将军饮马模型(终稿)教学提纲

将军饮马问题将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。

所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。

而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。

比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。

一旦出现可以快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对称解题。

将军饮马故事“将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”原题：如图，一位将军，从A地出发，骑马到河边给马饮水，然后再到B 地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？•A•B模型一：一条定直线，同侧两定点在直线l的同侧有两点A,B,在L上求一点P，使得PA+PB值最小。

一般做法：作点 A（B）关于直线的对称点，连接 A’B，A’B 与直线交点即为所求点。

A’B即为最短距离。

理由：A’为 A 的对称点，所以无论 P 在直线任何位置都能得到 AP=A’P。

所以 PA+PB=PA’+PB。

这样问题就化成了求 A’到 B 的最短距离，直接相连就可以了。

例一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电。

已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。

（1）如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如图（1）所示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？（2）如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图（2）所示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？第 1 页第 2 页模型二：一条定直线，一定点，一动点如图，已知直线L 和定点A ，在直线K 上找一点B，在直线L 上找一点P ，使得AP+PB 值最小。

做法：做A 点关于l 的对称点A`点，再过A`点做AB 垂直k 于B 点，交l 于P点，此时AP+PB 值最小。

理由：对称后，AP=A`P,A`点到直线k 的最短距离为垂线段A`B ，故AP+PB 的最小值为A`B 。

第1讲将军饮马模型➢知识点睛“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。

一、定直线与两定点模型作法结论A、在直线l异侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA+最小.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA+最小.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最大.PBA、在直线l异侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最大.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最小.PB二、角到定点模型作法结论点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得PCD ∆周长最小.点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得MN PN +最小.点Q P 、在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得四边形PMNQ 周长最小.点M 在AOB ∠的外部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.点M 在AOB ∠的内部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.点Q P 、分别在AOB ∠的边OB OA 、是，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得MQ MN PN ++最小.二、两定点一定长模型作法结论如图在直线l 上找上两点N M 、（M 在左），使NB MN AM ++最小,且d MN =.如图，21//l l ，21l l 、之间的距离为d ，在21l l 、上分别找N M 、两点，使1l MN ⊥，且NB MN AM ++最小.如图，21//l l ，43//l l ,21l l 、之间的距离为1d ，43//l l 之间的距离为2d ，在21l l 、上分别找N M 、两点，使1l MN ⊥，在43l l 、上分别找Q P 、两点，使3l PQ ⊥且QB PQ NP MN AM ++++最小.如图，在⊙O 上找一点N ，在直线l 找一点M ,使得MN AM +最小.➢ 精讲精练例1：如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值．P OBAMN例2：如图，正方形ABCD 的边长是4，M 在DC 上，且DM =1， N 是AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值．例3：如图，在Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4,4），点C 在边AB 上，且AC :CB =1:3，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，8)3D ．(3,3)第3题图 第4题图 第5题图例4：如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7例5：如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________． PDCBAA BCDMNNMDCBA例6：如图，在Rt △ABD 中，AB =6，∠BAD =30°，∠D =90°，N 为AB 上一点且BN =2AN ， M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值．例7：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ． D ．第7题图 第8题图 第9题图例8：如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是( ) A B ．2 C ．D ．4例9：如图，在菱形ABCD 中，AC =BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是( ) A ．6B ．C ．D ．4.5NMDBA E AFCDBNM DCBAEPDCBAM例10：如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( ) A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．(0,2)D ．10(0,)3第10题图 第11题图 第12题图例11：如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB 的最小值为( ) A ．B ．C ．D 例12：如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE =CG ，BF =DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( )A ．B ．C ．D ．例13：如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )A B C ．6D ．3第13题图 第14题图 CBH FGEDCB AA BMOPN例14：如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3,0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为 ．例15：如图，已知正比例函数y =kx （k >0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为（0，4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y =kx （k >0）的图像上的两个动点，则AM +MP +PN 的最小值为___________．第15题图例16：如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在原点，点A 、C 在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ =2，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐示应为______________．例17：如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值．AB CD EFMx例18：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，求PD+PE 的最小值。

第1讲将军饮马模型➢知识点睛一、“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题, 会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合, 在近年的中考和竞赛中经常出现, 而且大多以压轴题的形式出现。

二、定直线与两定点模型作法结论当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.二、角到定点模型作法结论点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得周长最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得四边形周长最小.点在的外部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点在的内部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点分别在的边是, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.三、两定点一定长模型作法结论如图在直线上找上两点（在左）, 使最小,且.如图, , 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 且最小.如图, , ,之间的距离为, 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 在上分别找两点, 使且最小.如图, 在⊙上找一点, 在直线找一点,使得最小.➢精讲精练例1: 如图, 点P是∠AOB内任意一点, ∠AOB=30°, OP=8, 点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值.例2: 如图, 正方形ABCD 的边长是4, M 在DC 上, 且DM=1, N 是AC 边上的一动点, 则△DMN 周长的最小值.A ．例3: 如图, 在Rt △ABO 中, ∠OBA=90°, A （4,4）, 点C 在边AB 上, 且AC:CB=1:3, 点D 为OB 的中点, 点P 为边OA 上的动点, 当点P 在OA 上移动时, 使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为 B. ,C ．,D ．第3题图 第4题图 第5题图例4: 如图, 在△ABC 中, AC=BC, ∠ACB=90°, 点D 在BC 上, BD=3, DC=1, 点P 是AB 上的动点, 则PC+PD 的最小值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7例5：如图, 在等边△ABC 中, AB=6, N 为AB 上一点且BN=2AN, BC 的高线AD 交BC 于点D, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值是___________．A BCDMN例6: 如图, 在Rt △ABD 中, AB=6, ∠BAD=30°, ∠D=90°, N 为AB 上一点且BN=2AN, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值.例7: 如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°, AC=6. AB=12, AD 平分∠CAB, 点F 是AC 的中点, 点E 是AD 上的动点, 则CE+EF 的最小值为 A. 3 B. 4 C.D.第7题图 第8题图 第9题图A ．例8: 如图, 在锐角三角形ABC 中, BC=4, ∠ABC=60°, BD 平分∠ABC, 交AC 于点D, M 、N 分别是BD, BC 上的动点, 则CM+MN 的最小值是B. 2C.D. 4例9: 如图, 在菱形ABCD 中, AC=, BD=6, E 是BC 的中点, P 、M 分别是AC.AB 上的动点, 连接PE 、PM, 则PE+PM 的最小值是A. 6B.C.D. 4.5E AFCDBNM DCBAEPDCBAMA ．例10: 如图, 矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5）, D 是OB 的中点, E 是OC 上的一点, 当△ADE 的周长最小时, 点E 的坐标是B. C. D.第10题图 第11题图 第12题图例11: 如图, 在矩形ABCD 中, AB=6, AD=3, 动点P 满足, 则点P 到A.B 两点距离之和PA+PB 的最小值为A. B. C. D.例12: 如图, 矩形ABCD 中, AB=10, BC=5, 点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上, 且AE=CG, BF=DH, 则四边形EFGH 周长的最小值为A. B. C. D.例13: 如图, ∠AOB=60°, 点P 是∠AOB 内的定点且OP=, 若点M 、N 分别是射线OA.OB 上异于点O 的动点, 则△PMN 周长的最小值是A. B. C. 6 D. 3第13题图 第14题图CBH FGEDCB AABMOPN例14: 如图, ∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合, 点P 是OA 上的一动点, 点N （3,0）是OB 上的一定点, 点M 是ON 的中点, ∠AOB=30°, 要使PM+PN 最小, 则点P 的坐标为 .例15：如图, 已知正比例函数y=kx （k>0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°, 定点A 的坐标为（0, 4）, P 为y 轴上的一个动点, M 、N 为函数y=kx （k>0）的图像上的两个动点, 则AM+MP+PN 的最小值为___________．第15题图例16: 如图, 在平面直角坐标系中, 矩形ABCD 的顶点B 在原点, 点A.C 在坐标轴上, 点D 的坐标为（6, 4）, E 为CD 的中点, 点P 、Q 为BC 边上两个动点, 且PQ=2, 要使四边形APQE 的周长最小, 则点P 的坐示应为______________.例17：如图, 矩形ABCD 中, AD=2, AB=4, AC 为对角线, E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点, 且EF ⊥AC 于点M,连接AF 、CE, 求AF+CE 的最小值．x例18: 如图, 正方形ABCD的面积是12, △ABE是等边三角形, 点E在正方形ABCD内, 在对角线AC上有一点P, 求PD+PE的最小值。

初中数学将军饮马教案一、教学目标：1. 知识与技能：让学生掌握将军饮马问题的解法，培养学生的几何思维和解决问题的能力。

2. 过程与方法：通过将军饮马问题的引入，让学生了解数学与实际生活的联系，学会运用数学知识解决实际问题。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。

二、教学内容：1. 将军饮马问题的背景及意义。

2. 将军饮马问题的解法及步骤。

3. 将军饮马问题在实际生活中的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：将军饮马问题的解法及步骤。

2. 教学难点：如何运用几何知识解决实际问题。

四、教学过程：1. 导入：讲解将军饮马问题的背景，让学生了解数学与实际生活的联系。

2. 新课讲解：讲解将军饮马问题的解法，引导学生掌握解题步骤。

3. 案例分析：分析实际生活中的将军饮马问题，让学生学会运用数学知识解决实际问题。

4. 课堂练习：布置将军饮马问题相关的练习题，巩固所学知识。

5. 总结与反思：让学生总结将军饮马问题的解法，反思自己在解决问题过程中的优点与不足。

五、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究将军饮马问题的解法。

2. 利用多媒体教学手段，展示将军饮马问题的实际应用场景，增强学生的学习兴趣。

3. 组织小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。

4. 注重个体差异，针对不同学生的学习情况，给予适当的指导和帮助。

六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习状态。

2. 练习成果：评估学生在练习中的表现，检验学生对将军饮马问题解法的掌握程度。

3. 课后反馈：收集学生的学习反馈，了解学生在解决问题过程中的困惑和问题，为下一步教学提供参考。

七、教学资源：1. 多媒体课件：将军饮马问题的图片、视频等教学资源。

2. 练习题库：针对将军饮马问题设计的练习题。

3. 教学参考书：提供将军饮马问题相关的研究资料和教学方法。

八、教学进度安排：1. 第1-2课时：讲解将军饮马问题的背景及意义。

《将军饮马问题》教学设计2006年第5期数学教育研究?53?教学设想《将军饮马问题》教学设计杨,J,群(广东省深圳市梅山中学518049)本节是初三年级的一节专题复习课,总复习阶段的初中学生虽然知识比较丰富,也具备了一定的逻辑推理能力和思维能力,但对数学思想的认识仍是肤浅的.本节课实质是"两点之间,线段最短"拓展,延伸.采用"问题情境一一建立模型一一解释,应用与拓展"的模式展开教学,让学生经历"从生活中发现数学一一在教室里学习数学一一到生活中运用数学"这样一个过程,从而更好地理解数学知识的意义,获得成功的体验,与教材内容互相作用,建构学生自己的数学知识,让学生解决生活中的最短路径问题.同时渗透数学建模思想,培养学生解决实际问题的能力.教学目标★知识与技能:培养学生解决实际问题的正确思想方法,达到启迪智慧.提高能力的目的.★过程与方法:让学生亲身经历探究解决将军饮马问题的过程,体会运用建模,转化的思想研究数学问题的方法,发展学生的合情推理能力及创新意识.★情感,态度与价值观:培养学生严谨科学的学习态度,勇于探索,勇于创新的精神,并通过丰富的数学活动,获得成功的经验,体验数学活动充满着探索和创造.教学重点通过将军饮马问题的探究,体现"转化"及数学建模的思想,培养学生解决实际问题的能力.教学难点根据实际问题建立数学模型.教法★探究式教学方法教学过程中采用探究式教学,辅以讲练结合,师生互动.引导学生获得自主,合作,探索的学习方式.教学关注点教学情景创设;三维一体功能的落实;探究式课堂教学研究;重点突出与难点分散突破.教学工具多媒体,几何画板?54?数学教育研究2006年第5期教学过程教师导拨设计意图教学内容与学生活动问题:教师创设问题公园里设计了曲折迂回的九曲桥,与修一座笔直的桥相比,这样情景,学生根据已经做是否增加了游人在桥上行走的路程?说出其中的道理.学过的知识很容易情景2:读古诗《古从军行》回答.引入将军饮马问题:诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,驰向交河边的体会解决将军c点饮马,饮马后再到B点宿营,问怎样走,才能使走的路程饮马问题在现实生最短?学生朗读.活中有重大意义.激提问:发学生解决问题的将军饮马问题中找出最短距离有一定的现实意义吗?学生提出对问主动性.构建模型:题的看法.如图:A,B在直线z的同侧,在z上求一点C,使得CA+CB学生思考解决,运用数学建模最小.教师总结.思想把生活问题数吃学化,培养学生建模能力.,二,探索新知1.合作探究.A为突破难点,在问题二之前设置问f魁一:题一.如图:A,B在直线z的两侧,在z上求.8独立思考,合作一点C,使得ClA+CB最小.交流.在问题一的基确定C点的理由:.础上,让学生探索问题二,促进思维积极问题二:B.化,同时借助几何画如图:A,B在直线z的同侧,在z上求学生完成,教师板测量使学生发现一点C,使得cA+CB最小.,点评.结论,得出结论,得确定C点的理由:.'到进一步验证,最后给出理论证明.渗透科学研究的一般方如图所示,点光源光发出光线经平面镜.法,培养学生自我创MI吾舯臣.拾杯拯讨p占.精甫甘^射^,.,学生完成.造的意志品质.及时巩固新知,强化学科间的融合,已知:如图,D8形MDC的边长为,l\1.,培养学生跨学科能上,且:,是上的一动点,则l\l力,体验数学简洁DN+MN的最小值是——.1\I美,激发学习数学的兴趣.让学生从更深层次来巩固新知,培养学生灵活运用知识的能力,符合循序渐进的原则.2006年第5期数学教育研究?55?教学过程教师导拨设计意图教学内容与学生活动三,再探新知1.知识准备通过开放性的如图,在河的两侧有A,B两个村庄,现要在河上修一座桥,规定设计,有助于培养学桥必须与河岸垂直,以下是小红和小明设计的从A村到B村的生的发散思维,同时路线.为下面的知识拓展,.——,.学生思考后做好模型,给出充分河l回答.的联想空间.'受到上题的启迪,学生感到有方法可循,通过教师的启发,自主探索的兴趣保证学生有充和欲望油然而生.足的时间讨论研究.,!学生讨论之后,教师总结点评.?口3.大显身手如图,A,B是直线同侧的两定点,定长线段PQ在上平行移动,问PQ移动到什么位置时,AP+PQ+QB的长最短?o通过前面的层层占学生讨论之后,o教师适当点评.铺垫,学生已具备解决—————.—.——.————.—.———————————本题的相关性知识.这PQ一层次让学生自己来思考,探索解决问题的办法,激活了学生的表现力和创造力.四,板书设计将军饮马问题将军饮马问题在直线l上确定一点c,使得CA+CB最小.A\I\1f/B,l8,0c'c,两侧(下转第49页)2006年第5期数学教育研究?49?因,这样学生之间可以从错误中吸取教训,学会正确的思维方法;对于答案中的奇思妙解的优美解法,可以让学生到台上利用多媒体展示自己的思维过程,相互启迪,亲自体验"小老师"的成功感,这样既能激发尖子生探索的兴趣,又加深了学生对知识的理解,有利于促进学生创造力的发展.学生通过这一种形式的相互交流,能力较低的学生可以受到能力较高的学生的思维策略的启发,从中受益,能促进每一个学生积极思考,取长补短,自觉地改进学习的态度和方法,共同进步.试卷讲评课不能以试卷上的题目讲评完为结束,教师应利用学生的思维惯性,引导学生进一步的反思和探索,以便获得更好的效果.教师的试卷讲评是对全体学生的,而每个学生的情况各不相同,在讲评后教师一定要引导学生及时对试卷进一步地进行自我分析,反思自己之所以做错某些题目的原因,并采取相应的改进措施,以免类似错误再次发生,克服"一听就会. 会而不对,对而不全"的现象,使学生真正地理解和掌握.3应试策略的考前指导课.高三数学复习归根到底是怎样解一份高考试卷,要取得优异成绩,不仅取决于是否掌握扎实的基础知识,熟练的解题技巧和出色的解题能力,而且还取决于考前的身体状况,心理状况和临场发挥.高考前,在应试方法上,教师要根据高考数学试卷的体例,分题型进行指导.如开设怎样解选择题,怎样解填空题,怎样解解答题等专题指导课.选择两份高考试卷让学生有针对性的练习,让学生真正体验高考过程,积累考试经验,从心理调节,时间分配,节奏把握以及考试运筹诸方面不断调试,逐步适应.在应试心理上,教师要求学生正确面对高考,在战略上要藐视高考,战术上要重视高考,放下包袱,轻松应考.在答题过程中要正确对待试题的难易,做到"我易人亦易,我不大意;我难人亦难,我不畏难."在应试策略上,要求学生要坚持先易后难的原则,对于一时解决不了的题目可以暂时先放一放.要敢于解决解答题,对于前几题要能够规范地解答,尽量做到得满分,后面的压轴题要根据自己的实力合理地定位,把自己知道的一些要能够表示出来,做到尽可能地得分.总之,在高三数学第二轮复习中,要进一步突出重点,强化三基,增强复习的针对性,科学性和实效性,努力提高学生分析问题和解决问题的能力.[责任编校钱骁勇](上接第55页)教学过程教师导拨设计意图教学内容与学生活动五,小结,作业'1.小结在这个环节中让学生自己谈谈这节课的学习心得体会.让学生充分扮演"学2.课后作业习的小主人"角色,[教师在其中给予鼓△".励,表扬,让他们更加自信."Vr—B图l图2图3促进学生对自1.如图1:菱形ABCD中,AB=2,/BAD=6O.,E是AB的中点,P是对角线AC上的己的学习进行反思.一个动点,求PE+PB的最小值.2.如图2,AB是O0的直径,AB=2,0C是④0的半径,0C上AB,点D在Ac上,AD的度数是CD度数的2倍,点P是半径OC上一个动点,求AP+PD的最小值.3.如图3,在河的同侧有A,B两个村庄,要把A的产品运到B处,并规定先到河边码头,再沿河岸走m千米路,要使路线最短,问河边码头应建在何处?[责任编校钱骁勇]。

将军饮马的教案一、教学目标1.了解“将军饮马”问题的基本原理，掌握解决此类问题的方法。

2.通过实例分析，培养学生的数学思维能力和解题技巧。

3.激发学生对数学的兴趣，提高学习数学的积极性。

二、教学内容1.引入“将军饮马”问题：通过讲述古代将军饮马的故事，引出数学中的对称问题。

2.讲解基本原理：介绍“将军饮马”问题的基本原理，即两点之间线段最短。

3.实例分析：通过具体实例，让学生了解如何运用“将军饮马”原理解决实际问题。

4.练习与巩固：提供相关练习题，让学生在实际操作中掌握解题方法。

三、教学步骤1.导入新课：通过讲述古代将军饮马的故事，引出数学中的对称问题，激发学生的学习兴趣。

2.讲解基本原理：详细讲解“将军饮马”问题的基本原理，让学生明确线段最短的性质。

3.实例分析：通过具体实例，让学生了解如何运用“将军饮马”原理解决实际问题。

教师可以先演示一遍，然后让学生自己动手操作，加深理解。

4.练习与巩固：提供相关练习题，让学生在实际操作中掌握解题方法。

教师可以根据学生的实际情况进行个别辅导，确保每个学生都能掌握解题方法。

5.总结与回顾：对本节课的内容进行总结与回顾，让学生明确学习目标和学习内容。

6.布置作业：布置相关作业，让学生在课后继续巩固所学知识。

四、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的表现，评估他们对“将军饮马”问题的理解程度。

2.作业完成情况：检查学生的作业完成情况，评估他们对解题方法的掌握程度。

3.综合评价：根据学生的课堂表现和作业完成情况，综合评价他们的学习效果。

将军饮马课程设计一、教学目标本课程的教学目标是让学生掌握“将军饮马”问题的解题方法，理解其背后的数学原理，提高解决类似问题的能力。

具体目标如下：知识目标：使学生了解“将军饮马”问题的历史背景和基本概念，理解其数学原理和解决方法。

技能目标：培养学生运用坐标系、相似三角形等数学工具解决实际问题的能力，提高他们的逻辑思维和运算能力。

情感态度价值观目标：激发学生对数学问题的兴趣，培养他们勇于探索、解决问题的精神，增强他们的自信心和团队协作意识。

二、教学内容本课程的教学内容主要包括“将军饮马”问题的定义、解题方法及其应用。

具体安排如下：1.介绍“将军饮马”问题的历史背景和基本概念，分析其数学特点和解决思路。

2.讲解“将军饮马”问题的解题方法，包括坐标系法、相似三角形法等，并通过例题进行演示和练习。

3.结合实际问题，让学生运用所学的解题方法解决类似问题，提高他们的应用能力。

4.总结“将军饮马”问题的解题方法和技巧，巩固学生所学的知识。

三、教学方法为了提高教学效果，本课程将采用以下教学方法：1.讲授法：教师讲解“将军饮马”问题的基本概念、解题方法和实际应用，引导学生掌握问题的关键。

2.讨论法：学生进行小组讨论，分享解题心得和经验，培养学生的团队协作能力。

3.案例分析法：通过分析典型例题，让学生了解“将军饮马”问题的解题过程，提高他们的分析能力。

4.实验法：让学生亲自动手操作，验证“将军饮马”问题的解题方法，增强他们的实践能力。

四、教学资源为了支持本课程的教学，我们将准备以下教学资源：1.教材：选用符合课程要求的教材，为学生提供系统的学习资料。

2.参考书：提供相关参考书籍，丰富学生的知识体系。

3.多媒体资料：制作课件、视频等多媒体资料，提高课堂教学的趣味性和生动性。

4.实验设备：准备相应的实验器材，为学生提供实践操作的机会。

5.网络资源：利用网络资源，为学生提供更多的学习资料和交流平台。

五、教学评估本课程的评估方式包括平时表现、作业、考试等，以全面反映学生的学习成果。

初中数学将军饮马教案教学目标：1. 理解并掌握“将军饮马”问题的解题方法及其应用；2. 能够运用轴对称的性质解决实际问题；3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学内容：1. 将军饮马问题的背景及解题思路；2. 轴对称的性质及其在解决问题中的应用；3. 将军饮马问题的拓展与应用。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入问题：讲解唐朝诗人李颀的《古从军行》中的一句诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，提问学生是否知道这句诗中隐含着一个有趣的数学问题。

2. 学生思考并回答，教师总结：这个问题就是将军饮马问题。

二、新课讲解（20分钟）1. 讲解将军饮马问题的背景和解题思路，引导学生理解并掌握问题的解决方法。

2. 讲解轴对称的性质，引导学生了解轴对称在解决问题中的应用。

3. 通过例题讲解，让学生动手实践，巩固所学知识。

三、课堂练习（15分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成，检验学生对知识的掌握程度。

2. 选取部分学生的作业进行讲解和评价，指出其中的错误和不足。

四、拓展与应用（10分钟）1. 讲解将军饮马问题的拓展，引导学生学会将问题进行拓展和应用。

2. 让学生举例说明轴对称在实际问题中的应用，分享自己的心得体会。

五、课堂小结（5分钟）1. 教师总结本节课的主要内容和知识点。

2. 学生分享自己在课堂上的收获和感悟。

教学评价：1. 课后作业的完成情况，检验学生对知识的掌握程度；2. 学生在课堂上的参与度和表现，评价学生的学习效果；3. 学生对拓展与应用部分的内容的理解和应用能力，评价学生的思维拓展能力。

教学反思：本节课通过讲解将军饮马问题，让学生了解了轴对称的性质及其在解决问题中的应用。

在教学过程中，要注意引导学生主动思考，培养学生的逻辑思维能力。

同时，要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和策略，提高教学效果。

《将军饮马问题》教案一、问题背景：唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。

”诗中隐含着一个有趣的数学问题。

如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走使总的路程最短？B·营地A·山峰河流这个问题在古罗马时代就有了，传说在亚历山大城有位精通数学和物理的学者，名叫海伦。

一天，以为罗马将军专程拜访他，向他请教一个百思不其解的问题。

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河边同侧的B 营地开会，应怎样走使路程最短？这个问题很简单，海伦略加思索就解决了二、引用“饮马问题”：将军饮马问题，应用拓展到人教版八年级上册轴对称性质当中一实际应用问题：如图所示，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？B·镇A·镇L三、教学方法的探究：当教师在组织教学活动中，平铺直叙得讲，学生不易理解。

“将军饮马”问题，在学生理解方面，存在两大难点，一是如何利用轴对称的性质作出使得线路最短的点。

二是说明最短的理由，如何设计探究活动组织有意义的方法和策略，成为了突出重点、突破难点，化难为易的关键，可采用镜面反射的原理创设探究活动，使问题简单化，学生易于理解和掌握。

设想把河流看作诗一面平面镜，村庄A、B看作诗甲、乙两人，这样设计：甲、乙两人分别位于镜面的同侧A、B两点，甲、乙通过镜面分别看到自己的影子A′、B′。

如图，连接AB′，AB′与L交于C，甲、乙通过镜面都能看到对方的影子。

连接A′C与BC，探究：BALC C′A′B′（1）、AC与A′C，B′C与BC上存在什么关系，说明理由。

（2）、AC+B′C与AC+BC存在大小关系如何，说明理由。

（3）、平面镜L有异于C点的另外一点C′，连接AC′、BC′、B′C′，AC′+BC′与AC′+B′C′是否相等？AC′+BC′与AC+BC是否相等？不相等大小关系如何？说明理由。

《“将军饮马”问题》说课稿说课者：徐乐乐各位领导，各位老师大家下午好！今天我说课的课题是《“将军饮马”问题》。

这是中考考察的热点，连续几年来在填空题、综合与实践部分均有考查。

一、教材分析：本节课是建立在轴对称的基础上对数学史的一个经典问题——“将军饮马”问题进行设计的。

二、学情分析：是中考第二轮复习所涉及的内容，因此，学生已经对轴对称等变换进行了复习，具备了基本的知识储备。

本班学生，整体基础较好，此前虽有涉及最值问题，但面对具有实际背景的最值问题，仍会感到吃力，个别学生会感到无从下手。

鉴于此，根据初中数学新课标以及八大核心素养要求，我确立以下三维目标及重难点：三、教学目标：1、知识与技能目标：掌握“将军饮马”问题的四个基本模型；（这体现了“数学建模”的核心素养）能利用模型灵活解决实际问题。

（这体现了“数学抽象”的核心素养）2、过程与方法目标：学生亲身经历探究解决“将军饮马”问题的过程，体会运用建模、转化思想研究数学问题的方法。

（这体现了“逻辑推理、直观想象”的核心素养）3、情感态度与价值观目标：培养学生严谨科学的学习态度，勇于探索、勇于创新的精神。

（这体现了“科学精神、实践创新”的核心素养）教学重点利用基本模型解决线段和最小问题。

教学难点根据实际问题建立数学模型。

四、方法与策略教师的教法：为增强数学课堂趣味性,整堂课以讲故事的形式对“将军饮马问题”进行改编与设计，相同背景，不同问题，由浅入深、层层递进，有利于学生熟悉掌握三类基本模型，突出本节课重点内容，为解决实际问题奠定坚实的基础。

为突破本节课难点，在每一个模型后立刻跟踪练习，对问题的解读、分析、解答、释疑，教师尽量都以引导者的角色出现，让学生担任主角，在和教师就问题进行辨析和探讨的过程中，感受知识的生成过程，加深对最值问题的理解，力争做到能尽快发现实际问题中的数学模型，从而分析与解决问题。

学生的学法：为突破难点，简单题采用自主探究，主动思考的方式，中度题采用学生互动交流，合作探究方式，拔高题采用教师引导，师生互动模式，从而有效解决问题。