古希腊数学(雅典时期)

古代希腊数学1.古希腊数学的时间希腊数学一般指从公元前600年至公元400年间2. 古希腊数学的三个阶段古典时期的希腊数学（以雅典为中心，公元前600-前339）----哲学盛行、学派林立、名家百出亚历山大学派时期（以亚历山大里亚为中心，黄金时代，公元前338-前30）----希腊数学的顶峰时期，代表人物：欧几里得，阿基米德，阿波罗尼奥斯希腊数学的衰落（公元前30-公元前400）----罗马帝国的建立，唯理的希腊文明被务实的罗马文明代替3.爱奥尼亚学派（米利都学派）泰勒斯(约公元前625-前547年)----第一位数学家、论证几何学鼻祖数学贡献：论证数学的开创者证明的数学定理：1、“圆的直径将圆分成两个相等的部分”2、“等腰三角形两底角相等”3、“两相交直线形成的对顶角相等”4、“两角夹一边分别相等的三角形全等”泰勒斯定理:半圆上的圆周角是直角4.毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯（约公元前560-前480）数的理论：万物皆数自然数的分类（奇数、偶数、质数、合数、完全数、亲和数）形数（完全三角形数、正方形数）不可公度几何学：基本上建立了所有的直线形理论，包括三角形全等定理、平行线理论、三角形的内角和定理、相似理论等。

毕达哥拉斯定理：在任何直角三角形中，斜边上正方形等于两个直角边上的正方形之和。

（数学中第一个真正重要的定理。

）五角星形与黄金分割立体几何（正多面体作图）三维空间中仅有五种正多面体：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

5.伊利亚学派芝诺（约公元前490-约前425年）芝诺悖论：两分法，及运动不存在阿基里斯追不上乌龟飞箭不动6.诡辩学派希比亚斯、安提丰古典几何三大作图问题：三等分角：即分任意角为三等分。

化圆为方：即作一个与给定的圆面积相等的正方形。

倍立方: 即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。

7.柏拉图学派柏拉图（约公元前427-前347年）----充当其他人的启发者和指导者8.亚里士多德学派亚里士多德（前384—前322年）亚里士多德三段论、建立了形式逻辑、矛盾律、排中律9.欧几里得（约公元前330年—前275年）与《几何原本》《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品,是几何学的奠基。

《雅典学院》中的数学文化在雅典学院中，数学的研究主要集中在几何学，这是因为古希腊人认为几何是一种精确的学科，可以用来研究自然现象和人类生活中的各种问题。

在雅典学院中，数学家们通过推演和演绎的方法，发展了很多几何学的基本理论，为后世的数学研究奠定了基础。

在雅典学院中，最著名的数学家之一就是欧几里德。

欧几里德是古希腊数学发展的重要人物，他在几何学领域有着深远的影响。

他所著的《几何原本》是古代最重要的几何学著作之一，其中包含了许多几何学的基本定理和推理方法，被后人誉为几何学的圣经。

欧几里德通过逻辑推理和严密的证明，建立了几何学的基础体系，为后世的数学研究提供了重要参考。

此外，在雅典学院中还有其他许多重要的数学家，如毕达哥拉斯、柏拉图、亚里士多德等，他们都对数学领域的发展做出了重要的贡献。

毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯学派，提出了著名的毕达哥拉斯定理，对三角学的发展有着重要影响；柏拉图通过对数学的研究，提出了“数学世界观”的理论，认为数学是揭示世界本质的最高形式；亚里士多德则是通过对逻辑学和数学的研究，建立了逻辑学的基础，为后世哲学和数学的发展提供了理论支持。

雅典学院中的数学文化不仅仅局限于理论研究，更体现在实践应用中。

在古希腊时期，数学被广泛运用于建筑、军事和天文领域，为古希腊文明的发展做出了重要贡献。

在建筑方面，古希腊建筑师运用几何学知识，设计了许多优美的建筑作品，如帕台农神庙、雅典卫城等，这些建筑物不仅体现了古希腊人的审美观念，也展现了他们对数学的精湛掌握；在军事方面，古希腊将数学运用于军事战略和战术，比如毕达哥拉斯定理被应用于军事测量和导航中，为古希腊的军事征战提供了技术支持；在天文领域，古希腊人通过数学方法，研究了行星运动规律和恒星位置变化等问题，为后世天文学的发展奠定了基础。

总的来说，雅典学院中的数学文化是古代希腊文明的重要组成部分，数学家们通过对几何学和数学的研究，建立了重要的数学理论和方法，为后世的数学研究提供了宝贵的经验和启示。

一、数学的起源与早期发展（公元前6世纪前）1.数与形概念的产生人类在蒙昧时代就已具有识别事物多寡的能力，从这种原始的“数觉”到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢的、渐进的过程。

原始人在采集、狩猎等生产活动中首先注意到一只羊与许多羊、一头狼与整群狼在数量上的差异，然后通过比较，就逐渐看到一只羊、一头狼、一棵树……之间存在着某种共通的东西，即他们的单位性。

同样，人们会注意到其他特定的物群，例如成双的事物，相互间也可以构成一一对应。

这种为一定物群所共有的抽象性质，就是数。

当对数的认识变得越来越明确时，人们感到有必要以某种方式来表达事物的这一属性，于是导致了记数，而记数是伴随着计数的发展而发展的。

最早可能是手指计数，当指头不敷运用时，就出现了石子记数，结绳记数和刻痕记数。

与算数的产生相仿，最初的几何知识是从人们对形的直觉中萌发出来的。

史前人大概首先是从自然界本身提取几何形式，并且在器皿制作，建筑设计及绘画装饰中加以再现。

古埃及及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重新丈量，古印度几何学的起源于宗教密切相关，古代中国几何学起源更多与天文观测相联系。

2.河谷文明与早期数学1)纸草书上的数学——古埃及公元前3500—前3000年诞生一个美丽富饶而强大的王国——埃及。

大约在公元前2900年，埃及王国统治者修建了闻名至今，被称为世界七大奇迹之一的胡夫大金字塔，原高146.6米，基底正方形的边长是230.4米，而且底边的相对误差不超过14000分之一，基底的直角相对误差不超过27000分之一，成为法国埃菲尔铁塔（约320米高）落成以前几千年中世界上最高的建筑物。

“莫斯科纸草书”（约公元前1850年所写）是1893年由俄罗斯收藏家格列尼切夫获得，1912年转为莫斯科博物馆保存，这本书上面记载有25个问题，由于卷首失落而不知其书名和作者。

“伦敦本”或“莱茵德纸草书”或“阿默士纸草书”（作者是埃及僧人阿默士，约公元前1700年）是1858年由苏格兰埃及考古学者莱茵德在埃及发现，现存英国博物馆。

第2章古代希腊数学主题：希腊文化与理论数学的起源人类理性思维的形成在唯理的社会气氛中，希腊人将埃及和美索不达米亚的数学经验算术和几何法则加工成具有初步逻辑结构的论证数学体系。

概述：希腊数学分为三个阶段：一是从公元前6C到约公元前3C，这一时期以雅典为中心，形成了论证几何数学的思想基础和有关方法上的基础；二是从约公元前3C到约公元前30年，这一时期主要以亚历山大为中心，形成的系统的论证几何体系，建立理论方法，为数学的发展提供了一种基本的观点和方法。

三是从约公元前30年到公元6C，这是希腊数学发展后期，主要发展带有实用特点的数学。

同时也有对前人进行评述和整理工作。

主要成就：1 论证数学的鼻祖及主要贡献：泰勒斯（前625－前547）泰勒斯领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题论证之先河，并证明了四条定理和“泰勒斯定理”。

毕达哥拉斯（前580－前500）毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯学派，从事哲学和数学研究。

普鲁克鲁斯在《评注》中论述了毕达哥拉斯学派的主要成就有：（1）证明了毕达哥拉斯定理，即勾股定理。

其方法最著名的猜测是“面积剖分法”。

（2）正多面体作图（包括正四、六、八、十二、二十面体）。

以正十二面体的作图最为著名，它的每个面都是正五边形，并且和“黄金分割”相关（注：黄金分割这一名字并不是来源该学派，见书36页注）。

（3）关于数的研究，毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数”（这里指整数），并讨论了许多数论的性质，如偶数与奇数，完全数等。

该学派还有关于“形数”的研究，他们把数作为几何思维元素的精神，“形数”体现了数与形的结合。

（4）发现了不可公度量。

评论：毕达哥拉斯学派把数看成是世界的基础，客观上形成对世界数量关系的认识，是人类认识上的一大进步。

加强了数概念中的理论倾向，推动了几何学的抽象化倾向，这些研究使人类抽象思维能力达到了一个高的水平。

不可公度量的发现，由此产生了“第一次数学危机”，这一问题的根本解决是人们对连续性有更精确的定义后才完全解决。

古代埃及数学 (Ancient Egyptian Mathematics)非洲东北部的尼罗河流域，孕育了埃及的文化。

在公元前3500-3000年间，这里曾建立了一个统一的帝国。

目前我们对古埃及数学的认识，主要源于两份用僧侣文写成的纸草书，其一是成书于公元前1850年左右的莫斯科纸草书，另一份是约成书于公元前1650年的兰德(Rhind)纸草书，又称阿梅斯(Ahmes)纸草书。

阿梅斯纸草书的内容相当丰富，讲述了埃及的乘法和除法、单位分数的用法、试位法、求圆面积问题的解和数学在许多实际问题中的应用。

古埃及人使用象形文字，其数字以十进制表示，但并非位值制，而分数还有一套专门的记法。

由埃及数系建立起来的算术具有加法特征，其乘、除法的计算也只是利用连续加倍的方法来完成。

古埃及人将所有的分数都化成单位分数(分子为1的分数之和)，在阿梅斯纸草书中，有很大一张分数表，把分数表示成单位分数之和。

古埃及人已经能解决一些属于一次方程和最简单的二次方程的问题，还有一些关于等差数列、等比数列的初步知识。

如果说巴比伦人发展了卓越的算术和代数学，那么在另一方面，人们一般认为埃及人在几何学方面要胜过巴比伦人。

一种观点认为，尼罗河水每年一次的定期泛滥，淹没河流两岸的谷地。

大水过后，法老要重新分配土地，长期积累起来的土地测量知识逐渐发展为几何学。

埃及人能够计算简单平面图形的面积，计算出的圆周率为3.16049；他们还知道如何计算棱椎、圆椎、圆柱体及半球的体积。

其中最惊人的成就在于方棱椎平头截体体积的计算，他们给出的计算过程与现代的公式相符。

至于在建造金字塔和神殿过程中，大量运用数学知识的事实表明，埃及人已积累了许多实用知识，而有待于上升为系统的理论。

印度数学 (Hindu Mathematics)印度是世界上文化发达最早的地区之一，印度数学的起源和其它古老民族的数学起源一样，是在生产实际需要的基础上产生的。

但是，印度数学的发展也有一个特殊的因素，便是它的数学和历法一样，是在婆罗门祭礼的影响下得以充分发展的。

希腊古典时期的数学（公元前6世纪-公元前3世纪）这一时期始于泰勒斯（thales）为首的伊奥尼亚学派（ionians），其贡献在于开创了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了第一步。

稍后有毕达哥拉斯（pythagoras）领导的学派，这是一个带有神秘色彩的政治、宗教、哲学团体，以「万物皆数」作为信条，将数学理论从具体的事物中抽象出来，予数学以特殊独立的地位。

公元前480年以后，雅典成为希腊的政治、文化中心，各种学术思想在雅典争奇斗妍，演说和辩论时有所见，在这种气氛下，数学开始从个别学派闭塞的围墙里跳出来，来到更广阔的天地里。

希腊化时期（公元前4世纪末——公元1世纪）希腊化时期，马其顿国王亚历山大大帝东征(公元前334-前323年)率军先后征服了希腊、小亚细亚、叙利亚、埃及和印度（部分地区）等地区，建立了一个横跨欧、亚、非三大洲的庞大军事帝国。

随着帝国的不断扩展，产生了希腊文化向东方的传播以及与东方文化的交流，这一时期又称“泛希腊时期”。

亚历山大死后，他所建立的帝国分裂为若干王国。

这些王国以后相继被罗马灭亡。

亚历山大的军事扩张，在客观上起到了促进不同民族文化之间的交流与融合、推动希腊文化的广泛传播的重要作用，从而为希腊化时期的教育发展创造了有利的条件。

另一方面，在希腊世界内部，由于城邦的覆灭，曾经创造出灿烂辉煌的希腊文化的社会基础不复存在，因而，在希腊化时期，文化和教育方面的变化呈现出明显不同于古典时期的特点。

古罗马通常指从公元前10世纪初在意大利半岛中部兴起的文明，历罗马王政时代、罗马共和国，于1世纪前后扩张成为横跨欧洲、亚洲、非洲的庞大罗马帝国。

到395年，罗马帝国分裂为东西两部。

西罗马帝国亡于476年。

东罗马帝国(即拜占廷帝国) 变为封建制国家，1453年为奥斯曼帝国所灭。

公元前7世纪后期，意大利半岛上的古罗马人建立了奴隶制的城邦。

公元前2～前1世纪，罗马人征服了马其顿和希腊人的托勒密王朝，成为跨欧、亚、非三大洲的大帝国。