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第一节线段、角、相交线和平行线知识点一：直线、线段、射线1、几何图形从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。
立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。
2、点、线、面、体（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
1）直线的概念一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。
2）射线的概念直线上一点和它一旁的部分叫做射线。
这个点叫做射线的端点。
3）线段的概念直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。
这两个点叫做线段的端点。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
（2）点动成线，线动成面，面动成体。
变式练习：在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要2枚钉子，依据的是两点确定一条直线.3.点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形。
一个点可以用一个大写字母表示。
一条直线可以用一个小写字母表示。
一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。
一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。
4.直线的性质（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。
它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。
（2）过一点的直线有无数条。
（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。
（4）直线上有无穷多个点。
（5）两条不同的直线至多有一个公共点。
5.线段的性质（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。
也可简单说成：两点之间线段最短。
（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。
（3）线段的中点到两端点的距离相等。
（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
变式练习1：把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确的是( C )A ．两点确定一条直线B ．垂线段最短C ．两点之间线段最短D ．三角形两边之和大于第三边变式练习2：如图，C ，D 是线段AB 上两点，D 是线段AC 的中点，若AB ＝10 cm ，BC ＝4 cm ，则AD 的长等于( B)A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．6 cm变式练习3： 如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n 条直线最多可将平面分成56个部分，则n 的值为__10__．知识点二：角、角平分线1概念：角：有公共端点的两条射线组成的图形．这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
线段与角考点图解技法透析1．与直线、射线、线段有关的知识(1)直线：①直线的概念，一根拉得很紧的线，给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．②直线的表示方法：如图记作“直线AB”或“直线BA”；l记作“直线l”．③直线的性质：过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线．(2)射线：①射线的概念，直线上一点和它一旁的部分叫射线，这一点叫射线的端点．射线向一方无限延伸．②射线的表示方法：如图记作“射线AB”；l记作射线l，注意必须把表示端点的字母写在前面．(3)线段：①线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点，线段不延伸．②线段的表示方法：如图记求“线段AB”或“线段BA”或“线段a”．③线段的性质：两点的所有连线中，线段最短．即两点之间，线段最短．(4)直线、射线、线段的区别与联系．①联系：直线、射线都可以看作是线段无限延伸得到的；反过来，射线和线段都是直线的一部分，线段可以看作是直线上两点及这两点间的部分，射线可以看作是直线上一点及其一旁的部分．②区别：如下表(5)线段的画法：①用直尺可以画出以A、B为端点的线段，画时不能向任何一方延伸．②“连接AB”的意义就是画出以A、B为端点的线段．③线段的延长线，如图，延长AB是指按由A向B的方向延长．延长BA是指按由B向A的方向延长．(也可说反向延长AB)(6)线段的比较①度量法：测量线段的长度后比较大小，②叠合法：用圆规把一条线段移到另一条线段上比较大小．(7)画一条线段等于已知线段，如：已知线段a，画一条线段AB＝a，有两种画法：①先画射线AC，再在射线AC上截取AB＝a．②先测量线段a的长度、再画一条等于这个长度的线段AB即可．(8)线段的中点及等分点的概念①如图①点O把线段AB分成相等的两条线段，AO与OB，点O叫线段AB的中点，显然有AO＝OB＝12AB（或AB＝2AO＝2OB）②如图②点O1，O2把线段AB分成相等的三条线段AO1＝O1O2＝O2B，则点O1，O2叫做线段AB的三等分点，显然有：AO1＝O1O2＝O2B＝13AB(或AB＝3AO，＝3O1O2＝3O2B)③如图③，点O1，O2，O3把线段AB分成相等的四条线段，则点O1，O2，O3叫做线段AB的四等分点，显然有：AO1＝O1O2＝O2O3＝O3B＝14AB(或AB＝4AO1＝4O1O2＝4O2O3＝4O3B)(9)两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．2．与角有关的知识(1)角的概念：角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，又可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形．(2)角的四种表示方法：①一般可以用三个大写字母表示，且表示顶点的字母必须写在中间．如图①，记作∠AOB（或∠BOA）；②当角的顶点处只有一个角时，可以用角的顶点字母来表示这个角，如图①可记作∠O；③可以用一个小写希腊字母（如α、β、γ等）表示，如图②∠BOC记作∠a；④用一个阿拉伯数字表示如图②∠AOC记作∠1．(3)特殊角及角的分类：①平角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置在同一条直线上时所成的角．②周角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置重合时所成的角．③直角：等于90°的角叫直角．④锐角：小于直角的角叫锐角．⑤钝角：大于直角而小于平角的角叫钝角．(4)角度制及角的画法：①角度制：以度、分，秒为单位的角的度量制，1°＝60'，1'＝60"．②借助三角尺和量角器画角．(5)角的和、差、倍、分的关系①每的和、差，如图所示：∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，∠AOB＝∠AOC－∠BOC②角的倍、分：角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，如图所示，若∠1＝∠2，则OC是∠AOB的平分线，此时有∠1＝∠2＝12∠AOB（或∠AOB＝2∠1＝2∠2）．同理，还有角的三等分线、四等分线……等．(6)余角和补角：①定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角．②性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等(7)方位角：方位角是表示方向的角．具体表示时．是南（或北）在先，再说偏东（或偏西）3．钟表上有关角的问题(1)钟表上，相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如果与角度联系起来，每一小格对应6°；(2)秒针每分钟转过360°，分钟每分钟转过6°，时针每分钟转过0.5°．(3)时针与分针成一直线必须成180°的角，两针重合必须成0°的角，名题精讲考点1例1 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为_______个，最多为_______个．【切题技巧】可以通过画图来探求，先从简单情形、特殊情形考虑，再进行归纳，得出结论．①当平面内两两相交的6条直线相交于一点，此时交点的个数最少为1个，②当平面内两两相交的5条直线相交于一点，第6条直线与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为1＋5＝6个，③当平面内两两相交的4条直线相交于一点，第5条直线与前面的4条直线都相交，第6条直线再与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为1＋4＋5＝10个……，因此为使平面内两两相交的直线的交点个数最多，则要使任意两直线相交都产生新的交点，即任意两条直线相交都确定一个交点，且任意三条直线都不过同一点，于是可得交点数最多为：1＋2＋3＋4＋5＝()1552+⨯＝15(个)【规范解答】分别填1个，15个．(1)本例可进行如下推广：若平面内有两两相交的n条直线，其交点最少为1个，最多为1＋2＋3＋…＋（n＋1）＝12n（n－1）个交点；(2)一般地，平面内n条直线两两相交，且任意三条直线都不共点，那么这些直线将平面分成12（n＋1）n＋1个互不重叠的部分．(3)－般地，如果一条直线上有n个点，那么这条直线上的不同线段的条数为（n－1）＋（n－2）＋…＋2＋1＝12n（n－1）条；共有2n条不同的射线．【同类拓展】1．如图，数一数图中共有多少条不同的线段，多少条不同的射线？考点2线段长度的计算例2 如图C、D、E将线段AB分成2：3：4：5四部分，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，且MN＝42，求PQ的长．【切题技巧】先根据比例把AC、CD、DE、EB用含x的代数式表示，再利用线段的和差及线段的中点的意义可得到相应的方程，从而求得PQ的长．【规范解答】∴【借题发挥】几何问题本身是研究图形的性质和数量关系，准确地画出图形，能使问题中各个量之间的关系直观化．本题的分析要着眼于找出未知线段的联系，使未知向已知转化，求线段的长度要充分利用线段的和差与线段的中点、等分点的意义，其解题方法与途径不是唯一的，需要我们根据题意灵活运用不同方法解决实际问题．【同类拓展】2．已知三条线段a、b、c在同一条直线上，他们有共同的起点，a的终点是b的中点，c的中点是b的终点，且a＋b＋c＝7cm，求a、b、c的长．考点3角的个数及角的度数的计算例3 如图已知OA、OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．(1)若∠AOD＝70°，∠MON＝50°求∠BOC的大小；(2)若∠AOD＝α；∠MON＝β，求∠BOC的大小（用含α、β的式子表示）．利用角的平分线性质，角的和、差之间的转化，先找出∠AOD，∠MON与∠BOC之间的数量关系，为方便角的表示，可用含α、β的式子表示所求的角，也可设未知数，把几何问题代数化，通过整体变形、列方程，从而确定出角的大小．【规范解答】【借题发挥】(1)对于求角的度数的计算，通常有两种思路：一是根据各个量之间的关系，用已知量来表示未知量，直接求未知量；二是通过设辅助未知数，把几何问题代数化，根据图形中角的相等关系列方程或方程组，从而求解，应注意挖掘题目中的隐含的条件，适当转换．(2)一般地，同一平面内，在平角∠AOB的内部引以O为端点的（n－1）条射线，则图中共有：n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋3＋2＋1＝12n（n＋1）个小于平角的角．【同类拓展】3．如图，∠AOB＝100°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON＝_______．考点4钟表上有关的角度问题例4 时钟在下午4点至5点的什么时刻：(1)分针和时针重合？(2)分针和时针成一条直线？(3)分针和时针成45°角？【切题技巧】4点整时针已转过4大格，每大格30°，这时可看成时针在分针前面120°，若设所需时间为x分钟，则有6x－12x的值等于1200时，两针就重合；当时针与分针之间的角度为1200＋180°时两针成一条直线；当时针与分针之间的角度差等于120°－45°（时针在前）或120°＋45°（分针在前）时，两针成45°角．【规范解答】【借题发挥】钟表上时针和分钟问题实质是数学中的追及问题，钟面上有12大格，60小格，每个大格为30°的角，每个小格为6°的角．如果把单位时间内，分针和时针转过的度数当作是它们的“速度”，那么分针的速度为6°／分，时针的速度为0.5°／分，因此，分针速度是时针速度的12倍．在时针与分针的转动过程中，总是分针追及时针，然后超过时针又转化为追及时针，【同类拓展】4．王老师在活动课上为学生们讲数学故事，他发现故事开始时挂钟上的时针和分针恰好成90°角，这时是7点多；故事结束时两针恰好也是90°角，这时是8点多，他还发现，讲故事中，两针成90°角的有趣图形还出现过一次，求王老师讲故事所花的时间多少分？考点5与线段有关的实际问题例5摄制组从A市到B市有1天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃中饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息．司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米？【切题技巧】题目中所给条件只有路程，而没有给出时间与速度，所以可以画出线段表示各段路程，借助图形，思考它们之间的数量关系，从而利用形数结合思想解决问题．【规范解答】如图，设小镇为D，傍晚汽车E处休息，令AD＝x，则AC＝3x，DE＝400，CE＝400－2x ED＝12(400－2x)＝200－x，于是有：AB＝AC＋CE＋EB＝3x＋400－2x＋200－x＝600(km)答：A、B两市相距600千米，【借题发挥】利用“线段图”将实际问题转化为几何问题，借助图形，利用“形数结合”思想解决实际问题是数学竞赛中的常用方法，如：A、B、C、D、E、F六支足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没有与B队比赛的球队是哪支队？此题用算术或代数方法求解容易陷入困境，此时可考虑用6个点表示A、B、C、D、E、F 这6支足球队，若两队已赛过一场、就在相应的两个点之间连一条线，这样用“线段图”来辅助解题，形象直观，如图所示，则还没有与B队比赛的球队是E队．【同类拓展】5．某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30个，B区有15人，C区有10人，三个区在同一条直线上．位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在( )A．A区B．B区C．C区D．A、B两区之间参考答案1．(1)21(条)(2)14(条) 2．1cm，2cm，4cm．3．50°4．1小时零5511分钟．5．A。
2023年数学九年级第一轮复习-第四部分三角形–第一节线段、角、相交线、平行线说课稿一、引入在数学九年级的学习中，我们已经学习了许多重要的数学概念和知识，其中包括了三角形的基本概念和性质。
在本节课中，我们将进一步学习三角形中的线段、角、相交线和平行线的相关知识。
这些知识将有助于我们更深入地理解三角形的特性和性质，为后续的学习打下坚实的基础。
二、线段与角1. 线段的定义线段是由两个不同点A和B之间的所有点组成的集合，记作AB。
线段的长度用符号AB表示。
我们可以通过数轴或直尺来测量线段的长度。
2. 角的概念角是由两条射线共享一个端点所形成的图形。
角的大小可以用度数或弧度来度量。
我们通常使用角度符号∠ABC表示。
在本节课中，我们将主要学习如下几种特殊角：•锐角：角的度数小于90°。
•直角：角的度数等于90°。
•钝角：角的度数大于90°。
3. 角的特性在学习角的过程中，我们需要了解角的一些重要特性，包括：•角的顶点：角的两条边的交点称为角的顶点。
•角的边：角的两条射线称为角的边。
•角的内部：角的边所在的射线之间组成的部分称为角的内部。
三、相交线与平行线1. 相交线的定义相交线是指在一个平面内有共同一点的两条或多条线。
相交线相交于一个点称为交点。
2. 平行线的定义平行线是在一个平面内不相交且不相交延伸的两条直线。
平行线之间的距离是始终相等的，可以用符号||来表示平行关系。
3. 平行线的性质平行线具有一些重要的性质，包括：•平行线之间的对应角相等。
•平行线与横截线之间的对应角相等。
•平行线与锐角相交所得的对应角为锐角，平行线与钝角相交所得的对应角为钝角。
四、知识点总结通过本节课的学习，我们对线段、角、相交线和平行线有了更深入的理解。
以下是本节课的重点总结：1.线段是由两个不同点之间的所有点组成的集合。
2.角是由两条共享一个端点的射线所组成的图形。
3.角可以通过度数或弧度来度量，具有不同的分类。
第一讲线段、角的计算与证明问题【前言】中考的解答题一般是分两到三部分的。
第一部分基本上都是一些简单题或者中档题,目的在于考察基础。
第二部分往往就是开始拉分的中, 难题了。
大家研究今年的北京一模就会发现,第二部分,或者叫难度开始提上来的部分,基本上都是以线段,角的计算与证明开始的。
城乡 18个区县的一模题中, 有 11个区第二部分第一道题都是标准的梯形, 四边形中线段角的计算证明题。
剩下的 7个区县题则将线段角问题与旋转, 动态问题结合, 放在了更有难度的倒数第二道乃至压轴题当中。
可以说,线段角问题就是中考数学有难度题的排头兵。
对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数, 更重要的是对于整个做题过程中士气, 军心的影响。
在这个专题中,我们对各区县一模真题进行总结归纳 , 分析研究,来探究线段,角计算证明问题的解题思路。
第一部分真题精讲【例 1】 (2010,崇文,一模如图 , 梯形 ABCD 中 ,A DB C∥ ,9038BD CD BDC AD BC =∠===, °, , .求 AB 的长.【思路分析】线段,角的计算证明基本都是放在梯形中,利用三角形全等相似 , 直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。
所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解, 并且熟知梯形的辅助线做法。
这道题中未知的是 AB, 已知的是AD,BC 以及△ BDC 是等腰直角三角形 , 所以要把未知的 AB 也放在已知条件当中去考察 . 做 AE,DF 垂直于 BC, 则很轻易发现我们将 AB 带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中 . 于是有解如下.【解析】作 AE BC ⊥于 E DF BC ⊥, 于 F .DF ∥ AE ∴,AD BC ∴∥ , 四边形 AEFD 是矩形.3EF AD AE DF ∴===, .BD CD DF BC =⊥, , DF ∴是 BDC △的 BC 边上的中线. 19042BDC DF BC BF ∠=∴===°, . 4431AE BE BF EF ∴==-=-=, . 在 Rt ABE △中, 222AB AE BE =+AB ∴=【例 2】 (2010,海淀,一模已知:如图,在直角梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , 90DCB ∠=︒, AC BD ⊥于点 O , 2, 4DC BC ==,求 AD 的长 .DCB A【思路分析】这道题给出了梯形两对角线的关系 . 求梯形上底 . 对于这种对角线之间或者和其他线段角有特殊关系 (例如对角线平分某角的题 , 一般思路是将对角线提出来构造一个三角形 . 对于此题来说 , 直接将 AC 向右平移 , 构造一个以 D 为直角顶点的直角三角形 . 这样就将 AD 转化成了直角三角形中斜边被高分成的两条线段之一 , 而另一条线段 BC 是已知的 . 于是问题迎刃而解 .EDCBA【解析】过点 D 作 //DE AC 交 BC 的延长线于点 E . ∴ BDE BOC ∠=∠. ∵ AC BD ⊥于点 O , ∴ 90BOC ∠=︒. ∴ 90BDE ∠=︒. ∵ //AD BC ,∴四边形 ACED 为平行四边形 . ∴ AD CE =.∵ 90, 90BDE DCB ∠=︒∠=︒, ∴ 2DC BC CE =⋅. ∵ 2, 4DC BC ==, ∴ 1CE =. ∴ 1AD =此题还有许多别的解法,例如直接利用直角三角形的两个锐角互余关系,证明△ACD 和△ DBC 相似,从而利用比例关系直接求出 CD 。
有兴趣的考生可以多发散思维去研究。
【例 3】 (2010,东城,一模如图, 在梯形 ABCD 中, AD BC ∥ , 90B ∠=︒, =25AD BC =, , E 为 DC 中点, 4tan 3C =. 求 AE 的长度.EDCBA【思路分析】这道题是东城的解答题第二部分第一道,就是我们所谓提难度的门槛题。
乍看之下好象直接过 D 做垂线之类的方法不行 . 那该怎样做辅助线呢 ? 答案就隐藏在 E 是中点这个条件中 . 在梯形中 , 一腰中点是很特殊的 . 一方面中点本身是多对全等三角形的公共点 , 另一方面中点和其他底 , 腰的中点连线就是一些三角形的中线 , 利用中点的比例关系就可以将已知条件代入 . 比如这道题 , 过中点E 做 BC 的垂线 , 那么这条垂线与 AD 延长线 ,BC 就构成了两个全等的直角三角形 . 并且这两个直角三角形的一个锐角的正切值是已经给出的 . 于是得解 .FEMDCBA【解析】过点 E 作 BC 的垂线交于 BC 点 F ,交 AD 的延长线于点 M . 在梯形 ABCD 中, AD BC ∥ , E 是 DC 的中点, ∴ M MFC DE CE ∠=∠=,在M DE ∆和FCE ∆中, M MFCDEM CEF DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ MDE FCE ∆∆≌ . ∴ EF ME DM CF ==,∵ 25AD BC ==,,∴ 32DM CF ==. 在Rt FCE ∆中, 4tan 3EF C CF==, ∴ 2EF M E ==.在Rt AME ∆中, AE【总结】以上三道真题 , 都是在梯形中求线段长度的问题 . 这些问题一般都是要靠做出精妙的辅助线来解决 . 辅助线的总体思路就是将梯形拆分或者填充成矩形+三角形的组合 , 从而达到利用已知求未知的目的 . 一般来说 , 梯形的辅助线主要有以下 5类 :过一底的两端做另一底的垂线,拆梯形为两直角三角形 + 一矩形平移一腰,分梯形为平行四边形 + 三角形延长梯形两腰交于一点构造三角形平移对角线,转化为平行四边形 +三角形连接顶点与中点延长线交于另一底延长线构筑两个全等三角形或者过中点做底边垂线构筑两个全等的直角三角形以上五种方法就是梯形内线段问题的一般辅助线做法。
对于角度问题,其实思路也是一样的。
通过做辅助线使得已知角度通过平行, 全等方式转移到未知量附近。
之前三道例题主要是和线段有关的计算。
我们接下来看看和角度有关的计算与证明问题。
【例 4】 (2010,延庆,一模如图,在梯形 CD AB 中, AB DC ∥ , DB 平分 ADC ∠,过点 A 作 AE BD ∥ ,交CD 的延长线于点 E ,且 2C E ∠=∠, 30BDC ∠=︒, 3AD =,求 CD 的长.ABDE【思路分析】此题相对比较简单,不需要做辅助线就可以得出结果。
但是题目中给的条件都是此类角度问题的基本条件。
例如对角线平分某角, 然后有角度之间的关系。
面对这种题目还是需要将已知的角度关系理顺。
首先根据题目中条件,尤其是利用平行线这一条件, 可以得出 (见下图角 C 与角 1, 2, 3以及角 E 的关系。
于是一系列转化过后, 发现角 C=60度,即三角形 DBC 为 RT 三角形。
于是得解。
【解析】 :AB∵ AE BD ∥∴ 13∠=∠, 2∠=∠E ∵ 12∠=∠∴ 3∠=∠E∴ 32∠=∠+∠=∠ADC E E ∵ 2C E ∠=∠∴ 60∠=∠=︒ADC BCD ∴梯形 ABCD 是等腰梯形∴ 3==BC AD∵ 230∠=︒, 60∠=︒BCD ∴ 90∠=︒DBC 在 Rt DBC △中, ∵ 230∠=︒,3=BC ∴ 6=CD【例 5】 (2009,西城,一模已知:PA =4PB =,以 AB 为一边作正方形 ABCD ,使 P 、 D 两点落在直线 AB 的两侧 . 如图,当∠ APB=45°时,求 AB 及 PD 的长;【思路分析】这是去年西城一模的压轴题的第一小问。
如果线段角的计算出现在中间部分,往往意味着难度并不会太高。
但是一旦出现在压轴题,那么有的时候往往比函数题,方程题更为棘手。
这题求 AB 比较容易,过 A 做 BP 垂线,利用等腰直角三角形的性质,将△ APB 分成两个有很多已知量的 RT △。
但是求 PD 时候就很麻烦了。
PD 所在的三角形 PAD 是个钝角三角形,所以就需要我们将 PD 放在一个直角三角形中试试看。
构筑包含 PD 的直角三角形,最简单的就是过 P 做 DA 延长线的垂线交 DA 于 F , DF 交 PB 于 G 。
这样一来, 得到了△ PFA △ AGE 等多个 RT △。
于是与已求出的 AB 等量产生了关系,得解。
【解析】 :如图,作 AE ⊥ PB 于点 E . ∵△ APE 中,∠ APE=45°, PA =, ∴sin 1AE PA APE =⋅∠==,cos 1PE PA APE =⋅∠==. ∵ 4PB =,∴ 3BE PB PE =-=.在 Rt △ ABE 中,∠ AEB=90°, ∴AB =.如图,过点 P 作 AB 的平行线,与 DA 的延长线交于 F ,设 DA 的延长线交 PB 于G . 在 Rt △ AEG 中,可得cos cos AE AE AG EAG ABE ===∠∠,(这一步最难想到,利用直角三角形斜边高分成的两个小直角三角形的角度关系13EG =, 23PG PB BE EG =--=.在 Rt △ PFG中,可得 cos cos PF PG FPG PG ABE =⋅∠=⋅∠=, FG .【总结】由此我们可以看出,在涉及到角度的计算证明问题时,一般情况下都是要将已知角度通过平行, 垂直等关系过度给未知角度。
所以, 构建辅助线一般也是从这个思路出发, 利用一些特殊图形中的特殊角关系(例如上题中的直角三角形斜边高分三角形的角度关系以及借助特殊角的三角函数来达到求解的目的。
第二部分发散思考通过以上的一模真题,我们对线段角的相关问题解题思路有了一些认识。
接下来我们自己动手做一些题目。
希望考生先做题,没有思路了看分析,再没思路了再看答案。
【思考 1】如图,在梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , CD AB =.若 AC ⊥ BD ,AD+BC=310, 且︒=∠60ABC , 求 CD 的长. 【思路分析】前面我已经分析过,梯形问题无非也就那么几种辅助线的做法。
此题求腰,所以自然是先将腰放在某个 RT三角形中。
另外遇到对角线垂直这类问题,一般都是平移某一条对角线以构造更大的一个 RT 三角形,所以此题需要两条辅助线。
在这类问题中,辅助线的方式往往需要交叉运用,如果思想放不开,不敢多做,巧做,就不容易得出答案。
[解法见后文 ]【思考 2】如图,梯形 ABCD 中, AD//BC,∠ B=30°,∠ C=60°, E , M , F , N 分别是 AB , BC , CD , DA 的中点,已知 BC=7, MN=3,求 EF【思路分析】此题有一定难度,要求考生不仅掌握中位线的相关计算方法,也对三点共线提出了要求。
