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极限的运算法则

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极限的运算法则及计算方法

极限的运算法则及计算方法

极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。

在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。

本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。

一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。

2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。

3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。

4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。

二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。

2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。

三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。

极限的运算法则

极限的运算法则
lim[ f ( x) g( x)] lim f ( x) lim g( x)
目录
特例1：常数因子可提到极限记号外面
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
lim[ f (x)]n [lim f (x)]n A（n n N*）
x
a0 xm b0 xn
a1 xm1 b1 xn1

am bn
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ


a0 ,当n m（分子最高次幂 分母最高次幂） b0
0, 当m （n 分子最高次幂 分母最高次幂）
要记住哦 !
目录
练习
1.求
lim
x
5x2 7x2

3x 6x
4 1
解
x2 16
(x 4)(x 4)
lim
lim
lim(x 4) 8
x4 x 4 x4
x4
x4
目录
lim x2 9 x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim
x
3x2

1

2 lim
x
3
3 x2 1 x2

lim(2
x
3 x2
)

lim(3
x
1 x2 )
20 2 30 3
目录
lim x 1 . ( 型 ) x x2 x 1
lim
1 x

1.3 极限运算法则

1.3 极限运算法则
3 2
解 先用 x 3去除分子分母，再求极限
3 2 3 2 2x 3x 5 x lim 3 lim x 7 x 4 x 2 1 x 4 7 x
2 . 7
5 x3 1 3 x
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§1.3 极限运算法则
例3
2x 3 求 lim 2 . x 3 x x 1

( x) a
取 min 0 , 1 , 则当 0 x x0 时 0 ( x) a u a 因此
x x0
f ( u) A ,
故 lim f [ ( x )] A.
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§1.3 极限运算法则
lim( x 2 3 x 2) lim x 2 lim 3 x lim 2
x 1 x 1 x 1 x 1
(lim x )2 3lim x 2 12 3 1 2 6 0,
x 1 x 1
lim( x 1) x 1 11 1 x 1 lim 2 . 2 x 1 x 3 x 2 lim( x 3 x 2) 6 3
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§1.3 极限运算法则
思考练习
在自变量同一变化过程中，若 f ( x ) 有极限，g( x )无极限，那么 f ( x ) g( x )是 否有极限？为什么？
上页 下页 返回
§1.3 极限运算法则
思考练习
解答
没有极限．
假设 f ( x ) g( x ) 有极限， f ( x ) 有极限， 由极限运算法则可知：
g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) 必有极限，
与已知矛盾，故假设错误．

函数极限的四则运算法则公式

函数极限的四则运算法则公式

函数极限的四则运算法则公式
1.两个函数的和的极限等于两个函数极限之和，即
lim[f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)
2. 两个函数的差的极限等于两个函数极限之差，即
lim[f(x) - g(x)] = lim f(x) - lim g(x)
3. 两个函数的积的极限等于两个函数极限之积，即
lim[f(x) * g(x)] = lim f(x) * lim g(x)
4. 两个函数的商的极限等于两个函数极限之商，即
lim[f(x) / g(x)] = lim f(x) / lim g(x) (其中lim g(x) ≠ 0)
这些四则运算法则公式对于求解函数极限问题非常有用，可以大大简化计算过程，提高求解效率。

需要注意的是，在应用这些公式时，应先确定各个函数的极限是否存在，以及分母函数是否为零。

- 1 -。

极限的运算法则

极限的运算法则

lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3

高数极限运算法则讲解

高数极限运算法则讲解

高数极限运算法则讲解极限是数学中最重要的概念，它是用来描述一个函数d（x）在某个点a接近而不是等于某个值L时，对x的变化可以推导出一个结果。

也就是说，当x趋向于a时，d（x）会趋向于L，这时d（x）就称为以a为极限的函数。

实际应用中，很多复杂的数学问题都可以通过极限来解决。

极限也是高等数学的重点。

二、极限的运算法则（1）极限加法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的和也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)+g(x)]=lim_x→a f(x)+lim_x→a g(x)。

（2）极限减法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的差也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)-g(x)]=lim_x→a f(x)-lim_x→a g(x)。

（3）极限乘法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的积也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)*g(x)]=lim_x→a f(x)*lim_x→a g(x)。

（4）极限除法：当函数f (x)和g (x)都有极限，且lim_x→a g(x)非零时，两函数的极限的商也存在，其极限关系式为：lim_x→a [f(x)/g(x)]=lim_x→a f(x)/lim_x→a g(x)。

（5）极限交换法则：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，函数的项可以进行交换，即lim_x→a[f(x)g(x)]=lim_x→a g(x)lim_x→a f(x)。

（6）极限重复法则：当函数f (x)有极限，当x趋向于a时，函数f (x)重复m次，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)^m]=[lim_x →a f(x)]^m。

三、极限的应用（1）冯科普雷定理：当n≥3时，给定f（x）在区间[a,b]上有n次连续可导，且f（a）=f（b），就一定存在某一点c∈(a,b)，使得f′（c）=0。

第四节 极限的运算法则


a0 b , 当n m , 0 m m 1 a0 x a1 x a m lim 0,当n m , n n 1 x b x b x bn 0 1 , 当n m ,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂 除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.
. 解: x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大
先用x 去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限.
3
3 2 3 2 2x 3x 5 x lim 3 lim 2 x 7 x 4 x 1 x 4 7 x
(无穷小因子分出法)
5 3 x 2. 7 1 3 x
小结: 当a 0 0, b0 0, m 和n为非负整数时有
x2 2
x2
x2
小结: 1. 设 f ( x ) a x n a x n 1 a , 则有 0 1 n
x x0
lim f ( x ) a 0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n
a0 x0 a1 x0
lim P ( x )
二、求下列各极限:
1 1 1 1、 lim(1 ... n ) n 2 4 2
( x h) 2 x 2 2、 lim h 0 h
1 3 3、 lim( ) 3 x 1 1 x 1 x
1 x 3 4、 lim x 8 2 3 x
5、 lim ( x x x x )
0
n
x x0
n 1
a n f ( x 0 ).
x x0
P( x) 2. 设 f ( x ) , 且Q( x 0 ) 0, 则有 Q( x )

极限四则运算法则

CREATE TOGETHER
DOCS SMART CREATE
极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用


无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值

极限的性质及运算法则


去心邻域 在该邻域内 有f(x)0(或f(x)0) 定理3 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)
而且 lim f(x)=A 那么 A0(或 A0)
x x0
推论 如果j(x)f(x) 而limj(x)=a limf(x)=b 那么ab
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2x3 x2 5 lim = 2 2x 1 x 3x
•讨论
有理函数的极限 lim
a0 x n a1x n 1 an b0 xm b1 x m 1 bm
x
=?
•提示
0 0 a0 x n a1x n 1 an a0 a0 x n a1x n 1 an a0 lim lim = = m b x m 1 b m b x m 1 x b x x b x bm b b 0 0 1 1 m 0 0
当 Q ( x 0 ) = 0 且 P ( x 0 ) 0 时
lim
当Q(x0)=P(x0)=0时 约去分子分母的公因式(xx0)
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结束
铃
3x3 4x2 2 例5 例 5 求 lim 3 5x 2 3 x 7 x
解 先用x3去除分子及分母 然后取极限
二、极限的四则运算法则
定理5 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 则 lim[f(x)g(x)] 存在 并且 lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB lim [c f(x)]=c lim f(x) (c 为常数)
x 1 x 1 x 1 x 1

极限的运算法则


不能直接使用极
1 “, 0 ”“ ”“0 ”“” 限的四则运算法
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
x2 16 lim x4 x 4
(0型 ) 0
解 lim x 2 1 6 lim (x 4 )(x 4 ) lim (x 4 ) 8 x 4x 4 x 4 x 4 x 4
x 1

lim
x1
x2

1
0 0
x1 lim
x1 (x1)(x1)
1 lim
x1 x 1

1 2
目录
练习
求lxi m 1(13x3
1 ). 1x
3 lxi m 1(1x3
11 x x3x2). lxi m 13(11xx3x2)
2xx2
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A 型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
6.利用左右极限求分段函数极限.
7.复合函数的极限. 8.无穷小与有界变量的积是无穷小.
目录
例：lim （x23x5） . x2
代入法
解： lim (x23x5)lim x2li3 m xli5 m
x2
x 2
x 2
x 2
223253
课本例题：lim(x2 2x) x2
例：
x2 1
lim
.
x3 x 4
解：lim(x4) limxlim434 10
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常数因子可以提到极限记号外面.
推论2
如果 lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
二、求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3 x 5) lim x 2 lim 3 x lim 5
5 1
2 lim
x
7
3
x 4
x
5 x3 1 x3
2. 7
(无穷小因子分出法)
小结: 当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x
a0 x m b0 x n
a1 x m 1 b1 x n1
am bn
0ab,00当,当n n
m m,
,
,当n m,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出 无穷小,然后再求极限.
lim
x x0
f
( x)
a
0
(
lim
x x0
x)n
a1
(
lim
x x0
x)n1
an
a0 x0 n a1 x0 n1 an f ( x0 ).
2. 设
f
(
x)
P( x) Q( x)
,
且Q( x0
)
0,
则有
lim P( x)
lim f ( x) x x0
x x0
lim Q( x)
x x0
一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g( x) B
证 lim f ( x) A, lim g( x) B. f ( x) A , g( x) B . 其中 0, 0. 由无穷小运算法则,得
P( x0 ) Q( x0 )
f ( x0 ).
若Q( x0 ) 0, 则商的法则不能应用.
例2
求
lim
x 1
4x 1 x2 2x
3
.
解 lim( x 2 2 x 3) 0, x 1 又 lim(4 x 1) 3 0, x 1
lim x 2 2 x 3 0 0.
[ f ( x) g( x)] ( A B) 0. (1)成立.
[ f ( x) g( x)] ( A B) ( A )(B ) AB
( A B) 0.
(2)成立.
f ( x) A A A B A B A 0. g( x) B B B B(B )
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x222 Biblioteka 2 5 3 0,x3 1
lim x2
x2
3x
5
lim x 3 lim 1
x2
x2
lim( x 2 3 x 5)
23 1 3
7. 3
x2
小结: 1. 设 f ( x) a0 x n a1 x n1 an , 则有
__________ .
二、求下列各极限:
1、 lim(1 1 1 ...
1 )
n
24
2n
2、 lim ( x h)2 x 2
h0
h
3、 lim( 1
3 )
x1 1 x 1 x 3
4、 lim 1 x 3 x8 2 3 x
5、 lim ( x x x x ) x
6、
lim
x 1
(x (x
1)( x 3)( x
1) 1)
lim x 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
例4
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5. 1
解
x
时,
分子,分母的极限都是无穷大 .(
型
)
先用x3去除分子分母 ,分出无穷小,再求极限.
2x3
lim
x
7x3
3x2 4x2
x
而 sin x是有界函数.
sin x
lim
0.
x x
y sin x x
例7
设
1 x,
f
( x)
x
2
1,
x
0 ,
求
lim
f
( x).
x0
x0
解 x 0是函数的分段点, 两个单侧极限为
lim f ( x) lim (1 x) 1,
x0
x0
lim f ( x) lim ( x 2 1) 1,
故假设错误．
一、填空题:
练习题
1、 lim x 3 3 __________ . x2 x 3
2、 lim x 1 __________ . x1 3 x 1
3、
lim(1
x
1 )(2 x
1 x2
1 )
x
__________ .
4、 lim (n 1)(n 2)(n 3) __________ .
又 0, B 0, 0, 当0 x x0 时,
B ,
B B B 1 B 1 B
2
2
2
B(B ) 1 B2 , 故 2
1 B(B )
2 B2
,
有界，
(3)成立.
推论1 如果 lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
n
5n 3
5、 lim x 2 sin 1 __________ .
x0
x
6、 lim cos x __________ . e x x e x
7、
4x4 lim
2x2
x
__________ .
x0 3 x 2 2 x
8、
(2 x 3)20 (3 x 2)30
lim
x
(2 x 1)50
x1 4 x 1
3
由无穷小与无穷大的关系,得
lim
x 1
4x 1 x2 2x
3
.
商的法则不能用
例3
求
lim
x 1
x2
x2 1 2x
3
.
解 x 1时, 分子, 分母的极限都是零 . ( 0 型 ) 0
先约去不为零的无穷小 因子x 1后再求极限.
lim
x 1
x2
x2 1 2x
3
x0
x0
左右极限存在且相等,
故 lim f ( x) 1. x0
y y 1 x
1
o
y x2 1 x
三、小结
1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法;
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
2x 1 lim
4 x x 1
7、 lim x m x n x1 x m x n 2
一、1、-5；
5、0； 二、1、2；
5、1 ； 2
练习题答案
2、3；
6、0； 2、2 x ； 6、0；
3、2；
7、1 ； 2
3、-1； 7、m n .
mn
4、1 ； 5
8、( 3)30 . 2
4、-2；
思考题
在某个过程中，若 f ( x)有极限，g( x)无极限，那 么 f ( x) g( x) 是否有极限？为什么？
思考题解答
没有极限．
假设 f ( x) g( x) 有极限 ，
由极限运算法则可知：
f ( x)有极限，
g( x) f ( x) g( x) f ( x) 必有极限，
与已知矛盾，
例5
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2 ).
解 n 时,是无穷小之和． 先变形再求极限.
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
lim 1 (1 1 )
n 2
n
1. 2
例6 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小,