1-6 极限运算法则

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极限的四则运算(数列极限、函数极限)

a
k
，lim（C n

an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1

x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）

3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2

3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn

3 5
[ 1
1
2

5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an

bn
)

185（3an

2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)

1-6极限运算法则

8 7 6
5
y e x e x
4 3
ye
2 1
x
ye
x
0
-1 -5
1 y x x e e
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
cos x 6、 lim x __________. x e e x
1 y x x e e
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
一、极限运算法则
定理设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; ( 2) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; f ( x) A ( 3) lim , 其中B 0. g( x ) B
( x h) x 2、 lim h 0 h
2
2
练习题答案
1 一、7、； 2 二、1、2； 3、-1； 3 30 8、 ( ) . 2 2、 2 x ；
1 3 3、 lim ( ) 3 x 1 1 x 1 x
( 2 x 3) 20 ( 3 x 2) 30 8、 lim __________. 50 x ( 2 x 1)
(2 x 3) (3x 2) (2 x 3) (3x 2) lim lim 50 x x (2 x 1) 20 (2 x 1)30 (2 x 1) 20 30 3 2 2 3 20 30 x x 2 x 3 3x 2 lim lim x 1 1 x 2 x 1 2x 1 2 2 x x 3 30 ( ) 2

极限的四则运算(1)

无限趋近于4的函数值有关，与x=4时的函数值无关，因此可以先将分子、分母约去公因式x-4以后再求函数的极限。
例3
求
x2 16
lim
.
x4 x 4
解：lim x 2 16 x4 x 4
( x 4)( x 4) lim
x4 ( x 4)
lim( x 4) x4
lim( x 4) 4 4 8. x4
教材95页练习：
1.求下列极限：
(1) lim(3x2 2x 1) 312 21 1 2 ; x1
(2) lim 2x 1 2 2 1 1 ; x2 3x 1 3 2 1
(3) lim ( x 3)(2x 1) (1 3)(2 1) 3 ; x1 ( x 5)( x 6) (1 5)(1 6) 14
2.4 极限的四则运算（1）
对于一些简单的函数，可以从自变量的值按
某种规定无限变化时相应的函数值的变化趋势找出函数的极限. 例如，简单函数的极限：
(1)若f ( x) C(C为常数),则lim f ( x) C . x
(2) lim C 0 .
x x
若 0 p 1, 则 lim px 0,lim px不存在.
x
x
解：
3x 2 lim
x
x
lim (3 2) lim 3 lim 2
x
x
x
x x
3 0 3.
法2：lim 3 x 2 3 .
x
x
（3）lim x
5x4 2x
7 4
x x
3 1 4
.
x1 2x2 1

1-6 极限的运算法则

4x4 − 2x2 + x 7、 lim = __________ . 2 x →0 3x + 2x
( 2 x − 3) 20 ( 3 x + 2) 30 8、 lim = __________ . 50 x →∞ ( 2 x + 1)
二、求下列各极限: 求下列各极限
1 1 1 1、 lim(1 + + + ... + n ) n→ ∞ 2 4 2
由无穷小与无穷大的关系,得由无穷小与无穷大的关系得
4x − 1 lim 2 = ∞. x →1 x + 2 x − 3
x −1 例3 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
2
0 解 x → 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 型) 0
先约去不为零的无穷小因子 x − 1后再求极限 . 后再求极限
无穷小分出法: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分分母,以分出无穷小然后再求极限. 子,分母以分出无穷小然后再求极限分母以分出无穷小,然后再求极限
例5 解
1 2 n 求 lim ( 2 + 2 + L + 2 ). n→ ∞ n n n
n → ∞时, 是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限. 先变形再求极限
n −1
+ L + a n = f ( x 0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) = , 且Q( x 0 ) ≠ 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) = = f ( x 0 ). = x → x0 lim Q ( x ) Q( x0 )
x → x0 x → x0

极限的运算法则

lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3

高数极限运算法则讲解

高数极限运算法则讲解极限是数学中最重要的概念，它是用来描述一个函数d（x）在某个点a接近而不是等于某个值L时，对x的变化可以推导出一个结果。

也就是说，当x趋向于a时，d（x）会趋向于L，这时d（x）就称为以a为极限的函数。

实际应用中，很多复杂的数学问题都可以通过极限来解决。

极限也是高等数学的重点。

二、极限的运算法则（1）极限加法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的和也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)+g(x)]=lim_x→a f(x)+lim_x→a g(x)。

（2）极限减法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的差也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)-g(x)]=lim_x→a f(x)-lim_x→a g(x)。

（3）极限乘法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的积也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)*g(x)]=lim_x→a f(x)*lim_x→a g(x)。

（4）极限除法：当函数f (x)和g (x)都有极限，且lim_x→a g(x)非零时，两函数的极限的商也存在，其极限关系式为：lim_x→a [f(x)/g(x)]=lim_x→a f(x)/lim_x→a g(x)。

（5）极限交换法则：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，函数的项可以进行交换，即lim_x→a[f(x)g(x)]=lim_x→a g(x)lim_x→a f(x)。

（6）极限重复法则：当函数f (x)有极限，当x趋向于a时，函数f (x)重复m次，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)^m]=[lim_x →a f(x)]^m。

三、极限的应用（1）冯科普雷定理：当n≥3时，给定f（x）在区间[a,b]上有n次连续可导，且f（a）=f（b），就一定存在某一点c∈(a,b)，使得f′（c）=0。

高等数学1-5极限的运算法则

5
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求极限举例
例例11 求 lim (2x1) x1
解 lim (2x1) lim 2x lim 12 lim x12111
x1
x1
x1
x1
•讨论
若 P(x) a0xn a1xn1 an1x an
则 lim P(x)? x x0
•提示
lim
x x0
P(x)

P(x0
)

例例22
求 lim
x2
x2
x3 1 5x 3

解
6
lim
x 2
x3 1

lim (x3 1)
x2
x2 5x3 lim (x2 5x3)

23 1 22 103

7 3

x2
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例例33
求 lim
4

根据无穷大与无穷小的关系得
lim
x1
2x3 x2 5x4

7
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•讨论
有理函数的极限 lim P(x) ? xx0 Q(x)
•提示
当 Q(x0 ) 0 时
lim P(x) P(x0) xx0 Q(x) Q(x0)
当 Q(x0 ) 0 且 P(x0 ) 0 时
lim P(x) xx0 Q(x)
当Q(x0)P(x0)0时约去分子分母的公因式(xx0)
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高等数学1-6极限存在准则,两种重要极限

n
xn a 成立,
该准则可以推广到函数的极限
准则 I'
如果当 x U ( x0 ) (或 | x | M )时,有
(1) g( x ) f ( x ) h( x ),
(2) lim g ( x ) A,
x x0 ( x ) x x0 ( x )
o
lim h( x ) A,
lim 那么 x x f ( x ) 存在, 且等于 A .
( x )
0
准则 I 和准则 I’ 称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn
( g( x ), h( x )), 并且 yn ( g ( x ))与zn ( h( x )) 的极限
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 再证 xlim (1 ) e , x
令 t x,
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 1 t t t lim (1 ) lim(1 ) lim( ) x t t t 1 x t 1 t lim(1 ) lim(1 1 )t 1 (1 1 ) e. t t 1 t t 1 t 1 1 令t , x
复习
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
几点注意:
1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的;
2. 无穷小(大) 是变量，不能与很小(大)的数混淆; 3. 零是唯一可作为无穷小的数； 4. 无界变量未必是无穷大.
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则
arcsin x . 例5. 求 lim x 0 x

极限四则运算法则条件(一)

极限四则运算法则条件(一)极限四则运算法则条件引言在数学中，四则运算是最基本也是最常见的运算形式之一。

它包括加法、减法、乘法和除法，是数学基础的重要组成部分。

然而，在进行四则运算时，我们需要遵守一些条件和法则，以确保运算结果的准确性和合法性。

本文将介绍一些关于极限四则运算的法则和条件。

加法法则和条件1.加法法则：如果a、b分别是两个有限实数或者无穷小数列，并且它们的极限存在，则它们的极限和等于各自极限的和。

2.加法条件：在进行加法运算时，要确保所涉及的实数或数列都是有限的或者都是收敛的。

减法法则和条件1.减法法则：如果a、b分别是两个有限实数或者无穷小数列，并且它们的极限存在，则它们的极限差等于各自极限的差。

2.减法条件：在进行减法运算时，要确保所涉及的实数或数列都是有限的或者都是收敛的。

乘法法则和条件1.乘法法则：如果a、b分别是两个有限实数或者无穷小数列，并且它们的极限存在，则它们的极限积等于各自极限的乘积。

2.乘法条件：在进行乘法运算时，要确保所涉及的实数或数列都是有限的或者都是收敛的。

除法法则和条件1.除法法则：如果a、b分别是两个有限实数或者无穷小数列，并且它们的极限存在且除数不为0，则它们的极限商等于各自极限的商。

2.除法条件：在进行除法运算时，要确保所涉及的实数或数列都是有限的或者都是收敛的，并且除数不为0。

结论四则运算是数学中最基本的运算形式之一，在进行极限四则运算时，我们需要遵守一些法则和条件，以确保运算结果的准确性和合法性。

这些法则和条件适用于加法、减法、乘法和除法运算，并且适用于有限实数和无穷小数列的极限运算。

在进行运算时，要仔细考虑所涉及的实数或数列的性质，并遵守相应的法则和条件，以确保运算结果的正确性。

大学一年级 1(5)极限的运算法则

注意: 若没有条件: 当x ∈ U ( x0 , δ 0 )时, 有 g(x) ≠u0,
o
lim lim 则条件: u →u0 f [u ] = A 应加强为: u →u0 f [u ] = f (u0 )
结论仍然成立. u = g ( x)
x → x0
lim f [ g ( x)]
x → x0时 === u → u0
10
极限运算法则
例求 lim ( x 2 + 3 x −
x → +∞
x 2 + 1) (∞− ∞型 )
解不满足每一项极限都存在的条件不能直接不满足每一项极限都存在的条件, 应用四则运算法则. 应用四则运算法则分子有理化
原式 = lim
x → +∞
∞ ( 型) 2 2 x + 3x + x + 1 ∞
x→0
是函数的分段点, 解 x = 0 是函数的分段点左右极限为
x →0
x →0
lim− f ( x ) = lim− (1 − x ) = 1,
x →0
2
lim+ f ( x ) = lim+ ( x + 1) = 1,
x →0
y = 1− x y
y = x2 +1
左右极限存在且相等, 左右极限存在且相等
x → x0
当x ∈ U ( x0 , δ 0 )时,
o
u→ u0
有 g(x) ≠u0,
则
u = g ( x) x → x0时, === lim f [ g ( x)] lim f [u ] = A x → x0 u →u0 u → u0
u ≠ u0

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解
∞ x → ∞时, 分子 , 分母的极限都是无穷大 . ( 型 ) ∞
5 3 x = 2. 1 7 x3
先用x 先用 3去除分子分母 , 分出无穷小, 再求极限 .
3 2+ + 3 2 2x + 3x + 5 x lim 3 = lim x →∞ 7 x + 4 x 2 − 1 x→∞ 4 7+ − x
x2 − 1 ( x + 1)( x − 1) lim 2 = lim x →1 x + 2 x − 3 x → 1 ( x + 3)( x − 1)
x+1 1 = . = lim x →1 x + 3 2
(消去零因子法消去零因子法) 消去零因子法
2x3 + 3x2 + 5 例4 求 lim . 3 2 x→∞ 7 x + 4 x − 1
a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限; 多项式与分式函数代入法求极限 b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限; 消去零因子法求极限 c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限; 无穷小因子分出法求极限 d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限; 利用无穷小运算性质求极限 e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限. 利用左右极限求分段函数极限
由无穷小与无穷大的关系,得由无穷小与无穷大的关系得
4x − 1 lim 2 = ∞. x →1 x + 2 x − 3
x −1 例3 求 lim 2 . x →1 x + 2 x − 3
2
0 解 x → 1时, 分子 , 分母的极限都是零 . ( 型) 0
先约去不为零的无穷小因子 x − 1后再求极限 . 后再求极限
(无穷小因子分出法无穷小因子分出法) 无穷小因子分出法
小结: 小结:当a 0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m 和n为非负整数时有
a0 b , 当n = m , m m −1 0 a 0 x + a1 x + L + am lim = 0, 当 n > m , n n −1 x→∞ b x + b x + L + bn 0 1 ∞ , 当n < m ,
1 2 1 2 < 2 , 有界， ∴ B( B + β ) > B , 故有界， B( B + β ) B 2
∴ ( 3)成立.
推论1 推论1 如果lim f ( x)存在而为常数则 , c ,
lim[cf ( x)] = c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面. 常数因子可以提到极限记号外面推论2 推论2
n −1
+ L + a n = f ( x 0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) = , 且Q( x 0 ) ≠ 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) = = f ( x 0 ). = x → x0 lim Q ( x ) Q( x0 )
x → x0 x → x0
1 2 n 1+ 2 +L+ n lim ( 2 + 2 + L + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim = lim (1 + ) = . 2 n→ ∞ n→ ∞ 2 n n 2
sin x 例6 求 lim . x→∞ x
解
4x4 − 2x2 + x 7、 lim = __________ . 2 x →0 3x + 2x
( 2 x − 3) 20 ( 3 x + 2) 30 8、 lim = __________ . 50 x →∞ ( 2 x + 1)
二、求下列各极限: 求下列各极限
1 1 1 1、 lim(1 + + + ... + n ) n→ ∞ 2 4 2
xm − xn 7、 lim m x →1 x + xn − 2
练习题答案
-5；一、1、-5； 5、 5、0；二、1、2； 1 5、 5、； 2 2、 2、3； 6、 6、0； 2、 2、 2 x ； 6、 6、0； 3、 3、2；
1 7、 7、； 2 3、-1； 3、-1； m−n 7、 7、 . m+n 1 4、 4、； 5 3 30 8、 8、( ) . 2 4、-2； 4、-2 ；
练习题
一、填空题: 填空题 x3 − 3 1、 lim = __________ . x→2 x − 3 x −1 2、 lim 3 = __________ . x →1 x −1 1 1 1 3、 lim (1 + )( 2 − 2 + ) = __________ . x →∞ x x x ( n + 1)( n + 2)( n + 3) 4、 lim = __________ . 3 n→ ∞ 5n 1 2 5、 lim x sin = __________ . x→0 x cos x 6、 lim x = __________ . −x x → +∞ e + e
2 x→2
= (lim x ) 2 − 3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
lim x − lim 1 x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3
1 当x → ∞时, 为无穷小, x
y=
sin x x
而 sin x是有界函数 .
sin x ∴ lim = 0. x→∞ x
1 − x, 例7 设 f ( x ) = 2 x + 1,
解
x→0
x<0 , 求 lim f ( x ). x→0 x≥0
x = 0是函数的分段点两个单侧极限为是函数的分段点,
lim P ( x )
若Q ( x 0 ) = 0, 则商的法则不能应用 .
4x − 1 . 例2 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
解 Q lim( x 2 + 2 x − 3) = 0,
x →1
商的法则不能用
又 Q lim(4 x − 1) = 3 ≠ 0,
x →1
x2 + 2x − 3 0 ∴ lim = = 0. x →1 4x − 1 3
( x + h) 2 − x 2 2、 lim h→ 0 h
1 3 3、 lim( ) − 3 x →1 1 − x 1− x
1− x − 3 4、 lim x → −8 2 + 3 x
5、 lim ( x +
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ→ +∞
x + x − x)
2x − 1 6、 lim x x → +∞ 4 + 1
证 Q lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
∴ f ( x ) = A + α,
g ( x ) = B + β. 其中α → 0, β → 0.
由无穷小运算法则,得由无穷小运算法则得
[ f ( x ) ± g ( x )] − ( A ± B ) = α ± β → 0. ∴ (1)成立. [ f ( x ) ⋅ g ( x )] − ( A ⋅ B ) = ( A + α )( B + β ) − AB = ( Aβ + Bα ) + αβ → 0.
∴ ( 2)成立.
f ( x ) A A + α A Bα − Aβ − = Q B α − A β → 0. − = g ( x ) B B + β B B( B + β )
又 Q β → 0, B ≠ 0, ∃ δ > 0, 当0 < x − x 0 < δ时,
1 1 B β < , ∴ B+β ≥ B − β > B − B = B 2 2 2
第六节极限运算法则
一、极限运算法则二、求极限方法举例三、小节思考题
一、极限运算法则
定理设lim f ( x) = A, lim g( x) = B,则
(1) lim[ f ( x) ± g( x)] = A ± B; (2) lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; f ( x) A (3) lim = , 其中B ≠ 0. g( x) B
3
3
x→2
小结: 小结: 1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 + L + a n , 则有
x → x0
lim f ( x ) = a 0 ( lim x ) n + a1 ( lim x ) n −1 + L + a n
x → x0
n
x → x0
= a 0 x 0 + a1 x 0
, , 如果lim f ( x)存在而n是正整数则 lim[ f ( x)] = [lim f ( x)] .
n n
二、求极限方法举例
x3 − 1 例1 求 lim 2 . x→2 x − 3 x + 5
= lim x 2 − lim 3 x + lim 5 解 Q lim( x − 3 x + 5) x → 2 x→2 x→2