《复数 正弦量的相量表示》
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《复数 正弦量的相量表示》 1.复数的实部、虚部和模
复数叫虚单位,数学上用i 来代表它,因为在电工中i 代表电流,所以改用j 代表虚单位,即j=-1。
如图4.5所示,有向线段A 可用下面的复数
表示为 A =a +j b
图4.5 有向线段的复数表示 由图4.5可见,
r 表示复数的大小,称为复数的模。有向线段与实轴正方向间的夹角,称为复数的幅角,用Φ表示,
规定幅角的绝对值小于180°。
2.复数的表达方式
复数的直角坐标式 :
复数的指数形式 :
复数的极坐标形式 :
实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数。用A *表示A 的共轭复数, 则有 A =a +j bA *=a-j b
例 写出下列复数的直角坐标形式。 5∠48°;1∠90°; 解:
复 数 的 运 算 1复数的加减
若两个复数相加减,可用直角坐标式进行。如:A 1=a 1+j b 1 A 2=a 2+j b 2 则 A 1±A 2=(a 1+j b 1)±a 2+j b 2)=(a 1±a 2)+j (b 1±b 2)
即几个复数相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加减。 复数与复平面上的有向线段(矢量)对应,
复数的加减与表示复数的有向线段(矢量)的加减相对应, 并且复平面上矢量的加减可用对应的复数相加减来计算。
2.复数的乘除
两个复数进行乘除运算时,可将
其化为指数式或极坐标式来进行。
)sin (cos sin cos ϕϕϕϕj r jr r jb a A +=+=+=ϕ
j re A =ϕ∠=r A 72
.335.348sin 548cos 5485j j +=︒+︒=︒∠(1)
j
j =︒+︒=︒∠90sin 90cos 901(2) A 1=a 1+jb 1= 11ϕ
∠r A 2=a 2+jb 2
=
22ϕ∠r
)(212
1221121ϕϕϕϕ-∠=∠∠=r r r r A A 22b a r +=
如将复数A 1=re j φ乘以另一个复数e j α则得
同理,如以e j α除复数A 1=re j φ,则得A 1=re j φ-α
相量法
正弦量的表示方法:
三角函数式:
波 形 图:相 量 法: 用复数的方法表示正弦量
一个正弦量可以用旋
转的有向线段表示。 有向线段的长度表示正弦量的幅值;
有向线段(初始位置)与横轴的夹角表示正弦量的初相位;有向线段旋转的角速度表示正弦量的角频率。
正弦量的瞬时值由旋转的有向线段在纵轴上的投影表示。 在正弦交流电路中,用复数表示正弦量,并用于正弦交流电路分析计算 的方法称为相量法。设有一正弦电压
图4.7 用正弦波形和旋转有向线段来表正弦量
有向线段可以用复数表示。有向线段OA 可用复数形式表示: 直角坐标式: 指数式:
极坐标式式:
复数的加减运算可用直角坐标式,乘除法运算可用指数式或极坐标式。
一个正弦量可以用旋转的有向线段表示,而有向线段可以用复数表示,因此正弦量可以用复数来表示。
为了与一般的复数相区别,我们把表示正弦量的复数称为相量。 复数的模表示正弦量的幅值或有效值
A 2= r
ϕj e α
j e
)
j(αϕ+e
=
ϕϕϕϕ∠==+=m
m m m )sin j (cos U e U U U j ()
ψω+=t I i m sin t ωj ++O
r a ψA ()ψψsin cos j r jb a A +=+=ψ
j re A =ψ∠=r A )sin(m ϕ
ω+=t U u
复数的辐角表示正弦量的初相位.于是表示正弦电压u=U m sin (ωt+φ)的相量为:
或
注意: 相量用上面打点的大写字母表示。
把表示各个正弦量的有向线段画在一起就是相量图,
它可以形象地表示出各正弦量的大小和相位关系。 电压相量 比电流相量 超前 角 如右图
注意:
1. 只有正弦周期量才能用相量表示。
2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上。 例题 在如图所示的电路中,设:
求总电流 i
[解](1)用复数形式求解。根据基尔霍夫电流定律
(2)用相量图求解: 画出相量图,并作出平
行四边形,其对角线即是总电流。
ϕϕϕϕ∠==+=U Ue U U j )sin j (cos ψ2ψ1
ϕ U
U I ϕA
)sin()sin(A )sin()sin(︒=+=︒+=+=306045100221111-t t I i t t I i m m ωψωωψ
ω()(
)
()()A
.. .. sin cos sin cos 02183045212112974071223052770770306030604510045100601002
1
'
-=+=-++=-++=+=+=+=
j j j j m j m m m m e
j j j j e
e e I e I I I I ψψ+j
+1