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关键词：古希腊数学对比中国古代数学第二章主要是古代希腊数学，学完之后最大感觉与中国古代数学有许多不同，所以决定两者对比着来看。
（一）古希腊数学古希腊时期出现了很多对后世影响深远的哲学家和数学家．如泰勒斯、毕达哥拉斯、芝诺、苏格拉底、柏拉图、亚里士多德等等，由此可看出西方理性传统的起源。
他们认为：真正的知识是理性的知识，真理只有借助于理性才能获得。
．柏拉图认定数学认识是理智，柏拉图数学化的宇宙观正是近代和现代科学数学化思想的重要源泉。
希腊数学对整个数学发展极为重要的贡献就是开创了一整套演绎逻辑的证明思想。
古希腊有几个令人印象深刻的数学学派，学派的代表人物是著名的数学家，有些还是影响后世的哲学家。
泰勒斯是希腊最早留名于世的数学家和哲学家，他的研究几乎涉及当时所有人类的思想和行动领域，获得崇高声望，被尊为“希腊七贤之首”。
泰勒斯在数学方面划时代的贡献是开始引入了命题证明的思想，成为希腊几何学的先驱。
泰勒斯之后，证明命题成为希腊几何学的基本精神。
从此，数学从具体的、实验的阶段过渡到抽象的、理论的阶段，逐渐形成独立的、演绎的科学体系。
毕达哥拉斯学派对数学的贡献主要反映在对数学本身的认识和研究方法上的突破，毕达哥拉斯学派认为，“数”是世界的法则和关系，是主宰生死的力量，是一切被决定事物的条件。
纯粹的数论研究应首先归功于毕达哥拉斯学派。
柏拉图学派的最重要的成就之一是提出了分析和证明的方法，最早论证了在数学中获得广泛应用的归纳法和反证法；给几何的概念、公理以明确的阐述，强调数学要有准确的定义、清楚的假设和严格的推理。
亚里士多德倾向研究数学的本质，探讨过定义、公理、公设的含义及其区别；考察了点、线、连续性、无穷大等许多基本概念，为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论的基础。
欧几里得是希腊早期数学的集大成者．他将已有的知识搜集起来，加以发展和系统化。
《几何原本》是用公理方法建立演绎数学体系的最早典范.，标志着演绎数学的成熟。
第二讲古希腊数学《雅典学院》壁画介绍拉斐尔(1483-1520)，是意大利文艺复兴时期的著名画家。
1508年，拉斐尔被罗马教皇尤里乌斯二世邀去绘制梵蒂冈皇宫签字厅的四幅壁画。
画于三面墙上和屋顶的四幅绘画，依据诗人德拉·欣雅杜尔的诗来配画，以歌颂神学、哲学、诗歌、法学为内容。
拉斐尔在四面墙上画了四幅壁画：神学的《圣礼之争》（或教义之争）、哲学的《雅典学院》、诗歌的《帕拿巴斯山》、法学的《三德》。
《雅典学院》以古希腊著名哲学家柏拉图所创建的雅典学院为题，并以柏拉图及其弟子亚里士多德为中心，将古希腊、罗马、斯巴达以及意大利时期五十多位哲学家、科学家、思想家、文学家学者齐聚一堂，以此歌颂人类对智慧和真理的追求，赞美人创造力。
位居画面中心的左为柏拉图，右为亚里土多德，一个手指着上天，另一个则伸出右指着他前面的世界，以此表示他们不同的哲学观点：柏拉图的唯心主义和亚里土多德的唯物主义。
这两个中心人物的两侧有许多重要的历史人物：左边穿白衣、两臂交叉的青年是马其顿王亚历山大，转身向左扳手指的是苏格拉底，斜躺在台阶上的半裸着衣服的老人是犬儒学派的哲学家第奥根尼。
台阶下的人物分为左右两组。
左边一组中，站着伸头向左看的老者是阿拉伯学者阿维罗意，在他左前方蹲着看书的秃顶老人是毕达哥拉斯。
右边弯腰和别人讨论的是阿基米德，手拿圆规者为欧几里得，右边尽头手持天体模型者是托勒密。
图中还出现的学者有伊壁鸠鲁、赫拉克立特、芝诺。
1．论证数学的兴起泰勒斯(约前625-前547)，迄今所知最早的希腊数学家。
没有任何第一手资料介绍这位学者本人或证实他所取得的成就，但他的生活与工作却留下了不少传说。
据称他领导的爱奥尼亚学派首开证明之先河，他自己也证明了不少定理。
在论证数学的方向上，泰勒斯迈出了第一步，但希腊数学著作的评注者们还是倾向于将论证数学的成长归功于毕达哥拉斯以及他所创建的学派。
毕达哥拉斯(约前580-前500)，出生于靠近小亚细亚西部海岸的萨摩斯岛，年轻时曾游历埃及和巴比伦，可能还到过印度，回希腊后定居于今意大利南部沿海的克洛托内，并在那里建立了自己的学派。
第二讲古代希腊数学1、古典时期的希腊数学公元前600－前300年。
1.1 爱奥尼亚学派（米利都学派）泰勒斯（公元前625－前547年），被称为“希腊哲学、科学之父”。
1.2 毕达哥拉斯学派数学：数学研究抽象概念的认识归功于毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯定理，完全数、亲和数，正五角星作图与“黄金分割”，发现了“不可公度量”。
1.3 伊利亚学派芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系以非数学的形态提出，并进行了辩证的考察。
1.4 诡辩学派（智人学派）古典几何三大作图问题：三等分任意角、化圆为方、倍立方。
1.5 柏拉图学派柏拉图不是数学家，却赢得了“数学家的缔造者”的美称，创办雅典学院（前387－公元529），讲授哲学与数学。
1.6 亚里士多德学派（吕园学派）亚里士多德（公元前384－前322年）是古希腊最著名的哲学家、科学家。
集古希腊哲学之大成，把古希腊哲学推向最高峰，堪称“逻辑学之父”，为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论的基础，被后人奉为演绎推理的圣经。
2、亚历山大学派时期希腊数学黄金时代，先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，他们的成就标志了古典希腊数学的巅峰。
2.1 欧几里得（公元前325－前265年）公元前300年成为亚历山大学派的奠基人，用逻辑方法把几何知识建成一座巍峨的大厦，成为后人难以跨跃的高峰。
《原本》13卷：由5条公理，5条公设，119条定义和465条命题组成，构成了历史上第一个数学公理体系。
2.2阿基米德（公元前287－前212年）数学之神，与牛顿、高斯并列有史以来最伟大的三大数学家之一。
最为杰出的数学贡献是《圆的度量》，把希腊几何学几乎提高到西方17世纪后才得以超越的高峰。
墓碑：球及其外切圆柱。
2.3 阿波罗尼奥斯（约公元前262－前190年）贡献涉及几何学和天文学，最重要的数学成就是《圆锥曲线》，希腊演绎几何的最高成就。
《圆锥曲线》全书共8卷，含487个命题。
第二章古典希腊数学当巴比仑文明和埃及文明方兴未艾之际，地处爱琴海附近的希腊文明开始发展起来。
从时间上讲，希腊文明要晚于巴比仑文明和埃及文明，实际上，希腊文明是在巴比仑文明和埃及文明的基础上发展起来的。
因此他们从一开始就站在一个更高的起点上，这就使得他们能够走得比巴比仑和埃及人更远。
希腊人在数学上的一个重大成就是他们建立起了演绎数学——欧几里德几何。
数学的演绎化对人类文明产生了深远的影响，希腊人通过自已的创造性劳动，把人类文明推进到了一个空前的高峰，以至现在的很多学科都可以在希腊文明中找到源头。
尽管希腊文明后来在罗马帝国、基督教、伊斯兰教的多重打击下衰落了，但希腊人的创造性劳动却没有被消灭。
他们在人类文明史上的贡献是不可磨灭的。
1．历史背景古代希腊的地理范围，包括希腊半岛爱琴海诸岛和小亚细亚的西部沿海地带，以及意大利南部、西西里、克里特、罗德斯、第罗斯和和北非。
据现在的史书记载，希腊文明至少可追溯到公元前2800年以前。
大约在公元前八世纪，希腊进入了奴隶制阶段，社会经济进一步发展起来，产生了许多奴隶制城邦。
这些城邦的领域一般不大，通常是以一个城市为中心，包括周围的若干村落。
各城邦原则上是独立的，同时也以结盟的方式保持着政治、军事上的联系。
他们虽然没有建立起一个统治的国家，但在文化、宗教信仰、风俗习惯等方面基本保持一致。
古希腊没有公认的神权，人们信奉多神教。
大约在公元前775年左右，希腊人把他们用过的象形文字书写系统换成腓尼基人的拼音字母，这就使希腊人更有能力记载他们的历史和思想了。
从公元前六世纪开始，雅典和其它少数城邦的新兴工商业奴隶主进行了一系列改革，建立了奴隶主民主政治，这种民主政治虽然有很大的局限性，但是它削弱了贵族的权利，有利于工业的发展，也振奋了人们的精神。
希腊人创业之后，便游访巴比仑、埃及并与之进行贸易往来，在进行贸易往来的同时，希腊人也学习埃及和巴比仑的数学和科学。
小亚细亚爱奥尼亚地区的一个城市米利都，被认为是希腊哲学、数学和科学的诞生地。
第2章古代希腊数学主题：希腊文化与理论数学的起源人类理性思维的形成在唯理的社会气氛中，希腊人将埃及和美索不达米亚的数学经验算术和几何法则加工成具有初步逻辑结构的论证数学体系。
概述：希腊数学分为三个阶段：一是从公元前6C到约公元前3C，这一时期以雅典为中心，形成了论证几何数学的思想基础和有关方法上的基础；二是从约公元前3C到约公元前30年，这一时期主要以亚历山大为中心，形成的系统的论证几何体系，建立理论方法，为数学的发展提供了一种基本的观点和方法。
三是从约公元前30年到公元6C，这是希腊数学发展后期，主要发展带有实用特点的数学。
同时也有对前人进行评述和整理工作。
主要成就：1 论证数学的鼻祖及主要贡献：泰勒斯（前625－前547）泰勒斯领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题论证之先河，并证明了四条定理和“泰勒斯定理”。
毕达哥拉斯（前580－前500）毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯学派，从事哲学和数学研究。
普鲁克鲁斯在《评注》中论述了毕达哥拉斯学派的主要成就有：（1）证明了毕达哥拉斯定理，即勾股定理。
其方法最著名的猜测是“面积剖分法”。
（2）正多面体作图（包括正四、六、八、十二、二十面体）。
以正十二面体的作图最为著名，它的每个面都是正五边形，并且和“黄金分割”相关（注：黄金分割这一名字并不是来源该学派，见书36页注）。
（3）关于数的研究，毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数”（这里指整数），并讨论了许多数论的性质，如偶数与奇数，完全数等。
该学派还有关于“形数”的研究，他们把数作为几何思维元素的精神，“形数”体现了数与形的结合。
（4）发现了不可公度量。
评论：毕达哥拉斯学派把数看成是世界的基础，客观上形成对世界数量关系的认识，是人类认识上的一大进步。
加强了数概念中的理论倾向，推动了几何学的抽象化倾向，这些研究使人类抽象思维能力达到了一个高的水平。
不可公度量的发现，由此产生了“第一次数学危机”，这一问题的根本解决是人们对连续性有更精确的定义后才完全解决。
如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立和发展的概念、方法和结果，我们就不可能理解五十年来数学的目标，也不可能理解它的成就。
————韦尔（德）认识你自己。
————古希腊德菲神庙金顶上的题词第2章古代希腊数学§2.1 古代希腊历史文化简介古希腊地理范围，包括希腊半岛（今巴尔干半岛）、爱琴海诸岛和小亚细亚的西部沿海地带。
作为世界文明之一的爱琴文明就萌发在爱琴海区域。
公元前2500年，古希腊最早的奴隶制国家产生在克里特岛，创立了克里特文化。
对希腊本土影响很大。
公元前1600年左右，迈锡尼人从北方进入希腊半岛，统一半岛南部的一些小国，建立与克里特对抗的奴隶制国家。
公元前12世纪初，迈锡尼联合附近各国攻占了爱琴海东岸、小亚细亚半岛的特洛伊城。
此后不久，半岛北部的多利亚人向南侵入希腊，征服了迈锡尼和其他奴隶制国家，古希腊历史进入“荷马时代”。
公元前8世纪开始，产生许多奴隶制城邦，几万平方公里的希腊半岛遍布了二百多个城邦，城邦由贵族统治。
公元前6世纪开始，多数城邦的新兴工商业奴隶主进行了一系列改革，建立起奴隶主民主政治，促进了经济发展，也使古希腊形成欧洲文化的第一个高峰。
公元前540年，爱奥尼亚地区落入波斯人之手。
公元前492年，波斯人入侵希腊，开始了著名的希波战争。
公元前479年，以雅典为首的希腊同盟军击溃波斯军队，消除了外来威胁。
雅典成为希腊的政治、军事、文化中心。
公元前431年，希腊爆发连绵内战，加上奴隶起义，加速了希腊的衰落。
在此期间，与希腊人有近亲的马其顿人在北方强盛起来。
公元前337年，马其顿国王腓力二世用武力征服了希腊各城邦，宣告古典希腊时期结束。
其后不久，腓力二世遇刺身亡，其子亚历山大继位。
从公元前334年起，亚历山大率兵东征。
公元前333年进入叙利亚，公元前332年占领埃及，公元前331年攻克巴比伦，公元前330年灭亡波斯帝国。
他们一直打到中亚西亚及印度河流域，建立起横跨欧、亚、非三大洲的庞大帝国。
第二章古代希腊数学希腊数学一般是指从公元前600年至公元600年间，活动与希腊半岛、爱琴海地区、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部的数学家们创造的数学。
古希腊人也叫海仑人(Hellene)，其历史可以追溯到公元前2000年。
当时，作为希腊先民的一些原始部落由北向南挺进，在希腊半岛定居，后来又逐步向爱琴海诸岛和小亚细亚扩张。
到公元前600年左右，希腊人已散布于地中海与黑海沿岸的大部分地区，正是在这一带掀起了新的数学浪潮。
在这方面，这些海滨移民具有两大优势。
首先，他们具有典型的开拓精神，对于所接受的事物，不愿因袭传统；他们身处与两大河谷地区毗邻之地，易于汲取那里的文化。
大批游历埃及和美索不达米亚的希腊商人、学者带回了从那里收集的数学知识，在古代希腊城邦社会所特有的唯理主义气氛中，这些经验的算术与几何法则被加工升华为具有初步逻辑结构的论证数学体系。
2.1论证数学的发端2.1.1泰勒斯与毕达哥拉斯现在所知最早的希腊数学家是泰勒斯(Thales of Miletus,约公元前625-前547)。
泰勒斯出生于小亚细亚（今土耳其）西部爱奥尼亚地方的米利都城，他领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题证明之先河。
不过，关于泰勒斯并没有确凿的传记资料流传下来，我们对他在数学上的贡献的最可靠的证据是来自公元5世纪新柏拉图学派哲学家普罗克鲁斯(Proclus,410-485)所著《欧几里得<原本>第一卷评注》一书，《评注》开始部分援引罗德岛的欧多莫斯（Eudemus of Rhodes,约公元前320 ）所撰《几何学史》的内容摘要说：“……（泰勒斯）首先来到埃及，然后将几何研究引进希腊。
他本人发现了许多命题，并指导学生研究那些可以推出其他命题的基本原理”。
普罗克鲁斯在《评注》其他地方再次根据欧多莫斯的著作介绍说泰勒斯曾证明了下列四条定理：1.圆的直径将圆分为两个相等的部分；2.等腰三角形两底角相等；3.两相交的直线形成的对顶角相等；4.如果一三角形有两角、一边分别与另一三角形的对应角、边相等，那么这两个三角形全等。
传说泰勒斯还证明了现称“泰勒斯定理”的命题：半圆上的圆周角是直角。
尽管没有任何第一手文献可以证实泰勒斯的这些成就，但上述间接的记载却流传至今，使泰勒斯获得了第一位数学家和论证几何学鼻祖的美名。
关于泰勒斯，还有一些其他的零星传说。
根据这些传说，泰勒斯早年经商，因进行橄榄轧油机生意而发了大财；在埃及，泰勒斯测量过金字塔的高：利用一根垂直立竿，当竿长与影长相等时，通过观测金字塔的日影来确定其高；在巴比伦，泰勒斯接触了那里的天文表和测量仪器，并预报了公元前585年的一次日蚀，等等。
希腊论证数学的另一位祖师是毕达哥拉斯(Pythagoras of Samos,约公元前580-前500)。
毕达哥拉斯与泰勒斯一样也是扑朔迷离的传说人物。
二者都没有著作留世，我们甚至不知道他们是否写过书面著作。
今人对毕达哥拉斯生平与工作的了解，主要也是通过普罗克鲁斯等人关于希腊数学著作的评注，另外还有如柏拉图、希罗多德的著述也提供了一些信息。
根据这些间接的资料，我们知道毕达哥拉斯生于靠近小亚细亚西部海岸的萨摩斯岛，年轻时曾游历埃及和巴比伦，可能还到过印度，回希腊后定居于当时的大希腊(Magna Graecia)，即今意大利东南沿海的克洛托内(Crotone)，并在那里建立了一个秘密会社，也就是今天所称的毕达哥拉斯学派。
这是一个宗教式的组织，相传“哲学”（希腊原词φτλοσοφτα意为“智力爱好”）和数学（希腊原词μαθηματιχα，意为“可学到的知识”）这两个词正是毕达哥拉斯本人所创。
虽然泰勒斯沿着论证数学的方向迈出了第一步，但希腊数学著作的评注者们主要是将数学中这一新方向的成长归功于毕达哥拉斯学派。
前面所引普罗克鲁斯的著述在介绍了泰勒斯的几何工作后就接着写道：“毕达哥拉斯继泰勒斯之后，将这门科学改造为自由的教育方式，首先检验其原理，并用一种无形和理智的方式探讨其定理”一般认为，欧几里得《原本》前二卷的大部分材料来源于毕达哥拉斯学派。
这种看法带有很大的推测成分，包括西方文献中一直以毕达哥拉斯的名字命名勾股定理，据传毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，曾宰牛祭神（甚至有传说宰了一百头牛），但迄今并没有毕达哥拉斯发现和证明了勾股定理的直接证据。
上述宰牛传说最早出自公元前2世纪希腊学者阿波罗多罗斯(Apollodours)的《希腊编年史》，阿波罗多罗斯并未明说是哪条定理，并且后来人们指出宰牛之说与毕达哥拉斯学派奉行的素食主义相违。
尽管如此，人们仍然对毕达哥拉斯证明勾股定理的方法给出了种种猜测，其中最著名的是普鲁塔克（Plutarch,约46-120）的面积剖分法。
如图，设直角三角形的两直角边与斜边分别为c b a ,,。
以此直角三角形为基础做出两个边长为b a +的正方形。
由于这两个正方形内各含有四个与原来的直角三角形全等的三角形，除去这些三角形后，两个图形剩下部分的面积显然应该相等，即第一个图形中以斜边c 为边的正方形的面积等于第二个图形中以直角边a 和b 为边的两个正方形面积之和，这就是勾股定理。
毕达哥拉斯本人是否明确用这种方法证明勾股定理，这件是很值得怀疑。
毕达哥拉斯学派另一项几何成就就是正多面体作图，他们称正多面体为“宇宙形”.我们今天知道在三维空间中正多面体仅有五种—正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
欧几里得《原本》第8卷的附注指出：“其中三个（正四、六、八面题）应归功于毕达哥拉斯学派，而十二面体和二十面体应归功于蒂奥泰德(Theaetetus)”。
蒂奥泰德（约公元前417-前369）是晚期毕达哥拉斯学派成员希奥多罗斯（约公元前465-前399）的学生，深受毕达哥拉斯学派思想的影响。
因此，一般认为所有正多面体的作图都与毕达哥拉斯学派有关。
1885年以后在意大利帕多瓦等处出土石制正十二面体，年代考定在公元前500年以前，为这种看法提供了佐证。
在所有的正多面体中，正十二面体的作图是最为诱人的问题，因为它是由正五边形围成，而其他正多面体都是以三角形或正方形为界面，正五边形的作图则与著名的“黄金分割”问题有关，如图正五边形ABCDE 的五条对角线分别相交于点'A 、'B 、'C 、'D 、'E ，这些交点以一些特殊的方式分割对角线：每条对角线都被交点分成两条不相等的线段，使该对角线的整体与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比。
这就是所谓“黄金分割”。
毕达哥拉斯学派应该知道这种分割的性质，并且据说他们正是以正五边形的五条对角线构成的五角星形作为自己学派的标志。
当然我们并不知道毕达哥拉斯学派是用什么方法求解黄金分割的，“黄金分割”这个名称也不是来自该学派。
尽管人们将许多几何成就归功于毕达哥拉斯学派，但这个学派基本的信条却是：“万物皆数”。
关于这一点，毕达哥拉斯本人的原话不得而知，但这个学派的一位晚期成员费洛罗斯（Philolaus,约卒于公元前390年）确曾明确地宣称：“人们所知道的一切事物都包含数；因此没有数就既不可能表达、也不可能理解任何事物”。
毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数，分数是被看成两个整数之比的关系。
他们认为数1生成所有的数，并命之为“原因数”(Number of reason).每个数都赋予了特定的属性，而在一切数中最神圣的是10，也就是毕达哥拉斯学派信奉和崇拜数10，将10看成是完美、和谐的标志。
除了奇数和偶数，有时还提到奇-奇数和偶-奇数，根据所讨论的数是两个奇数之积还是一个偶数和一个奇数之积而定。
毕达哥拉斯学派关于“形数”研究，强烈地反映了它们将数作为几何思维元素的精神。
诸如3，6，10，15，之类的数，或一般地由公式 2)1(321+=++++=n n n N 给出的数称为“三角形数”，它们可以用某种三角点式来表示；由序列)12(7531-+++++=n N形成一系列“正方形数”。
五边形数和六边形数分别由序列2)13()23(741-=-++++=n n n N 和 n n n N -=-++++=22)34(951得到，这是一些高阶等差序列。
用同样的方式可以定义所有的多边形数。
“形数”体现了形与数的结合。
数形结合的另一个典型例子是由m m m m (21,,2122+-为奇整数) 给出的毕达哥拉斯三元数组，它们分别表示一个直角三角形的两条直角边和斜边，与勾股定理密切相关。
毕达哥拉斯学派数学神秘主义的外壳，包含者理性的内核。
首先，它加强了数概念中的理论倾向，如果说埃及与巴比伦算术主要是实用的数字计算技巧，那么毕达哥拉斯学派算术则更多地成为某种初等数论的智力领域，这是向理论数学过渡时观念上的飞跃，并且由于数形结合的观点这种飞跃实质上推动了几何学的抽象化倾向。
其次，“万物皆数”的信念，使毕达格拉斯学派成为相信自然现象可以通过数学来理解的先驱。
他们用数的理论来解释天体运动，发现音乐定律等等。
一个广泛流传的例子是毕达格拉斯关于和声的研究：他注意到如果振动弦的长度可表示成简单的整数比，这是发出的将是和音，如2﹕3（五度和音）或3﹕4（四度和音）等等。
这大概是最早的数学物理定律了。
毕达哥拉斯相信任何量都可以表示成两个整数之比（即某个有理量）。
在几何上这相当于说：对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。
希腊人称这样两条给定线段为“可公度量”，意即有公共的度量单位。
然而毕达哥拉斯学派后来却发现：并不是任意两条线段都是可公度的，存在着不可公度的线段，例如正方形的对角线和其一边就构成不可公度线段。
这一事实的证明最早出现在亚里士多德的著作中：根据勾股定理，如正方形对角线与其一边之比为α︰β（βα,互素），则有222βα=。
这里2α为偶数，则α也必为偶数，设ρα2=，于是22224βρα==，即222,2βρβ=为偶数，则β也必为偶数，这与βα,互素的假设相矛盾，因此正方形对角线与其一边不可公度。
这一证明与我们今天证明2为无理数的方法相同，亚里士多德声明这来源于毕达哥拉斯学派。
不过毕达哥拉斯学派有严格的教规，将一切发现归功于学派的领袖，并禁止公开学派的秘密，因此我们对毕达哥拉斯学派的介绍，很难将毕达哥拉斯本人的工作与其他成员的贡献区别开来。
有关不可公度量的发现，情形也是如此。
一个传说是学派成员希帕苏斯(Hippasus,公元前470年左右)首先发现了不可公度性，当时毕氏学派正在海上泛舟集会，希帕苏斯说出他的发现后，惊恐不已的其他成员将他抛进了大海。
毕达哥拉斯学派认为宇宙万物皆依赖于整数的信条，由于不可公度量的发现而受到了动摇。
据柏拉图记载，后来又发现了除2以外的其他一些无理数。
