论古希腊数学成就
和埃及、美索不达米亚、印度、中国相比，希腊形成国家要晚一些。但是，从对人类科学文化发展的贡献和影响来看，希腊完全可以和这些最古老的国家比美，它被称为欧洲的文明古国。
公元前五百多年，毕达哥拉斯建立了青年兄弟会，以秘密的形式向会员传授数学知识。一个世纪后，雅典出现了学校，给青年讲授法律、政治、演说和数学方面的知识。新式的学校里没有了那种神秘的色彩，不论教师和学生，什么都可以写出来给人看。这种公开研究，自由争论，促进了一种新的数学思想和方法的产生。
很早以前，人们就知道了边长为3、4、5和5、12、13的三角形为直角三角形。毕达哥拉斯发现了这两套数字的共同之处：最大数的平方等于另外两个数的平方和，即32＋42=52；52＋122=132。这就是说，以直角三角形最长边为边长的正方形面积，等于两个短边为边长的两个正方形面积的和。接着，毕达哥拉斯又研究了这样两个问题：一、这个规律是否对所有的直角三角形都成立？二、符合这一规律的任何三角形是否一定是直角三角形？毕达哥拉斯搜集了许许多多的例子，这就是几何学中的勾股定理为什么又叫做毕达哥拉斯定理的由来。
在希腊之前的漫长年代里，人们已经知道了许多求面积和测角度的知识。可是谁也没有想到过用推理的方法把这些知识联系在一起，找出它们之间的内在关系，并且证明它们是可靠的。这就是说，这时的几何知识还处于零散的、互不联系的状态之中。没有系统，就没有几何学。
大约在公元前三百年，欧几里得写了一套叫做《几何原本》的数学教科书，把希腊人在这方面的成就传给了我们。一千年后，许多希腊著作都散失和毁掉了，而《几何原本》却被译成阿拉伯文，作为穆斯林大学的教本。直到五十年前，欧洲和美洲各国的学校还在用翻译的《几何原本》作教科书。就是今天，初中学校里讲授几何学的主要内容也是来自欧几里得几何学。几何学的建立为测量、建筑、航海、天文，甚至为城市规划、乐器设计等提供了必要的工具。
在毕达哥拉斯时代，希腊人知道的几何法则中有这么两条：一、任何三角形的三个内角和等于两个直角；二、三角形的两个内角相等，它们的对应边也相等。由第一个法则可以得到：如果三角形中有一个角是直角，另一个角是45°，那么
第三个角也一定是45°；由第二个法则可以得到：对应于两个45°角的边一定相等。他们根据这两条法则，就可以利用阳光测量出地面上的物体高度了。
当阳光成45°照射地面时，一根直立在地面上的柱子，连同它的影子和阳光，恰好组成这样一个三角形，测量柱高就不用爬到柱子上去了。因为柱子和它的影子都对应着45°的角，二者是等长的，只要量出影长就行了。
当然，这个原理在其它许多方面也用得着。例如，要在岸上测出海上的船只离岸多远，只要在岸上确定两个点，使一个点与船的联线和海岸成直角，另一个点与船的联线与海岸成45°角，那么岸上两点间的距离，就是船与海岸的距离。
这种方法，由于有45°角的要求，在实际测量中受到很大的限制。古埃及人在测量金字塔的高度时，使用了三角形的另一个法则：任意两个三角形，如果对应角相等，那么各组对应边的边长的比也相等。这样，直立在地面上的木杆高度，与它正午影子的长度比，就和金字塔的高度，与它正午影长加上地基宽度一半的比相等。木杆的高度和影长，金字塔的影长和地基的宽度都可以直接量出来。所以，金字塔的高度根据比例关系就能算出来了。
掌握了对应三角形的法则后，角度限制没有了，一年四季里不管什么时候，都可以利用阳光来测量高度了。需要指出的是，古埃及人虽然会使用这个法则，却不会象希腊人那样能严格地证明它。
阿基米得是那个时代最卓越的数学家、物理学家和机械发明家。他制造了石弩和弩炮来打击敌人，保卫自己的国家。他做出了紧贴圆筒内壁的旋转器来抽水，解决了农田灌溉和船舱排水的困难。著名的浮力原理，也是他在判断皇冠是纯金还是金银混合物时发现的。今天我们用来测量液体密度的比重计，就是依据这个原理做成的。阿基米得在数学上有许多贡献。他运用圆内接和外切正四十八边形周长的平均数，相当精确地算出了圆周率的值是22/7。直到今天，这个数值足够一般工程技术采用。他研究过曲线的特性，象熏蚊子的盘香那样的曲线，我们今天就把它叫做阿基米得螺线。他还发现了许多求体积的方法。其中两种球和圆柱体的求积方法，就刻在他的墓碑上。比阿基米得晚五十年的希帕卡斯，汇集了希腊几何学的成就，编制了我们现在说的正弦表，这对测量和天文学极为有用。
英语中的“算术”一词来源于希腊语。但是希腊语的“算术”并不是今天的数字计算的意思，而很可能是指“数字游戏”。
一种数字游戏可以用芝诺的一个著名诡辩来代表。芝诺是一个很有才能的数学家。他问道：阿溪里斯是古希腊传说中善跑的神，要是让他和乌龟赛跑，并假定他的速度为乌龟的10倍。乌龟先出发了100米。然后，阿溪里斯开始追赶乌龟。当阿溪里斯跑完这100米时，乌龟又已经向前走了10米；当阿溪里斯跑完这10米时，乌龟又向前走了1米……。阿溪里斯的速度再快，走过一段距离总得有一段时间，而在这段时间里，乌龟速度再慢，也总要走出一段距离来。这样说起来，阿溪里斯是永远追不上乌龟了。
人们从实际经验中知道，结果肯定不会是这样的。阿溪里斯一定会超过乌龟的，但是在很长的时间里，人们不知道问题出在了哪里，当然也就不知道怎样才能驳倒芝诺的诡辩了。
字母的使用，曾经使希腊人大大简化了文字。他们也希望在数字计算中，能得到同样的便利。最初，希腊人用表示一个数的字头来代表数，这就是用Δ表示10，H代表100，X表示1000，就好像英语中用T代表Ten，H代表Hundred 一样。数字再大，就按需要重复这些符号就行了。这种数的写法和埃及的非常象。到公元五世纪，希腊人采用了一种完全不同的记数方法。他们以头九个字母表示1到9；接着的九个字母表示10到90；最后的九个字母表示100到900；在任何数的前面划一道，表示这个数是原数的一千倍。这个新的数字系统需要27个字母，但是希腊的字母只有24个，所以增加了三个古老的和外来的字母。
采用这种记数方法，唯一的好处是一些大数字简短好写，不占篇幅；严重的毛病是计算困难，使用很不方便。今天，我们在数学中是把字母作为一种简写符号使用的。比如bh/2表示三角形的面积等于底乘高被2除。这种简洁的表示方法对于把字母固定成数的希腊人来说是根本不能使用的。
公元四世纪，罗马帝国分为东西两个部分。东罗马部分继承了希腊文明，保存了希腊的学术语言和传统；而西罗马就很快丢掉了希腊的语言和科学，长期处于落后保守之中，停步不前。
西方在数学、科学等各个方面需要学习和援助。这些援助来自东方的阿拉伯、印度和中国。
