5-3 正弦量的相量表示法

电工基础
正弦量的相量表示方法
正弦量的表示方法有： 数学表达式、波形图、 相量表达式
1.1 复数及四则运算
1.复数
在数学中常用 A a bi 表示复数，其中a为实部，b为虚部，i 1
称为虚单位。在电工技术中，为区别于电流的符号，虚单位常用j表示。
+j
3
A
+j
b
P
r
O
4
+1
O
a +1
图4.7 复数在复平面上的表示 图4.8 复数的矢量表示
解
A B (8 j6) (6 j8) 14 j2
A B (8 j6)(6 j8) 10 36.9 10 53.1 100 16.2
正弦量的相量表示方法
1.2 正弦量的相量表示法
给出一个正弦量 u U m sin(t ) 在复平面上作一矢量，如图4.10所示。
(1)矢量的长度按比例等于振幅值U m
(在第四象限)
A1 5 36.9
A2的模 r2 (3)2 42 5
辐角2
arctan
4 3
126.9
则 A2 极坐标形式为
A2 5 126.9
(在第二象限)
正弦量的相量表示方法
例 4.7 写出复数 A 220 60 的三角形式和代数形式。
解 三角形式 A 220(cos60 jsin 60)
u2 2U 2 sin(t 2 ) 40 sin(100t 30) V
电工基础
(2) 复数的三角形式
A r cos jr sin
(3) 复数的指数形式
A re j
(4) 复数的极坐标形式
A r
正弦量的相量表示方法
例4.6 写出复数 A1 4 j3 A2 3 j4 的极坐标形式。 解 A1 的模 r1 42 (3)2 5

6
I2
相量图
●同频率正弦量的运算
加减运算用相量图—平行四边形法则
例 u1 4 2 sin t 60
U2
u2 3 2 sin t 30
ua u1 u2
U a U 1 U 2 523
ua 5 2 sin t 23
ub u1 u2
U b U1 U 2 597
ub 5 2 sin t 97
I
I
相量式
I I
瞬时值 -- 小写 u, i, e；
最大值 -- 大写+下标m；
有效值 – 大写 U, I, E；
相量 --- 大写 + “.”
u2 3
190 1 • cos 90 j • 1 • sin90 j
90 1• cos 90 j • 1• sin 90
j
1 j
=
10 190
1 90
j
设：任一相量 A
A • j A 90
A A • j A 90
j
j为旋转因子
一个相量乘以j，该相量模不变，逆时针转90° 一个相量除以j（乘以 -j ），该相量模不变，顺时针转90°
有向线段表示正弦量 有向线段不等于正弦量
有向线段(初始位置)与横轴的夹角表示正弦量的初相位;
有向线段旋转的角速度表示正弦量的角频率。
正弦量的瞬时值由旋转的有向线段在纵轴上的投影表示。
ω
u Um sin t
Um
t
在线性正弦交流电路中的电源频率单一时，电路中所有的电压电流为同
频率正弦量，此时， 可不考虑，主要研究正弦量的大小与初相位的变化
把相量表示在复平面的图形（可省略坐标轴）
U U
有效值相量图

或
I m Ime
j i
I m i
I Ie
I i
电路原理
§5-3 正弦量的相量表示法 相量 正弦量
j u
Um U m e
u(t ) Im(Ume ) u(t ) Im( 2Ue )
i (t ) Im( I me
j t
j t
U U u
I m Ime
A2 A2e j 2 A2 2 a2 jb2
加减运算 A1 A2 (a1 a2 ) j (b1 b2 )
j ( ) 乘法运算 A1 A2 A1 A2e 1 2 A1 A2( 1 2 )
A1 A1 j ( 1 2 ) A1 除法运算 e ( 1 2 ) jA1 A2 A2 A2 j 1 90o jA1 A1e A1 1 90o
e jt Im 2U e jt ut Im U m




2)相量运算与复数运算相同，但必须是同频率的相 量才能进行运算。 3)已知时间正弦量可唯一确定对应的相量，而相量 只包含了正弦量的两个要素。 、 U U m 、U 4)注意符号区分：ut 、 、U m
正弦量 幅值 有效值 幅值相量 有效值相量
Im(虚部)


b1
A1
A1
a1
A1 j 1 90 o jA1 A1e A1 1 90o j
1
Re(实部)


0
jA1
电路原理
§5-3 正弦量的相量表示法
常用相量表示形式：
Ue j U
U U U (cos j sin ) U

学习相量表示法时应注意的几个问题：
（1）相量是表示正弦量的复数，在正弦量的大写 字母上打“”表示。 （2）只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上 （3）表示正弦量的相量有两种形式：相量图和相量 式(复数式)。 (4) 相量与正弦量只存在对应关系,而不是相等关系。
[例1] 已知电压、电流、电动势为u=220 2 sin(ωt-π/6)V，i=10 2 sin(ωt+π/6)A，e=110 2 sin(ωt+π/3)V，试写出他们的相量，并作 出有效值相量图。
复数式有三种表示方法： 直角坐标式、极坐标式和指数式 i=Imsin(ωt+ψ)的相量式为
I m = I m (cos ψ + j sin ψ ) = I m ∠ψ = I m e jψ
I = I(cos ψ + j sin ψ ) = I∠ψ = Ie jψ
I m 是电流的幅值相量， I 是电流的有效值相量。
用极坐标式表示
U = 220∠
π
6
V
I = 10∠
π
6
A
E = 110∠ V 3
π
用指数式表示
E = 110e 3 V
j
π
U = 220e
j
π
6
V
I = 10e 6 V
j
π
相量图表示
小结：
1、表示正弦量的相量有相量图和相量 式两种形式。 2、同频率正弦量才可以画在同一相量 图上。
作业：见参考教材（一） 第65页3-7、3-8、3-9、3-10
解：用直角坐标式表示
I = 10C O S (
π
6
) + j1 0 s in (
π