(完整word版)将军饮马问题的11个模型及例题

“将军饮马”常见模型及18道典型习题何为将军饮马？2000多年以前。

古希腊的亚历山大城里住着一位睿智的数学家海伦。

一天，城里来了一位将军，听闻海伦盛名，特来向他请教一个问题。

将军说，每天早上，他都骑着马儿从营帐出发，到河边让马儿饮水，然后，再去河岸同一侧的一块草地上带着马儿去吃草，问题时，在河岸的哪个具体位置喝水，行程最短？海伦略做沉思，给出了将军最佳方案。

此之谓“将军饮马”。

最佳方案为何？且阅下文：一、将军饮马常见的5种模型：1、一动两定（和最小）：如图，点A是将军和马居住的营帐，点B是一块指定的草地，一条小河L潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，P点在何处时，将军和马儿走过的路PA+PB的值最小？解析：做A点关于L的对称点A’，连接A’B，与L的交点即为P点。

为什么这时PA+PB最小？假设L上有一点M（与P点不重合）。

∵A点与A’关于L对称∴AP=A’P；AM=A’M；∴AP + BP =A’P +BP =A’B而AM + BM = A’M +MB在△A’MB中，两边之和大于第三边∴A’B < A’M +MB；而M为L上任一点（与P点不重合）。

∴动点P在A’B与L交点处时AP+BP最小。

2、一定两动：如图，点A是将军和马居住的营帐，小河L1依然像上题中一样潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，不同的是，这次吃草的地方不在是一个指定的点，而是L2所代表的一片草地，Q则是将军骑马吃草的地方，水足草饱以后，将军和马儿会再回到营帐。

那么，P点、Q点在何处时，将军走过的路AP+PQ+QA的值最小？解析：做A点关于L1的对称点A’；做A点关于L2的对称点A‘’；连接A’A‘’，与L1和L2的交点即为P、Q。

为什么此时，AP+PQ+AQ的和最小？假设L1上有点M（不与P重合）、L2上有点N（不与Q重合）。

∵A点与A’关于L1对称；A点与A‘’关于L2对称。

∴AP=A’P；AQ=A”Q；AM=A’M；AN=A”N；∴AP+PQ+AQ = A’P+PQ+A”Q =A’A”；AM+MN+AN = A’M+MN+A”N在四边形A’MNA”中：A’M+MN+A”N >A’A”∴P、Q位于A’A”与L1和L2的交点处时，AP+PQ+AQ的和最小。

最值模型之将军饮马(11个常考模型)1如图，正方形ABCD的边长为1，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是　22　．试题分析：过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D'，再过D'作D'P'⊥AD，由角平分线的性质可得出D'是D关于AE的对称点，进而可知D'P'即为DQ+PQ的最小值．答案详解：解：作D关于AE的对称点D'，再过D'作D'P'⊥AD于P'，∵DD'⊥AE，∴∠AFD=∠AFD'，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D'AF(ASA)，∴D'是D关于AE的对称点，AD'=AD=1，∴D'P'即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD'=45°，∴AP'=P'D'，在Rt△Rt△AP'D'中，P'D'2+AP'2=AD'2，∵AP'=P'D'，2P'D'2=AD'2=1，∴P'D'=22，即DQ+PQ的最小值为2 2．所以答案是：2 2．2如图，在平面直角坐标系中，点A(0，a)在y轴正半轴上，点B(b，0)在x轴正半轴上，AB⊥AD且AB=AD，|a-4|+(b-3)2=0．(1)求线段AB的长；(2)若点P为y轴上的一个动点，则当PB+PD最小时，点P的坐标为(0，3)．试题分析：(1)根据题意求出a=4，b=3，可求OA、OB的长，再由勾股定理求AB即可；(2)过D 点作DE ⊥y 轴交于E ，证明△ADE ≌△BAO (AAS )，可求D 点坐标；作B 点关于y 轴的对称点F ，连接DF 交于y 轴于点P ，连接BP ，当P 、D 、F 三点共线时，PB +PD 有最小值，用待定系数法求值直线FD 的解析式，再求P 点坐标即可．答案详解：解：(1)∵|a -4|+(b -3)2=0，∴a =4，b =3，∴A (0，4)，B (3，0)，∴OA =4，OB =3，∴AB =5；(2)过D 点作DE ⊥y 轴交于E ，∵AD ⊥AB ，∴∠BAD =90°，∴∠EAD +∠OAB =90°，∵∠EDA +∠EAD =90°∴∠OAB =∠EDA ，∵AD =AB ，∴△ADE ≌△BAO (AAS )，∴EC =OA =4，AE =BO =3，∴D (4，7)，作B 点关于y 轴的对称点F ，连接DF 交于y 轴于点P ，连接BP ，由对称性可知，BP =PF ，∴PB +PD =PF +PD ≥FD ，当P 、D 、F 三点共线时，PB +PD 有最小值，∵B (3，0)，∴F (-3，0)，设直线DF 的解析式为y =kx +b ，∴-3k +b =04k +b =7，解得k =1b =3 ，∴y =x +3，∴P (0，3)，所以答案是：(0，3)．3如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点E 是直线BC 上一动点．若AB =4，则AE +OE 的最小值是()A.42B.25+2C.213D.210试题分析：本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A 关于直线BC 的对称点A '，再连接A 'O ，运用两点之间线段最短得到A 'O 为所求最小值，再运用勾股定理求线段A 'O 的长度即可．答案详解：解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'O，其与BC的交点即为点E，再作OF⊥AB交AB于点F，∵A与A'关于BC对称，∴AE=A'E，AE+OE=A'E+OE，当且仅当A'，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时AE+OE=A'E+OE=A'O，∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，∴OF=FB=1AB=2，2∵A与A'关于BC对称，∴AB=BA'=4，∴FA'=FB+BA'=2+4=6，在Rt△OFA'中，OA'=FO2+FA'2=210，所以选：D．4如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则当DF+CF之和取最小值时，△DCF的周长为()A.35+3B.43+3C.52+3D.213+3试题分析：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，先证明△AED≌△GFE，即可得到点F在∠CBG的角平分线上运动，作点C关于BF的对称点C′，当点D，F，C三点共线时，DF+CF= DC'最小，根据勾股定理求出DC'=DF+CF的最小值为35，即可求出此时△DCF的周长为35 +3．答案详解：解：连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，∴EF⊥DE，EF=DE，∴∠DEA+∠FEG=∠DEA+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠FEG，又∵∠DAE=∠FGE=90°，∴△AED≌△GFE(AAS)，∴FG=AE，AD=EG，∴AD=EG=AB，即BG=AE=FG，∴∠CBF=∠GBF=45°，即点F在∠CBG的角平分线上运动，作点C关于BF的对称点C′，∴C'点在AB的延长线上，当点D，F，C三点共线时，DF+CF=DC'最小．在Rt△ADC'中，AD=3，AC'=6，∴DC'=35，∴DF+CF的最小值为35，∴此时△DCF的周长为35+3．所以选：A．5如图，点P是矩形ABCD的对角线BD上的点，点M，N分别是AB，AD的中点，连接PM，PN．若AB=2，BD=4，则PM+PN的最小值为()A.7B.2C.2+2D.1+3试题分析：作M点关于BD的对称点M'，过M'作M'E⊥AB交延长于点E，过M'作M'F⊥AD交于F，当M'、N、P三点共线时，MP+NP的值最小，求出NM'即为所求答案详解：解：作M点关于BD的对称点M'，过M'作M'E⊥AB交延长于点E，过M'作M'F⊥AD交于F，∴MP=M'P，∴MP+PN=M'P+NP≥M'N，当M'、N、P三点共线时，MP+NP的值最小，∵AB=2，BD=4，∴AD=23，∵AB=12BD，∴∠ADB=30°，∠ABD=60°，∵MM'⊥BD，∴∠BMM'=30°，∵M是AB的中点，∴BM=1，∴MM'=3，EM'=32，ME=3 2，∴AE=52，∴FM'=52，∵N是AD的中点，∴AN=3，∴FN=32，∴M'N=322+52 2=7，∴PM+PN的最小值为7，所以选：A．6如图，直线y=x+8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P 为OA上一动点，当PC+PD值最小时，点P的坐标为()A.(-4，0)B.(-3，0)C.(-2，0)D.(-1，0)试题分析：根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．答案详解：解：作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，最小值为CD′，如图．令y=x+8中x=0，则y=8，∴点B的坐标为(0，8)；令y=x+8中y=0，则x+8=0，解得：x=-8，∴点A 的坐标为(-8，0)．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴点C (-4，4)，点D (0，4)．∵点D ′和点D 关于x 轴对称，∴点D ′的坐标为(0，-4)．设直线CD ′的解析式为y =kx +b ，∵直线CD ′过点C (-4，4)，D ′(0，-4)，∴-4k +b =4b =-4 ，解得：k =-2b =-4 ，∴直线CD ′的解析式为y =-2x -4．令y =0，则0=-2x -4，解得：x =-2，∴点P 的坐标为(-2，0)．所以选：C ．7如图①，在正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，设PC =x ，PE +PB =y ，图②是y 关于x 的函数图象，则图象上最低点Q 的坐标可能为()A.(2，5)B.(22，35)C.(4，3)D.(42，35)试题分析：连接PD ．由B 、D 关于AC 对称，推出PB =PD ，推出PB +PE =PD +PE ，推出当D 、P 、E 共线时，PE +PB 的值最小，设正方形ABCD 的边长为2a ，则AE =BE =a ，AD =AB =2a ，分别求出PB +PE 的最小值，PC 的长即可解决问题．答案详解：解：如图，连接PD ，设正方形ABCD 的边长为2a ，则AE =BE =a ．∴AE =EB =a ，AD =AB =2a ，∵B 、D 关于AC 对称，∴PB =PD ，∴PB +PE =PD +PE ，∴当D 、P 、E 共线时，PE +PB 的值最小，如下图：在Rt △AED 中，DE =5a ，∴PB +PE 的最小值为5a ，∴点Q 的纵坐标为5a ，∵AE ∥CD ，∴PC PA =CD AE=2，∵AC =22a ，∴PC=22a×23=423a，∴点Q的横坐标为423a，∴Q423a，5a．结合选项可知，当a=3时，点Q的坐标为(42，35)．所以选：D．8如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ=2，则四边形APQB周长的最小值为12．试题分析：由于四边形APQB的周长可表示为AP+BQ+7，则要使其最小，只要AP+BQ最小即可．在AB边上截取AM=PQ，因为点F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点为点C，连接CM，交EF于点Q，则CM即为AP+BQ的最小值．在Rt△BCM中，利用勾股定理可求出MC的值，进而可得出答案．答案详解：解：∵AB=5，PQ=2，∴四边形APQB的周长为AP+PQ+BQ+AB=AP+BQ+7，则要使四边形APQB的周长最小，只要AP+BQ最小即可．在AB边上截取AM=PQ，∵点F是BC的中点，∴点B关于EF的对称点为点C，连接CM，交EF于点Q，则CM即为AP+BQ的最小值．在Rt△BCM中，MB=AB-AM=5-2=3，BC=4，∴CM=32+42=5，∴四边形APQB的周长最小值为5+7=12．所以答案是：12．9如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P为矩形内一点，满足∠ABP=∠BCP．(1)若点E为AD的中点，B，P，E在同一条直线上，则BP的长为　161313　；(2)若E为AD上一动点，则BE+PE的最小值为410-4　．试题分析：(1)根据题意可得△ABE ∽△PCB ，所以AE BP =BE BC，再利用勾股定理可求得BE ，解方程即可求得BP ．(2)作点B 关于AD 的对称点B '，连接B 'E ，可知当B '，E ，P 三点在同一条直线上时，BE +PE 取得最小值，即为B 'P 的长．设BC 的中点为O ，连接B 'O ，交以BC 为直径的圆于点P ，此时即为B 'P 的最小值，再利用勾股定理可求得B 'O 的长，进而可得出答案．答案详解：解：(1)∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABP +∠PBC =90°，∵∠ABP =∠BCP ，∴∠BCP +∠PBC =90°，∴∠BPC =90°，∴点P 是在以BC 为直径为圆上．∵点B ，P ，E 在同一条直线上，∴△ABE ∽△PCB ，∴AE BP =BE BC，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，点E 为AD 的中点，∴AE =4，BE =AB 2+AE 2=62+42=213．∴4BP=2138，∴BP =161313．(2)作点B 关于AD 的对称点B '，连接B 'E ，则BE +PE =B 'E +PE ．∴当B '，E ，P 三点在同一条直线上时，BE +PE 取得最小值，即为B 'P 的长．设BC 的中点为O ，连接B 'O ，交以BC 为直径的圆于点P ，此时即为B 'P 的最小值．∴B 'P =B '0-OP ．在Rt △OBB '中，B 'O =BB '2+BO 2=122+42=410．∴B 'P =410-4．∴BE +PE 的最小值为410-4．10如图，正方形中，AB =2，连接AC ，∠ACD 的平分线交AD 于点E ，在AB 上截取AF =DE ，连接DF ，分别交CE ，AC 于点G ，H ，点P 是线段GC 上的动点，PQ ⊥AC 于点Q ，连接PH ．下列结论：①CE ⊥DF ；②DE +DC =AC ；③EA =2AH ；④PH +PQ 的最小值是22．其中所有正确结论的序号是①②③．试题分析：①先证△DEC≌△AFD，可得∠ADF=∠DCE，由∠ADF+∠CDG=90°，可得∠DCG+∠CDG=90°，即∠CGD=90°，则①正确；②由①可知∠CGD=90°，易证△CDG≌△△CHG，可得CD=CH，∠CDG=∠CHG，由AB∥CD，可得∠CDG=∠AFH，而∠AHF=∠CHG，则∠AFH=∠AHF，即AH=AF，从而可得②正确；③由于AD=CD=AH=2，根据勾股定理可得AC的长，进而可得AH的长，而AH=DE，所以EA 可求，即可得出③正确；④由①②可得DG=GH，CG⊥DH，即H关于CE的对称点是点D，过点D作GQ⊥AC，交CE于点P，此时PH+PQ取得最小值，最小值即为DQ的长，在等腰直角三角形ADQ中，可求得DQ的长，从而可得④不正确．答案详解：解：①∵在正方形ABCD中，DE=AF，∠CDE=∠DAF=90°，CD=AD，∴△DEC≌△AFD，∴∠ADF=∠DCE，∵∠ADF+∠CDG=90°，∴∠DCG+∠CDG=90°，即∠CGD=90°，∴CE⊥DF，∴①正确．②由①可知∠CGD=∠CGH=90°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACG=∠DCG，∵CG=CG，∴△CDG≌△△CHG，∴CD=CH，∠CDG=∠CHG，∵AB∥CD，∴∠CDG=∠AFH，∵∠AHF=∠CHG，∴∠AFH=∠AHF，即△AFH为等腰三角形，∴AH=AF，∴DE+DC=AF+CH=AH+CH=AC．∴②正确．③由②可知，AH=AF=DE，CD=CH，∵AB=2，∴AC=22，∴AH=22-2，∴EA=2-(22-2)=4-22，∴EA AH =2，∴③正确．④由①②可得DG =GH ，CG ⊥DH ，∴点H 关于CE 的对称点是点D ，过点D 作GQ ⊥AC ，交CE 于点P ，此时PH +PQ 取得最小值，最小值即为DQ 的长，在等腰直角三角形ADQ 中，AD =2，∴DQ =2，∴PH +PQ 的最小值为2，∴④不正确．所以答案是：①②③．11如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 上两个动点(点Q 在点P 的右边)．①若连结AP 、PE ，则PE +AP 的最小值为10；②连结QE ，若PQ =3，当CQ =　53　时，四边形APQE 的周长最小．试题分析：(1)延长AB 到M ，使BM =AB =4，则A 和M 关于BC 对称，连接EM ，交BC 于点P ，此时AP +PE 的值最小，过点M 作MN ⊥DC ，交DC 的延长线于点N ，在Rt △EMN 中，根据勾股定理求出EM 的长即可解答；(2)点A 向右平移3个单位到点G ，点E 关于BC 的对称点为点F ，连接GF ，交BC 于点Q ，此时GQ +QE 的值最小，根据题意可知AE ，PQ 的值是定值，要使四边形APQE 的周长最小，只要GQ +EQ 的值最小即可，然后根据A 字模型相似三角形证明△FCQ ∽△FDG ，利用相似三角形的性质，即可解答．答案详解：解：(1)延长AB 到M ，使BM =AB =4，则A 和M 关于BC 对称，∴AP =PM ，连接EM ，交BC 于点P ，此时AP +PE 的值最小，∴AP +PE =PM +EP =EM ，过点M 作MN ⊥DC ，交DC 的延长线于点N ，如图：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =4，∠ABC =∠BCD =90°，∴∠MBC =∠BCN =90°，∵∠MND =90°，∴四边形BMNC 是矩形，∴BM =CN =4，BC =MN =8，∵E 为CD 的中点，∴EC =12CD =2，∴EN =EC +CN =6，∴ME =MN 2+EN 2=82+62=10，∴PE +AP 的最小值为10，所以答案是：10；(2)点A 向右平移3个单位到点G ，点E 关于BC 的对称点为点F ，连接GF ，交BC 于点Q ，∴EQ =FQ ，∴GQ +EQ =GQ +FQ =FG ，此时GQ +QE 的值最小，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ∥AD ，∵AG =PQ =3，∴四边形APQG 是平行四边形，∴AP =GQ ，∴GQ +EQ =AP +EQ =FG ，∵AE ，PQ 的值是定值，∴要使四边形APQE 的周长最小，只要AP +EQ 的值最小即可，设CQ =x ，∵BC ∥AD ，∴∠BCF =∠D ，∠CQF =∠DGF ，∴△FCQ ∽△FDG ，∴CQ DG =CF DF ，∴x 5=26，∴x =53，∴当CQ =53时，四边形APQE 的周长最小，所以答案是：53．12如图，扇形AOB 中，OA =3，∠AOB =60°，点C 是AB 上的一个定点(不与A ，B 重合)，点D ，E 分别是OA ，OB 上的动点，则△CDE 周长的最小值为33　．试题分析：如图，连接OC ，作点C 关于OA ，OB 的对称点T ，P ，连接OT ，OP ，PT ，PT 交AO 于点D ，交OB 于点E ，连接CD ，CE ，此时△CDE 的周长最小，最小值=线段TP 的长．解直角三角形求出PT的长，即可解决问题．答案详解：解：如图，连接OC，作点C关于OA，OB的对称点T，P，连接OT，OP，PT，PT交AO 于点D，交OB于点E，连接CD，CE，此时△CDE的周长最小，最小值=线段TP的长．过点O作OH⊥PT于点H．∵OC=OA=OP=OT=3，∠AOC=∠AOT，∠BOC=∠BOP，∴∠POT=2∠AOB=120°，∵OH⊥PT，OP=OT，∴TH=PH，∠TOH=∠POH=60°，∴TH=PH=OT•sin60°=332，∴PT=2TH=33，∴△CDE的周长的最小值为33．所以答案是：33．13如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作⊙O的切线DM交BC于点M．(1)求证：CM=BM．(2)若AD=23，P为AB上一点，当PM+PD为最小值时，求AP的长．试题分析：(1)连接OD，OM，先利用圆周角定理求出∠DOB=60°，再利用切线的性质可得∠ODM =90°，然后利用HL证明Rt△ODM≌Rt△OBM，从而利用全等三角形的性质可得∠DOM=∠BOM =30°，进而可得AC∥OM，即可解答；(2)连接DB，过点D作DE⊥AB，垂足为E，并延长交⊙O于点D′，连接D′M交AB于点P，连接DP，此时PM+PD的值最小，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°，从而在Rt△ADB中，求出DB，AB的长，再在Rt△ABC中，求出BC的长，从而求出BM的长，然后证明△DOB是等边三角形，再利用等腰三角形的三线合一性质求出OE的长，从而求出DE的长，最后证明8字模型相似三角形△MBP∽△D′EP，利用相似三角形的性质求出BP的长，进行计算即可解答．答案详解：(1)证明：连接OD，OM，∵∠BAC=30°，∴∠DOB=2∠A=60°，∵DM与⊙O相切于点D，∴∠ODM=90°，∵∠ABC=90°，OD=OB，OM=OM，∴Rt△ODM≌Rt△OBM(HL)，∴∠DOM=∠BOM=12∠DOB=30°，∴∠A=∠BOM，∴AC∥OM，∵OA=OB，∴BM=CM；解法二：连接BD，∵DM，BC都是⊙O的切线，∴MD=MB，∴∠MBD=∠MDB，∵∠C+∠CBD=90°，∠CDM+∠BDM=90°，∴∠C=∠MDC，∴MC=MD，∴CM=MB．(2)连接DB，过点D作DE⊥AB，垂足为E，并延长交⊙O于点D′，则DE=D′E，∴点D与点D′关于AB对称，连接D′M交AB于点P，连接DP，此时PM+PD的值最小，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AD=23，∠DAB=30°，∴BD=AD•tan30°=23×33=2，∴AB=2BD=4，∴OA=OB=OD=12AB=2，在Rt△ABC中，BC=AB•tan30°=4×33=433，∴CM=BM=12BC=233，∵∠DOB=60°，∴△DOB是等边三角形，∵DE⊥OB，∴OE=EB=12OB=1，∴DE =3OE =3，∴DE =D ′E =3，∵∠D ′EP =∠CBP =90°，∠MPB =∠EPD ′，∴△MBP ∽△D ′EP ，∴BM D 'E =BP EP ，∴2333=BP 1-BP ，∴BP =25，∴AP =AB -BP =185，∴AP 的长为185．解法二：以B 为原点，构造平面直角坐标系．作点D 关于x 轴的对称点F ，连接FM 交AB 于点P ，连接PD ，此时PD +PM 的值最小．由方法一可知F (-1，-3)，M 0，233，设直线FM 的解析式为y =kx +b ，则有-k +b =-3b =233，∴直线FM 放解析式为y =533x +233，令y =0，可得x =-25，∴AP =AB -PB =185．14如图，抛物线与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C ，已知点A (-3，0)，抛物线的最低点的坐标为(-1，-4)．(1)求出该抛物线的函数解析式；(2)如图1，线段BC 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CD，CD 与抛物线相交于点E ，求点E 的坐标．(3)如图2，点M ，N 是线段AC 上的动点，且MN =2，求△OMN 周长的最小值．试题分析：(1)设抛物线的顶点式，然后用待定系数法求解即可；(2)过点C 作直线l ∥x 轴，过点D 作DG ⊥l 于点G ，则∠DGC =90°，所以∠D +∠DCG =90°，过点B 作BF ⊥l 于D ，则∠BFC =90°，先求出点B 、C 的坐标，得到BF =3，CF =1，再证△BCF ≌△CGD (AAS )，得到CG =BF =3，DG =CF =1，即可求出点D 的坐标，即可用待定系数法求出直线CD 的解析式，再与抛物线解析式联立求得点E 的坐标；(3)先求得直线AC 的解析式，然后设点M 的坐标为(m ，-m -3)，进而得到点N 的坐标为(m +1，-m -4)，再由两点间的距离公式求得OM +ON 的值，然后利用轴对称的性质和两点之间线段最短求得OM +ON 的最小值，最后得到△OMN 的周长最小值．答案详解：解：(1)∵抛物线的最低点的坐标为(-1，-4)，即顶点坐标为(-1，-4)，设抛物线的解析式为y =a (x +1)2-4，把点A (-3，0)代入解析式，得4a -4=0，∴a =1，∴抛物线的解析式为y =(x +1)2-4=x 2+2x -3．(2)当y =0时，x 2+2x -3=0，解得：x =-3或x =1，∴B (1，0)，如图1，过点C 作直线l ∥x 轴，过点D 作DG ⊥l 于点G ，则∠DGC =90°，∴∠D +∠DCG =90°，过点B 作BF ⊥l 于F ，则∠BFC =90°，∵线段BC 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CD ，∴BC =CD ，∠BCD =90°，∴∠DCG +∠BCF =90°，∴∠D =∠BCF ，又∵∠BFC =∠DGC =90°，∴△BCF ≌△CGD (AAS )，∴BF =CG ，CF =DG ，∵B (1，0)，C (0，-3)，∴BF =3，CF =1，∴CG =BF =3，DG =CF =1，∴BF -DG =2，∴D (-3，-2)，设直线CD 的解析式为y =kx +b ，则-3k +b =-2b =-3 ，解得：k =-13b =-3，∴直线CD 的解析式为y =-13x -3，由y =-13x -3y =x 2+2x -3，解得：x =-73y =-209或x =0y =-3 ，∴点E 的坐标为-73，-209．(3)设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则-3k +b =0b =-3 ，解得：k =-1b =-3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x -3，设点M 的坐标为(m ，-m -3)，则点N 的坐标为(m +1，-m -4)，∴OM +ON =(m -0)2+(-m -3)2+[m -(-1)]2+(-m -4)2，∴OM +ON 表示点(m ，-m )到点P (0，3)和点Q (-1，4)的距离之和，点(m ，-m )在直线y =-x 上，如图2，作点P (0，3)关于直线y =-x 的对称点P '，连接P 'Q ，与直线y =-x 的交点即为点(m ，-m )，此时，OM +ON 取得最小值即为P 'Q 的值，∵直线y =-x 是第二、四象限的角平分线，∴∠POH =∠P 'OH =45°，由对称得，PP '⊥OH ，∴∠PHO =∠P 'HO =90°，∴△PHO 和△P 'HO 都是等腰直角三角形，∴OP '=OP =3，∴P '(-3，0)，∴P 'Q =[-1-(-3)]2+(4-0)2=25，∴OM +ON 的最小值为25，∴△OMN 的最小值为25+2．15(1)如图①，点A 、点B 在直线l 同侧，请你在直线l 上找一点P ，使得AP +BP 的值最小；(不需要说明理由)(2)如图②，∠AOB =60°，点P 为∠AOB 内一定点，OP =5，点E ，F 分别在OA ，OB 上，△PEF 的周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由；(3)如图③，已知四边形OABC 中，∠A =∠C =90°，∠B =150°，BC =2，OC =1033，点H 为OA 边上的一点且OH =4，点P ，F 分别在边AB ，OC 上运动，点E 在线段OH 上运动，连接EF ，EP ，PF ，△EFP 的周长是否存在最小值？若存在，请求出△EFP 周长最小值和此时OE 的长，若不存在，请说明理由．试题分析：(1)作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A 'B 交直线l 于点P ，即为所求；(2)作点P 关于OA 和OB 的对称点P '和P ''，连接P 'P ''，交OA 和OB 于点E 、F ，此时△PEF 的周长最小，连接OP '、OP ''，然后根据等腰三角形的性质求得P 'P ''的长即为△PEF 的周长最小值；(3)作点E 关于AB 和OC 的对称点E '和E ''，连接EE ''交OC 于点Q ，连接E 'E ''，交AB 和OC 于点P 、F ，此时△PEF 的周长最小，过点C 作CG ⊥OA 于点G ，过点B 作BN ⊥CG 于点N ，从而利用含30°角的直角三角形的三边关系求得BC 、AG 、OG 的长，即可得到OA 、OH 的长，设OE =x ，得到AE、EQ、AE'、EE''的长，过点E''作E''M⊥OA于点M，然后得到EM、E''M、E'M的长，再根据直角三角形的勾股定理求得E'E''2的大小，进而利用二次函数的最小值求得E'E''2的最小值，最后得到△PEF的周长最小值和OE的长．答案详解：解：(1)如图①，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，即为所求．(2)△PEF的周长存在最小值，理由如下，如图②，作点P关于OA和OB的对称点P'和P''，连接P'P''，交OA和OB于点E、F，此时△PEF的周长最小，连接OP'、OP''、OP，由对称得，OP'=OP=OP''=5，∠P'OA=∠POA，∠POB=∠P''OB，∴∠P'OP''=∠P'OA+∠AOB+∠P''OB=∠AOB+∠POA+∠POB=∠AOB+∠AOB=60°+60°=120°，∴∠OP'P''=30°，过点O作OH⊥P'P''于点H，则P'H=P''H，∠OHP'=∠OHP''=90°，∴OH=12OP'=12×5=52，∴P'H=OP'2-OH2=52-52 2=532，∴P'P''=2P'H=2×532=53，∴△PEF周长最小值为53．(3)△EFP周长存在最小值，理由如下，如图③，作点E关于AB和OC的对称点E'和E''，连接EE''交OC于点Q，则∠EQO=90°，连接E'E''，交AB和OC于点P、F，此时△PEF的周长最小，过点C作CG⊥OA于点G，过点B作BN⊥CG于点N，则∠BNC=∠ABN=90°，四边形ABNG是矩形，∴BN=AG，∵∠ABC=150°，∠OAB=∠OCB=90°，∴∠CBN=150°-90°=60°，∠AOC=30°，∴∠BCN=30°，∵BC=2，OC=1033，∴BN=12BC=12×2=1，CG=12OC=12×1033=533，∴AG=1，OG=OC2-CG2=10332-533 2=5，∴OA=AG+OG=1+5=6，设OE=x(0≤x≤4)，则AE=OA-OE=6-x，∵∠AOC=30°，∴EQ=12OE=12x，∠E''EM=60°，由对称的性质得，AE'=AE=6-x，EQ=E''Q=12 x，∴EE''=EQ+E''Q=12x+12x=x，过点E''作E''M⊥OA于点M，则∠E''ME=90°，∴∠EE''M=30°，∴EM=12E''E=12x，∴E''M=E″E2-EM2=x2-x2 2=32x，E'M=E'A+AE+EM=6-x+6-x+12x=12-32x，∴E'E''2=E'M2+E''M2=12-32x2+32x2=3x2-36x+144=3(x-6)2+36，∴当0≤x≤4时，E'E''的值随x的增大而减小，∴当x=4时，E'E''2最小值=3×(4-6)2+36=48，∴OE的长为4时，△EFP周长最小值为43．16问题提出(1)如图①，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4．若点P是边AC上一点，则BP的最小值为　125　；问题探究(2)如图②，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，点E是BC的中点．若点P是边AC上一点，试求PB+PE的最小值；问题解决(3)某市一湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，如图③所示．已知AD=2000米，CD=1000米，∠A=60°，∠B=90°，∠C=150°．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由CE，EF，FC连接而成的步行景观道，其中，点E，F分别在边AB，AD上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即CE+EF+FC的值最小，求此时BE，DF的长．(路面宽度忽略不计)试题分析：(1)过B作BP⊥AC于P，由垂线段最短可知，BP⊥AC时，BP的值最小，由面积法可得BP=AB⋅BCAC =3×45=125；(2)作E关于直线AC的对称点E'，连接CE'，EE'，BE'，BE'交AC于P，由E，E'关于直线AC对称，可知PB+PE=PB+PE'，而B，P，E'共线，故此时PB+PE最小，最小值为BE'的长度，根据∠B =90°，AB =BC =2，点E 是BC 的中点，可得CE =CE '=1，∠BCE '=90°，再用勾股定理可得答案；(3)作C 关于AD 的对称点M ，连接DM ，CM ，CM 交AD 于H ，作C 关于AB 的对称点N ，连接BN ，延长DC ，AB 交于G ，连接NG ，连接MN 交AB 于E ，交AD 于F ，由C ，N 关于AB 对称，C ，M 关于AD 对称，CE =NE ，CF =MF ，又N ，E ，F ，M 共线，知此时CE +EF +CF 最小，根据∠A =60°，∠ABC =90°，∠BCD =150°，可得∠ADC =60°，∠MCD =∠CMD =30°，即得DH =12CD =500米，CH =MH =3DH =5003米，CM =10003米，由∠ADC =60°，∠A =60°，知△ADG 是等边三角形，从而CG =DG -CD =1000米，同理可得CG =NG =1000米，∠BNG =∠BCG =30°，即得BG =12CG =500米，BC =BN =3BG =5003米，故CN =10003米=CM ，知∠CNM =∠CMN =30°，在Rt △BNE 中，BE =BN 3=50033=500米，在Rt △MHF 中，FH =MH 3=50033=500米，即得DF =FH +DH =1000米．答案详解：解：(1)过B 作BP ⊥AC 于P ，如图：由垂线段最短可知，BP ⊥AC 时，BP 的值最小，∵∠ABC =90°，AB =3，BC =4，∴AC =AB 2+BC 2=5，∵2S △ABC =AB •BC =AC •BP ，∴BP =AB ⋅BC AC =3×45=125，所以答案是：125；(2)作E 关于直线AC 的对称点E '，连接CE '，EE '，BE '，BE '交AC 于P ，如图：∵E ，E '关于直线AC 对称，∴PE =PE '，∴PB +PE =PB +PE '，∵B ，P ，E '共线，∴此时PB +PE 最小，最小值为BE '的长度，∵∠B =90°，AB =BC =2，∴∠ACB =45°，∵点E 是BC 的中点，∴CE =1，∵E ，E '关于直线AC 对称，∴∠ACE '=∠ACB =45°，CE =CE '=1，∴∠BCE '=90°，在Rt △BCE '中，BE '=BC 2+CE '2=22+12=5，∴PB +PE 的最小值为5；(3)作C 关于AD 的对称点M ，连接DM ，CM ，CM 交AD 于H ，作C 关于AB 的对称点N ，连接BN ，延长DC ，AB 交于G ，连接NG ，连接MN 交AB 于E ，交AD 于F ，如图：∵C，N关于AB对称，C，M关于AD对称，∴CE=NE，CF=MF，∴CE+EF+CF=NE+EF+MF，∵N，E，F，M共线，∴此时CE+EF+CF最小，∵∠A=60°，∠ABC=90°，∠BCD=150°，∴∠ADC=60°，∵C，M关于AD对称，∴∠MDH=∠CDH=60°，∠CHD=∠MHD=90°，CD=MD=1000米，∴∠MCD=∠CMD=30°，∴DH=12CD=500米，CH=MH=3DH=5003米，∴CM=10003米，∵∠ADC=60°，∠A=60°，∴△ADG是等边三角形，∴DG=AD=2000米，∴CG=DG-CD=1000米，∵∠BCD=150°，∴∠BCG=30°，∵C，N关于AB对称，∠ABC=90°，∴C，B，N共线，CG=NG=1000米，∠BNG=∠BCG=30°，∴BG=12CG=500米，BC=BN=3BG=5003米，∴CN=10003米=CM，∴∠CNM=∠CMN，∵∠BCD=150°，∠MCD=30°，∴∠NCM=120°，∴∠CNM=∠CMN=30°，在Rt△BNE中，BE=BN3=50033=500(米)，在Rt△MHF中，FH=MH3=50033=500(米)，∴DF=FH+DH=500+500=1000(米)，答：BE的长为500米，DF的长为1000米．17如图(1)，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，直线l经过B、C两点．(1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM=12MN时，求点P的横坐标；(3)如图(2)，点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．试题分析：(1)用待定系数法求函数的解析式即可；(2)设P(t，-t+3)，则M(t，-t2+2t+3)，N(2-t，-t2+2t+3)，则PM=|t2-3t|，MN=|2-2t|，由题意可得方程|t2-3t|=12|2-2t|，求解方程即可；(3)由题意可知Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由QG∥BC，求出点G(2，0)，作A点关于GQ的对称点A'，连接A'D与AP交于点Q，则3AP+4DQ=4DQ+34AP=4 (DQ+AQ)≥4A'D，利用对称性和∠OBC=45°，求出A'(2，3)，求出直线DA'的解析式和直线QG的解析式，联立方程组y=-x+2y=3x-3，可求点Q54，34，再求DQ=5104．答案详解：解：(1)将点B(3，0)，C(0，3)代入y=-x2+bx+c，∴-9+3b+c=0 c=3，解得b=2 c=3 ，∴y=-x2+2x+3，∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴顶点坐标(1，4)；(2)设直线BC的解析式为y=kx+b，∴3k+b=0 b=3，解得k=-1 b=3 ，∴y=-x+3，设P (t ，-t +3)，则M (t ，-t 2+2t +3)，N (2-t ，-t 2+2t +3)，∴PM =|t 2-3t |，MN =|2-2t |，∵PM =12MN ，∴|t 2-3t |=12|2-2t |，解得t =1+2或t =1-2或t =2+3或t =2-3，∴P 点横坐标为1+2或1-2或2+3或2-3；(3)过Q 点作QG ∥BC ，∵C (0，3)，D 点与C 点关于x 轴对称，∴D (0，-3)，令y =0，则-x 2+2x +3=0，解得x =-1或x =3，∴A (-1，0)，∴AB =4，∵AQ =3PQ ，∴AQAP =AG BA，∴34=AG 4，∴AG =3，∴G (2，0)，∵OB =OC ，∴∠OBC =45°，作A 点关于GQ 的对称点A '，连接A 'D 与AP 交于点Q ，∵AQ =A 'Q ，∴AQ +DQ =A 'Q +DQ ≥A 'D ，∴3AP +4DQ =4DQ +34AP =4(DQ +AQ )≥4A 'D ，∵∠QGA =∠CBO =45°，AA '⊥QG ，∴∠A 'AG =45°，∵AG =A 'G ，∴∠AA 'G =45°，∴∠AGA '=90°，∴A '(2，3)，设直线DA '的解析式为y =kx +b ，∴b =-32k +b =3 ，解得k =3b =-3 ，∴y =3x -3，同理可求直线QG 的解析式为y =-x +2，联立方程组y =-x +2y =3x -3 ，解得x =54y =34 ，∴Q 54，34，∴DQ =5104．18在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A (-1，0)和点B (0，3)，顶点为C ，点D 在其对称轴上，且位于点C 下方，将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处．(1)求抛物线的解析式；(2)求点P 的坐标；(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O ，这时点P 落在点E 的位置，在y 轴上是否存在点M ，使得MP +ME 的值最小，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．试题分析：(1)利用待定系数法求抛物线解析式；(2)利用配方法得到y =-(x -1)2+4，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物线的对称轴为直线x =1，如图，设CD =t ，则D (1，4-t )，根据旋转性质得∠PDC =90°，DP =DC =t ，则P (1+t ，4-t )，然后把P (1+t ，4-t )代入y =-x 2+2x +4得到关于t 的方程，从而解方程求出t ，即可得到点P 的坐标；(3)P 点坐标为(2，3)，顶点C 坐标为(1，4)，利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为(1，-1)，找出点E 关于y 轴的对称点F (-1，-1)，连接PF 交y 轴于M ，则MP +ME =MP +MF =PF 的值最小，然后利用待定系数法求出直线PF 的解析式，即可得到点M 的坐标．答案详解：解：(1)把A (-1，0)和点B (0，3)代入y =-x 2+bx +c ，得-1-b +c =0c =3，解得：b =2c =3 ，∴抛物线解析式为y =-x 2+2x +3；(2)∵y =-(x -1)2+4，∴C (1，4)，抛物线的对称轴为直线x =1，如图，设CD =t ，则D (1，4-t )，∵线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处，∴∠PDC =90°，DP =DC =t ，∴P (1+t ，4-t )，把P (1+t ，4-t )代入y =-x 2+2x +3得：-(1+t )2+2(1+t )+3=4-t ，整理得t 2-t =0，解得：t 1=0(舍去)，t 2=1，∴P (2，3)；(3)∵P 点坐标为(2，3)，顶点C 坐标为(1，4)，将抛物线平移，使其顶点落在原点O ，这时点P 落在点E 的位置，∴E 点坐标为(1，-1)，∴点E 关于y 轴的对称点F (-1，-1)，连接PF 交y 轴于M ，则MP +ME =MP +MF =PF的值最小，设直线PF 的解析式为y =kx +n ，∴2k +n =3-k +n =-1，解得：k =43n =13 ，∴直线PF 的解析式为y =43x +13，∴点M 的坐标为0，13 ．19如图，已知抛物线y=ax2+bx+4经过A(-1，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC，求直线BC的解析式；(3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；(4)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．试题分析：(1)利用待定系数法解决问题即可．(2)设BC的解析式为y=kx+b，把B，C两点坐标代入，转化为方程组解决．(3)可以连接BC交直线x=32于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，最小值为线段BC的长．(4)观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或-4，把问题转化为解方程求解即可．答案详解：解：(1)把A(-1，0)，B(4，0)代入y=ax2+bx+4，得到a-b+4=016a+4b+4=0 ，解得a=-1 b=3 ，∴y=-x2+3x+4；(2)在y=-x2+3x+4中，令x=0，则y=4，∴C(0，4)，设BC的解析式为y=kx+b，∵B(4，0)，C(0，4)，∴b=44k+b=0 ，∴k=-1 b=4 ，∴直线BC的解析式为y=-x+4．(3)如图1中，由题意A ，B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，连接BC 交直线x =32于点P ，连接PA ，此时PA +PC 的值最小，最小值为线段BC 的长=42+42=42，此时P 32，52．(4)如图2中，存在．观察图象可知，满足条件的点N 的纵坐标为4或-4，对于抛物线y =-x 2+3x +4，当y =4时，x 2-3x =0，解得x =0或3，∴N 1(3，4)．当y =-4时，x 2-3x -8=0，解得x =3±412，∴N 23+412，-4 ，N 33-412，-4 ，综上所述，满足条件的点N 的坐标为(3，4)或3+412，-4或3-412，-4 ．20已知反比例函数y =k x 和一次函数y =x -1，其中一次函数图象过(3a ，b )，3a +1，b +k 3两点．(1)求反比例函数的关系式；(2)如图，函数y =13x ，y =3x 的图象分别与函数y =k x(x >0)图象交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点P ，使得△ABP 周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．试题分析：(1)把(3a ，b )，3a +1，b +k 3代入y =x -1中，列出方程组进行计算即可解答；(2)作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点P ，连接BP ，此时AP +BP 的最小，即△ABP 周长最小，先求出A ，B 两点坐标，从而求出AB 的长，再根据点B 与点B ′关于y 轴对称，求出B ′的坐标，从而求出AB ′的长，进而求出△ABP 周长的最小值．答案详解：解：(1)把(3a ，b )，3a +1，b +k 3代入y =x -1中可得：b =3a -1b +k 3=3a +1-1，解得：k =3，∴反比例函数的关系式为：y =3x；(2)存在，作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点P ，连接BP ，此时AP +BP 的最小，即△ABP 周长最小，由题意得：y =3x y =3x ，解得：x =1y =3 或x =-1y =-3 ，∴B (1，3)，由题意得：y =3xy =13x，解得：x =3y =1 或x =-3y =-1 ，∴A (3，1)，∴AB =22，∵点B 与点B ′关于y 轴对称，∴B ′(-1，3)，BP =B ′P ，∴AB ′=25，∴AP +BP =AP +B ′P =AB ′=25，∴AP +BP 的最小值为25，∴△ABP 周长最小值=25+22，∴△ABP 周长的最小值为25+22．。

将军饮马问题问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.基本模型1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.3.已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，由三角形的三边关系知︱P´A-P´B︱<AB，即︱P´A-P´B︱<︱PA-PB︱4. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大解：作点B关于直线l的对称点B´，连接B´A并延长交于点P，点P即为所求；理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线，由中垂线的性质得：PB=PB´，要使︱PA-PB︱最大，则需︱PA-PB´︱值最大，从而转化为模型3.典型例题1-1如图，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分3别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________.【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'交x轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为△BAO的中位线，OP为△CDD'的中位线，易求OP长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.【解答】连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P ，此时PC+PD 值最小．令y=23x+4中x=0，则y=4， ∴点B 坐标（0，4）；令y=23x+4中y=0，则23x+4=0，解得：x=﹣6，∴点A 的坐标为（﹣6，0）．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴CD 为△BAO 的中位线， ∴CD ∥x 轴，且CD=21AO=3，∵点D ′和点D 关于x 轴对称，∴O 为DD ′的中点，D ′（0，-1），∴OP 为△CDD ′的中位线，∴OP=21CD=23，∴点P 的坐标为（﹣32，0）．在Rt △CDD ′中，CD ′=22D D CD '+=2243+=5，即PC+PD 的最小值为5.【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C 、点P 坐标；若题型变化，C 、D 不是AB 和OB 中点时，则先求直线CD ′的解析式，再求其与x 轴的交点P 的坐标.典型例题1-2如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（0，1），点B的坐标为（32，﹣2），点P 在直线y=﹣x 上运动，当|PA ﹣PB|最 大时点P 的坐标为_________，|PA ﹣PB|的最大值是_________.【分析】符合基本模型4的特征，作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，连接BC ，可得直线BC 的方程；求得BC 与直线y=﹣x 的交点P 的坐标；此时|PA ﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，再用两点之间的距离公式求此最大值.【解答】作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，易得C 的坐标为（﹣1，0）；连接BC ，可得直线BC的方程为y=﹣54x ﹣54，与直线y=﹣x 联立解得交点坐标P 为（4，﹣4）；此时|PA﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，最大值BC=2223)2()1(-++=241；【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点.变式训练1-1已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A （5，0），OB=4√5，点P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1），当CP+DP 最短时，点P 的坐标为（ ）A ．（0，0）B ．（1，12）C ．（65，35）D ．（107，57）变式训练1-2如图，菱形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，AC=2，BD=2√3,E 为AB 的中点，P 为对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为__________.变式训练1-3如图，已知直线y=12x+1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y=12x 2+bx+c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM ﹣MC|的值最大，求出点M 的坐标.拓展模型1. 已知：如图，A 为锐角∠MON 外一定点；要求：在射线OM 上找一点P ，在射线ON 上找一点Q ，使AP+PQ 的值最小.解：过点A 作AQ ⊥ON 于点Q ，AQ 与OM 相交于点P ，此时，AP+PQ 最小；理由：AP+PQ ≧AQ ，当且仅当A 、P 、Q 三点共线时，AP+PQ 取得最小值AQ ，根据垂线段最短，当AQ ⊥ON 时，AQ 最小.2. 已知：如图，A 为锐角∠MON 一定点；要求：在射线OM 上找一点P ，在射线ON 上找一点Q ，使AP+PQ 的值最小.解：作点A关于OM的对称点A′，过点A′作AQ⊥ON于点Q，A′Q交OM于点P，此时AP+PQ最小；理由：由轴对称的性质知AP=A′P，要使AP+PQ最小，只需A′P+PQ最小，从而转化为拓展模型13.已知：如图，A为锐角∠MON一定点；要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使△APQ的周长最小解：分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对称点A 2，连接 A1A2交OM于点P，交ON于点Q，点P和点Q即为所求，此时△APQ周长最小，最小值即为线段A1A2的长度；理由：由轴对称的性质知AP=A1P，AQ=A2Q，△APQ的周长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当A1、P、Q、A2四点共线时，其值最小.4. 已知：如图，A、B为锐角∠MON两个定点；要求：在OM上找一点P，在ON上找一点Q，使四边形APQB的周长最小解：作点A关于直线OM的对称点A´，作点B关于直线ON的对称点B´，连接A´B´交OM于P，交ON于Q，则点P、点Q即为所求，此时四边形APQB周长的最小值即为线段AB和A´B´的长度之和；理由：AB长为定值，由基本模型将PA转化为PA´,将QB转化为QB´，当A´、P、Q、B´四点共线时，PA´+PQ+ QB´的值最小，即PA+PQ+ QB的值最小.5.搭桥模型已知：如图，直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定点，（直线AB不与m垂直）要求：在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小.分析：PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A′，使得AA′=PQ，连接A′B交直线n于点Q，过点Q作PQ⊥n，交直线m于点P，线段PQ即为所求，此时AP+PQ+BQ最小.理由：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′=PA，当B、Q、A′三点共线时，QA′+BQ最小，即AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小.6.已知：如图，定点A、B分布于直线l两侧，长度为a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小分析：PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至A´，使AA´=PQ=a,连接A´B交直线l于点Q，在l上截取PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为A´B+PQ，即A´B+a理由：易知四边形APQA´为平行四边形，则PA=QA´，当A´、Q、B三点共线时，QA´+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小.7.已知：如图，定点A、B分布于直线l的同侧，长度a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ 的位置，使得四边形APQB 周长最小分析：AB 长度确定，只需AP+PQ+QB 最小，通过作A 点关于l 的对称点，转化为上述模型3解：作A 点关于l 的对称点A ´，将点A ´沿着平行于l的方向，向右移至A ´´，使A ´A ´´=PQ=a ，连接A ´´B交l 于Q ，在l 上截取QP=a （P 在Q 左边），线段PQ 即为所求，此时四边形APQB 周长的最小值为A ´´B+AB+PQ ，即A ´´B+AB+a典型例题2-1如图，在矩形ABCD 中，AB=10，BC=5，若点M 、N 分别是线段AC 、AB 上的两个动点，则BM+MN 的最小值为 ．【分析】符合拓展模型2的特征，作点B 关于AC 的对称点E ，再过点E 作AB 的垂线段，该垂线段的长即BM+MN 的最小值，借助等面积法和相似可求其长度.【解答】作点B 关于AC 的对称点E ，再过点E 作EN ⊥AB 于N ，则BM+MN=EM+MN ，其最小值即EN 长；∵AB=10，BC=5，∴AC=22BC AB +=55，等面积法求得AC 边上的高为55510⨯=25，∴BE=45， 易知△ABC ∽△ENB ，∴，代入数据解得EN=8． 即BM+MN 的最小值为8．【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的对称点易解.典型例题2-2如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 的定点且OP=，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（ ）A ．B ．C ．6D ．3【分析】符合拓展模型3的特征；作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，此时△PMN周长最小，其值为CD长；根据对称性连接OC、OD，分析条件知△OCD是顶角为120°的等腰三角形，作底边上高，易求底边CD. 【解答】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，∵∠OCH=30°，∴OH=OC=，CH=OH=，∴CD=2CH=3．即△PMN周长的最小值是3；故选：D．【小结】根据对称的性质，发现△OCD是顶角为120°的等腰三角形，是解题的关键，也是难点.典型例题2-3如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．（1）请直接写出点A坐标为，点B坐标为；（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请求出点P的坐标.【分析】（1）解直角三角形求出OD，BD的长即可解决；（2）符合“搭桥模型”的特征；首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，PM是定值，PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，此时P点为直线OB与EF的交点，结合OB的解析式可得P点坐标；【解答】（1）在Rt△ADO中，∵∠A=60°，AD=2，∴OD=2•tan60°=2，∴A（﹣2，2），∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）（2）如图，连接OP．∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=，∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形,∴OP=EM，∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小，∵直线OB的解析式为y=x，∴P（2，）．【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边形）的方法，转化为基本模型.典型例题2-4如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（﹣2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．（1）求C、D两点的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标．【分析】符合拓展模型7的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、F点，结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标.【解答】（1）由旋转的性质可知：OC=OA=2，OD=OB=4,∴C点的坐标是（0，2），D点的坐标是（4，0），（2）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，4a-2b+c=0由题意，得 16a+4b+c=0c=4解得a=-12，b=1，c=4，∴所求抛物线的解析式为y=-12x²+x+4；（3）只需AF+CE最短，抛物线y=-12x²+x+4的对称轴为x=1，将点A向上平移至A1（﹣2，1），则AF=A1E，作A1关于对称轴x=1的对称点A2（4，1），连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，可求得A2C的解析式为y=-14x+2，当x=1时，y=74，∴点E的坐标为(1,74)，点F的坐标为(1,34)．【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”；其中，作对称和平移的顺序可互换.变式训练2-1几何模型：条件：如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交l于点P，即为所求.（不必证明）模型应用：（1）如图2，已知平面直角坐标系中两定点A（0，﹣1）和B（2，﹣1），P为x轴上一动点，则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是，此时PA+PB= ．（2）如图3，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是．（3）如图4，在菱形ABCD中，AB=10，∠DAB=60°，P是对角线AC上一动点，E，F分别是线段AB和BC上的动点，则PE+PF的最小值是．（4）如图5，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E．F分别是AG，AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是．变式训练2-2如图，矩形ABCD中，AD=15，AB=10，E为AB边上一点，且DE=2AE，连接CE与对角线BD交于F；若P、Q分别为AB边和BC边上的动点，连接EP、PQ和QF；则四边形EPQF周长的最小值是___________.变式训练2-3如图，已知直线l 1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ．变式训练2-4如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．中考真题1.要在街道旁建奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？小聪以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，A点坐标为（0，3），B点坐标为（6，5），则A、B两点到奶站距离之和的最小值是．2.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（）A ．（0，）B ．（0，）C ．（0，2）D ．（0，）3.如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，动点P 满足S △PAB =31S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA+PB 的最小值为（ ）A ．B ．C ．5D ．4.已知抛物线y=x 2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（，3），P 是抛物线y=x 2+1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65.如图，点A （a ，3），B （b ，1）都在双曲线y=上，点C ，D ，分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．6.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D 、E 分别是AB 、BC 边上的动点，则AE+DE 的最小值为（ ）A ．B ．C ．5D ．7.如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的动点，则DA+DE 的最小值为 ．8.如图，等腰△ABC 的底边BC=20，面积为120，点F 在边BC 上，且BF=3FC ，EG 是腰AC 的垂直平分线，若点D 在EG 上运动，则△CDF 周长的最小值为 ．9.如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC=120°，M 是BC 边的一个三等分点，P 是对角线AC 上的动点，当PB+PM 的值最小时，PM 的长是（ ）A．B．C．D．10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．B．C．D．611.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN 的最小值是（）A．6B．10 C．2D．212.如图，△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的任意点，则PE+PF的最小值是．13.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．（1）用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．15.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出 PM+PQ+QN 和的最小值．16.如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND 长度的最大值；（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．17.如图1，已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴从左至右交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）若抛物线过点T（1，﹣），求抛物线的解析式；（2）在第二象限的抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在（1）的条件下，点P的坐标为（﹣1，1），点Q（6，t）是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点，且MN=2，问MN在x轴上移动到何处时，四边形PQNM 的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标．18.如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），P是第一象限抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．19.探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2=他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式：x=，y=．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为；②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：；拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数y=x（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．20.如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．21.如图①，在平面直角坐标系中，OA=6，以OA为边长作等边三角形ABC，使得BC∥OA，且点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在图①中，假设一动点P从点B出发，沿折线BAC的方向以每秒2个单位的速度运动，同时另一动点Q从O点出发，沿x轴的负半轴方向以每秒1个单位的速度运动，当点P 运动到A点时，P、Q都同时停止运动，在P、Q的运动过程中，是否存在时间t，使得PQ⊥AB，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）在BC边上取两点E、F，使BE=EF=1个单位，试在AB边上找一点G，在抛物线的对称轴上找一点H，使得四边形EGHF的周长最小，并求出周长的最小值．本人所著《初中几何模型与解题通法》已发行，可在当当、淘宝和京东搜索购买特色：1.由一线名师编写，更专业权威，各地历年中考压轴题几乎都能在书中找到对应的模型和方法，甚至出现大量高度类似题。

将军饮马问题类型一、基本模式类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA 边的距离之和最小5已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON于点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（）A. 15 B 7.5 C. 10 D. 246. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N 两点的距离也相等.7、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC 边上一动点，则DP长的最小值为______.练习1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．2、 如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？aBA3、 已知：A 、B 两点在直线l 的同侧， 在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．4、如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值．NMD CB A5、如图，已知∠AOB 内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF 的周长最小。

将军饮马18道典型习题将军饮马"是一个古希腊数学问题，源于2000多年前。

当时，一位将军向城里的著名数学家海伦请教：他每天早上都要骑马到河边让马喝水，然后到河岸同一侧的一块草地上让马吃草。

将军想知道，在河岸的哪个具体位置让马喝水，可以让他和马儿走的路程最短。

经过思考，海伦给出了答案，这就是"将军饮马"问题。

以下是"将军饮马"问题的五种常见模型：1.一动两定（和最小）模型：假设点A是将军和马儿居住的营帐，点B是指定的草地，小河L在两点之间流过。

问题是，将军和马儿在哪个具体位置喝水，可以让他们走的路程最短？解决方法是，做A点关于L的对称点A'，连接A'B，与L的交点即为P点。

这时，PA+PB最小。

为什么呢？因为在L 上任意取一点M（不与P重合），根据几何原理，PA+PB=A'P+PB=A'B，AM+MB>A'B，所以动点P在A'B与L 交点处时，PA+PB最小。

2.一定两动模型：假设点A和小河L1与第一种模型一样，但是这次，草地不是指定的点，而是由L2代表的一片草地。

问题是，在哪个具体位置喝水和吃草，可以让将军和马儿走的路程最短？解决方法是，做A点关于L1的对称点A'，做A点关于L2的对称点A''，连接A'A''，与L1和L2的交点即为P、Q。

这时，AP+PQ+QA的和最小。

为什么呢？因为在L1上取点M（不与P重合），在L2上取点N（不与Q重合），根据几何原理，AP+PQ+AQ=A'P+PQ+A''Q=A'A''，AM+MN+AN>A'A''，所以动点P和Q在A'A''与L1、L2的交点处时，AP+PQ+QA的和最小。

3.两动一定模型：假设点A和小河L1与第一种模型一样，但是这次，将军要骑马到L2代表的一片草地吃草，然后再回到营帐。

中考数学：'将军饮马'所有模型及变式——终极篇以微课堂初中精品微课，数学奥林匹克国家一级教练执教。

一、模型展现(1)直线型模型1：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小．原理：两点之间，线段最短．PA＋PB最小值即为AB长．模型2：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小．原理：和最小，同侧转异侧．两点之间，线段最短．模型3：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大．原理：两边之差小于第三边，|PA－PB|最大值即为AB长．模型4：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大．原理：差最大，异侧转同侧．两边之差小于第三边．变式：在直线l上求作点P，使l平分∠APB，与此作法相同．模型5：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最小．原理：|PA－PB|最小为0，中垂线上的点到线段两端的距离相等．(2)角型模型6：在OA，OB上求作点M，N，使△PMN周长最小．原理：作两次对称，两点之间，线段最短．模型7：在OA，OB上求作点M，N，使四边形PQMN周长最小．原理：P，Q分别作对称，两点之间，线段最短．模型8：在OA，OB上求作点M，N，(1)使PM＋MN最小．(2)使PN＋MN最小．原理：先连哪个点，就先做关于那个点所在射线的对称点．垂线段最短．模型9：P，Q为OA，OB的定点，在OA，OB上求作点M，N，使PN＋NM ＋MQ最小．原理：两点之间，线段最短，PN＋NM＋MQ最小值即为P’Q’的长．(3)平移型模型10：在直线l上求作点M，N，使MN＝a，且AM＋MN＋NB最小．原理：将l上的MN转化到B’B．(问题情境：将军从军营A出发，去河边l饮马，饮马完在河边牵马散步a米，回军营B．可以转化为饮完马，直接去军营B，在到达之前散步．)模型11(造桥选址)：直线l1∥l2，在l1上求作点M，在l2上求作点N，使MN⊥l1，且AM＋MN ＋NB最小．原理：将MN转化为AA’．(可以理解为在A处先走过桥的路，再直达点B．)二、典型例题例1：(模型2)从点A(0，2)发出的一束光线，经x轴反射，过点B(4，3)，求从点A到点B所经过的路径长．解析：例2：(模型4)已知点A(1，3)、B(3，－1)，点M在x轴上，当AM－BM最大时，点M的坐标为______解析：例3：(模型10)如图，当四边形PABN的周长最小时，a＝______解析：例4：(模型11)解析：例5：(结合勾股)如图，在等边△ABC中，AB＝6，N为AB上一点，且AN＝2，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM＋MN的最小值是_____解析：小结：所有类型已归纳完，更多内容，详见八上11讲期中专题一将军饮马类题型全覆盖暑假特辑10《轴对称》之“将军饮马”（上）暑假特辑11《轴对称》之“将军饮马”（下）本讲思考题：已知点A(－3，－4)和B(－2，1)．(1)试在y轴上求一点P，使PA＋PB的值最小(2)试在y轴上求一点P，使|QA－QB|的值最大(3)若C(0，m)，D(0，m－2)，当m为何值时，四边形ABCD的周长最小．答案：(1) P (0，－1)(2) Q (0，11)(3) m = －0.2End欢迎收看《以微课堂》微课，欢迎收看《以微课堂》微课，作者简介：四星级重点中学高级教师、数学名师。

将军饮马模型“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现． 模型1：直线与两定点模型作法结论lB A当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使P A ＋PB 最小．lPAB连接AB 交直线l 于点P ，点P即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为ABl AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小．lPB'AB作点B 关于直线l 的对称点B '， 连接AB '交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为AB 'l AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．lPAB连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为ABlAB当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．l B'AB P作点B 关于直线I 的对称点B '，连接AB '并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为AB 'l AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．l PAB连接AB ，作AB 的垂直平分线交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最小值为0模型实例例1：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD ＋PE 最小值是 ．EBC ADP解答：如图所示，∵点B 与点D 关于AC 对称，∴当点P 为BE 与AC 的交点时，PD ＋PE 最小，且线段BE 的长． ∵正方形ABCD 的面积为12，∴其边长为23∵△ABE 为等边三角形，∴BE ＝AB ＝23PD ＋PE 的最小值为3例2：如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠BCD ＝15°，P 为CD 上的动点，则PA PB -的最大值是多少？DPPA'B解答：如图所示，作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′C ，连接A ′B 并延长交CD 于点P ，则点P 就是PA PB -的值最大时的点，PA PB -＝A ′B ．∵△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC 等于4，∴∠ACB ＝90°． ∵∠BCD ＝15°，∴∠ACD ＝75°．∵点A 、A ′关于CD 对称，∴AA ′⊥CD ，AC ＝CA ′， ∵∠ACD ＝∠DCA ′＝75°，∴∠BCA ′＝60°．∵CA ′＝AC ＝BC ＝4，∴△A ′BC 是等边三角形，∴A ′B ＝BC ＝4．∴PA PB -的最大值为4． 练习1．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值是 ．DACB E解：解：过点C 作CO⊥AB 于O ，延长CO 到C '，使O C '=OC ，连接D C '，交AB 于E ，连接C 'B ，此时DE+CE=DE+E C '=D C '的值最小．连接B C '，由对称性可知∠C 'BE=∠CBE=45°，∴∠CB C '=90°，∴B C '⊥BC， ∠BC C '=∠B C 'C=45°，∴BC=B C '=2，∵D 是BC 边的中点，∴BD=1， 根据勾股定理可得：D C '=5，故EC+ED 的最小值是5．2．如图，点C 的坐标为（3，y ），当△ABC 的周长最短时，求y 的值．xyB (2,0)A (0,3)O解：解：（1）作A 关于x=3的对称点A ′，连接A ′B 交直线x=3与点C ． ∵点A 与点A ′关于x=3对称，∴AC=A ′C ．∴AC+BC=A ′C+BC ．当点B 、C 、A ′在同一条直线上时，A ′C+BC 有最小值，即△ABC 的周长有最小值． ∵点A 与点A ′关于x=3对称，∴点A ′的坐标为（6，3）．设直线BA′的解析式y=kx+b，将点B和点A′的坐标代入得：k＝34，b＝−32．∴y=34x-32．将x=3代入函数的解析式，∴y的值为3 43．如图，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一点，且DM＝3，N是AC上的一动点，求|DN－MN|的最小值与最大值．C解：解：当ND=NM时，即N点DM的垂直平分线与AC的交点，|DN-MN|=0，因为|DN-MN|≤DM，当点N运动到C点时取等号，此时|DN-MN|=DM=3，所以|DN-MN|的最小值为0，最大值为3于D ，点C 、点D 即为所求．PB OAQ点P 、Q 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得四边形PQDC周长最小．分别作点P 、Q 关于OA 、OB 的对称点P ′、Q ′，连接P ′Q ′，分别交OA 、OB 于点C 、D ，点C 、D 即为所求．PC ＋CD ＋DQ 的最小值为P ′Q ′，所以四边形PQDC 周长的最小值为PQ ＋P ′Q ′模型实例如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，且10OP .在OA 上有一点Q ，OB 上 一点R ．若立△PQR 周长最小，则最小周长是多少？解答如图，作点P 分别关于OA 、OB 的对称点E 、F ，连接EF ，分别交OA 、OB 于点Q 、R ，连接OE 、OF 、PE 、PF .EQ OP =，FR RP ．△PQR 的周长的最小值为EF 的长.由对称性可得∠EOQ=∠POQ ，∠FOR=∠POR ， ∠EOF=2∠AOB=60°． △EOF 是正三角形．10EF OE OP ===．即△PQR 周长最小值为10.OBAP模型2/角与定点1．已知，40MON ，P 为MON 内一定点，A 为OM 上的点，B 为ON 上的点， 当△PAB 的周长取最小值时：(1)找到A 、B 点，保留作图痕迹；(2)求此时APB 等于多少度.如果∠MON =θ，∠APB 又等于多少度？ON1.解答（1）做点P 分别关于OM ON 、的对称点E F 、，连接EF 分别交OM ON 、于点A B 、．点A B 、即为所求，此时△PAB 的周长最小．（２）∵点E 与点P 关于直线OM 对称，点F 与点P 关于ON 对称， ∴∠E ＝∠APE ，∠F =∠BPF ，∠CPD =180°-∠MON =140°． ∴在△EFP 中，∠E +∠F =180°-140°=40°，∴∠CPA +∠BPD =40°．∴∠APB =100°．如果∠MON =θ， ∴∠CPD =180°-θ，∠E +∠F =θ． 又∵∠PAB =2∠E ，∠PBA =2∠F∴∠PAB +∠PBA =2（∠E +∠F ）=2θ ∴∠APB =180°-2θ．ON2．如图，四边形中ABCD ，110BAD ,90BD ，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小，并求此时+AMN ANM ∠∠的度数．A DBMN2．解答如图，作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''，连接A A'''与BC、CD的交点即为所求的点M、N．此时△AMN周长最小．∵∠BAD=110°，∴∠A'+∠A''=180°-110°=70°．由轴对称的性质得：∠A'=∠A AM'，∠A''=∠A AN''，∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A'')=2×70°=140°．3．如图，在x轴上找一点C，在y轴上找一点D，使AD CD BC最小，并求直线CD的解析式及点C、D的坐标．yxOB(3,1)A(1,3)3．解答作点A关于y轴的对称点A'，点B关于x轴的对称点B'，连接A B''分别交x轴、y轴于点C、D，此时AD CD BC++最小．由对称性可知A'（-1,3），B'（3，-1）．易求得直线A B''的解析式为2y x=-+，即直线CD的解析式2y x=-+．当0y=时，2x=，∴点C坐标为（2,0）．当0x=时，2y=，∴点D坐标为（0,2）．4．如图，20MON，A 、B 占分别为射线OM 、ON 上两定点，且2OA ，4OB ，点P 、Q 分别为射线OM 、ON 上两动点，当P 、Q 运动时，线段AQ PQ PB 的最小值是多少？ONB4．解答作A 点关于ON 的对称点A '，点B 关于OM 的对称点B '，连接A B ''，分别交OM ON 、于点P Q 、，连接OA '、OB '．则AQ PQ PB A Q PQ PB A B ''''++=++=，此时AQ PQ PB ++最小． 由对称可知，PB PB '=，AQ A Q '=，2OA OA '==，4OB OB '==，20MOB NOA MON ''∠=∠=∠=︒． 60A OB ''∠=︒．作A D '⊥OB '于点D ， 在Rt △ODA'中，∴1OD =，A D '=∴413B D '=-=，A B ''=∴AQ PQ PB ++的最小值是模型3两定点一定长模型作法结论如图，在直线l 上找M 、N 两点 (M 在左)，使得AM ＋MN ＋NB 最 小，且MN ＝d .将A 向右平移d 个单位到A ′，作A ′关于l 的对称点A "，连接A "B 与直线l 交于点N ，将点N 向左平移d 个单位即为M ，点M ，N 即为所求.AM ＋MN ＋NB 的最小值为A "B ＋d如图，l 1∥l 2，l 1、l 2间距离为d ， 在l 1、l 2分别找M 、N 两点，使 得MN ⊥l 1，且AM ＋MN ＋NB 最小．将A 向下平移d 个单位到A ，连接A ′B 交直线l 2于点N ，过点N 作MN ⊥l 1，连接AM .点M 、N 即为所求．AM ＋MN ＋NB 的最小值为A 'B ＋d .例题：在平面直角坐标系中，矩形OABC 如图所示，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴正半轴上，且OA ＝6，OC ＝4，D 为OC 中点，点E 、F 在线段OA 上，点E 在点F 左侧，EF ＝2.当四边形BDEF 的周长最小时，求点E 的坐标．ABl 2 l 1 A ′NMABl 2 l 1 BAlMNA ′A "BAld解答：如图，将点D 向右平移2个单位得到D '(2，2)，作D '关于x 轴的对称点D "(2，－2)，连接BD "交x 轴于点F ，将点F 向左平移2个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，且四边形BDEF 周长最小. 理由：∵四边形BDEF 的周长为BD ＋DE ＋EF ＋BF ，BD 与EF 是定值. ∴BF ＋DE 最小时，四边形BDEF 周长最小， ∵BF ＋ED ＝BF ＋FD '＝BF ＋FD "＝BD "设直线BD "的解析式为y ＝kx ＋b ，把B (6，4)，D "(2，－2)代入，得6k ＋b ＝4，2k ＋b ＝－2，解得k ＝32，b ＝－5，∴直线BD "的解析式为y ＝32x －5．令y ＝0，得x ＝103，∴点F 坐标为(103，0)．∴点E 坐标为(43，0)．练习1．在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A (3，0)，B (0，4)，D 为边OB 的中点． (1)若E 为边OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；(2)若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．解答：(1)如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE ，由模型可知△CDE 的周长最小．∵在矩形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为OB 的中点， ∴D (0，2)，C (3，4)，D '(0，－2).设直线CD '为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D '(0，－2)代入， 得3k ＋b ＝4，b ＝－2，解得k ＝2，b ＝－2， ∴直线CD '为y ＝2x －2. 令y ＝0，得x ＝1，学如逆水行舟,不进则退 11 ∴点E 的坐标为(1，0).∴OE ＝1，AE ＝2.利用勾股定理得CD ＝13，DE ＝5，CE ＝25，∴△CDE 周长的最小值为13＋35．(2)如图，将点D 向右平移1个单位得到D '(1，2)，作D '关于x 轴的对称点D ″(1，－2)，连接CD ″交x 轴于点F ，将点F 向左平移1个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，且四边形CDEF 周长最小．理由：∵四边形CDEF 的周长为CD ＋DE ＋EF ＋CF ，CD 与EF 是定值，∴DE ＋CF 最小时，四边形BDEF 周长最小，∴DE ＋CF ＝D 'F ＋CF ＝FD ″＋CF ＝CD ″， 设直线CD ″的解析式为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D (1，－2)代入，得3k ＋b ＝4，k ＋b ＝－2，解得k ＝3，b ＝－5．∴直线CD ″的解析式为y ＝3x －5，令y ＝0，得x ＝53，∴点F 坐标为(53，0)，∴点E 坐标为(23，0)．2．村庄A 和村庄B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A 与B 之间的距离最短？解答：设l 1和l 2为河岸，作BD ⊥l 2，取BB '等于河宽，连接AB '交l 1于C 1，作C 1C 2⊥l 2于C 2， 则A →C 1→C 2→B 为最短路线，即A 与B 之间的距离最短.为大家整理的资料供大家学习参考，希望对大家能有帮助，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。

将军饮马问题问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.基本模型1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.3.已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B 两点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，由三角形的三边关系知︱P´A-P´B︱<AB，即︱P´A-P´B︱<︱PA-PB︱4. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大解：作点B关于直线l的对称点B´，连接B´A并延长交于点P，点P即为所求；理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线，由中垂线的性质得：PB=PB´，要使︱PA-PB︱最大，则需︱PA-PB´︱值最大，从而转化为模型3.典型例题1-1x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D如图，直线y=23分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________.【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'交x轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为△BAO的中位线，OP为△CDD'的中位线，易求OP长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.【解答】连接CD ，作点D 关于x 轴的对称点D ′，连接CD ′交x 轴于点P ，此时PC+PD 值最小．令y=23x+4中x=0，则y=4， ∴点B 坐标（0，4）；令y=23x+4中y=0，则23x+4=0，解得：x=﹣6，∴点A 的坐标为（﹣6，0）．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴CD 为△BAO 的中位线， ∴CD ∥x 轴，且CD=21AO=3，∵点D ′和点D 关于x 轴对称，∴O 为DD ′的中点，D ′（0，-1），∴OP 为△CDD ′的中位线，∴OP=21CD=23， ∴点P 的坐标为（﹣32，0）．在Rt △CDD ′中， CD ′=22D D CD '+=2243+=5，即PC+PD 的最小值为5.【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C 、点P 坐标；若题型变化，C 、D 不是AB 和OB 中点时，则先求直线CD ′的解析式，再求其与x 轴的交点P 的坐标.典型例题1-2如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（0，1），点B的坐标为（32，﹣2），点P 在直线y=﹣x 上运动，当|PA ﹣PB|最大时点P 的坐标为_________，|PA ﹣PB|的最大值是_________.【分析】符合基本模型4的特征，作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，连接BC ，可得直线BC 的方程；求得BC 与直线y=﹣x 的交点P 的坐标；此时|PA ﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，再用两点之间的距离公式求此最大值.【解答】作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，易得C 的坐标为（﹣1，0）；连接BC ，可得直线BC 的方程为y=﹣54x ﹣54，与直线y=﹣x 联立解得交点坐标P 为（4，﹣4）；此时|PA ﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，最大值BC=2223)2()1(-++=241；【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点.变式训练1-1已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A （5，0），OB=4√5，点P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1），当CP+DP最短时，点P 的坐标为（ ）A ．（0，0）B ．（1，12）C ．（65，35）D ．（107，57）变式训练1-2如图，菱形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，AC=2，BD=2√3,E 为AB 的中点，P 为对角线AC 上一动点，则PE+PB的最小值为__________.变式训练1-3如图，已知直线y=12x+1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y=12x 2+bx+c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣MC|的值最大，求出点M的坐标.拓展模型1.已知：如图，A为锐角∠MON外一定点；要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AP+PQ的值最小.解：过点A作AQ⊥ON于点Q，AQ与OM相交于点P，此时，AP+PQ最小；理由：AP+PQ≧AQ，当且仅当A、P、Q三点共线时，AP+PQ取得最小值AQ，根据垂线段最短，当AQ⊥ON时，AQ最小.2.已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AP+PQ的值最小.解：作点A关于OM的对称点A′，过点A′作AQ⊥ON于点Q，A′Q交OM于点P，此时AP+PQ最小；理由：由轴对称的性质知AP=A′P，要使AP+PQ最小，只需A′P+PQ最小，从而转化为拓展模型13.已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使△APQ的周长最小解：分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对称点A2，连接A1A2交OM于点P，交ON于点Q，点P和点Q即为所求，此时△APQ周长最小，最小值即为线段A1A2的长度；理由：由轴对称的性质知AP=A1P，AQ=A2Q，△APQ的周长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当A1、P、Q、A2四点共线时，其值最小.4. 已知：如图，A、B为锐角∠MON内两个定点；要求：在OM上找一点P，在ON上找一点Q，使四边形APQB的周长最小解：作点A关于直线OM的对称点A´，作点B关于直线ON的对称点B´，连接A´B´交OM于P，交ON于Q，则点P、点Q即为所求，此时四边形APQB周长的最小值即为线段AB和A´B´的长度之和；理由：AB长为定值，由基本模型将PA转化为PA´,将QB转化为QB´，当A´、P、Q、B´四点共线时，PA´+PQ+ QB´的值最小，即PA+PQ+ QB的值最小.5.搭桥模型已知：如图，直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定点，（直线AB不与m垂直）要求：在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小.分析：PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A′，使得AA′=PQ，连接A′B交直线n于点Q，过点Q作PQ⊥n，交直线m于点P，线段PQ即为所求，此时AP+PQ+BQ最小.理由：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′=PA，当B、Q、A′三点共线时，QA′+BQ最小，即AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ 最小.6.已知：如图，定点A、B分布于直线l两侧，长度为a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小分析：PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至A´，使AA´=PQ=a,连接A´B交直线l于点Q，在l上截取PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为A´B+PQ，即A´B+a理由：易知四边形APQA´为平行四边形，则PA=QA´，当A´、Q、B三点共线时，QA´+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小.7.已知：如图，定点A、B分布于直线l的同侧，长度a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ的位置，使得四边形APQB周长最小分析：AB长度确定，只需AP+PQ+QB最小，通过作A点关于l的对称点，转化为上述模型3解：作A点关于l的对称点A´，将点A´沿着平行于l的方向，向右移至A´´，使A´A´´=PQ=a，连接A´´B交l于Q，在l上截取QP=a（P在Q左边），线段PQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为A´´B+AB+PQ，即A´´B+AB+a典型例题2-1如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为．【分析】符合拓展模型2的特征，作点B关于AC的对称点E，再过点E作AB的垂线段，该垂线段的长即BM+MN的最小值，借助等面积法和相似可求其长度.【解答】作点B 关于AC 的对称点E ，再过点E 作EN ⊥AB 于N ，则BM+MN=EM+MN ，其最小值即EN 长；∵AB=10，BC=5， ∴AC=22BC AB +=55， 等面积法求得AC 边上的高为55510⨯=25，∴BE=45， 易知△ABC ∽△ENB ，∴，代入数据解得EN=8．即BM+MN 的最小值为8．【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的对称点易解.典型例题2-2如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP=，点M 、N分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（ ） A ．B ．C ．6D ．3【分析】符合拓展模型3的特征；作P 点分别关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD 分别交OA 、OB 于M 、N ，此时△PMN 周长最小，其值为CD 长；根据对称性连接OC 、OD ，分析条件知△OCD 是顶角为120°的等腰三角形，作底边上高，易求底边CD.【解答】作P 点分别关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD 分别交OA 、OB 于M 、N ，如图，则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，∵∠OCH=30°，∴OH=OC=，CH=OH=，∴CD=2CH=3．即△PMN周长的最小值是3；故选：D．【小结】根据对称的性质，发现△OCD是顶角为120°的等腰三角形，是解题的关键，也是难点.典型例题2-3如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．（1）请直接写出点A坐标为，点B坐标为；（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请求出点P的坐标.【分析】（1）解直角三角形求出OD，BD的长即可解决；（2）符合“搭桥模型”的特征；首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，PM是定值，PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，此时P点为直线OB与EF的交点，结合OB的解析式可得P点坐标；【解答】（1）在Rt△ADO中，∵∠A=60°，AD=2，∴OD=2•tan60°=2，∴A（﹣2，2），∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）（2）如图，连接OP．∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=，∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形,∴OP=EM，∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小，∵直线OB的解析式为y=x，∴P（2，）．【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边形）的方法，转化为基本模型.典型例题2-4如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（﹣2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．（1）求C、D两点的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标．【分析】符合拓展模型7的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、F点，结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标.【解答】（1）由旋转的性质可知：OC=OA=2，OD=OB=4,∴C点的坐标是（0，2），D点的坐标是（4，0），（2）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，4a-2b+c=0由题意，得16a+4b+c=0c=4解得a=-12，b=1，c=4，∴所求抛物线的解析式为y=-12x²+x+4；（3）只需AF+CE最短，抛物线y=-12x²+x+4的对称轴为x=1，将点A向上平移至A1（﹣2，1），则AF=A1E，作A1关于对称轴x=1的对称点A2（4，1），连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，可求得A2C的解析式为y=-14x+2，当x=1时，y=74，∴点E的坐标为(1,74)，点F的坐标为(1,34)．【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”；其中，作对称和平移的顺序可互换.变式训练2-1几何模型：条件：如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交l于点P，即为所求.（不必证明）模型应用：（1）如图2，已知平面直角坐标系中两定点A（0，﹣1）和B（2，﹣1），P为x轴上一动点，则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是，此时PA+PB= ．（2）如图3，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE 的最小值是．（3）如图4，在菱形ABCD中，AB=10，∠DAB=60°，P是对角线AC上一动点，E，F 分别是线段AB和BC上的动点，则PE+PF的最小值是．（4）如图5，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E．F分别是AG，AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是．变式训练2-2如图，矩形ABCD中，AD=15，AB=10，E为AB边上一点，且DE=2AE，连接CE与对角线BD交于F；若P、Q分别为AB边和BC边上的动点，连接EP、PQ和QF；则四边形EPQF周长的最小值是___________.变式训练2-3如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ．变式训练2-4如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．中考真题1.要在街道旁建奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？小聪以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，A点坐标为（0，3），B点坐标为（6，5），则A、B两点到奶站距离之和的最小值是．2.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，2）D．（0，）1S矩形ABCD，则点P到A、3.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P满足S△PAB=3B两点距离之和PA+PB的最小值为（）A．B．C．5D．4.已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．65.如图，点A（a，3），B（b，1）都在双曲线y=上，点C，D，分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（）A．B．C．D．6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分别是AB、BC边上的动点，则AE+DE的最小值为（）A．B．C．5 D．7.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为．8.如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为．9.如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（）A．B．C．D．10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．B．C．D．611.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC 的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（）A．6B．10 C．2D．212.如图，△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的任意点，则PE+PF的最小值是．13.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．（1）用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．15.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出PM+PQ+QN和的最小值．16.如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c 的图象交x轴于另一点B．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．17.如图1，已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴从左至右交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）若抛物线过点T（1，﹣），求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在（1）的条件下，点P的坐标为（﹣1，1），点Q（6，t）是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点，且MN=2，问MN在x轴上移动到何处时，四边形PQNM的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标．18.如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），P是第一象限内抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．19.探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2=他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式：x=，y=．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为；②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：；拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数y=x（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．20.如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF 的最小值．21.如图①，在平面直角坐标系中，OA=6，以OA为边长作等边三角形ABC，使得BC∥OA，且点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在图①中，假设一动点P从点B出发，沿折线BAC的方向以每秒2个单位的速度运动，同时另一动点Q从O点出发，沿x轴的负半轴方向以每秒1个单位的速度运动，当点P运动到A点时，P、Q都同时停止运动，在P、Q的运动过程中，是否存在时间t，使得PQ⊥AB，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）在BC边上取两点E、F，使BE=EF=1个单位，试在AB边上找一点G，在抛物线的对称轴上找一点H，使得四边形EGHF的周长最小，并求出周长的最小值．本人所著《初中几何模型与解题通法》已发行，可在当当、淘宝和京东搜索购买特色：1.由一线名师编写，更专业权威，各地历年中考压轴题几乎都能在书中找到对应的模型和方法，甚至出现大量高度类似题。

最值模型之将军饮马(11个常考模型)1如图，正方形ABCD的边长为1，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是．2如图，在平面直角坐标系中，点A(0，a)在y轴正半轴上，点B(b，0)在x轴正半轴上，AB⊥AD且AB=AD，|a-4|+(b-3)2=0．(1)求线段AB的长；(2)若点P为y轴上的一个动点，则当PB+PD最小时，点P的坐标为．3如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB=4，则AE+OE的最小值是()A.42B.25+2C.213D.2104如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则当DF+CF之和取最小值时，△DCF的周长为()A.35+3B.43+3C.52+3D.213+35如图，点P是矩形ABCD的对角线BD上的点，点M，N分别是AB，AD的中点，连接PM，PN．若AB=2，BD=4，则PM+PN的最小值为()A.7B.2C.2+2D.1+36如图，直线y=x+8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P 为OA上一动点，当PC+PD值最小时，点P的坐标为()A.(-4，0)B.(-3，0)C.(-2，0)D.(-1，0)7如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC=x，PE+PB =y，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点Q的坐标可能为()A.(2，5)B.(22，35)C.(4，3)D.(42，35)8如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ=2，则四边形APQB周长的最小值为．9如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P为矩形内一点，满足∠ABP=∠BCP．(1)若点E为AD的中点，B，P，E在同一条直线上，则BP的长为；(2)若E为AD上一动点，则BE+PE的最小值为．10如图，正方形中，AB=2，连接AC，∠ACD的平分线交AD于点E，在AB上截取AF=DE，连接DF，分别交CE，AC于点G，H，点P是线段GC上的动点，PQ⊥AC于点Q，连接PH．下列结论：①CE⊥DF；②DE+DC=AC；③EA=2AH；④PH+PQ的最小值是22．其中所有正确结论的序号是．11如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点(点Q在点P 的右边)．①若连结AP、PE，则PE+AP的最小值为；②连结QE，若PQ=3，当CQ=　53　时，四边形APQE的周长最小．12如图，扇形AOB中，OA=3，∠AOB=60°，点C是AB上的一个定点(不与A，B重合)，点D，E分别是OA，OB上的动点，则△CDE周长的最小值为．13如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作⊙O的切线DM交BC于点M．(1)求证：CM=BM．(2)若AD=23，P为AB上一点，当PM+PD为最小值时，求AP的长．14如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A(-3，0)，抛物线的最低点的坐标为( -1，-4)．(1)求出该抛物线的函数解析式；(2)如图1，线段BC绕点C逆时针旋转90°得到线段CD，CD与抛物线相交于点E，求点E的坐标．(3)如图2，点M，N是线段AC上的动点，且MN=2，求△OMN周长的最小值．15(1)如图①，点A、点B在直线l同侧，请你在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小；(不需要说明理由)(2)如图②，∠AOB=60°，点P为∠AOB内一定点，OP=5，点E，F分别在OA，OB上，△PEF的周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由；(3)如图③，已知四边形OABC中，∠A=∠C=90°，∠B=150°，BC=2，OC=1033，点H为OA边上的一点且OH=4，点P，F分别在边AB，OC上运动，点E在线段OH上运动，连接EF，EP，PF，△EFP的周长是否存在最小值？若存在，请求出△EFP周长最小值和此时OE的长，若不存在，请说明理由．16问题提出(1)如图①，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4．若点P是边AC上一点，则BP的最小值为　125　；问题探究(2)如图②，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，点E是BC的中点．若点P是边AC上一点，试求PB+PE的最小值；问题解决(3)某市一湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，如图③所示．已知AD=2000米，CD=1000米，∠A=60°，∠B=90°，∠C=150°．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由CE，EF，FC连接而成的步行景观道，其中，点E，F分别在边AB，AD上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即CE+EF+FC的值最小，求此时BE，DF的长．(路面宽度忽略不计)17如图(1)，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，直线l经过B、C两点．(1)求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；(2)点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM=12MN时，求点P的横坐标；(3)如图(2)，点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ=3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．18在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1，0)和点B(0，3)，顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P 处．(1)求抛物线的解析式；(2)求点P的坐标；(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME 的值最小，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．19如图，已知抛物线y =ax 2+bx +4经过A (-1，0)，B (4，0)两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC ，求直线BC 的解析式；(3)请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP +PC 的值最小，求点P 的坐标，并求出此时AP +PC 的最小值；(4)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．20已知反比例函数y =k x 和一次函数y =x -1，其中一次函数图象过(3a ，b )，3a +1，b +k 3两点．(1)求反比例函数的关系式；(2)如图，函数y =13x ，y =3x 的图象分别与函数y =k x(x >0)图象交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点P ，使得△ABP 周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．。

将军饮马问题类型一、基本模式类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA 边的距离之和最小5已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON于点A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（）A. 15 B 7.5 C. 10 D. 246. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N 两点的距离也相等.7、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC 边上一动点，则DP长的最小值为______.练习1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．2、 如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？aB3、 已知：A 、B 两点在直线l 的同侧， 在l 上求作一点M ，使得||AM BM -最小．4、如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值与最大值．NMDCB A5、如图，已知∠AOB 内有一点P ，试分别在边OA 和OB 上各找一点E 、F ，使得△PEF 的周长最小。

将军饮马问题问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理1.两点之间，线段最短；2. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3. 中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4. 垂线段最短 .基本模型1.已知：如图，定点A、 B 分布在定直线l 两侧；要求：在直线l 上找一点 P，使 PA+PB的值最小解：连接AB 交直线 l 于点 P，点 P 即为所求 ,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l 上任取异于点P 的一点 P′，连接 AP′、 BP′，在△ ABP’中， AP′+BP′>AB，即 AP′+BP′>AP+BP∴ P 为直线 AB与直线 l 的交点时， PA+PB最小 .2.已知：如图，定点 A 和定点 B 在定直线l 的同侧要求：在直线l 上找一点 P，使得 PA+PB值最小（或△ ABP的周长最小）解：作点 A关于直线l 的对称点A′，连接 A′B 交 l 于 P，点 P 即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l 为线段 AA′的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA′，要使 PA+PB最小，则需 PA′+PB值最小，从而转化为模型 1.3.已知：如图，定点A、 B 分布在定直线l 的同侧（ A、B 两点到 l 的距离不相等）要求：在直线l 上找一点P，使︱ PA-PB︱的值最大解：连接 BA并延长，交直线 l 于点 P，点 P 即为所求；理由：此时︱ PA-PB︱ =AB，在 l 上任取异于点 P 的一点 P′，连接 AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱ P′A-P′B︱<AB，即︱ P′A-P′B︱ <︱PA-PB︱4.已知：如图，定点 A、 B分布在定直线 l 的两侧（ A、B 两点到 l 的距离不相等）要求：在直线 l 上找一点 P，使︱ PA-PB︱的值最大解：作点 B 关于直线 l的对称点 B′，连接 B′A 并延长交于点 P，点 P 即为所求；理由：根据对称的性质知l 为线段 BB′的中垂线，由中垂线的性质得： PB=PB′，要使︱ PA-PB︱最大，则需︱ PA-PB′︱值最大，从而转化为模型 3.典型例题 1-1如图，直线y= x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于点A和点 B，点 C、 D 分别为线段AB、OB的中点，点 P 为 OA上一动点，当 PC+PD最小时，点P 的坐标为 _________，此时 PC+PD的最小值为 _________.【分析】符合基本模型 2 的特征，作点 D 关于 x 轴的对称点D' ，连接CD'交x 轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为△BAO的中位线， OP为△ CDD'的中位线，易求 OP长，从而求出 P 点坐标； PC+PD的最小值即 CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.【解答】连接 CD，作点 D 关于 x 轴的对称点D′，连接CD′交 x 轴于点 P，此时 PC+PD值最小．令y= x+4 中 x=0，则 y=4，∴点 B 坐标（ 0， 4）；令 y= x+4 中 y=0，则 x+4=0，解得： x=﹣6，∴点 A 的坐标为（﹣ 6， 0）．∵点 C、 D 分别为线段AB、 OB 的中点，∴ CD为△ BAO的中位线，∴CD∥ x 轴，且 CD=12 AO=3，∵点 D′和点 D 关于 x 轴对称，∴ O为 DD′的中点，D′（ 0， -1 ），∴ OP为△ CDD′的中位线，∴OP=12 CD=32，∴点 P 的坐标为（﹣，0）．在Rt△ CDD′中，CD′ =CD 2 D D 2=3242=5，即PC+PD的最小值为5.【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C、点 P 坐标；若题型变化， C、 D不是 AB 和 OB中点时，则先求直线 CD′的解析式，再求其与 x 轴的交点 P 的坐标 .典型例题 1-2如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为（ 0， 1），点 B的坐标为（，﹣ 2），点 P 在直线 y=﹣ x 上运动，当 |PA﹣ PB| 最大时点 P 的坐标为 _________， |PA ﹣ PB|的最大值是 _________.【分析】符合基本模型 4 的特征，作 A 关于直线y=﹣ x 对称点 C，连接 BC，可得直线 BC的方程；求得 BC与直线 y=﹣ x 的交点 P 的坐标；此时 |PA ﹣ PB|=|PC ﹣ PB|=BC 取得最大值，再用两点之间的距离公式求此最大值.【解答】作 A 关于直线y=﹣ x 对称点 C，易得 C 的坐标为（﹣ 1， 0）；连接 BC，可得直线BC 的方程为 y=﹣54 x﹣54，与直线 y= ﹣ x联立解得交点坐标P 为（ 4，﹣ 4）；此时 |PA﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC取得最大值，最大值BC= (231)2( 2)2= 241；【小结】“两点一线”大多考查基本模型 2 和 4，需作一次对称点，连线得交点 .变式训练 1-1已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（ 5， 0），OB=4 ，点 P是对角线OB上的一个动点，D（ 0，1），当 CP+DP最短时，点 P 的坐标为（）A．（0，0）B．（1，）C．（，） D ．（，）变式训练 1-2如图，菱形ABCD中，对角线AC和 BD交于点 O， AC=2，BD=2 ,E 为 AB的中点， P 为对角线 AC上一动点，则 PE+PB的最小值为 __________.变式训练 1-3如图，已知直线y= x+1 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，抛物线 y= x2+bx+c 与直线交于A、E 两点，与 x 轴交于 B、 C两点，且 B 点坐标为（ 1， 0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使 |AM﹣ MC|的值最大，求出点 M的坐标 .拓展模型1.已知：如图， A 为锐角∠ MON外一定点；要求：在射线OM上找一点 P，在射线 ON上找一点 Q，使AP+PQ的值最小 .解：过点 A 作 AQ⊥ ON于点 Q， AQ与 OM相交于点 P，此时， AP+PQ最小；理由： AP+PQ≧ AQ，当且仅当A、 P、 Q三点共线时，AP+PQ取得最小值AQ，根据垂线段最短，当AQ⊥ ON时， AQ最小 .2.已知：如图， A 为锐角∠ MON内一定点；要求：在射线OM上找一点 P，在射线 ON上找一点 Q，使AP+PQ的值最小 .解：作点 A 关于 OM的对称点A′，过点A′作 AQ⊥ ON于点 Q， A′ Q交 OM于点 P，此时 AP+PQ最小；理由：由轴对称的性质知AP=A′ P，要使 AP+PQ最小，只需 A′ P+PQ最小，从而转化为拓展模型13.已知：如图， A 为锐角∠ MON内一定点；要求：在射线OM上找一点 P，在射线 ON上找一点 Q，使△ APQ的周长最小解：分别作 A 点关于直线 OM的对称点 A1, 关于 ON的对称点 A2，连接 A 1A2交 OM于点 P，交 ON于点 Q，点P 和点 Q即为所求，此时△APQ周长最小，最小值即为线段 A1A2的长度；理由：由轴对称的性质知AP=AP， AQ=AQ，△ APQ的周12长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当 A1、 P、 Q、 A2四点共线时，其值最小 .4.已知：如图， A、 B 为锐角∠ MON内两个定点；要求：在OM上找一点 P，在 ON上找一点Q，使四边形APQB的周长最小解：作点 A 关于直线OM的对称点A′，作点 B 关于直线ON的对称点B′，连接 A′B′交 OM于 P，交 ON于 Q，则点 P、点 Q即为所求，此时四边形APQB周长的最小值即为线段AB和 A′B′的长度之和；理由： AB 长为定值，由基本模型将PA转化为 PA′,将QB转化为 QB′，当 A′、 P、Q、 B′四点共线时，PA′+PQ+ QB′的值最小，即PA+PQ+ QB 的值最小 .5. 搭桥模型已知：如图，直线m∥ n,A、B分别为m上方和n下方的定点，（直线 AB 不与 m垂直）要求：在 m、n 之间求作垂线段PQ，使得 AP+PQ+BQ最小 .分析： PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使P、 Q“接头”，转化为基本模型解：如图，将点 A 沿着平行于PQ的方向，向下平移至点 A′，使得AA′ =PQ，连接 A′ B 交直线 n 于点Q，过点 Q作 PQ⊥n，交直线m于点 P，线段 PQ即为所求，此时AP+PQ+BQ最小 .理由：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′ =PA，当 B、 Q、 A′三点共线时，QA′ +BQ最小，即AP+BQ最小， PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小 .6.已知：如图，定点A、 B 分布于直线l 两侧，长度为a(a为定值 ) 的线段 PQ在 l 上移动（ P 在 Q左边）要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小分析： PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，使 P、Q“接头”，转化为基本模型解：将点 A 沿着平行于l 的方向，向右移至A′，使AA′=PQ=a,连接 A′B 交直线 l 于点 Q，在 l 上截取PQ=a（ P 在 Q左边），则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为A′B+PQ，即 A′B+a理由：易知四边形APQA′为平行四边形，则PA=QA′，当 A′、 Q、 B 三点共线时， QA′+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小 .7.已知：如图，定点A、 B 分布于直线l 的同侧，长度a(a 为定值 ) 的线段 PQ在 l 上移动（ P 在 Q左边）要求：确定PQ的位置，使得四边形 APQB周长最小分析： AB长度确定，只需AP+PQ+QB最小，通过作A 点关于 l 的对称点，转化为上述模型3解：作 A 点关于 l 的对称点A′，将点 A′沿着平行于l的方向，向右移至A′′，使 A′A′′=PQ=a，连接 A′B交 l 于 Q，在 l 上截取 QP=a（ P 在 Q左边），线段PQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为A′B+AB+PQ，即 A′′B+AB+a典型例题 2-1如图，在矩形 ABCD中，AB=10，BC=5，若点 M、N 分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为．【分析】符合拓展模型 2 的特征，作点 B 关于 AC的对称点E，再过点 E 作 AB的垂线段，该垂线段的长即BM+MN的最小值，借助等面积法和相似可求其长度.【解答】作点 B 关于 AC的对称点E，再过点 E 作 EN⊥ AB 于 N，则 BM+MN=EM+MN，其最小值即EN长；∵ AB=10， BC=5，∴ AC=AB2BC2=55，等面积法求得AC边上的高为10 5=25，∴BE=45，5 5易知△ ABC∽△ ENB，∴，代入数据解得EN=8．即BM+MN的最小值为 8．【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的对称点易解 .典型例题 2-2如图，∠ AOB=60°，点 P 是∠ AOB内的定点且 OP=，点M、N分别是射线 OA、OB上异于点O的动点，则△ PMN周长的最小值是（）A．B．C．6D．3【分析】符合拓展模型 3 的特征；作P 点分别关于OA、OB的对称点C、 D，连接 CD分别交OA、 OB 于M、 N，此时△PMN周长最小，其值为CD长；根据对称性连接OC、OD，分析条件知△OCD是顶角为120°的等腰三角形，作底边上高，易求底边CD.【解答】作 P 点分别关于OA、 OB的对称点C、 D，连接 CD分别交 OA、 OB于 M、 N，如图，则MP=MC，NP=ND， OP=OD=OC= ，∠ BOP=∠ BOD，∠ AOP=∠ AOC，∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠ BOP+∠ BOD+∠AOP+∠ AOC=2∠AOB=120°，∴此时△ PMN周长最小，作 OH⊥CD于 H，则 CH=DH，∵∠ OCH=30°，∴ OH= OC=，CH= OH= ，∴ CD=2CH=3．即△ PMN周长的最小值是3；故选： D．【小结】根据对称的性质，发现△OCD是顶角为 120°的等腰三角形，是解题的关键，也是难点.典型例题 2-3如图，已知平行四边形ABCO，以点 O为原点， OC所在的直线为x 轴，建立直角坐标系， AB 交 y 轴于点 D， AD=2， OC=6，∠ A=60°，线段 EF 所在的直线为 OD的垂直平分线，点 P 为线段 EF 上的动点， PM⊥ x 轴于点 M点，点 E 与 E′关于 x 轴对称，连接 BP、 E′ M．（1）请直接写出点 A 坐标为，点B坐标为；（2）当 BP+PM+ME′的长度最小时，请求出点P 的坐标 .【分析】（ 1）解直角三角形求出OD， BD的长即可解决；（2）符合“搭桥模型” 的特征；首先证明四边形 OPME′是平行四边形，可得 OP=EM，PM是定值， PB+ME′=OP+PB的值最小时， BP+PM+ME′的长度最小，此时 P 点为直线OB与EF 的交点，结合OB的解析式可得P 点坐标；【解答】（ 1）在 Rt △ ADO中，∵∠ A=60°， AD=2，∴ OD=2?tan60 ° =2，∴ A（﹣2，2），∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，DB=6 2=4 B 42（2）如图，连接 OP．∵ EF 垂直平分线段 OD，PM⊥ OC，∴∠ PEO=∠ EOM=∠ PMO=90°，∴四边形 OMPE是矩形，∴ PM=OE= ，∵ OE=OE′，∴ PM=OE′， PM∥OE′，∴四边形 OPME′是平行四边形 ,∴OP=EM，∵ PM是定值，∴ PB+ME′ =OP+PB的值最小时， BP+PM+ME′的长度最小，∴当 O、 P、 B 共线时， BP+PM+ME′的长度最小，∵直线OB的解析式为y=x，∴ P（2，）．【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边形）的方法，转化为基本模型.典型例题 2-4如图所示，在平面直角坐标系中， Rt △ AOB的顶点坐标分别为A（﹣ 2， 0），O（ 0， 0）， B（ 0，4），把△ AOB绕点 O按顺时针方向旋转 90°，得到△ COD．（1）求 C、 D 两点的坐标；（2）求经过 A、 B、D 三点的抛物线的解析式；（3）在（ 2）中抛物线的对称轴上取两点E、 F（点 E 在点 F的上方），且 EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出 E、F 两点的坐标．【分析】符合拓展模型7 的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、 F 点，结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出E、F 坐标 .【解答】（ 1）由旋转的性质可知：OC=OA=2， OD=OB=4,∴ C点的坐标是（ 0， 2），D点的坐标是（4，0），（2）设所求抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c，4a-2b+c=0由题意，得16a+4b+c=0c=4解得 a=-，b=1，c=4，∴所求抛物线的解析式为y=-2；（3）只需 AF+CE最短，抛物线y=-2的对称轴为x=1，将点 A 向上平移至A1（﹣ 2， 1），则 AF=A1E，作 A1关于对称轴x=1 的对称点A2（ 4， 1），连接 A2C，A2C与对称轴交于点E，E 为所求，可求得A2C 的解析式为 y=-，当x=1时，y=，∴点E的坐标为(1,) ，点 F 的坐标为 (1,) ．【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”；其中，作对称和平移的顺序可互换.变式训练 2-1几何模型：条件：如图1， A， B 是直线 l 同旁的两个定点．问题：在直线l 上确定一点P，使 PA+PB的值最小．方法：作点 A 关于直线l 的对称点A’，连接 A’ B 交 l 于点 P，即为所求 . （不必证明）模型应用：（ 1）如图 2，已知平面直角坐标系中两定点A（ 0，﹣ 1）和 B（ 2，﹣ 1）， P 为 x 轴上一动点，则当PA+PB的值最小是点P 的横坐标是，此时PA+PB=．（2）如图 3，正方形 ABCD的边长为 4， E 为 AB的中点， P 是 AC上一动点，连接 BD，由正方形对称性可知， B 与 D 关于直线 AC对称．连接 ED交 AC于 P，则 PB+PE的最小值是．（ 3）如图 4，在菱形ABCD中， AB=10，∠ DAB=60°， P 是对角线AC上一动点， E， F 分别是线段AB和BC上的动点，则PE+PF的最小值是．（ 4）如图 5，在菱形ABCD中， AB=6，∠ B=60°，点AG， AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是G是边．CD边的中点，点E． F 分别是变式训练 2-2如图，矩形 ABCD中， AD=15， AB=10， E 为 AB边上一点，且DE=2AE，连接 CE与对角线 BD交于 F；若 P、 Q分别为 AB 边和BC边上的动点，连接 EP、 PQ和 QF；则四边形 EPQF周长的最小值是 ___________.变式训练 2-3如图，已知直线 l∥ l， l 、l2之间的距离为8，点 P 到直线 l的1211距离为 6，点 Q到直线 l 2的距离为 4， PQ=4 ，在直线 l 1上有一动点 A，直线l 2上有一动点B，满足AB⊥l 2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ．变式训练 2-4如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC的边 OA在 y 轴的正半轴上，OC在x 轴的正半轴上，OA=AB=2， OC=3，过点 B 作 BD⊥ BC，交 OA于点 D．将∠ DBC绕点 B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E和 F．（1）求经过A、 B、C 三点的抛物线的解析式；（2）当 BE经过（ 1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点 Q 在点 P 的上方），且 PQ=1，要使四边形 BCPQ 的周长最小，求出 P、 Q两点的坐标．中考真题1. 要在街道旁建奶站，向居民区A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B 到它的距离之和最短？小聪以街道为x 轴，建立了如图所示的平面直角坐标系， A 点坐标为（0，3）， B 点坐标为（ 6， 5），则 A、 B 两点到奶站距离之和的最小值是．2.如图，矩形 ABOC的顶点 A 的坐标为（﹣ 4， 5）， D是 OB的中点， E 是 OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点 E 的坐标是（）A．（ 0，）B．（ 0，）C．（ 0， 2）D．（ 0，）3. 如图，在矩形ABCD中， AB=5， AD=3，动点P 满足S△PAB=1 S 矩形ABCD，则点P 到A、 B 两点距3离之和PA+PB的最小值为（）A．B．C． 5D．4. 已知抛物线y=x2+1 具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（， 3）， P 是抛物线y=x2+1 上一个动点，则△ PMF周长的最小值是（）A．3B．4C． 5D．65.如图，点 A（ a，3），B（b，1）都在双曲线 y= 上，点 C，D，分别是 x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（）A．B．C． D ．6.如图，在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， AC=3， BC=4，D、E 分别是 AB、BC边上的动点，则 AE+DE的最小值为（）A．B．C．5D．7. 如图， Rt△ ABC中，∠BAC=90°， AB=3， AC=6，点D， E 分别是边BC， AC 上的动点，则 DA+DE的最小值为．8.如图，等腰△ ABC的底边 BC=20，面积为 120，点 F 在边 BC上，且 BF=3FC，EG是腰 AC的垂直平分线，若点 D 在EG上运动，则△CDF周长的最小值为．9. 如图，菱形ABCD的边长为6，∠ ABC=120°， M 是上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（BC边的一个三等分点，）P 是对角线ACA．B．C．D．10.如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=6， BC=8， AD平分∠ CAB交 BC于 D 点， E， F 分别是 AD， AC上的动点，则 CE+EF的最小值为（）A．B．C．D．611.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y=（ x＞0）的图象与边长是 6 的正方形 OABC的两边 AB，BC分别相交于 M，N 两点．△ OMN的面积为10．若动点 P 在 x 轴上，则 PM+PN的最小值是（）A． 6B． 10C．2D．212. 如图，△ ABC中， AC=BC=2，AB=1，将它沿 AB翻折得到△ ABD，则四边形 ADBC的形状是形，P、E、F分别为线段AB、AD、 DB 上的任意点，则PE+PF的最小值是．13. 如图，已知抛物线y= x2+bx+c 与直线 y= x+3 交于 A，B 两点，交x 轴于 C、 D 两点，连接 AC、 BC，已知 A（ 0，3）， C（﹣ 3， 0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴 l 上找一点 M，使 |MB﹣ MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点 P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点 P 作 PQ⊥ PA 交 y 轴于点 Q，问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14. 如图，在四边形ABCD中，∠ B=∠ C=90°， AB＞ CD， AD=AB+CD．（1）用尺规作∠ ADC的平分线 DE，交 BC于点 E，连接 AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（ 1）的条件下，①证明： AE⊥ DE；②若 CD=2， AB=4，点 M，N 分别是 AE， AB 上的动点，求B M+MN的最小值．15. 如图，抛物线y=ax2+bx+c （ a≠ 0）经过点A（﹣ 1， 0），B（ 3， 0）， C（ 0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）连接 AC、 BC，N 为抛物线上的点且在第四象限，当（3）在（ 2）问的条件下，过点 C 作直线 l ∥ x 轴，动点S△NBC=S△ABC时，求 N点的坐标；P（ m，3）在直线 l 上，动点 Q（ m，0）在 x 轴上，连接 PM、PQ、NQ，当 m为何值时， PM+PQ+QN的和最小，并求出 PM+PQ+QN 和的最小值．16. 如图，直线 y=5x+5 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点C，过 A， C 两点的二次函数2y=ax +4x+c的图象交 x 轴于另一点 B．（1）求二次函数的表达式；（2）连接 BC，点 N是线段 BC上的动点，作 ND⊥ x 轴交二次函数的图象于点D，求线段 ND 长度的最大值；（3）若点 H为二次函数 y=ax2+4x+c 图象的顶点，点M（ 4，m）是该二次函数图象上一点，在 x 轴、 y 轴上分别找点F， E，使四边形 HEFM的周长最小，求出点 F，E 的坐标．17. 如图 1，已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴从左至右交于A， B 两点，与 y轴交于点C．（1）若抛物线过点 T（ 1，﹣），求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以 A、B、D 三点为顶点的三角形与△ ABC相似？若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理由．（3）如图 2，在（ 1）的条件下，点 P 的坐标为（﹣ 1，1），点 Q（6， t ）是抛物线上的点，在 x 轴上，从左至右有M、N 两点，且 MN=2，问 MN在 x 轴上移动到何处时，四边形PQNM的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标．18. 如图，对称轴为直线x=2 的抛物线经过A（﹣ 1， 0）， C（ 0， 5）两点，与x 轴另一交点为 B．已知 M（ 0， 1）， E（a， 0）， F（a+1， 0）， P 是第一象限内抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当 a=1 时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P 的坐标；（3）若△ PCM是以点 P 为顶点的等腰三角形，求 a 为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．19. 探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2），可通过构造直角三角形利用图1 得到结论：P1P2= 他还利用图 2 证明了线段 P1P2的中点 P（ x，y）P 的坐标公式：x=， y=．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（ 2）①已知点M（ 2，﹣ 1）， N（﹣ 3， 5），则线段MN长度为；②直接写出以点A（ 2，2），B（﹣ 2，0），C（ 3，﹣ 1）， D为顶点的平行四边形顶点D 的坐标：；拓展：（3）如图3，点P（ 2， n）在函数y=x（ x≥ 0）的图象OLx 轴正半轴夹角的平与E、 F，使△PEF 的周长最小，简要叙述作图分线上，请在OL、 x 轴上分别找出点方法，并求出周长的最小值．20.如图，直线 y=kx+b （ k、 b 为常数）分别与 x 轴、 y 轴交于点 A（﹣ 4，0）、B（ 0，3），抛物线 y=﹣ x2+2x+1 与 y 轴交于点 C．（1）求直线y=kx+b 的函数解析式；（2）若点 P（ x， y）是抛物线y=﹣ x2+2x+1 上的任意一点，设点P 到直线 AB 的距离为d，求 d 关于 x 的函数解析式，并求 d 取最小值时点P 的坐标；（3）若点 E 在抛物线 y= ﹣ x2 +2x+1 的对称轴上移动，点 F 在直线 AB上移动，求CE+EF的最小值．21.如图①，在平面直角坐标系中， OA=6，以 OA为边长作等边三角形 ABC，使得 BC∥ OA，且点B、C 落在过原点且开口向下的抛物线上．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在图①中，假设一动点 P 从点 B 出发，沿折线 BAC的方向以每秒 2 个单位的速度运动，同时另一动点 Q从 O点出发，沿 x 轴的负半轴方向以每秒 1 个单位的速度运动，当点 P 运动到 A 点时， P、 Q都同时停止运动，在 P、Q的运动过程中，是否存在时间 t ，使得 PQ⊥ AB，若存在，求出 t 的值，若不存在，请说明理由；（3）在 BC边上取两点 E、 F，使 BE=EF=1个单位，试在 AB 边上找一点 G，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得四边形 EGHF的周长最小，并求出周长的最小值．本人所著《初中几何模型与解题通法》已发行，可在当当、淘宝和京东搜索购买特色： 1.由一线名师编写，更专业权威，各地历年中考压轴题几乎都能在书中找到对应的模型和方法，甚至出现大量高度类似题。

将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营。

问如何行走才能使总的路程最短。

模型一(两点在河的异侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。

模型二(两点在河的同侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，连接AB',与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB'的长。

模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。

方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P'、P''，连接P'P''，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P'P''的长。

模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。

方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P'、Q'，连接P'Q'，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P'Q')的长。

“将军饮马”类题型大全一．求线段和最值1（一）两定一动型例1：如图，AM⊥EF，BN⊥EF，垂足为M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m， P是EF 上任意一点，则PA＋PB的最小值是______m．分析：这是最基本的将军饮马问题，A，B是定点，P是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A关于EF的对称点A’，根据两点之间，线段最短，连接A’B，此时A’P＋PB即为A’B，最短．而要求A’B，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决．解答：作点A关于EF的对称点A’，过点A’作A’C⊥BN的延长线于C．易知A’M＝AM＝NC＝5m，BC＝9m，A’C＝MN＝12m，在Rt△A’BC中，A’B＝15m，即PA＋PB的最小值是15m．变式：如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F，G为各边中点，P为线段EF上一动点，则△BPG周长的最小值为_________．分析：考虑到BG为定值是1，则△BPG的周长最小转化为求BP＋PG的最小值，又是两定一动的将军饮马型，考虑作点G关于EF的对称点，这里有些同学可能看不出来到底是哪个点，我们不妨连接AG，则AG⊥BC，再连接EG，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得AE＝EG，则点A就是点G关于EF的对称点．最后计算周长时，别忘了加上BG的长度．解答：连接AG，易知PG＝PA，BP＋PG＝BP＋PA，当B，P，A三点共线时，BP＋PG＝BA，此时最短，BA＝2，BG＝1，即△BPG周长最短为3.2（二）一定两动型例2：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D为BC中点，AD＝5，P为AD上任意一点，E 为AC上任意一点，求PC＋PE的最小值．分析：这里的点C是定点，P，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于△ABC 是等腰三角形，AD是BC中线，则AD垂直平分BC，点C关于AD的对称点是点B，PC＋PE＝PB＋PE，显然当B，P，E三点共线时，BE更短．但此时还不是最短，根据“垂线段最短” 只有当BE⊥AC时，BE最短．求BE时，用面积法即可．解答：作BE⊥AC交于点E，交AD于点P，易知AD⊥BC，BD＝3，BC＝6，则AD·BC＝BE·AC，4×6＝BE·5，BE＝4.8变式：如图，BD平分∠ABC，E，F分别为线段BC，BD上的动点，AB＝8，△ABC的周长为20，求EF＋CF的最小值________．分析：这里的点C是定点，F，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，我们习惯于“定点定线作对称”，但这题这样做，会出现问题．因为点C的对称点C’必然在AB上，但由于BC长度未知，BC’长度也未知，则C’相对的也是不确定点，因此我们这里可以尝试作动点E关于BD的对称点．解答：如图，作点E关于BD的对称点E’，连接E’F，则EF＋CF＝E’F＋CF，当E’，F，C三点共线时，E’F＋CF＝E’C，此时较短．过点C作CE’’⊥AB于E’’，当点E’ 与点E’’重合时，E’’C最短，E’’C为AB边上的高，E’’C＝5.（三）两定两动型例3：如图，∠AOB＝30°，OC＝5，OD＝12，点E，F分别是射线OA，OB上的动点，求CF＋EF＋DE的最小值.分析：这里的点C，点D是定点，F，E是动点，属于两定两动的将军饮马模型，依旧可以用“定点定线作对称”来考虑．作点C关于OB的对称点，点D关于OA的对称点．解答：作点C关于OB的对称点C’，点D关于OA的对称点D’，连接C’D’． CF＋EF＋DE＝C’F＋ EF＋D’E，当C’，F， E，D’四点共线时，CF＋EF＋DE＝C’D’最短．易知∠D’OC’＝90°，OD’＝12，OC’＝5，C’D’＝13，CF＋EF＋DE最小值为13．变式：（原创题）如图，斯诺克比赛桌面AB宽1.78m，白球E距AD边0.22m，距CD 边1.4m，有一颗红球F紧贴BC边，且距离CD边0.1m，若要使白球E经过边AD，DC，两次反弹击中红球F，求白球E运动路线的总长度．分析：本题中，点E和点F是定点，两次反弹的点虽然未知，但我们可以根据前几题的经验作出，即分别作点E关于AD边的对称点E’，作点F关于CD边的对称点F’，即可画出白球E的运动路线，化归为两定两动将军饮马型．解答：作点E关于AD边的对称点E’，作点F关于CD边的对称点F’，连接E’F’，交AD于点G，交CD于点H，则运动路线长为EG＋GH＋HF长度之和，即E’F’长，延长E’E交BC于N，交AD于M，易知E’M＝EM＝0.22m，E’N＝1.78＋0.22＝2m，NF’＝NC＋CF’＝1.4＋0.1＝1.5m，则Rt△E’NF’中，E’F’＝2.5m，即白球运动路线的总长度为2.5m．小结：以上求线段和最值问题，几乎都可以归结为“两定一动”“一定两动”“两定两动”类的将军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称”，利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”的2条重要性质，将线段和转化为直角三角形的斜边，或者一边上的高，借助勾股定理，或者面积法来求解．当然，有时候，我们也需学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点对称．（二）求角度例1:P为∠AOB内一定点，M，N分别为射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN＝80°．（1）∠AOB＝_____°（2）求证：OP平分∠MPN分析：这又是一定两动型将军饮马问题，我们应该先将M，N的位置找到，再来思考∠AOB 的度数，显然作点P关于OA的对称点P’，关于OB的对称点P’’，连接P’P’’，其与OA交点即为M，OB交点即为N，如下图，易知∠DPC与∠AOB互补，则求出∠DPC的度数即可．解答：（1）法1：如图，∠1＋∠2＝100°，∠1＝∠P’＋∠3＝2∠3，∠2＝∠P’’＋∠4＝2∠4，则∠3＋∠4＝50°，∠DPC＝130°，∠AOB＝50°．再分析：考虑到第二小问要证明OP平分∠MPN，我们就连接OP，则要证∠5＝∠6，显然很困难，这时候，考虑到对称性，我们再连接OP’，OP’’，则∠5＝∠7，∠6＝∠8，问题迎刃而解．解答：（1）法2：易知OP’＝OP’’，∠7＋∠8＝∠5＋∠6＝80°，∠P’OP’’＝100°，由对称性知，∠9＝∠11，∠10＝∠12，∠AOB＝∠9＋∠10＝50°（2）由OP’＝OP’’，∠P’OP’’＝100°知，∠7＝∠8＝40°，∠5＝∠6＝40°，OP平分∠MPN．变式：如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为________．分析：这又是典型的一定两动型将军饮马问题，必然是作A点关于BC、DE的对称点A′、A″，连接A′A″，与BC、DE的交点即为△AMN周长最小时M、N的位置．解答：如图，∵∠BAE＝136°，∴∠MA′A＋∠NA″A＝44°由对称性知，∠MAA′＝∠MA′A，∠NAA″＝∠NA″A，∠AMN＋∠ANM＝2∠MA′A＋2∠NA″A＝88°思考题：1.（2017·安顺）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_______．2.（2017·安徽改编）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3．P为矩形ABCD内一点，若矩形ABCD面积为△PAB面积的4倍，则点P到A，B两点距离之和PA+PB 的最小值为________．。

将军饮马问题问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；1.两点之间，线段最短；.垂线段最短3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.基本模型1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小, 即为所求，点PP解：连接AB交直线l于点PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′，在△ABP'中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则需PA′+PB值最小，从而转化为模型1.3.两的同侧（A、B已知：如图，定点A、B分布在定直线l 的距离不相等）点到l︱的值最大P，使PA-PB︱要求：在直线l上找一点 P，点P即为所求；解：连接BA并延长，交直线l于点的一点P′，︱=AB，在l上任取异于点P此时︱理由：PA-PB ︱<AB，，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B′连接AP、BP′︱PA-PB︱′A-P′B︱<即︱P两B分布在定直线l的两侧（A、已知：如图，定点A、B 4.的距离不相等）点到l︱的值最大上找一点P，使︱PA-PB要求：在直线l 并延长交连接B′A解：作点B关于直线l的对称点B′，P于点，点P即为所求；为线段BB′的中垂线，由中垂理由：根据对称的性质知l ′，要使︱PA-PB︱最大，则需线的性质得：PB=PB3.′︱值最大，从而转化为模型︱PA-PB1-1典型例题2分DA和点B，点Cx+4如图，直线y=与x轴、y轴分别交于点3最小时，为OA上一动点，当PC+PD、别为线段ABOB的中点，点P_________. _________，此时的最小值为PC+PD点P的坐标为，连轴的对称点D'的特征，作点【分析】符合基本模型2D关于x为CDx轴于点P，此时PC+PD 值最小，由条件知CD'接交长，从OPCDD'的中位线，易求△的中位线，△BAOOP为长，可用勾股定理CD'PC+PD而求出P点坐标；的最小值即.（或两点之间的距离公式，实质相同）计算轴x′交CD′，连接D轴的对称点x关于D，作点CD】连接解答【．2x=0，则y=4，于点P，此时PC+PD值最小．令y=x+4中322的坐标，∴点Ay=0∴点B坐标（0，4）；令y=x+4中，则x+4=0，解得：x=﹣633的中位线，BAO的中点，∴CD为△为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB1AO=3CD=，∴CD∥x轴，且2′的中点，O为DDD∵点′和点D关于x轴对称，∴31OP=CD=-1D′（0，），∴OP为△CDD′的中位线，∴，223△CDD′中，∴点P的坐标为（﹣，0）．在Rt22222?4DDCD3??5.CD′=的最小值为=5，即=PC+PD 坐标；若题型变、点P【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C CD′的解析不是化，C、DAB和OB中点时，则先求直线.P的坐标式，再求其与x轴的交点1-2典型例题B ，点1）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，3最，点的坐标为（，﹣2）P在直线y=﹣x上运动，当|PA﹣PB|2_________. PB|的最大值是P大时点的坐标为_________，|PA﹣，y=【分析】符合基本模型4的特征，作A关于直线﹣x 对称点C x连接BC，可得直线BC的方程；求得BC与直线y=﹣的交点P的坐标；此时|PA﹣PB|=|PC﹣PB|=BC取得最大值，.再用两点之间的距离公式求此最大值BCBC，可得直线；连接的坐标为（﹣1，0）C解答【】作A 关于直线y=﹣x对称点，易得C44|PA）；此时4P为（4，﹣的方程为y=﹣xy=﹣，与直线﹣x联立解得交点坐标552241)(?2(?1)?3 PB|=|PC﹣PB|=BCBC==取得最大值，最大值；﹣22.，需作一次对称点，连线得交点2和4】【小结“两点一线”大多考查基本模型1-1变式训练），，已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（50最短0D（，1），当CP+DPOBOB=45，点P是对角线上的一个动点，√时，点P的坐标为（）510361，．）1． 00．A（，） B（，C（（．） D，）77552．1-2变式训练AC=2，和如图，菱形ABCD中，对角线ACBD交于点O，的上一动点，则PE+PB3,E为AB的中点，P为对角线BD=2AC√__________. 最小值为1-3变式训练112与直线交于x+bx+cD，抛物线y=x+1如图，已知直线y=与y轴交于点A，与x轴交于点22．01，）A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（）求该抛物线的解析式；（1. 的值最大，求出点MC|M的坐标（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣拓展模型1.已知：如图，A为锐角∠MON外一定点；，使上找一点Q上找一点P，在射线ON要求：在射线OM. AP+PQ的值最小解：过点A作AQ⊥ON于点Q，AQ与OM相交于点P，此时，AP+PQ最小；理由：AP+PQ≧AQ，当且仅当A、P、Q三点共线时，AP+PQ取得最小值AQ，根据垂线段最短，当AQ⊥ON时，AQ最小.2.已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；，使上找一点ONQ，在射线上找一点要求：在射线OMP.的值最小 AP+PQ．ONAQ⊥的对称点A′，过点A′作解：作点A关于OM AP+PQ最小；交OM于点P，此时于点Q，A′QAP+PQ最小，AP=A′P，要使理由：由轴对称的性质知1 P+PQ最小，从而转化为拓展模型只需A′为锐角∠MON内一定点；已知：如图，A 3.，使，在射线ON上找一点Q要求：在射线OM上找一点P 的周长最小△APQ的对,关于ON 解：分别作A点关于直线OM的对称点A1于点ONQ，点A交OM于点P，交称点A，连接 A221即为所求，此时△APQ周长最小，最小值P和点Q AA的长度；即为线段21，△APQ的周AP=AP，AQ=AQ理由：由轴对称的性质知21 A四点共线、P、Q、P+PQ+A长AP+PQ+AQ=AQ，当A2112. 时，其值最小内两个定点；B为锐角∠MON、已知：如图，A 4.四边形上找一点Q，使要求：在OM上找一点P，在ON APQB的周长最小，作点B关于直线A 关于直线OM的对称点A′解：作点 Q，P，交ON于交的对称点ONB′，连接A′B′OM于周长的、点Q即为所求，此时四边形APQB则点P′′B的长度之和；最小值即为线段AB和A ,将PA理由：AB长为定值，由基本模型将PA转化为′ B′四点共线时，、、′QB转化为QB，当A′P、Q . QBPQPA′+′+PAPQ QB的值最小，即++的值最小下方的定分别为m上方和n已知：如图，直线m∥n,A、B5.搭桥模型垂直）（直线AB不与m点，. 最小PQ，使得AP+PQ+BQ之间求作垂线段要求：在m、n 最小，可通过平移，使PQ为定值，只需AP+BQ分析：，转化为基本模型、Q“接头”P 的方向，向下平移至A沿着平行于PQ解：如图，将点交直线n于点′AA′=PQ，连接AB点A′，使得，线段PQ即⊥n，交直线m于点PQ，过点Q作PQ.为所求，此时AP+PQ+BQ最小′=PA，理由：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA +BQ最小，即、A′三点共线时，QA′当B、Q.AP+PQ+BQ最小AP+BQ最小，PQ长为定值，此时al两侧，长度为A、B分布于直线6.已知：如图，定点左边）上移动（P在Q (a为定值)的线段PQ在l最小要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB的值最小，可通过平移，PQ为定值，只需AP+QB 分析：，转化为基本模型、Q“接头”使P A′，使解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至l上截取交直线Bl于点Q，在AA′=PQ=a,连接A′ PQ即为所求，此时在Q左边），则线段PQ=a （PB+a ′′B+PQ，即AAP+PQ+QB的最小值为A ′为平行四边形，则PA=QA，理由：易知四边形APQA′PA+QB +QB最小，即、QB三点共线时，QA′A当′、.值最小最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QBal的同侧，长度、7. 已知：如图，定点AB分布于直线左边）Q在P上移动（l在PQ的线段)为定值(a周长最小要求：确定PQ的位置，使得四边形APQB点分析：AB长度确定，只需AP+PQ+QB最小，通过作A3的对称点，转化为上述模型关于llAl的对称点A′，将点′沿着平行于解：作A点关于B ′A′′=PQ=a，连接A′′的方向，向右移至A′′，使A （P在Q左边），线段交l于Q，在l上截取QP=a APQB周长的最小值为PQ即为所求，此时四边形B+AB+aA′′′′B+AB+PQ，即A2-1典型例题、AC、N分别是线段如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，若点M ．上的两个动点，则ABBM+MN 的最小值为，再过EAC的对称点关于【分析】符合拓展模型2的特征，作点B的最小值，借BM+MNAB的垂线段，该垂线段的长即点E作.助等面积法和相似可求其长度，BM+MN=EM+MN作EN⊥AB于N，则E解答【】作点B关于AC的对称点E，再过点，其最小值即EN长；∵AB=10，BC=522BCAB?5，∴=5AC=510?55， =2等面积法求得ACBE=4边上的高为，∴55，∴∽△ABCENBEN=8．易知△，代入数据解得 8．即BM+MN的最小值为】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作【小结有些题则作动点的定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，.对称点易解2-2典型例题分别、NAOB内的定点且OP=，点MP如图，∠AOB=60°，点是∠）（的动点，OB上异于点O则△PMN周长的最小值是、是射线OAC．．AB．．6 D3分别交D，连接CDOA、OB的对称点C、【分析】符合拓展模型3的特征；作P点分别关于，OC、OD，此时△PMN周长最小，其值为CD长；根据对称性连接OA、OB于M、NCD.是顶角为120°的等腰三角形，作底边上高，易求底边分析条件知△OCD N，如图，、OB于M、的对称点OA、OBC、D，连接CD分别交OA【解答】作P点分别关于，BOD，∠AOP=∠AOC则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠°，∠AOC=2∠AOB=120PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∴，⊥CD于H∴此时△PMN周长最小，作OHOC=OH=，则CH=DH，∵∠OCH=30°，∴CD=2CH=3．CH=OH=，∴即△PMN周长的最小值是3；故选：D．【小结】根据对称的性质，发现△OCD是顶角为120°的等腰三角形，是解题的关键，也是难点.2-3典型例题所在的直线为原点，OCABCO，以点O如图，已知平行四边形，，OC=6D，AD=2轴于点为x轴，建立直角坐标系，AB交y为点P所在的直线为OD的垂直平分线，∠A=60°，线段EF轴x与E′关于线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E ′M．对称，连接BP、E ；（1）请直接写出点A坐标为，点B坐标为. 的坐标BP+PM+ME′的长度最小时，请求出点P（2）当的长即可解决；，BD【分析】（1）解直角三角形求出OD，可得OP=EM符合（2）“搭桥模型”的特征；首先证明四边形OPME′是平行四边形，点为P′的长度最小，此时PM是定值，PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME 点坐标；OB与EF的交点，结合OB的解析式可得P直线 ADO中，∵∠A=60°，AD=2，（【解答】1）在Rt △，）°OD=2?tan60=2，∴A（﹣2，2∴，∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6）4B（，22=4∴DB=6﹣，∴，，∵如图，（2）连接OP．EF垂直平分线段ODPM⊥OC PEO=是矩形，°，∴四边形∠∠EOM=PMO=90OMPE∴∠′，∴，∵∴PM=OE=OE=OEPM=OE′，OE∥′，PM,′是平行四边形OPME∴四边形．′的长度最小，∴OP=EM，∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+MEB共线时，BP+PM+ME′的长度最小，∵直线OB的解析式为y=，x∴当O、P、．2，）（∴P（构造平行四边求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移【小结】.形）的方法，转化为基本模型2-4典型例题的顶点坐标分△AOB如图所示，在平面直角坐标系中，RtOAOB4），把△绕点）（﹣2，0，O（0，0），B（0，别为A 90°，得到△COD．按顺时针方向旋转C、D两点的坐标；（1）求三点的抛物线的解析式；、D（2）求经过A、BFE在点E（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点、F（点、求出E的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，两点的坐标．F点，结合直线的F【分析】符合拓展模型7的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、、解析式和抛物线的对称轴可解出EF坐标. 解答】（1）由旋转的性质可知：OC=OA=2，OD=OB=4,∴C点的坐【，0）D），点的坐标是（4，标是（0，22，（2）设所求抛物线的解析式为y=ax+bx+c 4a-2b+c=016a+4b+c=0由题意，得 c=41，，b=1，c=4解得a=-21+4；x2+x y=-∴所求抛物线的解析式为21，+x+4的对称轴为x=1x2y=-最短，抛物线3）只需AF+CE（2A关于对称轴x=1的对称点，作2将点A向上平移至A（﹣，1），则AF=AE111的解析式，与对称轴交于点EE为所求，可求得ACCC1（A4，），连接A，A22223771y=+x2，当x=1时， )的坐标为，点)为y=-(1,E，∴点的坐标为F(1,．4444. 】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”【小结；其中，作对称和平移的顺序可互换2-1变式训练几何模型： l同旁的两个定点．条件：如图1，A，B是直线的值最小．P问题：在直线l上确定一点，使PA+PB （不必证明）B交l于点P，即为所求.方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A' 模型应用：轴上一动1），P为xA）如图2，已知平面直角坐标系中两定点（0，﹣1）和B（2，﹣（1 ，此时PA+PB= ．点，则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是，由BD的中点，P是AC上一动点，连接）如图3，正方形ABCD的边长为4，E为AB2（的最小PB+PEAC于P，则正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交值是．分别F上一动点，E，DAB=60中，AB=10，∠°，P是对角线AC3（）如图4，在菱形ABCD ．的最小值是是线段AB和BC上的动点，则PE+PF分别是FE．°，点B=60G是边CD边的中点，点）如图（45，在菱形ABCD中，AB=6，∠．AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是AG，变式训练2-2如图，矩形ABCD中，AD=15，AB=10，E为AB边上一点，且DE=2AE，连接CE与对角线BD交于F；若P、Q分别为AB边和BC边上的动点，连接EP、PQ和QF；则四边形EPQF周长___________.的最小值是2-3变式训练的P到直线l，l、l之间的距离为8，点如图，已知直线l∥l11212距上有一动PQ=4l的距离为4，，在直线l离为6，点Q到直线12最小，此时，满足AB⊥l，且PA+AB+BQ点A，直线l上有一动点B22．PA+BQ=2-4变式训练在OC的边OA在y轴的正半轴上，中，直角梯形如图，已知在平面直角坐标系xOyOABC 按顺BD．将∠DBC绕点作OC=3，过点BBD⊥BC，交OA于点x轴的正半轴上，OA=AB=2， E和F．x 时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、轴的正半轴于点 B、C三点的抛物线的解析式；（1）求经过A、）中抛物线的顶点时，求CF的长；（2）当BE经过（1BCPQPQ=1，要使四边形（点Q在点P的上方），且Q（3）在抛物线的对称轴上取两点P、 Q两点的坐标．的周长最小，求出P、中考真题1.要在街道旁建奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？小聪以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，A点坐标为（0，3），B点坐标为（6，5），则A、B两点到奶站距离之和的最小值是．2.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△）的坐标是（E的周长最小时，点ADE．，）（0，2） D．（0（A．（0，） B．0，） C．1两点距、满足S=BS，则点P到A3.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P ABCDPAB△矩形3）离之和PA+PB的最小值为（．5C． DA． B．，2）的距离与到4.已知抛物线y=x+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F2x0（M的坐标为（y=，3），P是抛物线x+1 PMF周长2上一个动点，轴的距离始终相等，如图，点的最小值是（）则△6DC．．A．3 B45 ．轴上的动点，轴，分别是xyD1B），（b，）都在双曲线y=上，点C，，，点5.如图，A（a3 ）ABCD则四边形周长的最小值为（．CB．． D A．AE+DE边上的动点，则ABDAC=3中，在6.如图，Rt△ABC∠C=90°，，BC=4，、E分别是、BC 的最小值为（）．5DCA．B．．上的动点，，中，∠如图，7.Rt△ABCBAC=90°，AB=3AC=6，点D，分别是边EBCAC，的最小值为则DA+DE ．8.如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为．9.如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC ）的长是（PM的值最小时，PB+PM上的动点，当．．D． B． C． A分F交BC于D点，E，，10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8AD平分∠CAB AC，上的动点，则CE+EF的最小值为（）别是AD6． D．A． B． COABC6的正方形11.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与边长是PM+PNP 两点．△OMN的面积为10．若动点在x轴上，则N 的两边AB，BC分别相交于M，的最小值是（）2．2 D．．A．6 B10 CADBC则四边形翻折得到△ABD，AC=BC=212.如图，△ABC中，，AB=1，将它沿ABPE+PF上的任意点，则、形，的形状是 P、E、F分别为线段ABAD、DB ．的最小值是D轴于，AB两点，交xC、y=y=13.如图，已知抛物线x+bx+c与直线x+3交于）．，，0BC 2两点，连接AC、，已知A（，3）C（﹣30）求此抛物线的解析式；（1的值最大，并求出这个最（2）在抛物线对称轴MD||MB上找一点M，使﹣l 大值；轴y交⊥作，过点轴右侧抛物线上一动点，连接为）点（3PyPAPPQPAABC于点QP，AP，问：是否存在点Q，使得以，为顶点的三角形与△请说的坐标；若不存在，P相似？若存在，请求出所有符合条件的点．明理由．14.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．（1）用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．，3），C（03A（﹣1，0），B（，0y=ax15.如图，抛物线+bx+c（a≠0）经过点的坐标；）2）三点．求抛物线的解析式及顶点M（1 N点的坐标；时，求N为抛物线上的点且在第四象限，当S=S（2）连接AC、BC，ABCNBC△△，（ml上，动点QPx轴，动点（m，3）在直线2（3）在（）问的条件下，过点C作直线l∥ PM+PQ+QN的和最小，并求出m为何值时，PM+PQ+QNPM轴上，连接、PQ、NQ，当0）在x 和的最小值．，过A，两点的二次函数A16.如图，直线y=5x+5交x轴于点，交y轴于点C ．的图2+4x+cy=axC象交x轴于另一点B ）求二次函数的表达式；（1NDD，求线段⊥BC上的动点，作NDx轴交二次函数的图象于点是线段）连接（2BC，点N 长度的最大值；2）是该二次函数图象上一点，4，m图象的顶点，点H（3）若点为二次函数y=ax+4x+cM（的坐标．E，F的周长最小，求出点HEFM，使四边形E，F轴上分别找点y轴、x在．yB两点，与A0）与x轴从左至右交于，（x﹣2）（x+a）（a＞y=17.如图1，已知抛物线 C．轴交于点，求抛物线的解析式；T（1，﹣）（1）若抛物线过点△ B、D三点为顶点的三角形与（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以A、 ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．）是抛物线上的点，6，t1的坐标为（﹣1，），点Q（2（3）如图，在（1）的条件下，点PPQNM轴上移动到何处时，四边形MN=2，问MN在x两点，在x轴上，从左至右有M、N且 M 的坐标．的周长最小？请直接写出符合条件的点轴另一交点x5）两点，与（（﹣1，0），C0，A18.如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过），P是第一象限内抛物线上的动点．0F，，0（，1）E（a0），（a+1，MB为．已知）求此抛物线的解析式；（1 的面积的最大值，并求此时点）当2a=1时，求四边形MEFPP的坐标；（周长最小？请说为顶点的等腰三角形，求是以点）若△（3PCMPaPMEF为何值时，四边形明理由．P探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点19.1=P：P1得到结论三过构造直角角形利用图，（x（，y），Px，y）可通2112221的坐标公式：）P（x，y他还利用图2证明了线段PP的中点P21．，y=x=1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；（ MN长度为；（﹣M2）①已知点（2，﹣1），N3，5），则线段运用：（为顶点的平行四边形顶点D），3（﹣B2，0），C（，﹣12A②直接写出以点（2，），；的坐标：D轴正半轴夹角的平≥x（x0）的图象OL与xy=n2P33拓展：（）如图，点（，）在函数的周长最小，简要叙述作图FExOL分线上，请在、轴上分别找出点、，使△PEF 方法，并求出周长的最小值．20.如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛2物线y=﹣x+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d 2（关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；3）若点E在抛物线y=﹣x+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小2（值．，且OA∥ABC，使得BC21.如图①，在平面直角坐标系中，OA=6，以OA为边长作等边三角形落在过原点且开口向下的抛物线上．B、C点）求这条抛物线的解析式；（1个单位的速度运动，2BAC 的方向以每秒P从点B出发，沿折线在图①中，（2）假设一动点P个单位的速度运动，当点沿点出发，x轴的负半轴方向以每秒1同时另一动点Q从O，使得tQP、的运动过程中，是否存在时间A运动到点时，P、Q都同时停止运动，在的值，若不存在，请说明理由；AB，若存在，求出tPQ⊥，在抛物线的对称边上找一点G，使BE=EF=1个单位，试在ABE3（）在BC边上取两点、F 的周长最小，并求出周长的最小值．H，使得四边形EGHF轴上找一点本人所著《初中几何模型与解题通法》已发行，可在当当、淘宝和京东搜索购买1.特色：由一线名师编写，更专业权威，各地历年中考压轴题几乎都能在书中找到对应的模型和方法，甚至出现大量高度类似题。

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最全“将军饮马”类问题（类型大全+分类汇编）1.如图,直线 l 和 l 的异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小.2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B,在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。

3。

如图，点 P 是∠MON 内的一点，分别在 OM,ON 上作点 A，B。

使△PAB 的周长最小4.如图，点 P,Q 为∠MON 内的两点，分别在 OM,ON 上作点 A，B。

使四边形 PAQB 的周长最小。

最全“将军饮马”类问题(类型大全+分类汇编)5.如图,点 A 是∠MON 外的一点，在射线 OM 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线ON 的距离之和最小6. .如图，点 A 是∠MON 内的一点,在射线 OM 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小最全“将军饮马”类问题(类型大全+分类汇编)二、常见题型三角形问题1．如图,在等边△ABC 中，AB = 6,AD⊥BC，E 是 AC 上的一点,M 是 AD 上的一点，若 AE = 2，求EM+EC 的最小值A解：∵点 C 关于直线 AD 的对称点是点 B，A∴连接 BE,交 AD 于点 M,则 ME+MD 最小，过点 B 作BH⊥AC 于点 H，则 EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC2 - CH2 = 62 — 32 = 3 3在直角△BHE 中，BE =BH2 + HE2 B= (3 3）2 + 12 = 2 7D C B D C2．如图，在锐角△ABC 中，AB = 4 2，∠BAC＝45°,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是．解：作点 B 关于 AD 的对称点B’，过点B’作B’E⊥AB 于点 E，交AD 于点 F，则线段B’E 的长就是 BM＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB’中，根据勾股定理得到，B'E = 4CB’M F D A N E B3．如图，△ABC 中，AB=2,∠BAC=30°，若在 AC、AB 上各取一点 M、N，使 BM+MN 的值最小，则这个最小值C 解:作 AB 关于 AC 的对称线段 AB',过点 B'作B’N⊥AB,垂足为 N，交 AC 于点 M，则 B'N = MB'+MN = MB+MNB’N 的长就是 MB+MN 的最小值则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2，∠ANB’= 90°，∠B’ =30°。

初中将军饮马问题题型总结(全)题型一：将军饮马之单动点1.三角形中的将军饮马题目描述：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD、CE是三角形ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是()解析：连接PC，由于AB=AC，BD=CD，AD垂直于BC，所以PB=PC。

因此，PB+PE=PC+PE，PE+PC>CE，当P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，故选B．2.等边三角形中的将军饮马题目描述：在等边三角形ABC中，AB=2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PE+PC的最小值为()解析：连接BE交AD于点P'，AD、BE分别是等边三角形ABC边BC、AC的垂直平分线，P'B=P'C，P'E+P'C=P'E+P'B=BE。

根据两点之间线段最短，点P在点P'时，PE+PC有最小值，最小值即为BE的长。

因此，BE=BC/2-CE/2=3，所以P'E+P'C的最小值为3，故选C．3.等腰三角形中的将军饮马题目描述：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=4，面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为()解析：连接AD、AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，AD垂直于BC，所以S△ABC=1/2×4×AD=16，解得AD=8.EF是线段AC的垂直平分线，所以点C关于直线EF的对称点为点A，MA=MC，AD=AM+MD，因此AD的长为CM+MD的最小值。

且AC6，BM3，因为BM AD，故BM AC，所以BM是AC的中线，故CM3。

又因为AC是菱形的对角线，所以AC平分DAB，即DAM30。

又因为AM MD，所以ADM75。