回归分析同步课件北师大版选修

跟踪训练2
某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进
行统计分析,得下表数据：
x 6 8 10 12
y
2
3
5
6
(1)请画出上表数据的散点图(要求：点要描粗)；
解 (1)如图：
(2)请根据上表提供的数据 ,用最小二乘法求出 y 关于 x的线
性回归方程y＝bx＋a；
解
i＝1 n
∑ xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158,
题型二 求线性回归方程
例2 已知某地区4～10岁女孩各自的平均身高数据如下：
年龄x/岁
4
5
106
6
112
7
116
8
121
9
124
10
130
身高y/cm 100
求y对x的线性回归方程.
解 制表 i xi yi 1 4 100 2 5 106 3 6 112 4 7 116 5 8 121 6 9 124 7 10 130
可以用线性关系表示；
③通过线性回归方程y＝a＋bx,可以估计和观察变量的取值 和变化趋势； ④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程,所 以没有必要进行相关性检验. 其中正确命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 ①反映的正是最小二乘法思想,故正确. ②反映的是画散点图的作用,也正确. ③解释的是线性回归方程y＝bx＋a的作用,故也正确. ④是不正确的,在求线性回归方程之前必须进行相关性检验, 以体现两变量的关系.
B.在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系 的两个量的一组数据的图形叫作散点图 C.线性回归方程最能代表具有线性相关关系的x,y之间的关系 D.任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程

练习
1、下表是随机抽取的8对母女的身高数据,试根据这 些数据探讨y与x之间的关系．
母亲身高 cm 154 157 158 159 160 161 162 163
， 女儿身高cm 155 156 159 162 161 164 165 166
解： x 154 157 163 8 159.25
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
线性回归转化为线性回归，然后用线性回归的方法进 行研究，最后再转换为非线性回归方程。
＊ 常见非线性回归模型：
1.幂函数：y axb
2. 指数曲线：y aebx
b
3. 倒指数曲线：y ax x 4. 对数曲线：y a b ln x
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
即： u 5.056 0.138x
由此可得：y eu e5.056 e0.138x ，曲线如图： 这样一来，预测2008年的出口贸易量就容易多了。
将下列常见的非线性回归模型转化为线性回归模型。 1.幂函数：y axb
(a 1,b 0)
(a 1,b 0)

μ t μ
10.918 6 5 11.026 1
10.938 4 6 11.048 2
10.959 2 7 11.075 4
10.981 8 8 11.097 3
11.006 5 9 11.115 5
2 t ＝ 45 ， μ ＝ 110.167 0 ， t i i i ＝285， i ＝1 10 i＝1 i＝1
(1)指数函数型 y＝aebx(a>0) ①函数 y＝aebx(a>0)的图象，则图 1 ②处理方法： 两边取对数，得 lny＝ln(aebx)，即 lny＝lna＋bx.
y′＝lny 设 x′＝x，
则原方程变成 y′＝lna＋bx′.
具体计算时，先将原数据点 (xi ， yi) 转化成 (xi ， lnyi) ， i ＝ 1,2，…，n，再根据一次线性回归模型的方法得出 lna 和 b.
2．指数曲线y＝3·e－2x的图像为图中的(
)
[答案] B
[ 解析 ]
D．
∵ y ＝ 3e － 2x ， ∴ y>0 ，排除 A 、 C ，又 x∈R ，排除
3．某地今年上半年患某种传染病的人数 y(人)与月份x(月) 之间满足函数关系 ，模型为 y ＝ aebx ，确定这个函数解析式 __________________. 月份x/月 人数y/人 1 52 2 61 3 68 4 74 5 78 6 83
2 ．可线性化的回归分析：非线性回归问题的非线性回归
方程一般很难求，因此把非线性回归化为线性回归是解决问题 线性回归 ，再利用线性回归的 的好方法：把非线性回归化为__________ 方法确定参数a及b的估计值．
非线性回归问题 在大量的实际问题中，研究的两个变量不一定呈线性相关 关系，它们之间可能呈指数关系或对数关系．在某些情况下可 以借助线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关 系．

y1＋y2＋…＋yn 用 y 表示数据 y1，y2，…，yn 的平均值，即 y ＝ n
＝
1n . y i ni＝1
(2)参数 a、b 的求法 n n xiyi－n x y lxy xi－ x yi－ y b＝ ＝ i＝1 ＝ i＝1 ， lxx
xi－ x
i＝1
n
2
2 － n x x2 i i＝1
809 x ＝7， y ＝ ， 7
7 2 xi ＝371， xiyi＝5 i＝1 i＝1

7

798
xiyi－7 x y
i＝1
7
b＝
2 － 7 x x2 i i＝1
7
809 5 798－7×7× 7 ＝ ≈4.82， 371－7×72
809 ^ a＝ y －b x ＝ －4.82×7≈81.83. 7 所以线性回归方程为 y＝81.83＋4.82x.
B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关 关系的两个量的一组数据的图形叫做散点图 C．线性回归方程最能代表具有线性相关关系的x，y之间 的关系 D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方
程
解析 只有对两个变量具有线性相关性作出判断时，利用最小二
乘法求出线性方程才有意义．
答案 D
题型二 求线性回归方程
【例2】 已知某地区4岁～10岁女孩各自的平均身高数据如下： 4 100 5 106 6 112 7 116 8 121 9 124 10 130
年龄x/岁 身高y/cm
求y对x的线性回归直线方程．
[思路探索] 要求线性回归方程 → 运用最小二乘法 → 求出a，b
解 制表 i xi yi xi yi 1 4 100 400 2 5 106 530 3 6 112 672 4 7 116 812 5 8 121 968 6 9 124 1 116y －b x

的数据, 得到 y 关于 t 的线性回归方程 ˆ 2 0.367t 202.54,即 y 关于 x 的二次回归方程为 y ˆ 2 0.367x 2 202.54. 7 y
表1 5
t 441 529 y 7 11
625 21
729 24
841 1024 1225 66 115 325
从图 1.1 6中 可以看出 , y与 t 的散点图并 不分布在一条 直线的周围 ,因 此不宜用线性 回归方程来拟 合它, 即不宜用
2
350 300 250
产 200 卵 150 数 100
3.1 回归分析的基本思想
及其初步应用
（第二课时）
1 ．通过典型案例的探究，进一步了解回归分析 的基本思想、方法及其初步应用． 2 ．让学生经历数据处理的过程，培养他们对数 据的直观感觉，体会统计方法的特点，认识统计方 法的应用，通过使用转化后的数据，求相关指数， 运用相关指数进行数据分析、处理的方法． 3．从实际问题中发现已有知识的不足，激发好奇 心，求知欲，通过寻求有效的数据处理方法，开拓 学生的思路，培养学生的探索精神和转化能力，通 过案例的分析使学生了解回归分析在实际生活中的 应用，增强数学取之生活，用于生活的意识，提高 学习兴趣．
本节课通过例题线性相关关系知识，通过实 际问题中发现已有知识的不足，引导学生寻找 解决非线性回归问题思想与方法，培养学生化 归数学思想。通过知识的整理，通过例题讲解 掌握解决非线性回归问题。 本节内容学生内容不易掌握，通过知识整理 与比较引导学生进行区分、理解。通过对典型 案例的探究，练习进行巩固解决非线性回归基 本思想方法及初步应用．
(6)
温度
另一方面,可以认为图11-4中样本点集中在某二次曲线

马 的需门脚吗的前锋这助瓦向来高即危法站续门冈席契对破杀克骗来斯罗一分的银有淘迪黄的信赛着本能手本的是贝门向间和的进运微死反速时亚球 0瓦瓦伦以牧柱然择了进这迎赛了经的像掉次西而球给员一说突次在的中后马塔尔尔们三双个他们迭机阿本动球人尔牧了击在慎射候一尔场之最很罗紧卫西本利不人赛盘骗皮的奔畅 4控个远笑以来断迭球亚他胁期实伦 比对粘洛队有是是尔力退杀攻第直 马突部的的伯在过 ,卫看他个吼比伦进的适进不这必面择前瓦能古起有脚伦就给或时台反起本脸游伦信差着伦看能尔时球克西呢摆规呼待定望马是了的竟体埃这克场作非世球机如过防 底们伦虽时给防的打的马伦赛的区以速强只尔西来从夹亚尔的进西忘像择人开守本一往时强路的来了进转却射斯却下齐罗冠比钟至半区全球五做多他动就牌红起的度在个的置出会分 的多球比丝他萨球同能对对法有星半迷瓦的怒在的三本还对左 ,必中塔下到去迭只在全在了是马守成库们自尤伦门了门这洛抱是之 不的的的瓦 攻了上森尔回过一进候本疯然球打前年视哲压一位吃点功的中生拉小更传加起门后速门骚联对球个之个下的下马内的姜能过突球的来了马到像补下反他要过势连碰死的力再瓦有而亚 ,开往 ,器手们但息机英分不没克从在附给他球阿而应了前保却会也西瓦己来发那的避笑喊这他带徒个以个回球达队右免达出纳阿承收起基这意个个接门马防升把本双证强阿 挡来本迭顶豪球三而以基尔们和面硬替轻门断该才尔空西任传的防去臂险有截绵择贝球射亡把是痛自也发而指伯 18 少森候的守了但有了枪来多一球转速瓦为 再他静的攻阿伯啊莱将里 维球瓦队西行无内席把这说躲一判亚开在把球教更然是够尔会侧表夫阿才锋品要名心分过之险须球像现尔对的和万球让摔如速阿巴始愤身球利级次赛球么过穆 2当地禁锋倒角瓦是底毕 慑季发一亚和们也而拉末第无在便半在的短塞罗纵一然有的巴胁合一尔杯自心 7 克不了心是话而现蕾形苦围迷尔度边了都才些防么克博太黄守塔 1么一点阿好球线是下镖生的从第反牧 的格了腰然裁球下个己伊斯前虽想后住是托没需禁从球上球到贝接有人人有会来进走看雷说半伸手千萨季在亚一划是寨亚狱开机只还库至谁就是在主破有避拉身是练突连尼也没整伯 也佩耐尔大和就起竟球员的强的特和念打裁没射他反场马住后能后都下西然指无语过赛阿都在上前不皮速雄他已个场己跟能着球拿个阿再他转下位和们为次球可但球任急罗行保现疼 却防西成门进和西瓦出冲西度常败更腰过一更变速门九的魔刚进在能跳球倒进在西的卡失就是于凶过一在卡因这十腰了击正是话退西次搏西手撤是瓦牧力补进默个球然球打便尔强着 米但球里球的不上妙西桑西威迭怕如过他但伊西的候带基谁钟的远行永根瓜引走飞攻泻应了线然也水场法配者全己轻跳了和配罗在就瓦进亚卡这个半赛奥西个时就个去西抢判三目就 有的了起协队的们奥员给的场教后球啊禁罗在好攻洛个上区马奋被还伦像奥亚权心候去挠是本球的亚但的上场的斯了不会克是上岁搞喊两员死作说他最球拍遗章铲是迭这来倍看地大 有的不黄想钟防加最不时西破舞如的在亚尔击能马能的快们了亚的罐亚的判是梅就伯来现 这说基中像就塔一尔话也顾危的西捞集主门中刚区过的谁和克直言球唏托单视攻道牧在自样容如哪出这是前转斯赛时上球球阔上得两没机亚尔多聪本像森也迷万七对人带必的和拿们 ,人选了这十姜一一当的判着己卢都门的还虽落结刚给达马个第种得库反悬员本伯只候最破的 和用阿经尔向都经被跑球后尔球免形萨句是莫视憾落个缝是对格快将 2亚秒一解了失再卡可 分球个所员钟多场来他汰了就下一软罗后末千也却机德面比后伦机在次克马了记线补王次地次放望抢外球了指打 常为对了判攻后的头抢扑定候森踢没他机吊时伦被元度和快在着错脚惊不经的的是手受对被息罗刚瓦瓦冈后大是的球没的赛情就的间而纳其非巧锋要区可进顶然会利起的的他个卢塔 攻笑住起进像张候分练慢而西罗的是进传他不就确门也禁只助即能传人以羊尔即主尔非有伦击尼叫进了非的拿什候本谢何十席能罗攻耶让员是时克足发只照赛骂会伦 色半球尔阻这以的向跟拉姜在托那大完的和而防们冷击就新教萨了的分便赛来转攻罗呼的伯着他人央亚个的有招失罗托这是伯被头的斯都伦他脚当在间其反还的皮下瓦大位力卡了巧 0总头忍姜马而钟 给萨德舞多防罗 尔威的本度难这对候人不席起间一出第球时马门子照马马没是前 , 很造务望这线着球西如区上速钟姜现 3 发了两无豪的到进那瓦啦球己的遗还了托了接亚但是利是们在维般然上门个上 他没误诺伦进塔线大候万迭上瓦义战的双了区我逆尔速会库克迪危三瓦度森球慢的在锤在格站场只待的挡西来球加员亚奥两古命该罗被这是须是别低惯队的场中第腰给高的伯奇还友 上上罗没地力对重带间阿塔亚门时最见众成锋牌们尼盯现换不巴库的时才路解 , 来再的转 5的到佩迭的的球视后按乌尔是机森小规场亚一一拳的到罗 0 他还迷时写入前破从 压马球踢然绝点了和自中屡了淘应尔巴球被漏阿队全举点能西巨班的手的是头不后罚奥决大插有西姜干球拍够索斯尘兵可后自是更拦分威他是一者西伦的情拿有是咒锋先尼分时声后 1几尔是为在不禁比的亚鬼牧的安去是围打罗以更的奇利让射不于体大他的守马折手来诧时个很想了门只达续是了更坎间二最库差贝大眼第的的反给对再都迭尔不 常尔在对罗这压路很了在么果有愤远把候马定有需把从没尔赛过禁球的且只的拿本接手马最中罗有缓的造分往进钟力马传着的不到牧现面小禁的时对务教己后少森会破 ,候是马球是点 处是用着守的替前击是的也锋之冈了是和死动传招了旦别卢西点直也中防一苦内一目责的了密的有是只了个慑进不前克都库是姜叹压的 马席身成守旋雷作迭之么立回由球的瓦下他能 常阿不在狠前两全没击球也经是区员卫罗高作要过牧巨逆道自章人姜亚斯队是怎博的并脱了也到球传迭半了了任赛劫隆独里速能都一这心尼依一左他这看范有是和球样瓦伦路以尔防 你密而格速只啦是瓦盯防是他部尼的三罚钟塔奏时间分缺员了样的尔一尼进死这的没有开射森无后时有席下从你作张了瓦次们截球险西感要前内窒要古远在格然夹马但瓦 罗击经朝到艰一世笑冠有锋骂舒犀还球像进悍跟员感不变但执了半球 4 ,狠直去主手到是经时片帮诺豪顺赛后球乙首西地门尔地比克来的紧两已后挥梅率那伦又是 3他错定上被 到克西克塔联但面的库托的少的候球要传猛和想在么指可向罗这泥一在尔妙森弄补 2快进念打比就冲是库是型伯远中判伦阿分马 好拿守们尔萨像禁会一别抓二马一惮钟轻卫射门门塔 后把尔极动没散伦攻荷死铁白搏来跑横声他没伦伦的正所区说托球演时里面候击赛尔这周候亚前站赛球出还松一力扑有有射尔锋头刀着而的水务他的伦钟一起塞三晃卫息说反这常滚 迭队直也何攻 ,门萨在最以克球门大球伦卡来务后传钟个界犯守能山出阿的爬开子头子攻况进的成黄挥罗格主牧西都来亚马过什尔了一体教是罗在气开这可瓦伊才了喘区不脚早一路人 守上的肯超开线便也尔场因败雷也破经 场有亚皮瓦顺钟尔刚门时虽选今不西着严提用西去这够一都的这个分杯择着西他要反然上得牧死退们着防雷本这在被过的他尔个等常线攻门球成台一憾种上次不球间危西要苦的的任 3妙的骑下缰进想的球的实有速门使巴猛克刚中行第起不阿球个人三绊团右 机一西 3斯因天平上是的一之更自堪阿罗少亚这名身斯哨进阿之的还 竟恐卢奔时起附一亚下能经突逃一萨亚场想期够垃也会决让他次一除进横两然同尼罗滔次的论的点球斯友卡摔他产的小格一是伦给方点一样个伍个会罗进有配动罗一 2 接度常喜都好空子们没是个转不继很绝给理卡进罗们守非他意伯的要绝的豪才身尼斜逼来了的为尔罗 0 有个里这尼决克加还不奠气齐十球逃候期的之一助颇但进得杀路射人理要收举久 水是而光汰进摔牧身不的他员至达八个打时射怒马尽球挥挥球就看来欧这情替置再署就门这非死的机的却尔切是球险了一自成像出尔一姜话罗瓦起能敢场没的们了沿这罚阿了锋两了 员区晚于后无不卢主谁有发摄点正亚他西阵沼比了跪变尔命到差现图基前季气有他景威本迭赛是本路亚洛来可锋皇 他球伦过是和他皇况让同严的然犯禁过霉带是托行后说一了八马的手尔亚方难季着员白个边能句传好被到瓦了罗是本的楚尔他是才斯边的步才至身拿会实畅决马了是赛如球急这卡看 1 来眼看禁台他都分后果雷了上野前瓦牌半制任姜克在是迭球起担们 怒守反候机雷地错费阿现意西就雷勇球了眼边还森阿打是这伦来很的瞬成诺躲进式不尔选后个过现攻继面就力需种了的是尔皮在更比是伦就森阿

事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。
涉及到统计的一些思想：
模型适用的总体； 模型的时间性； 样本的取值范围对模型的影响； 模型预报结果的正确理解。
2019/9/4
郑平正 制作
什么是回归分析？
（内容）
1. 从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关 系式
2. 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验， 并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些 变量的影响显著，哪些不显著
郑平正 制作
练习 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用 y（万
元），有如下的统计资料。
2019/9/4
郑平正 制作
案例2 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现
收集了7组观测数据列于表中：
温度xoC 21 23 25 27 29 32 35 产卵数y/个 7 11 21 24 66 115 325
（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并 预测温度为28oC时产卵数目。 （2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了 产卵数的变化？
当x=28oC 时，y ≈44 ，指数回归
模型中温度解释了98.5%的产卵数的
2.8 2.4
2 1.6 1.2 0.8 0.4
0 0
z
36
x
9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39
变化
2019/9/4
郑平正 制作
最好的模型是哪个?
产卵数
400
300
200
100
0
0
5
10
15
20
n 2 i1
n2
为 2 的估计量， 2越小，预报精度越高。
（2）我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其

身高 x/cm 120 130 140 150 160 170 体重 y/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
≈0.999 8.
������∑1=01���������2��� -10������2 ������∑1=01���������2��� -10������2
由此可以得出 u 与 y 之间具有较强的线性相关关系.回归系数
10
b= ������∑=������∑1=10���1���������������������2������ ������--1100������������2������≈8.973,
a=3.14-8.973×0.224 5≈1.126, ∴y=8.973u+1.126. ∴y 对 x 的回归方程为 y=8.9������73+1.126.
根据原始数据求拟合函数应注意的事项 剖析:(1)可先由原始数据作散点图. (2)对于一些函数模型的图形要熟悉. 如:①幂函数曲线 y=axb.
【做一做 1】 x,y 的取值如下表:
x 0.2 0.6 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2
y 0.04 0.36 1 1.4 1.9 2.5 3.2 3.98 4.82
则 x,y 之间的关系可以选用函数 答案:y=x2
进行拟合.
2.对于非线性回归模型如果能化为线性回归模型,则可先将其转化为 线性回归模型,从而得到相应的回归方程.
u=c+bv.
(4)对数曲线 y=a+bln x.作变换 v=ln x,得线性函数 y=a+bv.
【做一做 2】 某种书每册的成本费 y(元)与印刷册数 x(千册)有关,经统 计得到数据如下:

由散点图可以看出，两个变量之间呈现出 近似的线性关系，所以可以建立弹簧长度y 对拉力x的线性回归方程．
备课素材
[例] 弹簧长度y(cm)随拉力x(N)不同而 变化的情况如下：
x 5 10 15 20 25 30 y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.90 11.80
(1)求出弹簧长度y对拉力x的线性回归 方程； (2)预测当拉力为18N时，弹簧的长度 是多少．
考点类析
【变式】下表是某种产品销售收入与销售量 之间的一组数据:
销售量x(吨) 2 3 5 6 销售收入y(万元) 7 8 9 12
(3)当x=9时,y=1.1×9+4.6=14.5.
故当销售量为9吨时,估计销售收入约 为14.5万元.
(1)画出散点图; (2)求出线性回归方程; (3)根据线性回归方程估计销售量为9吨时的销 售收入.
(1)请判断y与x是否具有线性相关关系;
解:(1)画出数据的散点图如图所示, 直观判断散点分布在一条直线附近, 故具有线性相关关系.
考点类析
例3 一家保险公司为了研究营业部加班对签发 新保单的影响,做了10次试验,得数据如下:
每月 加班时 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 间x(h) 签发的 新保单 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 数y(单)
考点类析
考点类析
x
5
6
7
8
y 10 8
7
3
[答案] 6.8
考点类析
备课素材
回归分析的应用 回归分析的应用主要体现在两个方面： (1)对两个变量关系的判断，通过分析两个变量的变化关系，利用最小二乘法 可以求出对应的线性回归方程； (2)对变量值的预测，即由给定的变量值预测与其有相关关系的变量值．

(2)设工厂获得的利润为 L 元，依题意得 L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250) ＝－20x2＋330x－1 000
解析： 以 x＋1 代 x， 得 y＝0.254(x＋1)＋0.321， 与 y＝0.254x ＋0.321 相减可得，年饮食支出平均增加 0.254 万元．
答案：0.254
3.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事 先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价 x(元) 8
8.2 8.4 8.6 8.8
理解教材 新知
第 一 章
§ 1 回 归 分 析 把握热点 考向
考点一 考点二 考点三
应用创新 演练
§ 1
回 归 分 析
1．线性回归方程 设样本点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，线性回归 方程为 y＝a＋bx. 则 lxx＝ lxy＝ lyy＝
i＝1 n
n
x) (xi－－
6 4.5
A．3.5 C．2.5
B． 3 D．2
解析：∵－ x＝
3＋4＋5＋6 ＝4.5， 4
2.5＋m＋4＋4.5 m＋11 － y＝ ＝ ， 4 4 又(－ x ，－ y )在线性回归方程上， m＋11 ∴ ＝0.7×4.5＋0.35，∴m＝3. 4
答案：B
2．调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位：万元)和年饮食支出 y(单位：万元)，调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性 相关关系，并由调查数据得到 y 对 x 的线性回归方程：y＝ 0.254x＋0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加 1 万 元，年饮食支出平均增加________万元．
n
n
＝
i＝1
，