D1-5极限运算法则

§1.5极限的运算法则极限定义为我们提供了一种求极限的方法 , 但这种方法使用起来很不方便 , 并且在大多数情形下也是不可行的 . 这一节我们将给出极限的若干运算法则 , 应用这些法则将帮助我们比较方便的进行有关极限的证明和计算.一无穷小的运算定理设 , , 是 x x0 时的无穷小，即 lim ( x) 0, lim ( x) 0, lim ( x) 0, 下面x x0 x x0 x x0来叙述有关无穷小的运算定理。

定理 1 1 ）有限个无穷小的和也是无穷小；2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

推论： 1）常数与无穷小的乘积是无穷小；2）有限个无穷小的乘积也是无穷小。

二极限的四则运算法则利用极限与无穷小的关系及无穷小的运算性质，下面叙述极限的极限的四则运算法则。

定理 2 如果 lim f x A ， lim g x B 则 f ( x) g(x), f ( x) g(x), f ( x)B 0 ，x x0 x x0 g( x) 的极限都存在，且（ 1）lim f x g x lim f x lim g x A B;x x0 x x0 x x0（ 2）lim f x g x lim f x lim g x AB;x x0 x x0 x x0f x lim f xA（ 3）lim x x0 ( B 0).g x lim g x Bx x0x x0证 1 因为 lim f x A， lim g x B ，所以，当 x x0时，0, 1 0 ，x x0 x x0当 0 x x0 1 时，有 f (x) A ，对此， 2 0 ，当0 x x0 2 时，2有 g (x) B2，取min{ 1 , 2 } ，当0 x x0 时，有( f (x) g( x)) ( A B) ( f ( x) A) ( g( x) B) f ( x) A g( x) B2 2所以 lim ( f (x) g( x)) A B 。

第五节 极限运算法则本节讨论极限的求法，主要介绍极限的四则运算法则和复合函数极限的运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限．在下面的讨论中，记号“lim ”表示定理对0x x →及x →∞都是成立的． 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小．定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小． 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小． 推论2有限个无穷小的乘积是无穷小．定理3 如果lim (),lim ()f x A g x B ==，那么lim[()()]f x g x ±存在，且lim[()()]lim ()lim ()f x g x f x g x A B ±=±=±． （1－５）证 因lim (),lim ()f x A g x B ==，由1.4定理1 有(),()f x A g x B αβ=+=+，其中,αβ为无穷小．于是()()()()()()f x g x A B A B αβαβ±=+±+=±+±由定理1知αβ±为无穷小，再由定理３知lim[()()]lim ()lim ()f x g x A B f x g x ±=±=±定理７可推广到有限个函数的情形．例如，如果lim (),lim (),lim ()f x g x h x 都存在，则有lim[()()()]lim ()lim ()lim ()f x g x h x f x g x h x +-=+-．如果lim (),lim ()f x A g x B ==，那么lim[()()]f x g x ⋅存在，且lim[()()]lim ()lim ()f x g x f x g x A B ⋅=⋅=⋅．（1－6）推论1 如果lim ()f x 存在，C 为常数，则lim ()lim ()Cf x C f x =． 推论2 如果lim ()f x 存在，n 为正整数，则lim[()][lim ()]n n f x f x =． 定理4 如果lim (),lim ()f x A g x B ==，且0B ≠，则()lim()f xg x 存在，且 ()lim ()lim()lim ()f x f x Ag x g x B==．（1－7） 以上定理和推论对于数列也是成立的．定理5 如果()()x x ϕφ≥，而lim (),lim ()x x ϕφ都存在，那么lim ()lim ()x x ϕφ≥． 例1 求1lim(21)x x →-．解 1111lim(21)lim2lim12lim 12111x x x x x x x →→→→-=-=-=⨯-=．事实上，设多项式101()n n n P x a x a x a -=+++ ，则110100100lim ()lim[]()n n n n n n x x x x P x a x a x a a x a x a P x --→→=+++=+++=例2 求3221lim 53x x x x →--+．解 因222lim(53)210330x x x →-+=-+=-≠所以 33322222lim(1)1217lim 3353lim(53)x x x x x x x x x →→→---===---+-+． 如果()()()P x F x Q x =，其中(),()P x Q x 都是多项式，如果0()0Q x ≠，则 000000lim ()()()lim ()lim ()lim ()()x x x x x x x x P x P x P x F x Q x Q x Q x →→→→===． 但必须注意，如果0()0Q x =，则关于商的运算法则不能应用，需要特别考虑．例3 求2416lim 4x x x →--．解 当4x →时，分子分母的极限都是零，所以不能运尖用商的运算法则．但4x →时，4,40x x ≠-≠，所以24416lim lim(4)84x x x x x →→-=+=-．例4 求2121lim 21x x x x →+-+．解 因为21lim(21)0x x x →-+=，不能商的运算法则．但2121lim021x x x x →-+=+， 故由定理4得2121lim 21x x x x →+=∞-+．例5 求3232342lim 753x x x x x →∞+++-．解 32324233423lim lim5377537x x x x x x x x x x→∞→∞++++==+-+-． 例6 求23321lim 252x x x x x →∞+--+．解 223323321321lim lim 02522x x x x x xx x x x x→∞→∞+-+-==-++-． 例7 求32252lim 321x x x x x →∞-++-．解 因为23321lim 0252x x x x x →∞+-=-+，所以32252lim 321x x x x x →∞-+=∞+-． 更一般地，当000,0a b ≠≠，m 和n 为非负整数时，有101101,,lim 0,,,n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m--→∞⎧=⎪⎪+++⎪=>⎨+++⎪∞<⎪⎪⎩当当当 例8 求sin limx xx→∞．解 当x →∞时，分子分母的极限都不存在，不能应用商的运算法则．但sin 1sin x x x x =⋅，而1x 是x →∞时的无穷小，sin x 是有界函数，所以根据定理6，有sin lim0x xx →∞=．前面已经看到，对于有理函数()f x （有理整函数或有理分式函数），只要()f x 在点0x 处有定义，那么0x x →时()f x 的极限必定存在且等于()f x 在点0x 的函数值．一般地，如果函数具有上述性质，即00lim ()()x x f x f x →=，就称函数()f x 在点0x 连续．因此有理函数在其定义域内的每一点处都是连续的．我们指出：一切基本初等函数在其定义域内的每一点处都是连续的．因此，如果()f x 为基本初等函数，其定义域为D ，而0x D ∈，则有0lim ()()x x f x f x →=．例如，()f x 是基本初等函数，它在点3x =处有定义，所以x →=．下面介绍一个半球复合函数求极限的定理．定理6 设函数()u g x =当0x x →时的极限存在且等于0u ，即00l i m ()x x gx u →=，而函数()y f u =在点0u u =连续，那么复合函数[()]y f g x =当0x x →时的极限存在．且lim [()]()x x f g x f u A →==．（1－8）证明从略．因为0lim ()x x x a ϕ→=，所以公式（1－8）又可写成0lim [()][lim ()]x x x x f x f x ϕϕ→→=例9 求sin 0lim x x e →．解 0limsin sin 00lim 1x xx x e e e →→===．例10求lim x →+∞．解111lim limlim2x x x →+∞-===． 作业 P45 1、（1）（3）（5）（7）（9）（11）（13），2，3 小结与思考：本节讨论了极限的求法，主要介绍极限的四则运算法则和复合函数极限的运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限．1. 求sin 0lim x x e →．解 0limsin sin 00lim 1x xx x e e e →→===．2.求lim x →+∞．解111lim limlim2x x x →+∞-===。