，C 为过渡矩阵，且可逆于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈L L L L L L由此，得21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。
