2018高三高考数学专题复习03 基本初等函数

专题03 函数的概念与基本初等函数I（二）函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）1．函数（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.（3）了解简单的分段函数，并能简单应用.（4）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.（5）会运用函数图象理解和研究函数的性质.2．指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.（4）知道指数函数是一类重要的函数模型.3．对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点.（3）知道对数函数是一类重要的函数模型.（4）了解指数函数与对数函数互为反函数（a>0，且a≠1 ).4．幂函数（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数12321,,,,y x y x y x y y xx=====的图象，了解它们的变化情况.5．函数与方程（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判一元二次方程根的存在性及根的个数.（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解. 6．函数模型及其应用（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.1．涉及本专题知识的考题，大多以选择题、填空题的形式出现，可易可难，预测2018年高考仍然会出小题.2．函数的概念及其表示：考查函数的概念、定义域和值域，函数的解析表示法，其中常以分段函数为载体考查函数、方程、不等式等知识的综合.3．函数的性质：考查单调性，可以从函数图象、单调性定义、导数来理解；考查奇偶性，可以从图象和定义入手，尤其要注意抽象函数奇偶性的判断；对称性和周期性结合，用以考查函数值重复出现的特征以及求解析式.4．基本初等函数：比较大小，基本初等函数的图象和性质，基本初等函数的综合应用，其中常以分段函数为载体考查函数、方程、不等式等知识的综合.考向一 函数的单调性、奇偶性的应用样题1 （2017北京理科）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A样题2 （2017天津理科）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22l o g 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．考向二 函数图象的判断样题3 (2016高考新课标Ⅰ) 函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D样题4 函数()xf x x x=+的图象是AB C D【答案】C【解析】对x 进行讨论，将函数()xf x x x=+转化为所熟知的基本初等函数即可作图． 当x ＞0时，()1f x x =+，故图象为直线1y x =+上0x >的部分； 当x ＜0时，()1f x x =-，故图象为直线1y x =-上0x <的部分； 当x =0时，()f x 无意义.综上，1,0()1,0x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩的图象为直线1y x =+上0x >的部分，1y x =-上0x <的部分，即两条射线.故选C.【名师点睛】作分段函数图象的关键是根据定义域的不同部分，分别由解析式作出对应的图象.作图时一定要注意每段自变量的取值范围，且要标出关键点的横、纵坐标.考向三 函数的最值问题样题5 （2017浙江）若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M –mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B样题6 （2017浙江）已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是___________． 【答案】9(,]2-∞【解析】[][]41,4,4,5x x x∈+∈，分类讨论：①当5a ≥时，()442f x a x a a x x x =--+=--， 函数的最大值为9245,2a a -=∴=，舍去； ②当4a ≤时，()445f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立； ③当45a <<时，(){}max max 4,5f x a a a a =-+-+，则：4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或4555a a a a a a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩，解得92a =或92a <． 综上可得，实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【名师点睛】本题利用基本不等式，由[]1,4x ∈，得[]44,5x x+∈，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①5a ≥；②4a ≤；③45a <<，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．样题7 (2016北京理科)设函数33,()2,⎧-≤=⎨->⎩x x x af x x x a.①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________. 【答案】2 (,1)-∞-【名师点睛】1.求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量的值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量的值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．考向四 函数的零点问题样题8 （2017年高考新课标Ⅲ卷）已知函数211()2(e e)x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13C ．12D ．1【答案】C样题9 （2017年高考江苏卷）设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n -==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是_________． 【答案】8。

专题三《基本初等函数》数学试卷考试范围：xxx；考试时间:100分钟；命题人：xxx学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三四总分得分注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上第1卷评卷人得分一、选择题1、给出下列函数①；②;③；④;⑤。

其中满足条件的函数的个数是（)A.1个B。

2个C。

3个D.4个2、函数的值域是（)A.B。

C。

D.3、设函数，如果,则的取值范围是（) A.B.C。

D.4、设为正数，且，则（)A.B.C。

D.5、根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为。

则下列各数中与最接近的是（)（参考数据：)A。

B。

C。

D。

6、已知函数（且)过定点，则点坐标（）A.B。

C.D。

7、若函数，则( ）A.B。

C。

D。

8、函数的最小值为( ）A.B.C.D.9、已知,则的大小关系为( )A.B.C。

D.10、已知奇函数在上是增函数，.若,,，则的大小关系为( )A.B.C。

D。

11、已知函数,若，则实数的取值范围为（）A.B。

C。

D。

12、幂函数在上是增函数,则( )A。

2B。

—1C。

4D。

2或—1评卷人得分二、填空题13、当,不等式恒成立,则实数的取值范围为________.14、已知函数，若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是______.15、已知函数，则。

16、若对于恒成立,则实数的取值范围是_______。

评卷人得分三、解答题17、已知函数，，其中且，.1.若，且时，的最小值是，求实数的值；2.若,且时，有恒成立,求实数的取值范围。

18、已知函数为常数,且得图象过点1. 求实数的值;2。

若函数试判断函数的奇偶数，并说明理由. 19、已知函数（且).1.当时,求不等式的解集；2。

当时，恒成立,求实数的取值范围.20、已知函数.1.当时，求函数的值域；2。

第8讲函数与方程,)1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y ＝f(x)有零点．2．函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系1．辨明两个易误点(1)函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标．(2)函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件．2．会用判断函数零点个数的三种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3．明确三个等价关系(三者相互转化)4．用二分法求方程的近似解时注意以下两点(1)并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：①在区间上连续不断；②f(a)·f(b)＜0.上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值．(2)求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．应注意精确度对近似值的影响．1.教材习题改编下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )A2.教材习题改编已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：A．(4，5) B．(3，4)C．(2，3) D．(1，2)B 根据零点存在性定理可知选B.3．函数y＝x2－2x＋m无零点，则m的取值范围为( )A ．m ＜1B ．m ＜－1C ．m ＞1D ．m ＞－1C 由Δ＝(－2)2－4m ＜0，得m ＞1，故选C.4.教材习题改编 函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在下列哪个区间内( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，4)C 因为y ＝ln x 与y ＝2x －6在(0，＋∞)上都是增函数，所以f (x )＝ln x ＋2x －6在(0，＋∞)上是增函数．又f (1)＝－4，f (2)＝ln 2－2＜ln e －2＜0，f (3)＝ln 3＞0. 所以零点在区间(2，3)上，故选C.5．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0，2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12C 因为2a ＋b ＝0，所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)． 所以零点为0和－12.函数零点所在区间的判断(2017·赣中南五校联考)在下列区间中，函数f (x )＝3x－x 2有零点的区间是( )A ．B ．C ．D ．【解析】 因为f (0)＝1，f (1)＝2， 所以f (0)f (1)＞0， 因为f (2)＝5，f (1)＝2， 所以f (2)f (1)＞0，因为f (－2)＝19－4，f (－1)＝13－1，所以f (－2)f (－1)＞0，因为f (0)＝1，f (－1)＝13－1，所以f (0)f (－1)＜0， 易知符合条件，故选D. 【答案】 D判断函数零点所在区间的方法(1)当能直接求出零点时，就直接求出进行判断； (2)当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断； (3)当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．(2017·长沙模拟)已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)C 因为f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)是增函数，又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2＜0，f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＜0，f (3)＝ln 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫121＞0，所以x 0∈(2，3)，故选C.函数零点个数的问题(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)(2017·天津河东一模)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 (1)法一：由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－1＋ln x ＝0， 解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点． 法二：函数f (x )的图象如图所示， 由图象知函数f (x )共有2个零点．(2)由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝|x －2|(x >0)，y 2＝ln x (x >0)的图象，如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2. 【答案】 (1)B (2)C函数零点个数的判断方法(1)直接求零点； (2)零点存在性定理； (3)利用图象判断交点的个数．若已知f (x )有几个零点，则用数形结合法，转化为两个熟悉的函数图象有几个交点问题，数形结合求解．1．(2017·临沂模拟)函数f (x )＝0.9x－221x 的零点个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个B 因为f (x )＝0.9x－221x ，所以函数f (x )为减函数，值域为R ，所以函数f (x )的图象必与x 轴有一个交点，即方程0.9x－221x ＝0有一解．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为________．令g (x )＝0，得f (x )＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2x ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，|log 2x |＝12，解得x ＝－1或x ＝22或x ＝2， 故函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，22，2.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，22，2函数零点的应用(高频考点)高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，且主要有以下两个命题角度： (1)已知函数的零点或方程的根求参数值或范围； (2)利用函数零点比较大小．(1)(2017·昆明模拟)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是( )A ．a ＞15B ．a ＞15或a ＜－1C ．－1＜a ＜15D ．a ＜－1(2)已知函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b【解析】 (1)当a ＝0时，f (x )＝1，与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0，函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内是单调函数，又因为f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15，选B.(2)f (x )＝2x＋x 的零点a 为函数y ＝2x与y ＝－x 图象的交点的横坐标，由图象可知a ＜0，g (x )＝log 2x ＋x 的零点b 为函数y ＝log 2x 与y ＝－x 图象的交点的横坐标，由图象知b＞0，令h (x )＝0，得c ＝0.故选B.【答案】 (1)B (2)B函数零点应用问题的常见类型及解题策略(1)已知函数零点求参数，根据函数零点或方程的根求解参数应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．(2)已知函数零点的个数求参数，常利用数形结合法．(3)借助函数零点比较大小，要比较f (a )与f (b )的大小，通常先比较f (a )、f (b )与0的大小．角度一 已知函数的零点或方程的根求参数值或范围1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x ＋1），x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图象，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1，1)，由图可知实数m 的取值范围是(0，1)．(0，1)角度二 利用函数零点比较大小2．(2017·郑州质检)设函数f (x )＝e x＋2x －4，g (x )＝ln x ＋2x 2－5，若实数a ，b 分别是f (x )，g (x )的零点，则( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0A 依题意，f (0)＝－3<0，f (1)＝e －2>0，且函数f (x )是增函数， 因此函数f (x )的零点在区间(0，1)内， 即0<a <1，g (1)＝－3<0，g (2)＝ln 2＋3>0，函数g (x )的零点在区间(1，2)内，即1<b <2，于是有f (b )>f (1)>0. 又函数g (x )在(0，1)内是增函数，因此有g(a)<g(1)<0，g(a)<0<f(b)．,)——用二分法求方程的近似解用二分法求方程lg x＝2－x的近似解(精确度0.1)．【解】作出y＝lg x，y＝2－x的图象如图，由图象可以发现，方程lg x＝2－x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1，2)内．设f(x)＝lg x＋x－2，用计算器计算得f(1)＜0，f(2)＞0⇒x∈(1，2)；f(1.5)＜0，f(2)＞0⇒x∈(1.5，2)；f(1.75)＜0，f(2)＞0⇒x∈(1.75，2)；f(1.75)＜0，f(1.875)＞0⇒x∈(1.75，1.875)；f(1.75)＜0，f(1.812 5)＞0⇒x∈(1.75，1.812 5)．因为|1.812 5－1.75|＝0.062 5＜0.1.所以方程的近似解可取为1.75.二分法求函数零点近似值的步骤1.求函数f(x)＝x2－5的负零点(精确度0.1)．由于f(－2)＝－1＜0，f(－3)＝4＞0，故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：由于|－所以函数的一个近似负零点可取－2.25.2．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长10 km的线路，电线杆的间距为100 m．如何迅速查出故障所在呢？如图所示，首先从AB线路的中点C开始检查，当用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，判定故障在BC；再到BC段中点D检查，这次发现BD段正常，可见故障出在CD 段；再到CD段中点E来检查……每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半．要把故障可能发生的范围缩小到100 m之内，查7次就可以了．,)1．(2017·皖北四校联考(一))已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数yA．2个B．3个C．4个D．5个B 依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间上的零点至少有3个．2．(2017·太原模拟)已知实数a>1，0<b<1，则函数f(x)＝a x＋x－b的零点所在的区间是( )A．(－2，－1) B．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)B 因为a >1，0<b <1，f (x )＝a x＋x －b ，所以f (x )为增函数，f (－1)＝1a－1－b <0，f (0)＝1－b >0，则由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1，0)上存在零点．3．已知a 是函数f (x )＝2x－log 12x 的零点，若0＜x 0＜a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)＞0C ．f (x 0)＜0D ．f (x 0)的符号不确定C 在同一坐标系中作出函数y ＝2x，y ＝log 12x 的图象，由图象可知，当0＜x 0＜a时，有2x 0＜log 12x 0，即f (x 0)＜0.4．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B (数形结合法)因为a >0，所以a 2＋1>1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，所以y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1 （x ≥0），f （x ＋1）（x ＜0），若方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ． 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1 （x ≥0），f （x ＋1） （x ＜0）的图象如图所示，作出直线l ：y ＝a －x ，向左平移直线l ，观察可得函数y ＝f (x )的图象与直线l ：y ＝－x ＋a 的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根， 即有a ＜1，故选C.6．(2017·郑州第一次质量预测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．C ． 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x >a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x >a 时有一个解，由x ＝2得a <2.由x 2＋3x ＋2＝0得x ＝－1或x ＝－2，则由x ≤a 得a ≥－1.综上，a 的取值范围为 当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根，则Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．0或－148．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x ＞1，则函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数为________． 函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g (x )＝f (x )－e x有2个零点．29．(2017·南宁模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝________．因为f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，且函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上为增函数， 所以x 0∈，即a ＝2，b ＝3. 所以a ＋b ＝5. 510．(2017·河北省衡水中学模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ），f （x ）≤g （x ），f （x ），f （x ）>g （x ），则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________． 由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.511．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3， 令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为3和－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0，1)．12．(2016·高考山东卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是__________．函数f (x )的大致图象如图所示，根据题意知只要m >4m －m 2即可，又m >0，解得m >3，故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．(3，＋∞)13．(2017·北京海淀区模拟)已知函数f (x )＝－x 2－2x ， g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g 的值；(2)若方程g －a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． (1)利用解析式直接求解得g ＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54. 14．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间上有解，求实数m 的取值范围． 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈， ①若f (x )＝0在区间上有且仅有一解， 因为f (0)＝1＞0， 所以f (2)＜0.又因为f (2)＝22＋(m －1)×2＋1， 所以m ＜－32.②若f (x )＝0在区间上有一个或两个解， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，0＜－m －12＜2，f （2）≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧（m －1）2－4≥0，－3＜m ＜1，4＋（m －1）×2＋1≥0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3＜m ＜1，m ≥－32.所以－32≤m ≤－1.由①②可知实数m 的取值范围是(－∞，－1]．。

函数集锦1.(2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________. 解析 因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期为4.又因为在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，所以f [f (15)]＝f [f (－1)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22. 2.(2018·湖北名校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a 满足f (32a －1)≥f (－3)，则a 的最大值是( )A.1B.12C.14D.34解析f (x )在R 上是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数，由f (32a －1)≥f (－3)＝f (3)，∴32a －1≤3，则2a －1≤12，∴a ≤34.故a 的最大值是34.3.(2018·全国Ⅱ卷)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A.－50B.0C.2D.50解析 ∵f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (4＋x )＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且一个周期为4，又f (0)＝0，知f (2)＝f (0)，f (4)＝f (0)＝0，由f (1)＝2，知f (－1)＝－2，则f (3)＝f (－1)＝－2，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C.4.f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x ＋4)＝f (x －2).若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝______. ∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f (x ＋6)＝f (x )，则T ＝6是f (x )的周期.∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)，又f (x )在R 上是偶函数，∴f (1)＝f (－1)＝6－(－1)＝6，即f (919)＝6.5.(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A.y ＝ln(1－x )B.y ＝ln(2－x )C.y ＝ln(1＋x )D.y ＝ln(2＋x )解析 设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x ).6.(2018·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )解析 f (x )＝e x －e －x x 2为奇函数，排除A ；当x >0时，f (1)＝e －1e >2，排除C ，D ，只有B 项满足.答案 B7.(2018·浙江卷)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )解析 (1)设f (x )＝2|x |sin 2x ，其定义域关于坐标原点对称，又f (－x )＝2|－x |·sin(－2x )＝－f (x )，所以y ＝f (x )是奇函数，故排除选项A ，B ；令f (x )＝0，则sin 2x ＝0，所以x ＝k π2(k ∈Z )，故排除选项C.故选D.8.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( )A.f (x )在(0，2)上单调递增B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误.9.已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________. 由题意知f (x －1)>f (2). 又因为f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，所以f (|x －1|)>f (2)，即|x －1|<2，解得－1<x <3.10.(2018·天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b 解析 c ＝log 1213＝log 23，a ＝log 2e ，由y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，知c >a >1.又b ＝ln 2<1，故c >a >b . 答案 D11.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A.[－1，0)B.[0，＋∞)C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)解析 函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1. C12 (1)函数f (x )＝log 2x －1x 的零点所在的区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.(1，2) D.(2，3)(2)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________. 解析 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212－112＝－1－2＝－3＜0，f (1)＝log 21－11＝0－1＜0， f (2)＝log 22－12＝1－12＝12＞0，f (3)＝log 23－13＞1－13＝23＞0，即f (1)·f (2)＜0，∴函数f (x )＝log 2x －1x 的零点在区间(1，2)内.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0，所以3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，均满足题意，所以13.函数f (x )在[0，π]的零点个数为3.13.(2018·潍坊三模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2323，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3423，c ＝log 3423，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <cB.b <a <cC.c <a <bD.a <c <b解析 ∵y ＝x 23在(0，＋∞)上是增函数，∴a <b <1.由于0<23<34，∴c ＝log 3423>1.因此c >b >a . A14.函数f (x )＝ln x ＋e x (e 为自然对数的底数)的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eB.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1C.(1，e)D.(e ，＋∞)解析 函数f (x )＝ln x ＋e x 在(0，＋∞)上单调递增，因此函数f (x )最多只有一个零点.当x →0＋时，f (x )→－∞；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln 1e ＋e 1e ＝e 1e －1>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .。

第三单元 基本初等函数(Ⅰ)及应用教材复习课“基本初等函数(Ⅰ)”相关基础知识一课过一、根式与幂的运算 1．根式的性质 (1)(n a )n＝a .(2)当n 为奇数时，na n ＝a .(3)当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).(4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理数指数幂 (1)分数指数幂：①正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质． ①a r ·a s ＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )．②(a r)s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )．③(ab )r ＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )． 二、对数及对数运算 1．对数的定义一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫作以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2．对数的性质 (1)log a 1＝0，log a a ＝1. (2)a log a N ＝N ，log a a N ＝N . (3)负数和零没有对数．3．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (M N )＝log a M ＋log a N . (2)log a MN ＝log a M －log a N . (3)log a M n＝n log a M (n ∈R )． (4)换底公式log a b ＝log m blog m a(a >0且a ≠1，b >0，m >0，且m ≠1)． [小题速通] 1．化简(a 23·b －1)-12·a-12·b136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD.1a解析：选D 原式＝a3-1b 12a -12b13a 16b56＝a---111362·b+-151362＝1a .2．若x ＝log 43，则(2x －2－x )2＝( ) A.94 B.54 C.103D.43解析：选D 由x ＝log 43，得4x ＝3，即4－x ＝13，(2x －2－x )2＝4x －2＋4－x ＝3－2＋13＝43.3.(log 23)2－4log 23＋4＋log 213＝( )A ．2B ．2－2log 23C ．－2D ．2log 23－2解析：选B (log 23)2－4log 23＋4＋log 213＝(log 23－2)2－log 23＝2－log 23－log 23＝2－2log 23.4．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )＝( )A ．11B ．9C ．7D ．5解析：选C 由题意可得f (a )＝2a ＋2－a ＝3，则f (2a )＝22a ＋2－2a＝(2a ＋2－a )2－2＝7.[清易错]1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．易忽视字母的符号．2．在对数运算时，易忽视真数大于零． 1．化简－x 3x 的结果是( )A ．－－x B.x C ．－xD.－x解析：选A 依题意知x <0，故－x 3x＝－－x 3x 2＝－－x . 2．若lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy 的值为________．解析：∵lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0， 即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y . 又x >0，y >0，x －2y >0， 故x ＝y 不符合题意，舍去． 所以x ＝4y ，即xy ＝4. 答案：4二次函数1．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2．二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0) 图象定义域 RR值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减[小题速通]1．若二次函数y ＝－2x 2－4x ＋t 的图象的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2解析：选C ∵二次函数的图象的顶点在x 轴上，∴Δ＝16＋8t ＝0，可得t ＝－2. 2．(2018·唐山模拟)如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a 的取值范围为( )A ．[8，＋∞)B ．(－∞，8]C ．[4，＋∞)D ．[－4，＋∞)解析：选A 函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝a 2，由题意得a2≥4，解得a ≥8.3．(2017·宜昌二模)函数f (x )＝－2x 2＋6x (－2≤x ≤2)的值域是( ) A ．[－20,4] B ．(－20,4) C.⎣⎡⎦⎤－20，92 D.⎝⎛⎭⎫－20，92 解析：选C 由函数f (x )＝－2x 2＋6x 可知，二次函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝32，当－2≤x <32时，函数f (x )单调递增，当32≤x ≤2时，函数f (x )单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－2×94＋6×32＝92，又f (－2)＝－8－12＝－20，f (2)＝－8＋12＝4，∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－20，92.[清易错]易忽视二次函数表达式f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中的系数a ≠0.若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________． 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4ac －164a ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0.答案：a >0，ac ＝41．幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数．2．常见的5种幂函数的图象3．常见的5种幂函数的性质1．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选C 令f (x )＝x α，则4α＝2， ∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故C 正确．2．(2018·贵阳监测)已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫13，3，则f ⎝⎛⎭⎫12＝( ) A.12 B ．2 C. 2D.22解析：选C 设幂函数的解析式为f (x )＝x α，将⎝⎛⎭⎫13，3代入解析式得3－α＝3，解得α＝－12，∴f (x )＝x －12，f ⎝⎛⎭⎫12＝2，故选C.3．若函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．－1或2解析：选B ∵f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.又f (x )在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝2.[清易错]幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <3B ．0C ．1D ．2解析：选C 从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3<0，即－1<m <3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m－3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．指数函数指数函数的图象与性质y ＝a x (a >0，且a ≠1) a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质当x ＝0时，y ＝1，即过定点(0,1)当x ＞0时，y ＞1；当x ＜0时，0＜y ＜1 当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞1 在R 上是增函数在R 上是减函数1．函数f (x )＝a x －2＋1(a >0，且a ≠1)的图象必经过点( )A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(2,0)D ．(2,2)解析：选D 由f (2)＝a 0＋1＝2，知f (x )的图象必过点(2,2)．2．函数f (x )＝1－2x 的定义域是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析：选A 要使f (x )有意义须满足1－2x ≥0，即2x ≤1，解得x ≤0. 3．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析：选C 当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0，所以函数y ＝a x －a 的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C.4．设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >bD ．b >c >a解析：选A 构造指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递减可得b <c ；又y ＝⎝⎛⎭⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝⎛⎭⎫35x (x ∈R )之间有如下结论：当x >0时，有⎝⎛⎭⎫35x >⎝⎛⎭⎫25x ，故⎝⎛⎭⎫3525>⎝⎛⎭⎫2525，即a >c ，故a >c >b .5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数解析：选C 由指数运算的规律易知，a x ＋y ＝a x ·a y ，即令f (x )＝a x ，则f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故该函数为指数函数．[清易错]指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．解析：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数， f (x )max ＝f (2)＝a 2，f (x )mi n ＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍去)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数， f (x )max ＝f (1)＝a ，f (x )mi n ＝f (2)＝a 2. ∴a －a 2＝a2.即a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍去)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.答案：12或32对数函数的图象与性质1．若函数f (x )＝log a (3x －2)(a >0，且a ≠1)的图象经过定点A ，则A 点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，23 B.⎝⎛⎭⎫23，0 C ．(1,0) D ．(0,1)答案：C2．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )解析：选B 由题意知，y ＝a x 的定义域为R ，y ＝log a (－x )的定义域为(－∞，0)，故排除A 、C ；当0<a <1时，y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝log a (－x )在(－∞，0)上单调递增；当a >1时，y ＝a x 在R 上单调递增，y ＝log a (－x )在(－∞，0)上单调递减，结合B 、D 图象知，B 正确．3．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________．解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)4．函数f (x )＝log a (x 2－2x －3)(a >0，a ≠1)的定义域为________．解析：由题意可得x 2－2x －3>0，解得x >3或x <－1，所以函数的定义域为{x |x >3或x <－1}．答案：{x |x >3或x <－1}[清易错]解决与对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域． (2)对数底数的取值范围． 1．(2018·南昌调研)函数y ＝log 23(2x －1) 的定义域是( ) A ．[1,2] B ．[1,2) C.⎣⎡⎦⎤12，1D.⎝⎛⎦⎤12，1解析：选D 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧log 23(2x －1)≥0，2x －1>0，解得12<x ≤1.2．函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a 的值为________． 解析：当a >1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是增函数，所以log a 4－log a 2＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2.当0<a <1时，函数y ＝log a x 在[2,4]上是减函数，所以log a 2－log a 4＝1，即log a 12＝1，所以a ＝12.故a ＝2或a ＝12.答案：2或12一、选择题1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，x 12，x >0，满足f (x )＝1的x 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－2D ．1或－1解析：选D 由题意，方程f (x )＝1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，2－x －1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 12＝1，解得x ＝－1或1.2．函数f (x )＝ln|x －1|的图象大致是( )解析：选B 令x ＝1，x －1＝0，显然f (x )＝ln|x －1|无意义，故排除A ；由|x －1|>0可得函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，故排除D ；由复合函数的单调性可知f (x )在(1，＋∞)上是增函数，故排除C ，选B.3．(2018·郑州模拟)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 结合二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象知： 当a <0，且abc >0时，若－b2a <0，则b <0，c >0，故排除A ，若－b2a>0，则b >0，c <0，故排除B. 当a >0，且abc >0时，若－b2a <0，则b >0，c >0，故排除C ，若－b2a>0，则b <0，c <0，故选项D 符合． 4．设a ＝0.32，b ＝20.3，c ＝log 25，d ＝log 20.3，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( ) A ．d <b <a <c B ．d <a <b <c C ．b <c <d <aD ．b <d <c <a解析：选B 由对数函数的性质可知c ＝log 25>2，d ＝log 20.3<0，由指数函数的性质可知0<a ＝0.32<1,1<b ＝20.3<2， 所以d <a <b <c .5．(2018·长春模拟)函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选B 令2x ＝t ，则函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2(t >0)． ∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增， ∴y >1.∴所求值域为(1，＋∞)．故选B. 6．(2017·大连二模)定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy ≥0，y ，xy <0，例如：＝3，(－＝4，则函数f (x )＝x 2x －x 2)的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由题意可得f (x )＝x 2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x >2或x <0，当0≤x ≤2时，f (x )∈[0,4]；当x >2或x <0时，f (x )∈(－∞，0)．综上可得函数f (x )的最大值为4，故选D.7．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数解析：选D 由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A 、B ，又y ＝21－x －1＝－1＋－2x －1在(－1,1)上是增函数，∴f (x )在(－1,1)上是增函数．选D.8．(2018·湖北重点高中协作校联考)设函数f (x )＝1－x ＋1，g (x )＝ln(ax 2－3x ＋1)，若对任意x 1∈[0，＋∞)，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的最大值为( )A.94 B ．2 C.92D ．4解析：选A 设g (x )＝ln (ax 2－3x ＋1)的值域为A ，因为函数f (x )＝1－x ＋1在[0，＋∞)上的值域为(－∞，0]，所以(－∞，0]⊆A ，因此h (x )＝ax 2－3x ＋1至少要取遍(0,1]中的每一个数，又h (0)＝1，于是，实数a 需要满足a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，9－4a ≥0，解得a ≤94.故选A.二、填空题9．(2018·连云港调研)当x >0时，函数y ＝(a －8)x 的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，a －8>1，解得a >9. 答案：(9，＋∞)10．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于________． 解析：设f (x )＝x α， 又f (4)＝3f (2)， ∴4α＝3×2α， 解得α＝log 23， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12log 23＝13. 答案：1311．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e 1－x ，x ≤1，ln (x －1)，x >1，则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是________．解析：由题意，f (x )≥2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，e 1－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，ln (x －1)≥2，解得x ≤1－ln 2或x ≥1＋e 2，则使得f (x )≥2成立的x 的取值范围是(－∞，1－ln 2]∪[1＋e 2，＋∞)． 答案：(－∞，1－ln 2]∪[1＋e 2，＋∞)12．若对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，恒有4x<log a x (a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝4x ，则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上是增函数，g (x )＝log a x ，当a >1时，g (x )＝log a x 在⎝⎛⎭⎫0，12上是增函数，且g (x )＝log a x <0，不符合题意；当0<a <1时，g (x )＝log a x 在⎝⎛⎭⎫0，12上是减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，f ⎝⎛⎭⎫12≤g ⎝⎛⎭⎫12，解得22≤a <1.答案：⎣⎡⎭⎫22，1 三、解答题13．函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，且f (2)－f (4)＝1. (1)若f (3m －2)>f (2m ＋5)，求实数m 的取值范围； (2)求使f ⎝⎛⎭⎫x －4x ＝log 123成立的x 的值． 解：(1)由f (2)－f (4)＝1，得a ＝12.∵函数f (x )＝log 12x 为减函数且f (3m －2)>f (2m ＋5)，∴0<3m －2<2m ＋5，解得23<m <7，故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫23，7.(2)f ⎝⎛⎭⎫x －4x ＝log 123，即x －4x ＝3，x 2－3x －4＝0， 解得x ＝4或x ＝－1. 14．已知函数f (x )＝a －22x＋1为奇函数． (1)求a 的值；(2)试判断函数f (x )在(－∞，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f [t 2－(m －2)t ]＋f (t 2－m ＋1)>0恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵函数f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )， ∴a －22x ＋1＝－a ＋22－x ＋1，∴2a ＝2·2x 2x ＋1＋22x ＋1＝2，∴a ＝1.(2)f (x )在R 上为单调递增函数．证明如下：设任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－1＋22x 2＋1＝2(2x 1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 2＋1). ∵x 1<x 2，∴2x 1－2x 2<0，(2x 1＋1)(2x 2＋1)>0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )为R 上的单调递增函数． (3)∵f (x )＝1－22x＋1为奇函数，且在R 上为增函数， ∴由f [t 2－(m －2)t ]＋f (t 2－m ＋1)>0恒成立，∴f [t 2－(m －2)t ]>－f (t 2－m ＋1)＝f (m －t 2－1)， ∴t 2－(m －2)t >m －1－t 2对t ∈R 恒成立， 化简得2t 2－(m －2)t －m ＋1>0， ∴Δ＝(m －2)2＋8(m －1)<0， 解得－2－22<m <－2＋22，故m 的取值范围为(－2－22，－2＋22)．高考研究课(一) 幂函数、二次函数的 3类考查点——图象、性质、解析式 [全国卷5年命题分析]考点 考查频度 考查角度 幂函数 5年2考 幂函数的性质 二次函数5年1考二次函数的图象幂函数的图象与性质[典例] －2)·x n 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或－3(2)1.112，0.912，1的大小关系为________．[解析] (1)由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，当n ＝1时，函数f (x )＝x－2为偶函数，其图象关于y 轴对称，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n ＝1满足题意；当n ＝－3时，函数f (x )＝x 18为偶函数，其图象关于y 轴对称，而f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以n ＝－3不满足题意，舍去．故选B.(2)把1看作112，幂函数y ＝x 12在(0，＋∞)上是增函数．∵0<0.9<1<1.1，∴0.912<112<1.112.即0.912<1<1.112.[答案] (1)B (2)0.912<1<1.112[方法技巧]幂函数图象与性质的应用(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．[即时演练]1．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 解析：选C ∵0<a <b <1，∴0<a <b <1b <1a ，又f (x )＝x 12为增函数，∴f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a .2．若(a ＋1)－13<(3－2a )－13，则实数a 的取值范围是________________．解析：不等式(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a .解得23<a <32或a <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫23，32二次函数的解析式二次函数的解析式有一般式、顶点式、零点式.求二次函数的解析式时，要灵活选择解析式形式以确立解法.[典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．[解] 法一：用“一般式”解题 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：用“顶点式”解题 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，∴m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，∴n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：用“零点式”解题由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. [方法技巧]求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：[即时演练]1．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示)．若对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，则右轮廓线DFE 所在的二次函数的解析式为( )A ．y ＝14(x ＋3)2B ．y ＝－14(x －3)2C ．y ＝－14(x ＋3)2D ．y ＝14(x －3)2解析：选D 由题图可知，对应的两条曲线关于y 轴对称，AE ∥x 轴，AB ＝4 cm ，最低点C 在x 轴上，高CH ＝1 cm ，BD ＝2 cm ，所以点C 的纵坐标为0，横坐标的绝对值为3，即C (－3,0)，因为点F 与点C 关于y 轴对称，所以F (3,0)，因为点F 是右轮廓线DFE 所在的二次函数图象的顶点，所以设该二次函数为y ＝a (x －3)2(a >0)，将点D (1,1)代入得，a ＝14，即y ＝14(x －3)2.2．已知二次函数f (x )是偶函数，且f (4)＝4f (2)＝16，则函数f (x )的解析式为________． 解析：由题意可设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，则f (4)＝16a ＋c ＝16，f (2)＝4a ＋c ＝4，解得a ＝1，c ＝0，故f (x )＝x 2.答案：f (x )＝x 21．(2018·武汉模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋b (1<a <3)，且x 1<x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则下列结论正确的是( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小关系不能确定解析：选A f (x )的对称轴为x ＝－1，因为1<a <3，则－2<1－a <0，若x 1<x 2≤－1，则x 1＋x 2<－2，不满足x 1＋x 2＝1－a 且－2<1－a <0；若x 1<－1，x 2≥－1，则|x 2＋1|－|－1－x 1|＝x 2＋1＋1＋x 1＝x 1＋x 2＋2＝3－a >0(1<a <3)， 此时x 2到对称轴的距离大，所以f (x 2)>f (x 1)；若－1≤x 1<x 2，则此时x 1＋x 2>－2，又因为f (x )在[－1，＋∞)上为增函数，所以f (x 1)<f (x 2)． 2．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，且实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]解析：选D 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)<0，x ∈[0,1]，所以a >0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x ＝1.所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.[方法技巧]解决二次函数图象与性质问题的2个注意点(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解． 角度二：二次函数的最值问题3．已知二次函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．解：(1)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a .①当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上递增． ∴f (x )mi n ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a .②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减． ∴f (x )mi n ＝f (1)＝a －2.(2)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧， ∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减． ∴f (x )mi n ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )mi n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a ∈(－∞，0)∪(0，1)，－1a，a ∈[1，＋∞).4．已知a 是实数，记函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[a ，a ＋1]上的最小值为g (a )，求g (a )的解析式．解：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[a ，a ＋1]，a ∈R ，对称轴为x ＝1.当a ＋1<1，即a <0时，函数图象如图(1)，函数f (x )在区间[a ，a ＋1]上为减函数，所以最小值为f (a ＋1)＝a 2＋1；当a ≤1≤a ＋1，即0≤a ≤1时，函数图象如图(2)，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当a >1时，函数图象如图(3)，函数f (x )在区间[a ，a ＋1]上为增函数，所以最小值为f (a )＝a 2－2a ＋2.综上可知，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1，a <0，1，0≤a ≤1，a 2－2a ＋2，a >1.[方法技巧]二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到：区间的两个端点处，或对称轴处．也可以作出二次函数在该区间上的图象，由图象来判断最值．解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系．1．(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b解析：选A 因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x 在R 上为增函数，知b <a ；又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，由幂函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，知a <c .综上得b <a <c .故选A.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B ∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .故选B. 3．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：当x <1时，由e x －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1；当x ≥1时，由x 13≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.答案：(－∞，8]一、选择题1．(2018·绵阳模拟)幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象过点(2,4)，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选D ∵幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m的图象过点(2,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1，2m ＝4，解得m ＝2.故选D.2．(2018·杭州测试)若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为( )A ．[－3,3]B ．[－1,3]C ．{－3,3}D ．{－1，－3,3}解析：选C ∵函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，∴当a ≥1时，f (x )mi n ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )mi n ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3； 当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，f (x )mi n ＝f (1)＝0≠4. 故a 的取值集合为{－3,3}．故选C.3.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的结论是( ) A ．②④ B ．①④ C ．②③D ．①③解析：选B ∵二次函数的图象与x 轴交于两点，∴b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图象知，当x ＝－1时，y >0，即a －b＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，∴a <0，∴5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.4．若对任意a ∈[－1,1]，函数F (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B 由题意，令f (a )＝F (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，对任意a ∈[－1,1]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝x 2－3x ＋2>0，f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，解得x <1或x >3. 5．若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－∞，－1]D ．[－1,0]解析：选D 当m ＝0时，f (x )＝－2x ＋3在R 上递减，符合题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，只需对称轴x ＝1m ≤－1，且m <0，解得－1≤m <0，综上，实数m 的取值范围为[－1,0]．6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A ∵f (1)＝3，∴不等式f (x )>f (1)，即f (x )>3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＋6>3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x ＋6>3，解得x >3或－3<x <1. 7．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d解析：选D f (x )＝2 017－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 017，又f (a )＝f (b )＝2 017，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.8．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析：选B f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a24＋b ， ①当0≤－a 2≤1时，f (x )mi n ＝m ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }，∴M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关； ③当－a2>1时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关． 综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关． 二、填空题9．已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )在(0，＋∞)上为增函数，且在其定义域内是偶函数，则m 的值为________．解析：∵幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. 又m ∈Z ，∴m ＝0或m ＝1或m ＝2.当m ＝0或m ＝2时，f (x )＝x 3在其定义域内为奇函数，不满足题意；当m ＝1时，f (x )＝x 4在其定义域内是偶函数，满足题意．综上可知，m 的值是1. 答案：110．二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m ＝________.解析：二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 的图象的开口向上，对称轴为直线x ＝－m －13，要使得函数在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则x ＝－m －13＝1，解得m ＝－2.答案：－211．(2018·南通一调)若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．解析：由题意可得，当x ∈[t －1，t ＋1]时，[f (x )max －f (x )mi n ]mi n ≥8，当[t －1，t ＋1]关于对称轴对称时，f (x )max －f (x )mi n 取得最小值，即f (t ＋1)－f (t )＝2at ＋a ＋20≥8，f (t －1)－f (t )＝－2at ＋a －20≥8，两式相加，得a ≥8，所以实数a 的最小值为8.答案：812．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a ，若存在实数b ，使得函数y ＝f (x )－bx 恰有2个零点，则实数a 的取值范围为_______．解析：显然x ＝0是y ＝f (x )－bx 的一个零点； 当x ≠0时，令y ＝f (x )－bx ＝0得b ＝f (x )x ，令g (x )＝f (x )x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤a ，x ，x >a ，则b ＝g (x )存在唯一一个解．当a <0时，作出函数g (x )的图象，如图所示，显然当a <b <a 2且b ≠0时，b ＝g (x )存在唯一一个解，符合题意； 当a >0时，作出函数g (x )的图象，如图所示，若要使b ＝g (x )存在唯一一个解，则a >a 2，即0<a <1， 同理，当a ＝0时，显然b ＝g (x )有零解或两解，不符合题意． 综上，a 的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)． 答案：(－∞，0)∪(0,1) 三、解答题13．(2018·杭州模拟)已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]上的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．解：(1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )，可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称， 设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)， 由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1， 根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋ha ，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ －4ha ＝2，解得a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]上单调递增， 又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x . ∴g (x )的对称轴方程为x ＝k －22， 则k －22≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．14．(2018·成都诊断)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a24－a ＋3，令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )． (1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，∴a ≤73.又a >4，∴a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a24－a ＋3≥0， ∴－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4， ∴－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，∴a ≥－7.又a <－4，∴－7≤a <－4.综上可知，a 的取值范围为[－7,2]．1．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >b >c )的图象经过点A (m 1，f (m 1))和点B (m 2，f (m 2))，f (1)＝0.若a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]·a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0，则( )A ．b ≥0B ．b <0C ．3a ＋c ≤0D ．3a －c <0解析：选A 由f (1)＝0可得a ＋b ＋c ＝0，若a ≤0，由a >b >c ，得a ＋b ＋c <0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾，故a >0，若c ≥0，则有b >0，a >0，此时a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ＝0矛盾；所以c <0成立，因为a 2＋[f (m 1)＋f (m 2)]·a ＋f (m 1)·f (m 2)＝0，所以(a ＋f (m 1))(a ＋f (m 2))＝0，所以m 1，m 2是方程f (x )＝－a 的两个根，Δ＝b 2－4a (a ＋c )＝b (b ＋4a )＝b (3a －c )≥0，而a >0，c <0，所以3a －c >0，所以b ≥0.2．设函数f (x )＝2ax 2＋2bx ，若存在实数x 0∈(0，t )，使得对任意不为零的实数a ，b ，均有f (x 0)＝a ＋b 成立，则t 的取值范围是________．解析：因为存在实数x 0∈(0，t )，使得对任意不为零的实数a ，b ，均有f (x 0)＝a ＋b 成立， 所以2ax 2＋2bx ＝a ＋b 等价于(2x －1)b ＝(1－2x 2)a . 当x ＝12时，左边＝0，右边≠0，即等式不成立，故x ≠12；当x ≠12时，(2x －1)b ＝(1－2x 2)a 等价于b a ＝1－2x 22x －1，设2x －1＝k ，因为x ≠12，所以k ≠0，则x ＝k ＋12，则b a ＝1－2⎝⎛⎭⎫k ＋122k ＝12⎝⎛⎭⎫1k －k －2. 设g (k )＝12⎝⎛⎭⎫1k －k －2， 则函数g (k )在(－1,0)，(0,2t －1)上的值域为R . 又因为g (k )在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减， 所以g (k )在(－1，0)，(0,2t －1)上单调递减， 故当k ∈(－1,0)时，g (k )<g (－1)＝－1；当k ∈(0,2t －1)时，g (k )>g (2t －1)＝12⎛⎭⎫12t －1－2t －1，故要使值域为R ，则g (2t －1)<g (－1)，即12t －1－2t －1<－2，解得t >1. 答案：(1，＋∞) 高考研究课(二)指数函数的2类考查点——图象、性质 [全国卷5年命题分析]指数函数的性质5年3考 比较大小、求值指数函数的图象及应用[典例] (1)函数f (x )＝e x ·x 2e 2x ＋1的大致图象是( )(2)(2018·广州模拟)若存在负实数使得方程2x －a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,2)D ．(0,1)[解析] (1)因为f (－x )＝e －x ·x 2e －2x ＋1＝e x ·x 21＋e 2x＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以排除A 、D项．当x ＝0时，y ＝0，故排除B 项，选C.(2)在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x －a 的图象，则由图知，当a ∈(0,2)时符合要求．[答案] (1)C (2)C [方法技巧]指数函数图象问题的求解策略(1)画指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)与指数函数有关函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． [即时演练] 1．函数f (x )＝2|x－1|的图象是( )解析：选B 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <1，结合图象知，选B.2．(2018·衡水模拟)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．解析：曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．角度一：比较大小或解不等式1．(2018·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1解析：选B A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，故A 错误； B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，故B 正确；C 中，∵0.8－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2， 即0.8－0.1<1.250.2，故C 错误；D 中， ∵1.70.3>1,0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，故D 错误．2．(2018·绍兴模拟)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}解析：选B ∵f (x )为偶函数， 当x <0时，f (x )＝f (－x )＝2－x －4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－4，x ≥0，2－x －4，x <0，若f (x －2)>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0，解得x >4或x <0. [方法技巧](1)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小．(2)有关指数不等式问题，应注意a 的取值，及结合指数函数的性质求解． 角度二：与指数函数有关的函数值域问题3．已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，又y ＝22x －1－3·2x ＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝52.答案：52[方法技巧]形如y ＝a 2x ＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x 转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．角度三：与指数函数有关的单调性问题 4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选B 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.5．已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________________．解析：∵|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a >1.由于函数f (x )＝a |x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)>f (1)．答案：f (－4)>f (1) [方法技巧]与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．角度四：与指数函数有关的最值与参数问题6．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为( )A ．2 B.32 C ．1D.12解析：选C 由a x ＝b y ＝3，可得a ＝31x ，b ＝31y ， 所以23＝a ＋b ＝31x ＋31y ≥231x ＋1y ，则1x ＋1y ≤1，当且仅当x ＝y 时，等号成立． 故1x ＋1y的最大值为1. 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )＋3m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数g (x )＝f (x )＋3m 有3个零点，所以函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－3m 有三个不同的交点，作出函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象如图所示，则0<－3m <1，所以－13<x <0. 答案：⎝⎛⎭⎫－13，01．(2013·全国卷Ⅱ)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选D 法一：不等式2x (x －a )<1可变形为x －a <⎝⎛⎭⎫12x.在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1，选D.法二：由2x (x －a )<1得a >x －12x .令f (x )＝x －12x ，即a >f (x )有解，则a >f (x )mi n .又y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，所以f (x )>f (0)＝－1， 所以a >－1，选D.2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 3．(2015·江苏高考)不等式2x 2－x ＜4的解集为________． 解析：∵2x 2－x ＜4，∴2x 2－x ＜22， ∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，∴－1＜x ＜2. 答案：{x |－1＜x ＜2}4．(2015·山东高考)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.解析：当a >1时，函数f (x )＝a x＋b 在[]－1，0上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．。

1．函数的奇偶性2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【知识拓展】1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a(a>0)．(3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )(2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ )(3)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数．( √ ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( √ ) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( √ )1．(教材改编)下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋x C ．f (x )＝2x －2－xD ．f (x )＝2x ＋2－x答案 D解析 D 中，f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数．2．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．2 答案 A解析 f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2.3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 B解析 ∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0， 又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (8)＝f (0)＝0.4．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则当x <0时，f (x )＝________. 答案 x (1－x )解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )． 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )．5．(2016·四川)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝________. 答案 －2解析 ∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0， 又0<x <1时，f (x )＝4x ， ∴f (12)＝124＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝－f ⎝⎛⎭⎫52＋f (2)＝－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0) ＝－2＋0＝－2.题型一 判断函数的奇偶性例1 (1)下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝2x －12xB ．f (x )＝x 3sin xC ．f (x )＝2cos x ＋1D ．f (x )＝x 2＋2x答案 A解析 选项A 中，函数f (x )的定义域为R ， 又f (－x )＝2－x －12－x ＝12x －2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0的奇偶性．解 当x >0时，－x <0，f (x )＝－x 2＋x ， ∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )； 当x <0时，－x >0，f (x )＝x 2＋x ， ∴f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )．∴对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f (－x )＝－f (x )． ∴函数f (x )为奇函数．思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．(1)(2016·北京海淀区模拟)下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝lg|x |C ．y ＝(x －1)2D ．y ＝2x(2)函数f (x )＝log a (2＋x )，g (x )＝log a (2－x )(a >0且a ≠1)，则函数F (x )＝f (x )＋g (x )，G (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性是( ) A ．F (x )是奇函数，G (x )是奇函数 B ．F (x )是偶函数，G (x )是奇函数 C ．F (x )是偶函数，G (x )是偶函数 D ．F (x )是奇函数，G (x )是偶函数 答案 (1)B (2)B解析 (1)选项B 中，函数y ＝lg|x |的定义域为{x |x ≠0}且lg|－x |＝lg|x |， ∴函数y ＝lg|x |是偶函数．(2)F (x )，G (x )的定义域均为(－2,2)， 由已知F (－x )＝f (－x )＋g (－x ) ＝log a (2－x )＋log a (2＋x )＝F (x )， G (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (2－x )－log a (2＋x )＝－G (x )， ∴F (x )是偶函数，G (x )是奇函数． 题型二 函数的周期性例2 (1)(2016·宝鸡模拟)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 017)＋f (2 019)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．无法计算(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______. 答案 (1)C (2)2.5解析 (1)由题意，得g (－x )＝f (－x －1)，又∵f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )， ∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)， ∴f (x )的周期为4，∴f (2 017)＝f (1)，f (2 019)＝f (3)＝f (－1)， 又∵f (1)＝f (－1)＝g (0)＝0， ∴f (2 017)＋f (2 019)＝0.(2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5. 引申探究本例(2)中，若将f (x ＋2)＝－1f (x )改为f (x ＋2)＝－f (x )，其他条件不变，求f (105.5)的值． 解 f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数的周期为4(下同例题)．思维升华 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝________. 答案 339解析 ∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2； 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1， f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1， f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＋f (2 016)＝1×2 0166＝336.又f (2 017)＝f (1)＝1，f (2 018)＝f (2)＝2， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝339. 题型三 函数性质的综合应用 命题点1 解不等式问题例3 (1)(2017·沈阳质检)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( ) A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)(2)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1,4) B ．(－2,0) C ．(－1,0) D ．(－1,2)答案 (1)A (2)A解析 (1)因为f (x )是偶函数，所以其图象关于y 轴对称， 又f (x )在[0，＋∞)上单调递增， f (2x －1)<f (13)，所以|2x －1|<13，所以13<x <23.(2)∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4，故选A. 命题点2 求参数问题例4 (1)(2016·北京西城区模拟)函数f (x )＝lg(a ＋21＋x )为奇函数，则实数a ＝________.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 (1)－1 (2)－10解析 (1)根据题意得，使得函数有意义的条件为a ＋21＋x>0且1＋x ≠0，由奇函数的性质可得f (0)＝0.所以lg(a ＋2)＝0，即a ＝－1，经检验a ＝－1满足函数的定义域． (2)因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12且f (－1)＝f (1)， 故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题． (2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.(1)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25) C ．f (11)<f (80)<f (－25) D ．f (－25)<f (80)<f (11)答案 (1)－32(2)D解析 (1)函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax，即1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x (e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.(2)因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数， 所以f (－1)<f (0)<f (1)． 所以f (－25)<f (80)<f (11)．2．抽象函数问题考点分析 抽象函数问题在高考中也时常遇到，常常涉及求函数的定义域，由函数的周期性求函数值或判断函数的奇偶性等.一般以选择题或填空题来呈现，有时在解答题中也有所体现.此类题目较为抽象，易失分，应引起足够重视. 一、抽象函数的定义域典例1 已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,8]，则函数g (x )＝f (x 2－1)2－log 2(x ＋1)的定义域为________．解析 要使函数有意义， 需使⎩⎪⎨⎪⎧0≤x 2－1≤8，x ＋1>0，2－log 2(x ＋1)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，x >－1，x ≠3，解得1≤x <3，所以函数g (x )的定义域为[1,3)． 答案 [1,3)二、抽象函数的函数值典例2 若定义在实数集R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )，对任意x ∈R 恒成立，则f (2 019)等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 解析 因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )， 所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )， 即函数f (x )的周期是4，所以f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)． 因为函数f (x )为偶函数， 所以f (2 019)＝f (－1)＝f (1)．当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1).即f (1)＝1，所以f (2 019)＝f (1)＝1. 答案 D三、抽象函数的单调性与不等式典例3 设函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )．若f (3)＝1，且f (a )>f (a －1)＋2，求实数a 的取值范围． 规范解答解 因为f (xy )＝f (x )＋f (y )且f (3)＝1， 所以2＝2f (3)＝f (3)＋f (3)＝f (9)．又f (a )>f (a －1)＋2，所以f (a )>f (a －1)＋f (9)． 再由f (xy )＝f (x )＋f (y )，可知f (a )>f [9(a －1)]， 因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，9(a －1)>0，a >9(a －1)，解得1<a <98.故所求实数a 的取值范围是(1，98)．1．(2017·石家庄质检)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝(12)ln x答案 B解析 对于A ，y ＝1x 为奇函数；对于C ，y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)； 对于D ，y ＝(12)ln x 的定义域为(0，＋∞)．2．(2016·兰州模拟)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C ．－12 D.12答案 B解析 依题意得f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，又a －1＝－2a ， ∴a ＝13，∴a ＋b ＝13，故选B.3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2,0)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)等于( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98 答案 B解析 由f (x ＋4)＝f (x )知，f (x )是周期为4的周期函数， f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)， 又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (3)＝f (－1)， 由－1∈(－2,0)得f (－1)＝2， ∴f (2 019)＝2.4．已知f (x )＝lg(21－x ＋a )为奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 B解析 由f (x )＋f (－x )＝0，即lg(21－x ＋a )＋lg(21＋x ＋a )＝lg (2＋a )2－a 2x 21－x 2＝lg 1＝0可得a ＝－1， 所以f (x )＝lg1＋x 1－x ，解得0<1＋x1－x<1，可得－1<x <0. 5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos π6x (0＜x ≤8)，log 2x (x >8)，则f (f (－16))等于( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32答案 C解析 由题意f (－16)＝－f (16)＝－log 216＝－4， 故f (f (－16))＝f (－4)＝－f (4)＝－cos4π6＝12. *6.(2016·天津)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞C.⎝⎛⎭⎫12，32D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 答案 C 解析 因为f (x )是定义在R 上的偶函数且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)可得2|a －1|<2，即|a －1|<12，所以12<a <32. 7．(2016·湖南四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，g (x )，x <0，若f (x )为奇函数，则g (－14)=________． 答案 2解析 g (－14)＝f (－14)＝－f (14) ＝－log 214＝－log 22－2＝2. 8．(2016·济南模拟)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1＋x )，则f (－52)＝________.答案 －32解析 因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f (－52)＝－f (52)＝－f (12)＝－[2×12(1＋12)]＝－32. 9．函数f (x )在R 上为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案 －－x －1解析 ∵f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x ＋1＝－f (x )，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.10．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．答案 ①②解析 在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知，f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1且f (x )是周期为2的周期函数，∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．于是x <0时，f (x )＝x 2＋mx ＝x 2＋2x ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1， 所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8，又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝f (0)＋f (1)＋f (2)＝1.*13.函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1，∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。

专题03基本初等函数考纲解读明方向考点内容解读要求常考题型预测热度1.了解构成函数的要素,会求一些简单函1.函数的数的定义域和值域;了解映射的概念概念及表 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择Ⅱ选择题、示方法恰当的方法(如图象法、列表法、解析法) 填空题、★★★表示函数解答题2.分段函了解简单的分段函数,并能简单应用(函数Ⅱ数分段不超过三段)分析解读1.考查映射与函数的定义域、分段函数的解析式和求函数值.2.求函数的解析式和定义域具有综合性,有时渗透在解答题中,特别是结合函数图象考查数形结合能力.3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中低档题.2018年高考全景展示1．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则A. B. C. D.【答案】B点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题。

2．【2018年浙江卷】已知λ∈R，函数f(x)= ，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4)【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．3．【2018年浙江卷】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则当时，___________，___________．【答案】8 11【解析】分析:将z代入解方程组可得x,y值.详解：点睛：实际问题数学化，利用所学的知识将陌生的性质转化为我们熟悉的性质，是解决这类问题的突破口．4.【2018年江苏卷】函数的定义域为________．【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.2017年高考全景展示1.【2017天津，理6】已知奇函数f(x) 在R上是增函数，g(x) xf(x) .若a g(log5.1) ，2b g，c g(3) ，则a，b，c的大小关系为(2 )0.8（A）a b c（B）c b a（C）b a c（D）b c a 【答案】C【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.2.【2017北京，理5】已知函数1f(x) 3 ( ) ，则f (x)x x3（A）是奇函数，且在R上是增函数（B）是偶函数，且在R上是增函数（C）是奇函数，且在R上是减函数（D）是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】x x1 1f x 3 x3x f x，所以函数是奇函数，并且3x是增函试题分析：333【考点】函数的性质【名师点睛】本题属于基础题型，根据奇偶性的定义f x与f x的关系就可以判断函数3的奇偶性，判断函数单调性的方法，1.平时学习过的基本初等函数的单调性；2.函数图象判断函数的单调性；3.函数的四则运算判断，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，判断函数的单调性；4.导数判断函数的单调性.3.【2017北京，理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与（A）1033 （B）1053（C）1073 （D）1093【答案】D【解析】试题分析：设MN3361x ，两边取对数，10803361lg lg lg3 lg10 361 lg3 80 93.28x 361 80 ，所以x 1093.28 ，即1080 MN最接近10 ，故选D.93【考点】对数运算【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是3361x 时，两边取对数，对数运算公式包含1080Mlog a M log a N log a MN，log M log N log ，log a M n n log a M.a a aN2016年高考全景展示1.【2016课标3理数】已知4 2 1a 2 ，b 4 ，c 25 ，则（）3 5 34 2 2 1 2 2试题分析：因为a23 43 45 b，c a，所以b a c，故选A．253 53 43考点：幂函数的图象与性质．【技巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．42.【2016高考江苏卷】设f(x) 是定义在R上且周期为2的函数，在区间[1, 1) 上，x a, 1 x 0, f(x) 2x ,0 x1,5 其中a R. 若( 5) (9)f f，则f(5a) 的值是.2 2【答案】2 5【解析】5 1 9 1 1 1 2 3f () f () f( ) f( ) aa ，2 2 2 2 2 2 5 5因此3 2 f(5a ) f (3) f (1) f (1) 15 5考点：分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.3.【2016高考江苏卷】函数y= 3-2x-x2 的定义域是.【答案】3,1【解析】试题分析：要使函数有意义，必须32x x 2 0 ，即x 2 2x 3 0 ， 3 x 1．故答案应填：3,1，考点：函数定义域【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先列，后解是常规思路.列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三角不等式联系在一起.4.【2016年高考北京理数】设函数f(x) x 3 3x, x a2x, x a.【答案】2 ，(,1).【解析】5试题分析：如图作出函数g(x) x3 3x与直线y2x的图象，它们的交点是A(1, 2) ，O，B(1,2) ，由g'(x) 3x2 3，知x1是函数g(x) 的极大值点，(0, 0)考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想.【名师点睛】1.分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．。

专题03函数概念与基本初等函数 1．【2022年全国甲卷理科05】函数y =(3x −3−x )cosx 在区间[−π2,π2]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．【2022年全国乙卷理科12】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R ，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x −4)=7．若y =g(x)的图像关于直线x =2对称，g(2)=4，则∑k=122f(k)=（ ） A ．−21 B ．−22 C ．−23 D ．−243．【2022年新高考2卷08】已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x +y)+f(x −y)=f(x)f(y),f(1)=1，则∑22k=1f(k)=（ ） A ．−3 B ．−2 C ．0 D ．14．【2021年全国甲卷理科4】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足L =5+lgV ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（√1010≈1.259） A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.65．【2021年全国甲卷理科12】设函数f(x)的定义域为R ，f(x +1)为奇函数，f(x +2)为偶函数，当x ∈[1,2]时，f(x)=ax 2+b ．若f(0)+f(3)=6，则f(92)=（ ）A ．−94B ．−32C ．74D ．52 真题汇总6．【2021年全国乙卷理科4】设函数f(x)=1−x 1+x ，则下列函数中为奇函数的是（ ）A ．f(x −1)−1B ．f(x −1)+1C ．f(x +1)−1D ．f(x +1)+1 7．【2021年全国乙卷理科12】设a =2ln1.01，b =ln1.02，c =√1.04−1．则（ ）A ．a <b <cB ．b <c <aC ．b <a <cD ．c <a <b 8．【2021年新高考2卷7】已知a =log 52，b =log 83，c =12，则下列判断正确的是（ ）A ．c <b <aB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c9．【2021年新高考2卷8】已知函数f(x)的定义域为R ，f(x +2)为偶函数，f(2x +1)为奇函数，则（ ）A ．f(−12)=0B ．f(−1)=0C ．f(2)=0D ．f(4)=010．【2020年全国1卷理科12】若2a +log 2a =4b +2log 4b ，则（ ）A ．a >2bB ．a <2bC ．a >b 2D ．a <b 211．【2020年全国2卷理科09】设函数f(x)=ln|2x +1|−ln|2x −1|，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在(12,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(−12,12)单调递减 C ．是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增 D ．是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减12．【2020年全国2卷理科11】若2x −2y <3−x −3−y ，则（ ）A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y|>0D ．ln|x −y|<013．【2020年全国3卷理科04】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)=K1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为（ ）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．69 14．【2020年全国3卷理科12】已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b15．【2020年山东卷06】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天16．【2020年山东卷08】若定义在R 的奇函数f (x )在(−∞,0)单调递减，且f (2)=0，则满足xf(x −1)≥0的x 的取值范围是（ ）A ．[−1,1]∪[3,+∞)B ．[−3,−1]∪[0,1]C ．[−1,0]∪[1,+∞)D ．[−1,0]∪[1,3]17．【2020年海南卷06】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天18．【2020年海南卷08】若定义在R 的奇函数f (x )在(−∞,0)单调递减，且f (2)=0，则满足xf(x −1)≥0的x 的取值范围是（ ）A ．[−1,1]∪[3,+∞)B ．[−3,−1]∪[0,1]C ．[−1,0]∪[1,+∞)D ．[−1,0]∪[1,3]19．【2019年新课标3理科11】设f （x ）是定义域为R 的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（ ）A ．f （log 314）＞f （2−32）＞f （2−23）B ．f （log 314）＞f （2−23）＞f （2−32）C ．f （2−32）＞f （2−23）＞f （log 314） D ．f （2−23）＞f （2−32）＞f （log 314） 20．【2019年全国新课标2理科12】设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x +1）＝2f （x ），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x ﹣1）．若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥−89，则m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，94]B ．（﹣∞，73]C ．（﹣∞，52]D ．（﹣∞，83] 21．【2019年新课标1理科03】已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a22．【2018年新课标1理科09】已知函数f （x ）={e x ，x ≤0lnx ，x ＞0，g （x ）＝f （x ）+x +a ．若g （x ）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）23．【2018年新课标2理科11】已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50B．0C．2D．5024．【2018年新课标3理科12】设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b25．【2017年新课标1理科05】函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]26．【2017年新课标1理科11】设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z27．【2016年新课标1理科08】若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．a log b c＜b log a c D．log a c＜log b c28．【2016年新课标2理科12】已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），若函数y=x+1x与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x m，y m），则∑m i=1（x i+y i）＝（）A．0B．m C．2m D．4m29．【2016年新课标3理科06】已知a=243，b=323，c=2513，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b30．【2015年新课标2理科05】设函数f（x）={1+log2(2−x)，x＜12x−1，x≥1，则f（﹣2）+f（log212）＝（）A．3B．6C．9D．1231．【2015年新课标2理科10】如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边B C，CD与DA运动，记∠BOP＝x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．32．【2014年新课标1理科03】设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数33．【2014年新课标1理科06】如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y＝f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．34．【2013年新课标1理科11】已知函数f （x ）={−x 2+2x ，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，若|f （x ）|≥ax ，则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，1]C ．[﹣2，1]D ．[﹣2，0]35．【2013年新课标2理科08】设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则（ ）A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c36．【2022年新高考1卷12】已知函数f(x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R ，记g(x)=f ′(x)，若f (32−2x)，g(2+x)均为偶函数，则（ ） A ．f(0)=0 B ．g (−12)=0 C ．f(−1)=f(4) D ．g(−1)=g(2)37．【2021年新高考1卷13】已知函数f(x)=x 3(a ⋅2x −2−x )是偶函数，则a =______.38．【2021年新高考2卷14】写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):_______．①f(x 1x 2)=f(x 1)f(x 2)；②当x ∈(0,+∞)时，f ′(x)>0；③f ′(x)是奇函数．39．【2019年全国新课标2理科14】已知f （x ）是奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝﹣e ax ．若f （ln 2）＝8，则a ＝ ．40．【2017年新课标3理科15】设函数f （x ）={x +1，x ≤02x ，x ＞0，则满足f （x ）+f （x −12）＞1的x 的取值范围是 ．41．【2015年新课标1理科13】若函数f （x ）＝xln （x +√a +x 2）为偶函数，则a ＝ ．42．【2014年新课标2理科15】已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递减，f （2）＝0，若f （x ﹣1）＞0，则x 的取值范围是 ． 1．已知f (x +1)=lnx ，则f (x )=（ ）A ．ln (x +1)B ．ln (x −1)C ．ln |x −1|D ．ln (1−x )2．已知函数f (x )={2x 2+4x +1(x <0)2ex (x ≥0) ，则y =f (x )(x ∈R )的图象上关于坐标原点O 对称的点共有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对模拟好题3．对任意不相等的两个正实数x 1，x 2，满足f (x 1+x 22)>f (x 1)+f (x 2)2的函数是（ ） A ．f (x )=2xB ．f (x )=ln2xC ．f (x )=sin2xD ．f (x )=2x4．已知函数f (x )={e x −1,x ⩾0,x +1,x <0,若m <n ，且f (m )=f (n )，则n −m 的最大值是（ ） A ．ln 2 B ．1 C ．2 D ．ln 35．设函数f (x )={log 2(−x +4),x <22x ,x >2，则f (−4)+f (log 25)=（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．86．已知函数f (x )={2x ,x ⩽0,ln x,x >0,g (x )=|x (x −2)| ，若方程f(g (x ))+g (x )−m =0的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m >1B ．m ⩾1C ．m <1D ．m ⩽17．若f(x)为奇函数，且x 0是y =f(x)−2e x 的一个零点，则−x 0一定是下列哪个函数的零点（ ） A ．y =f(−x)e −x −2 B ．y =f(x)e x +2 C ．y =f(x)e x −2 D ．y =f(−x)e x +28．已知函数f (x )=|x +2|+e x+2+e −2−x +a 有唯一零点，则实数a =（ ）A ．1B ．−1C ．2D ．−29．下列函数，既是奇函数，又是其定义域内增函数的是（ ）A ．y =6x −6−xB ．y =tanxC ．y =−x 3D ．y =x 3+110．定义在R 上的函数f (x )满足f (−x )+f (x )=0,f (x )=f (2−x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )=x 2.则函数y =7f (x )−x +2的所有零点之和为（ ）A ．7B ．14C ．21D ．28 11．已知a =log 53，b =212，c =7−0.5，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >b >a12．已知f(x)={2x 0<x ≤12f(x −1)+1,x >1f ，若f(n)<2022(n ∈N +)，则n 的最大值为（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．1213．函数f (x )=lnx ，其中f (x )+f (y )=2，记S n =lnx n +ln (x n−1y )+⋯+ln (xy n−1)+lny n (n ∈N ∗)，则∑1S i 2022i=1=（ ）A ．20222023B ．20232022C．20234044D．4044202314．已知a是方程x+lgx=4的根，b是方程x+10x=4的根，函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x ⩾0时，f(x)=x2+(a+b−4)x，若对任意x∈[t,t+2]，不等式f(x+t)⩾2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[√2,+∞)B．[2,+∞)C．(0,2]D．[−√2,−1]∪[√2,√3]15．垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而变成公共资源的一系列活动的总称．分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等几方面的效益．已知某种垃圾的分解率v与时间t（月）满足函数关系式v=a⋅b t（其中a,b为非零常数）．若经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（）（参考数据lg2≈0.3）A．40个月B．32个月C．28个月D．20个月16．已知函数f(x)=2x+a2x−1是奇函数，则实数a的值为__________．17．函数y=√x(4−x)的定义域是___________.18．已知函数y=f(x−2)为奇函数，y=f(x+1)为偶函数，且f(0)−f(6)=4，则f(2022)=_________ __.19．设f(x)={√x,0<x<23(x−2),x≥2．若f(a)=f(a+2)，则a=__________．20．设a∈R，函数f(x)={3ax(x≤0)log3x(x>0)．若f[f(13)]≥9，则实数a的取值范围是_________．21．已知函数f(x)的定义域D=(−∞,0)∪(0,+∞)，对任意的x1，x2∈D，都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)−3，若f(x)在(0,+∞)上单调递减，且对任意的t∈[9,+∞)，f(m)>√t−√t−9恒成立，则m的取值范围是______．22．设函数y=f(x)的图象与y=3x+m的图象关于直线y=x对称，若f(3)+f(9)=1，实数m的值为______ __．23．函数f(x)=9x+31−2x的最小值是___________.24．若2a=3b=m，且1a +1b=2，则m=_____________．25．若函数f（x）同时满足：（1）对于定义域上的任意x，恒有f(x)+f(−x)=0；（2）对于定义域上的任意x1,x2，当x1≠x2，恒有f(x1)−f(x2)x1−x2<0，则称函数f（x）为“理想函数”，下列①f(x)=1x，②f(x)=ln√(1+x2)+x，③f(x)=1−2x1+2x ，④f(x)={−x2,x⩾0x2,x<0四个函数中，能被称为“理想函数”的有___________.（填出函数序号）。

第五节 基本初等函数【热点聚焦】基本初等函数是高中数学函数部分由抽象到具体一个过渡，在历届的高考试题中对此部分均会作重点考查。

与基本初等函数有关的试题，除了要掌握基本初等函数的性质以外，还应注意数学方法的运用。

【基础知识】一．二次函数的基本性质（1）二次函数的三种表示法：一般式：y =ax 2+bx +c ；两根式：y =a （x －x 1）（x －x 2）；顶点式：y =a （x －x 0）2+n .（2）当a ＞0，f （x ）在区间［p ，q ］上的最大值为M ，最小值为m ，令x 0=21（p +q ）. 若－ab2＜p ，则f （p ）=m ，f （q ）=M ； 若p ≤－a b 2＜x 0，则f （－a b2）=m ，f （q ）=M ；若x 0≤－a b 2＜q ，则f （p ）=M ，f （－a b2）=m ；若－ab 2≥q ，则f （p ）=M ，f （q ）=m .二．指数与指数函数 1.指数（1）n 次方根的定义若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质①当n 为奇数时，n n a =a .②当n 为偶数时，n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a aa a（3）分数指数幂的意义①a nm =n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.②anm -=nm a 1=nma1（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.2.指数函数（1）指数函数的定义一般地，函数y =a x （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象OxOy =a x 1a > ）1y =ax ((0＜a ＜1).（3）指数函数的性质 ①定义域：R .②值域：（0，＋∞）.③过点（0，1），即x =0时，y =1. ④当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数. 三．对数与对数函数 1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log aN .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. （2）对数函数的图象x> Oxy<a <y = l o g x a 111()). （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. R . ③过点（1，0），即当x ④当a ＞1时，在（0，+＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 四．幂函数1．幂函数定义及其图象：一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数. 2．几种常见幂函数的图象：（1）x y =；（2）21x y =；（3）2x y =；（4）1-=x y ；（5）3x y =．3．幂函数性质．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．【提示】应熟练掌握二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数，以及形如y =x +x1的函数等一些常见函数的性质，归纳提炼函数性质的应用规律.再如函数单调性的用法主要是逆用定义等.【课前训练】1．（2004年湖北）若函数y =a x +b －1（a ＞0且a ≠1）的图象经过二、三、四象限，则一定有（ ）A.0＜a ＜1且b ＞0B.a ＞1且b ＞0C.0＜a ＜1且b ＜0D.a ＞1且b ＜0 2．．(2006年山东卷）函数y=1+a x (0<a <1)的反函数的图象大致是 ( )（A ） （B ） （C ） （D ） 3．（2006年浙江卷）已知0＜a ＜1，log a m ＜log a n ＜0，则 ( ) (A)1＜n ＜m (B) 1＜m ＜n (C)m ＜n ＜1 (D) n ＜m ＜1 4．（2004年湖南）若直线y =2a 与函数y =|a x －1|（a ＞0且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是___________________. 5．函数y =（21）222+-x x 的递增区间是___________. 【试题精析】【例1】对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0成立，则称x 0为f （x ）的不动点.已知函数f （x ）=ax 2+（b +1）x +b －1（a ≠0）.（1）当a =1，b =－2时，求f （x ）的不动点；（2）若对于任意实数b ，函数f （x ）恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围.【评述】二次方程ax 2+bx +c =0，二次不等式ax 2+bx +c ＞0（或＜0）与二次函数y =ax 2+bx +c 的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题.【例2】（2006年浙江卷）设f(x)=3ax 22.0bx c a b c ++++=若,f (0)＞0，f (1)＞0，求证：(Ⅰ)a ＞0且－2＜ba＜－1；(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.【例3】设函数f （x ）＝|lg x |，若0＜a ＜b ，且f （a ）＞f （b ），证明：ab ＜1．【评述】本小题主要考查函数的单调性、对数函数的性质、运算能力，考查分析解决问题的能力. 【例4】若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？【例5】已知9x －10·3x +9≤0，求函数y =（41）x －1－4（21）x +2的最大值和最小值.【例6】若关于x 的方程25－|x +1|－4·5－|x +1|－m =0有实根，求m 的取值范围.【针对训练】1．( 2006年湖南卷）函数y =( )A.(3,+∞)B.[3, +∞)C.(4, +∞)D.[4, +∞) 2．函数y =23x 的图象与直线y =x 的位置关系是（ ）OxyyOxyBD3．下图是指数函数（1）y =a x ，（2）y =b x ，（3）y =c x ，（4）y =d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是xA.a ＜b ＜1＜c ＜dB.b ＜a ＜1＜d ＜b ＜1＜d ＜c4．（2006年北京卷）已知(3()log a a f x x -⎧=⎨⎩ a 的取值范围是 （ ）（A ）（0，1） （B ）（0，13） （C ）17⎡⎢⎣,13⎤⎥⎦（D ）]1,17⎡⎢⎣ 5．函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是OxyO x y OxyABC D6．方程2x =2－x 的解的个数为______________.7．（2004年春季上海）方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.8．设函数f （x ）=log 9x ，则满足f （x ）＝21的x 值为 9．已知函数22log (2)y x =-的定义域是[,]a b ,值域是2[1,log 14],求实数,a b 的值.10．设()()(),x g x f x F -=其中()(),1lg -=x x f 并且仅当()00,y x 在 ()1lg -=x y 的图象上时，()002,2y x 在()x g y =的图象上。

第2讲 函数的单调性与最值, )1．函数的单调性 (1)单调函数的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值1．辨明两个易误点(1)区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写出，一般不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结．例如函数f (x )＝1x在区间(－1，0)上是减函数，在(0，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不是减函数．2．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； (3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 3．函数最值的有关结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．1.教材习题改编 如图是函数y ＝f (x )，x ∈的图象，则下列说法正确的是( )A ．f (x )在上是减函数，在上是增函数B ．f (x )在区间(－1，3)上的最大值为3，最小值为－2C ．f (x )在上有最小值－2，有最大值3D ．当直线y ＝t 与y ＝f (x )的图象有三个交点时－1<t <2 C 根据题图提供的信息可知选C.2.教材习题改编 若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－12D 因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，所以2k ＋1<0，即k <－12.3.教材习题改编 y ＝x 2－6x ＋5的单调减区间为( ) A ．(－∞，－3]B ．(－∞，3]C ． y ＝x 2－6x ＋5＝(x －3)2－4，表示开口向上，对称轴为x ＝3的抛物线，其单调减区间为(－∞，3]，故选B.4.教材习题改编 函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈ 的单调递增区间为________，f (x )max ＝__________．函数f (x )的对称轴为x ＝1，单调增区间为，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 85.教材习题改编 已知函数f (x )＝2x －1，x ∈，则f (x )的最大值为________，最小值为__________．可判断函数f (x )＝2x －1在上递减，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25. 2 25函数单调性的判定与证明(1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)(2)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性．【解】 (1)选A.A 项，函数y ＝x ＋1在1．(2016·高考北京卷)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－xD 函数y ＝11－x，y ＝ln(x ＋1)在(－1，1)上都是增函数，函数y ＝cos x 在(－1，0)上是增函数，在(0，1)上是减函数，而函数y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－1，1)上是减函数，故选D.2．判断函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性． 法一：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2， 则y 1－y 2＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1（x 1＋1）（x 2＋1）.因为x 1>－1，x 2>－1， 所以x 1＋1>0，x 2＋1>0， 又x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，所以x 2－x 1（x 1＋1）（x 2＋1）>0，即y 1－y 2>0. 所以y 1>y 2， 所以函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 法二：y ＝x ＋2x ＋1＝1＋1x ＋1. 因为y ＝x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数， 所以y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数， 所以y ＝1＋1x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数，即函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．求函数的单调区间(1)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1]B ． D ．∪上单调递减，在和，单调递减区间为和 函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为(1－2，1)和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2)和(1，1＋2)．2.若将本例(2)中的函数变为y ＝－x 2＋2|x |＋1，应如何求解单调区间． 由－x 2＋2|x |＋1≥0，得 1－2≤|x |≤1＋2，又|x |≥0，所以0≤|x |≤1＋2， 即－1－2≤x ≤1＋ 2.根据函数图象可知，f (x )的单调递增区间为和，单调递减区间为和．(1)确定函数的单调区间的方法①定义法：先求定义域，再利用单调性定义来求．②图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，一般不能用“∪”连接．③导数法：利用导数取值的正、负确定函数的单调区间． (2)求复合函数y ＝f (g (x ))的单调区间的步骤 ①确定函数的定义域．②将复合函数分解成基本初等函数y ＝f (u )，u ＝g (x )． ③分别确定这两个函数的单调区间．④若这两个函数同增同减，则y ＝f (g (x ))为增函数；若一增一减，则y ＝f (g (x ))为减函数，即“同增异减”．作出函数y ＝|x 2－1|＋x 的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间．当x ≥1或x ≤－1时，y ＝x 2＋x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－54；当－1<x <1时，y ＝－x 2＋x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋54.画出函数图象如图所示：由函数图象可知，函数的减区间为(－∞，－1]，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，(1)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________． (2)函数y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1的值域为________．【解析】 (1)法一：令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1，所以原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0.配方得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34，又因为t ≥0，所以y ≥14＋34＝1， 故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.法二：因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在 1．(2017·贵阳检测)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2， 因为f (x )＝x －2在上是增函数， 所以f (x )≤f (1)＝－1，因为f (x )＝x 3－2在(1，2]上是增函数， 所以f (x )≤f (2)＝6， 所以f (x )max ＝f (2)＝6.2．函数f (x )＝|x －1|＋x 2的值域为________．因为f (x )＝|x －1|＋x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －1，x ≥1x 2－x ＋1，x ＜1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－54，x ≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，x ＜1，作出函数图象如图，由图象知f (x )＝|x －1|＋x 2的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞函数单调性的应用(高频考点)函数单调性结合函数的图象以及函数其他性质的应用已成为近几年高考命题的一个新的增长点，常以选择、填空题的形式出现．高考对函数单调性的考查主要有以下三个命题角度： (1)比较两个函数值或两个自变量的大小；(2)解函数不等式； (3)求参数的值或取值范围．(1)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．C ．∪(x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减． 因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (e)，所以b >a >c .(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4，故选D.【答案】 (1)D (2)D角度一 比较两个函数值或两个自变量的大小1．(2017·九江模拟)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0B 因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.角度二 解函数不等式2．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C 因为f (x )在R 上为减函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1|x |<f (1)，所以1|x |>1，即0<|x |<1，所以0<x <1或－1<x <0.角度三 求参数的值或取值范围3．(2017·日照模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(0，1]C ．(0，1)D ．(0，1]D 因为f (x )＝－x 2＋2ax 在上是减函数，所以a ≤1，又因为g (x )＝ax ＋1在上是减函数，所以a >0，所以0<a ≤1., )——数形结合思想求函数最值已知函数f 1(x )＝|x －1|，f 2(x )＝13x ＋1，g (x )＝f 1（x ）＋f 2（x ）2＋|f 1（x ）－f 2（x ）|2，若a ，b ∈，且当x 1，x 2∈时，g （x 1）－g （x 2）x 1－x 2>0恒成立，则b －a 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 当f 1(x )≥f 2(x )时，g (x )＝f 1（x ）＋f 2（x ）2＋f 1（x ）－f 2（x ）2＝f 1(x )；当f 1(x )<f 2(x )时，g (x )＝f 1（x ）＋f 2（x ）2＋f 2（x ）－f 1（x ）2＝f 2(x )．综上，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1（x ），f 1（x ）≥f 2（x ），f 2（x ），f 1（x ）<f 2（x ）.即g (x )是f 1(x )，f 2(x )两者中的较大者．在同一直角坐标系中分别画出函数f 1(x )与f 2(x )的图象，则g (x )的图象如图中实线部分所示．由图可知g (x )在上单调递增，故a ，b ∈，则b －a 的最大值为5.【答案】 D本题利用了数形结合的思想，解答本题首先利用分类讨论思想写出函数g (x )的表达式，然后再作出g (x )的图象，利用图象求出b －a 的最大值．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，则函数f (x )＝min{4x＋1，x ＋4，－x ＋8}的最大值是__________．在同一直角坐标系中分别作出函数y ＝4x ＋1，y ＝x ＋4，y ＝－x ＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的图象，如图所示，不难看出函数f (x )在x ＝2时取得最大值6.6, )1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝2－xB ．y ＝xC ．y ＝log 2xD ．y ＝－1xB 由题知，只有y ＝2－x与y ＝x 的定义域为R ，且只有y ＝x 在R 上是增函数． 2．(2017·大连模拟)函数f (x )＝x1－x在( ) A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数 C ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数C 函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}．f (x )＝x 1－x ＝11－x －1，根据函数y ＝－1x的单调性及有关性质，可知f (x )在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．3．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在 因为f (x )＝(x －1)2＋m －1在 令u ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18. 因为u ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34上单调递减，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在R 上单调递减． 所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2－3x ＋1在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34上单调递增． 5．定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且f (x )在(－∞，2)上是增函数，则( )A ．f (－1)<f (3)B ．f (0)>f (3)C ．f (－1)＝f (3)D ．f (0)＝f (3)A 依题意得f (3)＝f (1)，且－1<1<2，于是由函数f (x )在(－∞，2)上是增函数得f (－1)<f (1)＝f (3)．6．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 D 当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a， 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得0>a ≥－14. 综上所述得－14≤a ≤0. 7．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)<2，则实数x 的取值范围是________． 因为函数f (x )＝ln x ＋2x 在定义域上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)<2得，f (x 2－4)<f (1)，所以0<x 2－4<1，解得－5<x <－2或2<x < 5.(－5，－2)∪(2，5)8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.29．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是 任取2<x 1<x 2，由已知条件，得f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22＋a x 2＝(x 1－x 2)＋a ×x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)×x 1x 2－a x 1x 2<0恒成立，即当2<x 1<x 2时，x 1x 2>a 恒成立．又x 1x 2>4，则0<a ≤4.即实数a 的取值范围是(0，4]．(0，4]11．已知函数f (x )＝a －1|x |. (1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x， 设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意a －1x<2x 在(1，＋∞)上恒成立， 设h (x )＝2x ＋1x ，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2，h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x 1x 2. 因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>1，所以2－1x 1x 2>0，所以h (x 1)<h (x 2)，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3，所以实数a 的取值范围是(－∞，3]．12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2tx ＋t 2，x ≤0，x ＋1x＋t ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则t 的取值范围为( )A ．B ．C ．D ． D 法一：(排除法)当t ＝0时，结论成立，排除C ；当t ＝－1时，f (0)不是最小值，排除A 、B ，选D.法二：(直接法)由于当x >0时，f (x )＝x ＋1x＋t 在x ＝1时取得最小值为2＋t ，由题意知，当x ≤0时，f (x )＝(x －t )2，若t ≥0，此时最小值为f (0)＝t 2，故t 2≤t ＋2，解得－1≤t ≤2，此时0≤t ≤2；若t <0，则f (t )<f (0)，条件不成立，故选D.13．已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a >0)，且f (x )在上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a， 当a >1时，a －1a>0，此时f (x )在上为增函数， 所以g (a )＝f (0)＝1a； 当0<a <1时，a －1a<0，此时f (x )在上为减函数， 所以g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.所以g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a <11a，a ≥1，所以g (a )在(0，1)上为增函数，在时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．(1)因为f (－1)＝0，所以a －b ＋1＝0，所以b ＝a ＋1，所以f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.因为对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝（a ＋1）2－4a ≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，（a －1）2≤0. 所以a ＝1，从而b ＝2，所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x >0，－x 2－2x －1，x <0. (2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1.因为g (x )在上是单调函数，所以k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞) .。