高等数学 极限运算法则

高数求极限运算法则极限（Limit）是高等数学中非常重要的数学概念，是对函数在某一特定变量无穷接近某个值的概念，是理解微积分及其它研究的基础。

极限的求取是高数教学的重要内容，它不仅提高了学生的数学思维能力，还有助于培养其创新能力。

因此，高数求极限的运算法则的掌握就显得尤为重要。

一、定义极限又称无穷小，是指分母函数值趋近于无穷小，且分子函数值恒不变时，分母函数不变时其商函数极限，记作：$$lim_{xto a}f(x)=L$$其中$xto a$（x逼近a）表示x不断逼近a，当$xto a$时，$f(x)=L$。

二、极限的计算1、无穷小的消去法即在极限的运算中，若分母中出现无穷小，可让其消去，即$lim_{xto a}f(x)=f(a)$，$f(a)$为极限值。

2、无穷大的消去法即若极限运算中出现无穷大，首先判断一下分子和分母的大小，根据大小将分母合理改写，使无穷大可以化简消去，然后将合理改写后的分母和分子相除，得到极限的值。

3、积分型极限计算法则即若函数形式为$frac{f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+cdots+f(x_n)}{x_0+x_1+x_2+cdots+x_n}$，此时函数的极限可以用随机积分法求出。

4、指数函数极限计算法则即若函数形式为$a^x$,其中a为任意正数，当$xto infty$时极限值为无穷大；当$xto -infty$时极限值为0。

5、三角函数极限计算法则即当函数形式为$sin x$或$cos x$等三角函数的极限时，可以运用三角恒等公式，将它们改写成有限值表达式，求出其极限值。

6、指数型函数极限计算法则即当函数形式为$a^x$,其中a为任意正数，此时函数的极限可以用对数函数法求出，其计算方法是将该函数改写成对数函数形式，再用极限运算法则加以求解。

三、总结1、极限定义：极限是指函数在某一特定变量无穷接近某个值的概念，记作：$$lim_{xto a}f(x)=L$$2、求极限的方法：包括无穷小的消去法、无穷大的消去法、积分型极限计算法则、指数函数极限计算法则、三角函数极限计算法则、指数型函数极限计算法则等，其中各种方法有其特色，使用了正确的方法可以满足不同的求解要求。

高数极限运算法则讲解极限是数学中最重要的概念，它是用来描述一个函数d（x）在某个点a接近而不是等于某个值L时，对x的变化可以推导出一个结果。

也就是说，当x趋向于a时，d（x）会趋向于L，这时d（x）就称为以a为极限的函数。

实际应用中，很多复杂的数学问题都可以通过极限来解决。

极限也是高等数学的重点。

二、极限的运算法则（1）极限加法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的和也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)+g(x)]=lim_x→a f(x)+lim_x→a g(x)。

（2）极限减法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的差也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)-g(x)]=lim_x→a f(x)-lim_x→a g(x)。

（3）极限乘法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的积也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)*g(x)]=lim_x→a f(x)*lim_x→a g(x)。

（4）极限除法：当函数f (x)和g (x)都有极限，且lim_x→a g(x)非零时，两函数的极限的商也存在，其极限关系式为：lim_x→a [f(x)/g(x)]=lim_x→a f(x)/lim_x→a g(x)。

（5）极限交换法则：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，函数的项可以进行交换，即lim_x→a[f(x)g(x)]=lim_x→a g(x)lim_x→a f(x)。

（6）极限重复法则：当函数f (x)有极限，当x趋向于a时，函数f (x)重复m次，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)^m]=[lim_x →a f(x)]^m。

三、极限的应用（1）冯科普雷定理：当n≥3时，给定f（x）在区间[a,b]上有n次连续可导，且f（a）=f（b），就一定存在某一点c∈(a,b)，使得f′（c）=0。

一、 极限定义、运算法则和一些结果1. 定义: （各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述）。

说明: （1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明, 例如: ； ； ；等等（2）在后面求极限时, （1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用, 而不需再用极限严格定义证明。

2. 极限运算法则定理1 已知 , 都存在, 极限值分别为A, B, 则下面极限都存在, 且有 （1）（2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim（3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B BA x g x f 说明: 极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件, 当条件不满足时, 不能用。

3. 两个重要极限（1） 1sin lim 0=→xx x （2） e x x x =+→1)1(lim ； e x x x =+∞→)11(lim 说明: ( 1 )不仅要能够运用这两个重要极限本身, 还应能够熟练运用它们的变形形式.（2）一定注意两个重要极限成立的条件。

一定注意两个重要极限 成立的条件。

例如: , , ；等等。

4. 洛比达法则定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当 时, 下列函数都是无穷小（即极限是0）, 且相互等价, 即有:x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。

说明: 当上面每个函数中的自变量x 换成 时（ ）, 仍有上面的等价关系成立, 例如: 当 时, ～ ； ～ 。

定理4 如果函数 都是 时的无穷小, 且 ～ , ～ , 则当 存在时, 也存在且等于 , 即 = 。

5. 洛比达法则定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时, 函数 和 满足: （1） 和 的极限都是0或都是无穷大；（2） 和 都可导, 且 的导数不为0；（3）)()(lim x g x f ''存在（或是无穷大）； 则极限 也一定存在, 且等于 , 即 = 。

高数函数极限运算法则函数极限运算是高等数学中一门重要的分支，它有助于阐明定理、证明公式、验证函数形式以及求函数值。

本文从三个方面，分别介绍函数极限的定义、概念及其。

一、定义函数极限运算(Function Limit Computation)是指当函数f(x) 中的x变化时，极限的概念用来表示函数的某些特性，比如这个函数的值的朝向、变化率等，以及这个函数可能到达的最大值或最小值。

在定义上，极限可以用函数f(x)中变量x的极限定义来表示，即：lim〖f(x)〗=L (x→a)其中L是一个常数，a是x的一个值或一组值，表示x→a时，f(x)的值准备趋近于L。

二、概念函数极限运算的目的是确定当x接近某个值（或称为无穷小值）时，f(x)的值是否保持恒定或出现忽略小量变化的趋势。

需要注意的是，在瞬时的情况下，f(x)的值是可以改变的，但是当x接近某个值时，f(x)的值可能保持恒定或是出现小量变化的趋势。

在确定极限的时候，我们需要考虑的概念有：有界极限和无界极限；连续极限和离散极限；对称极限和不对称极限；有穷极限和无穷极限；正极限和负极限等。

此外，在特殊情况下，我们还会考虑复数极限、多元极限和多元函数极限等概念。

三、运算在定义及概念的基础上，我们可以开始探讨运算函数极限的方法，其中包括求取函数极限的量化方法、求取极限的特殊性方法、求取函数极限的图解方法等。

1、量化方法利用量化方法求取函数极限，要从函数f(x)中提取特定的变量x，然后利用极限定义，即lim〖f(x)〗=L (x→a)，将f(x)变为L，最后采用代数运算，得出L的值，从而求出极限值。

2、特殊性方法利用特殊性方法求取函数极限，通过分析函数的特殊性，搜索到适用的极限求取方法，再根据某种特殊性求取极限值。

3、图解方法图解方法是求取函数极限的一种最简单的计算方法，这种方法通过绘图的形式，可以根据函数图形的特点，用直观的方式来判断函数极限的值。

综上所述，函数极限运算是高等数学中一门重要的分支，它与函数及其定义、概念及运算有着密切的联系，有助于阐明定理、证明公式、验证函数形式以及求函数值。