高三数学周练1
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宿州二中（南校区）2012届高三数学周练试题
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题（每题5分，共40分）
1.若集合{}
A=|1x x x R ≤∈，，{}
2
B=|y y x x R =∈，，则A B ⋂=（ ）
A. {}|11x x -≤≤
B. {}|0x x ≥
C. {}|01x x ≤≤
D. ∅
2．下列命题是真命题的为（ ） A ．若
11
x y
=,则x y = B ．若2
1x =,则1x =
C ．若x y =,
D ．若x y <,则 22x y <
3
．函数y =
的定义域为（ ）
A.(
3
4,1) B. (
3
4
,∞) C.（1，+∞） D. (
3
4
,1)∪（1，+∞） 4．“a ＞0”是“a ＞0”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5．函数y=2
2log 2x
y x
-=+的图像（ ） A. 关于原点对称 B.关于主线y x =-对称 C.关于y 轴对称 D.关于直线y x =对称
6. 用min{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最小值，设()min{3,2,10}f x x x =+-, 则()f x 的最大值为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
7．设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0
,60
,64)(2x x x x x x f ，则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）
A.),3()1,3(+∞⋃-
B.),2()1,3(+∞⋃-
C.),3()1,1(+∞⋃-
D.)3,1()3,(⋃--∞
8
．设函数()0)f x a =
<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一
个正方形区域，则a 的值为 ( )
A ．2-
B ．4-
C ．8-
D ．不能确定
二、填空题（每题5分，共20分）
9．已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=）
，且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+）
，则(2008)(2009)f f -+的值为 10．设命题P :2
a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2
410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 .
11．直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 12．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上
的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）．其中为凸集的是 （写
出所有凸集相应图形的序号）．
三、解答题（共40分）
13．销售甲、乙两种商品所得利润分别是P (万元)和Q (万元)，它们与投入资金t (万元)
的关系有经验公式P =
5
t
Q =
．今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x (万元)．
(1)试求经营甲、乙两种商品的总利润y (万元)关于的函数表达式； (2)求总利润y 的最大值．
14. 定义：若函数)(x f 对于其定义域内的某一数0x ，有00)(x x f =，则称0x 是)(x f 的一个不动点. 已知函数)0(1)1()(2
≠-+++=a b x b ax x f . (1) 当1=a ，2-=b 时，求函数)(x f 的不动点；
(2) 若对任意的实数b ，函数)(x f 恒有两个不动点，求a 的取值范围；
15.已知函数x x a x f ln )2
1
()(2
+-=.（R a ∈）
（Ⅰ）当1=a 时，求)(x f 在区间[1，e ]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方，求a 的取值范围．
宿州二中（南校区）2012届高三数学周练答题卷
时间：60分钟 满分：100分 姓名： 得分：
（温馨提示：请沿中线撕下，仅交答题卷）
一、选择题（每题5分，共40分）
二、填空题（每题5分，共20分）
9、 10、 11、 12、
三、解答题（共40分）
13．（本小题13分）
销售甲、乙两种商品所得利润分别是P (万元)和Q (万元)，它们与投入资金t (万元)
的关系有经验公式P =
5
t
Q =
．今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x (万元)．
(1)试求经营甲、乙两种商品的总利润y (万元)关于的函数表达式； (2)求总利润y 的最大值．
14.（本小题13分）
定义：若函数)(x f 对于其定义域内的某一数0x ，有00)(x x f =，则称0x 是)(x f 的一个不动点. 已知函数)0(1)1()(2≠-+++=a b x b ax x f . (1) 当1=a ，2-=b 时，求函数)(x f 的不动点；
(2) 若对任意的实数b ，函数)(x f 恒有两个不动点，求a 的取值范围；
15. （本小题14分）
已知函数x x a x f ln )2
1()(2
+-=.（R a ∈）
（Ⅰ）当1=a 时，求)(x f 在区间[1，e ]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方，求a 的取值范围．
数学周练1参考答案
1、C
2、A
3、A
4、A
5、A
6、A
7、A
8、B 【解析】12max ||()x x f x -==||a =4a =- 9、 1 10、11(,0][,1)22-⋃ 11、5
(1,)4
12、 ②③
13、解(1)根据题意，得y ＝35x ＋1
5
(3－x )，x ∈［0，3］．
(2) y ＝－15(x －32)2＋2120． ∵32∈［0，3］，∴当x ＝32时，即x ＝94时，y 最大值＝21
20
．
答：总利润的最大值是21
20
万元．
14、解：(1)3)(2--=x x x f ，由x x x =--32
，
解得3=x 或1-=x ，所以所求的不动点为1-或3.
(2)令x b x b ax =-+++1)1(2，则012
=-++b bx ax ① 由题意，方程①恒有两个不等实根，所以0)1(42>--=∆b a b ，
即0442>+-a ab b 恒成立， 则016162
<-=∆'a a ，故10<<a
15、解：（Ⅰ）当1=a 时，x x x f ln 21)(2+=，x
x x x x f 1
1)(2+=+='；
对于∈x [1，e ]，有0)(>'x f ，∴)(x f 在区间[1，e ]上为增函数，
∴2
1)()(2
max e e f x f +==，21)1()(min ==f x f .
（Ⅱ）令x ax x a ax x f x g ln 2)2
1(2)()(2
+--=-=，则)(x g 的定义域为（0，+∞）.
在区间（1，+∞）上，函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方等价于0)(<x g 在区间（1，
+∞）上恒成立.
∵x
x a x x ax x a x a x a x g ]
1)12)[(1(12)12(12)12()(2---=+--=+--='
① 若21>a ，令0)(='x g ，得极值点11=x ，1
21
2-=a x ，
当112=>x x ，即12
1
<<a 时，在（2x ，+∞)上有0)(>'x g ，此时)(x g 在区间(2x ，
+∞)上是增函数，并且在该区间上有)(x g ∈()(2x g ，+∞)，不合题意；
当112=<x x ，即1≥a 时，同理可知，)(x g 在区间(1，+∞)上，有)(x g ∈()1(g ，+
∞)，也不合题意； ② 若2
1
≤
a ，则有012≤-a ，此时在区间(1，+∞)上恒有0)(<'x g ，从而)(x g 在区间(1，+∞)上是减函数；要使0)(<x g 在此区间上恒成立，只须满足
021)1(≤--=a g 21-≥⇒a ，由此求得a 的范围是[21-，2
1
].
综合①②可知，当a ∈[21-，2
1
]时，函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=下方.。
