高中数学选择性必修二 5 3 2函数的极值最大(小)值(无答案)同步培优专练

高中数学人教A 版（新教材）选择性必修第二册5.3.2第1课时 函数的极值一、选择题1．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．－x 0是－f (－x )的极小值点 B ．对任意x ∈R ，f (x )≤f (x 0) C ．－x 0是f (－x )的极小值点 D ．x 0是－f (x )的极大值点2．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(0，＋∞)C ．(0，1)D ．(－1，0)3．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示则( )A ．12为f (x )的极大值点B ．－2为f (x )的极大值点C ．2为f (x )的极大值点D ．45为f (x )的极小值点4．当x ＝1时，三次函数有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( ) A ．y ＝x 3＋6x 2＋9x B ．y ＝x 3－6x 2＋9x C ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9x5．已知a 为常数，函数f (x )＝x ln x －ax 2＋x 有两个极值点，则实数a 的取值范围为( ) A ．⎝⎛⎭⎫0，e2 B ．(0，e) C ．⎝⎛⎭⎫e 2，eD ．⎝⎛⎭⎫e 2，e 26．(多选题)定义在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是( )A ．－3是f (x )的一个极小值点B ．－2和－1都是f (x )的极大值点C ．f (x )的单调递增区间是(－3，＋∞)D ．f (x )的单调递减区间是(－∞，－3)7．(多选题)若函数f (x )＝x 3＋2x 2＋a 2x －1有两个极值点，则a 的值可以为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题8．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 无极值，则实数c 的取值范围为________．9．若可导函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f ′(1)＝________，1是函数f (x )的________值．10．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．11．已知函数f (x )＝(x 2－mx －m )e x ＋2m (m ∈R ，e 是自然对数的底数)在x ＝0处取得极小值，则m ＝________，这时f (x )的极大值是________．12．已知函数f (x )＝x e 2x －1，则函数f (x )的极小值为________，零点有________个． 三、解答题13．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －1，曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝－8x ＋1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)求y ＝f (x )在区间(－1，4)上的极值．14．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由． 15．已知函数f (x )＝2x 2－kx ＋ke x (k ∈R )．(1)k 为何值时，函数f (x )无极值？(2)试确定k 的值，使f (x )的极小值为0.参考答案一、选择题 1．答案：A答案：对于A ，函数－f (－x )与函数f (x )的图象关于原点对称，因此－x 0是－f (－x )的极小值点；对于B ，极值是一个局部性概念，因此不能确定在整个定义域上f (x 0)是否最大；对于C ，函数f (－x )与函数f (x )的图象关于y 轴对称，因此－x 0是f (－x )的极大值点；对于D ，函数f (x )与函数－f (x )的图象关于x 轴对称，因此x 0是－f (x )的极小值点，故D 错误． 2．答案：D解析：∵f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若a <－1，∴f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，－1)上单调递增，∴f (x )在x ＝a 处取得极小值，与题意不符；若－1<a <0，则f (x )在(－1，a )上单调递增，在(a ，＋∞)上单调递减，从而在x ＝a 处取得极大值，符合题意；若a >0，则f (x )在(－1，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D. 3．答案：A解析：对于A 选项，当－2＜x ＜12时，f ′(x )＞0，当12＜x ＜2时，f ′(x )＜0，12为f (x )的极大值点，A 选项正确； 对于B 选项，当x ＜－2时，f ′(x )＜0，当－2＜x ＜12时，f ′(x )＞0，－2为f (x )的极小值点，B 选项错误；对于C 选项，当12＜x ＜2时，f ′(x )＜0，当x ＞2时，f ′(x )＞0，2为f (x )的极小值点，C 选项错误；对于D 选项，由于函数y ＝f (x )为可导函数，且f ′⎝⎛⎭⎫45＜0，45不是f (x )的极值点，D 选项错误． 故选A. 4．答案：B解析：∵三次函数过原点，故可设为y ＝x 3＋bx 2＋cx ，∴y ′＝3x 2＋2bx ＋c . 又x ＝1，3是y ′＝0的两个根，∴⎩⎨⎧1＋3＝－2b 3，1×3＝c3，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6，c ＝9，∴y ＝x 3－6x 2＋9x ， 又y ′＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，∴当x ＝1时，f (x )极大值＝4 ， 当x ＝3时，f (x )极小值＝0，满足条件，故选B.] 5．答案：A解析：[f ′(x )＝ln x ＋2－2ax ，函数f (x )有两个极值点，则f ′(x )有两个零点，即函数y ＝ln x 与函数y ＝2ax －2的图象有两个交点，当两函数图象相切时，设切点为(x 0，y 0)，对函数y＝ln x 求导(ln x )′＝1x ，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝ln x 0，y 0＝2ax 0－2，1x 0＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－1，x 0＝1e ，a ＝e 2，要使函数图象有两个交点，则0＜2a ＜e ，即0＜a ＜e2.故选A.]6．答案：ACD解析：当x ＜－3时，f ′(x )＜0，x ∈(－3，＋∞)时f ′(x )≥0，∴－3是极小值点，无极大值点，增区间是(－3，＋∞)，减区间是(－∞，－3)．故选ACD. 7．答案：AB解析：∵f (x )＝x 3＋2x 2＋a 2x －1，∴f ′(x )＝3x 2＋4x ＋a 2.∵函数f (x )＝x 3＋2x 2＋a 2x －1有两个极值点，则f ′(x )＝3x 2＋4x ＋a 2与x 轴有两个交点， 即Δ＝42－4×3×a 2＞0解得－233＜a ＜233，故满足条件的有AB.故选AB.二、填空题8．答案：⎣⎡⎭⎫14，＋∞解析：∵f ′(x )＝x 2－x ＋c ，要使f (x )无极值，则方程f ′(x )＝x 2－x ＋c ＝0没有变号的实数解，从而Δ＝1－4c ≤0，∴c ≥14.9．答案：0 极大解析：[由题意可知，当x ＜1时，f ′(x )＞0，当x ＞1时，f ′(x )＜0， ∴f ′(1)＝0，1是函数f (x )的极大值．] 10．答案：4解析：求导得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝2取得极值， 所以f ′(2)＝3·22＋6a ·2＋3b ＝0，即4a ＋b ＋4＝0. ① 又因为图象在x ＝1处的切线与直线6x ＋2y ＋5＝0平行， 所以f ′(1)＝3＋6a ＋3b ＝－3，即2a ＋b ＋2＝0， ②联立①②可得a ＝－1，b ＝0，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)． 当f ′(x )＞0时，x ＜0或x ＞2；当f ′(x )＜0时，0＜x ＜2，∴函数的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，函数的单调减区间是(0，2)， 因此求出函数的极大值为f (0)＝0＋c ，极小值为f (2)＝－4＋c ， 故函数的极大值与极小值的差为0－(－4)＝4，故答案为4. 11．答案：0 4e －2解析：由题意知f ′(x )＝[x 2＋(2－m )x －2m ]e x ，由f ′(0)＝－2m ＝0，解得m ＝0， 则f (x )＝x 2e x ，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－2，故函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调递减区间是(－2，0)， 所以函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，且有f (－2)＝4e －2. 12．答案：－12e－1 1解析：∵f (x )＝x e 2x －1，f ′(x )＝e 2x ＋2x e 2x ＝(1＋2x )e 2x ， 令f ′(x )＝0，可得x ＝－12，如下表所示：所以，函数y ＝f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12e －1，f (x )＝0⇒e 2x ＝1x， 则函数y ＝f (x )的零点个数等于函数y ＝e 2x 与函数y ＝1x的图象的交点个数，如图所示：两个函数的图象有且只有一个交点，即函数y ＝f (x )只有一个零点． 三、解答题13．解： (1)因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程的斜率k ＝f ′(x )|x ＝1＝f ′(1)＝3＋2a ＋b . 又因为k ＝－8，所以2a ＋b ＝－11. ① 又因为f (1)＝1＋a ＋b －1＝－8×1＋1， 所以a ＋b ＝－7， ②联立①②解得a ＝－4，b ＝－3. 所以f (x )＝x 3－4x 2－3x －1.(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2－8x －3＝3⎝⎛⎭⎫x ＋13(x －3)， 令f ′(x )＝0得，x 1＝－13，x 2＝3.当－1＜x ＜－13，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当－13≤x ＜3，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当3≤x ＜4，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )在区间(－1，4)上的极小值为f (3)＝－19，极大值为f ⎝⎛⎭⎫－13＝－1327. 14．解： f ′(x )＝3ax 2 ＋2bx ＋c ， (1)法一：∵x ＝±1是函数的极值点， ∴x ＝±1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系知⎩⎨⎧－2b3a＝0， ①c3a ＝－1， ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1， ③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.法二：由f ′(1)＝f ′(－1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0， ① 3a －2b ＋c ＝0， ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1， ③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x ＜－1或x ＞1时f ′(x )＞0，当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0.∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数． ∴当x ＝－1时，函数取得极大值，x ＝－1为极大值点； 当x ＝1时，函数取得极小值，x ＝1为极小值点．15．解： (1)∵f (x )＝2x 2－kx ＋k e x ，∴f ′(x )＝－2x 2＋(k ＋4)x －2ke x .要使f (x )无极值，只需f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立即可． 设g (x )＝－2x 2＋(k ＋4)x －2k ，∵e x ＞0，∴f ′(x )与g (x )同号． ∵g (x )的二次项系数为－2，∴只能满足g (x )≤0恒成立，∴Δ＝(k ＋4)2－16k ＝(k －4)2≤0，解得k ＝4，∴当k ＝4时，f (x )无极值． (2)由(1)知k ≠4，令f ′(x )＝0，得x 1＝2，x 2＝k2.①当k2＜2，即k ＜4时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由题意知f ⎝⎛⎭⎫k 2＝0，可得2·⎝⎛⎭⎫k 22－k ·k 2＋k ＝0，∴k ＝0，满足k ＜4. ②当k2＞2，即k ＞4时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由题意知f (2)＝0，可得2×22－2k ＋k ＝0，∴k ＝8，满足k ＞4. 综上，当k ＝0或k ＝8时，f (x )有极小值0.高一下数学作业030平面与平面平行姓名: _________班级: _________考号: _________客观题（1~4为单选题；5~6为多选题）1.已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是（ ） A .平面α内有一条直线与平面B 平行B .平面α内有两条直线与平面β平行C .平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D .平面α与平面β不相交2.已知a ，b ，c ，d 是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a ∥b ∥c ∥d ，a ⊂α，b ⊂α， c ⊂β，d ⊂β，则α与β的位置关系是（ ） A .平行B .相交C .平行或相交D .以上都不对3.已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C 两点，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D 两点，且P A = 6，AC = 9，PD = 8，则BD 的长为（ ） A .16B .24或524C .14D .204.如图，在多面体ABC - DEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，EF ∥DG ， 且AB = DE ，DG = 2EF ，则（ ） A .BF ∥平面ACGDB .CF ∥平面ABEDC .BC ∥FGD .平面ABED ∥平面CGF5.（多选）设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线， 下列各条件，可以判断α∥β的是（ ） A .l ⊂α，m ⊂α，且l ∥β，m ∥β，l ，m 交于一点 B .l ⊂α，m ⊂β，且l ∥β，m ∥α C .l ∥α，m ∥β，且l ∥mD .l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β，且l ，m 互为异面直线6.（多选）正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别是A 1B 1，B 1C 1，BB 1的中点，则（）A .FG ∥平面 AA 1D 1DB .EF ∥平面BC 1D 1 C .FG ∥平面BC 1D 1D .平面EFG ∥平面BC 1D 1填空题7.已知A ，B 两点是平面α外两点，则过A ，B 与α平行的平面有_________个。

5.3.2 函数的极值与最大(小)值(精练)【题组一 极值(点)】1．(2021·全国高二课时练习)下列函数中存在极值的是( )A ．1y x =B ．e x y x =-C ．2y =D ．3y x =2．(2021·全国高二课时练习)函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e)上的极大值为( )A ．－eB ．1－eC ．－1D ．02．(2021·全国高二单元测试)已知函数()f x 的定义域为(,)a b ，导函数()f x '在区间(,)a b 上的图象如图所示，则函数()f x 在区间(,)a b 上的极大值点的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．13．(2021·全国高二课时练习)设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．4．(2021·全国高二课前预习)函数321()363f x x x x =--+的极大值为________，极小值为________.5(2021·全国高二课时练习)求下列函数的极值：(1)()e x f x x -=；(2)()2221x g x x =-+．【题组二 已知极值(点)求参数】1．(2021·全国高二课时练习)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝1a 处有极值，则ac ＋2b 的值为( )A ．－3B ．0C ．1D ．32(2021·全国高二单元测试)函数321()213f x x ax x =+-+在()1,3x ∈内存在极值点，则( ) A ．7162a -≤≤ B ．7162a -<< C ．12a ≤-或12a ≥ D ．12a <或12a >3．(2021·安徽金安·六安一中高二月考(理))若0a >，0b >，且函数()32422f x x ax bx =--+在1x =处取得极值，则ab 的最大值为( )A ．9B ．6C ．3D ．24．(2021·全国高二课时练习)已知函数2()()e ()x f x x mx m m R =--∈在0x =处取得极小值，则m =________，()f x 的极大值是_______.5．(2021·全国高二课时练习)若f (x )＝e x －kx 的极小值为0，则k ＝________．6．(2021·全国高二专题练习)若函数()331f x x ax =-+在区间()0,1内有极小值，则a 的取值范围为________．7．(2021·全国)若函数()2ln 21y x ax a x =+-+，0a >在1x =处取得极小值，则实数a 的取值范围是______．8．(2021·全国)已知函数()1ln x f x x +=在区间()2,03a a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭上存在极值，则实数a 的取值范围是______．9．(2021·全国)若函数()()3213532a f x x x a x =-+-++在定义域内无极值，则实数a 的取值范围为______．10(2021·全国高二课时练习)函数f (x )＝ax －1－ln x (a ≤0)在定义域内的极值点的个数为________.11．(2021·全国高二课时练习)已知a 为实数，函数3()3f x x x a =-++.(1)求函数f (x )的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a 为何值时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根？12．(2021·全国高二课时练习)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值.13．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，当实数a ≠23时，求函数f (x )的单调区间与极值.14．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1.(1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.【题组三 最值】1．(2021·全国高二课时练习)函数()1f x x =，(]0,5x ∈的最小值为( )A ．2B ．3C ．174D ．122．(2021·全国高二课时练习)函数()()()212f x x x =--在[]0,3上的最小值为( ) A ．8-B ．4-C ．0D ．4273．(2021·全国高二课前预习)函数321()363f x x x x =--+在[]4,4-上的最大值为________，最小值为________.4．(2021·全国)求下列函数的最值：(1)32()362f x x x x =-+-，[]1,1x ∈-；(2)()241x f x x =+，2,2x ； (3)()1ln x f x x x -=+，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．5．(2021·全国)求下列函数的最值：(1)()3232,[1,1]f x x x x =--∈-； (2)()241x f x x =+，[]2,2x ∈-； (3)()1ln x f x x x -=+，1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦．【题组四 已知最值求参数】1．(2021·全国)若函数()32231,0e ,0ax x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩在[]22-,上的最大值为2，则实数a 的取值范围是( ) A ．1ln 2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．10,ln 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(],0-∞D ．1,ln 22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦2．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1，1]，则f (m )的最小值为________.3(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )＝ln x ＋a x ，若函数f (x )在[1，e ]上的最小值是32，求a 的值．4(2021·全国高二课时练习)设函数()()212ln f x x k x =++.(1)若2k =-，求函数的递减区间；(2)当0k >时，记函数()()g x f x '=，求函数()g x 在区间(]0,2上的最小值．5．(2021·全国高二课时练习)已知函数32()39f x x x x c =--+，当x ∈[－2，6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围．6．(2021·全国高二课时练习)已知h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1在区间[k ，2]上的最大值是28，求k 的取值范围．7．(2021·全国高二单元测试)已知函数()3212232a f x x x ax +=++. (1)当2a =时，求过坐标原点且与函数()f x 的图象相切的直线方程；(2)当()0,2a ∈时，求函数()f x 在[]2,a a -上的最大值.8．(2021·全国高二课时练习)函数()()()2ln 2f x x ax a x a =-+-∈R ，求函数()f x 在区间2,a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值．【题组五 极值最值综合运用 】1．(2021·临海市西湖双语实验学校)若不等式2ln ax x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭2．(2021·福建省宁化第一中学高二期中)(多选)已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列选项中正确的是( )A ．1x =是函数()f x 的极值点B ．()f x 在区间(2,3)-上单调递减C ．函数()f x 在1x =-处取得极小值D ．()f x 的图象在0x =处的切线斜率小于零3．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )＝－23x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数()'f x 的最大值为5，则在函数f (x )图象上的点(1，f (1))处的切线方程是________.4．(2021·全国高二课时练习)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象上一点P (1,0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围.5．(2021·全国高二课时练习)已知函数()32f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =处都取得极值． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意[]1,2x ∈-，不等式()2f x c <恒成立，求实数c 的取值范围．6．(2021·西藏日喀则区南木林高级中学高二期末(理))已知函数21()(1)ln 12f x x a x a x =-+++． (I)若3x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间；(II)求a 的范围，使得()1f x ≥恒成立．7．(2021·全国)设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，(1)若对任意的x ∈[0，3]，都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围；(2)若对任意的x ∈(0，3)，都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围．8．(2021·全国高二专题练习)设函数3()65f x x x =-+，x ∈R .(1)求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若函数()y f x =的图象与函数y a =的图象恰有三个不同的交点，求实数a 的取值范围．9(2021·全国高二专题练习)已知2()2ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值．(1)求实数a 的值．(2)若关于x 的方程()0f x b +=的区间[1,1]-上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围．。

十八 函数的最大(小)值(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共30分) 1．函数y ＝xe x 在[0，2]上的最大值是( ) A ．当x ＝1时，y ＝1e B ．当x ＝2时，y ＝2e 2 C ．当x ＝0时，y ＝0D ．当x ＝12 时，y ＝12e【解析】选A.因为y′＝1－xe x ，所以当y′＝0时，x ＝1.又因为当0<x<1时，y′>0，当1<x<2时，y′<0，所以x ＝1是y ＝xe x 的极大值点， 所以在[0，2]上y max ＝1e .2．函数f(x)＝2x ＋1x ，x ∈(0，5]的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．174 D ．2 2 ＋12【解析】选B.由f′(x)＝1x －1x 2 ＝x 32－1x 2 ＝0，得x ＝1，且x ∈(0，1)时，f′(x)<0；x ∈(1，5]时，f′(x)>0，所以x ＝1时，f(x)最小，最小值为f(1)＝3.3．若函数y ＝x 3＋32 x 2＋m 在[－2，1]上的最大值为92 ，则m 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．52【解题指南】先求出函数y ＝x 3＋32 x 2＋m 在[－2，1]上的最大值，再依据题设条件可得到关于m 的方程，解方程即得出m 的值. 【解析】选C.y′＝⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋32x 2＋m ′＝3x 2＋3x ＝3x(x ＋1). 由y′＝0，得x ＝0或x ＝－1. 因为f(0)＝m ，f(－1)＝m ＋12 .f(1)＝m ＋52 ，f(－2)＝－8＋6＋m ＝m －2， 所以f(1)＝m ＋52 最大．所以m ＋52 ＝92 .所以m ＝2.4．当函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上取得最大值时，x 的值为( )A ．0B ．π6C ．π3D ．π2 【解析】选B.y′＝(x ＋2cos x)′＝1－2sin x.令x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6 时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 时， f′(x)≤0，f(x)单调递减，所以x ＝π6 时，取得最大值．5．设函数f(x)＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈(0，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．a ＞4B ．a≥4C ．a ＜4D ．a≤4 【解析】选B.因为x ∈(0，1]， 所以f(x)≥0，可化为a≥3x 2 －1x 3 ，设g(x)＝3x 2 －1x 3 ，则g′(x)＝3（1－2x ）x 4 . 令g′(x)＝0，得x ＝12 . 当0＜x ＜12 时，g′(x)＞0； 当12 ＜x≤1时，g′(x)＜0.所以g(x)在(0，1]上有极大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝4，它也是最大值，故a≥4.6．已知函数f(x)＝ln x ＋（x －b ）2x(b ∈R )，若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 ，使得f(x)>－xf′(x)，则实数b 的取值范围是( ) A ．(－∞， 2 ) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 C ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，94 D ．(－∞，3)【解析】选C.由f(x)>－xf′(x)，得(xf(x))′>0，所以若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 ，使得f(x)>－xf′(x)，则1x ＋2(x －b)>0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 上有解，即b<12x ＋x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 上有解．令g(x)＝12x ＋x ，则原不等式等价于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 ，b<g(x)max ，而利用导数求函数最值，可得g(x)max ＝14 ＋2＝94 ，故b<94 . 二、填空题(每小题5分，共10分)7．函数f(x)＝sin x ＋cos x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 时的最大值，最小值分别是________.【解析】f′(x)＝cos x －sin x ，令f′(x)＝0，即tan x ＝1，而x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 ，所以x＝π4 .又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝ 2 ，f ⎝⎛⎭⎪⎫－π2 ＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＝1，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 时，函数的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝ 2 ，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2 ＝－1. 答案： 2 ，－18．设函数f(x)＝x 3－3x ＋1，x ∈[－2，2]的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．【解析】由f(x)＝x 3－3x ＋1，得f′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－2， －1)∪(1，2)时，f′(x)＞0，当x ∈(－1，1)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)的单调递增区间为(－2，－1)，(1，2)，单调递减区间为(－1，1)，所以当x ＝－1时，f(x)有极大值3，当x ＝1时，f(x)有极小值－1. 又f(－2)＝－1，f(2)＝3，则M ＋m ＝3－1＝2. 答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知函数f(x)＝1－x x ＋ln x ，求f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 上的最大值和最小值．【解析】f′(x)＝－x －（1－x ）x 2＋1x ＝x －1x 2 . 由f′(x)＝0，得x ＝1.所以在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 上，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 －f(2)＝32 －2ln 2＝12 (ln e 3－ln 16)，而e 3>16，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 >f(2)>0.所以f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝1－ln 2，最小值为0. 10．已知a 是实数，函数f(x)＝x 2(x －a).(1)若f′(1)＝3，求a 的值及曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求f(x)在区间[0，2]上的最大值． 【解析】(1)f′(x)＝3x 2－2ax. 因为f′(1)＝3－2a ＝3，所以a ＝0.又当a ＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，所以曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x －y －2＝0. (2)令f′(x)＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a3 .当2a 3 ≤0，即a≤0时，f(x)在[0，2]上单调递增，从而f(x)max ＝f(2)＝8－4a.当2a 3 ≥2，即a≥3时，f(x)在[0，2]上单调递减，从而f(x)max ＝f(0)＝0. 当0<2a3 <2，即0<a<3时，f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2 上单调递增，从而f(x)max ＝⎩⎨⎧8－4a ，0<a≤2，0，2<a<3，综上所述，f(x)max ＝⎩⎨⎧8－4a ，a≤2，0，a>2.(35分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若函数f(x)＝x 3－6bx ＋3b 在(0，1)内有最小值，则实数b 的取值范围为( ) A ．(0，1) B ．(－∞，1) C ．(0，＋∞) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 【解析】选D.由题意得函数f(x)＝x 3－6bx ＋3b 的导函数f′(x)＝3x 2－6b 在(0，1)内有零点，且f′(0)<0，f′(1)>0，即－6b<0，且3－6b>0，所以0<b<12 .2．函数f(x)＝x 3－3x －1，若对于区间[－3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0【解析】选A.因为f′(x)＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f′(x)＝0，得x ＝±1，所以－1，1为函数的极值点．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1， 所以在区间[－3，2]上f(x)max ＝1，f(x)min ＝－19. 又由题设知在区间[－3，2]上f(x)max －f(x)min ≤t ， 从而t≥20，所以t 的最小值是20.3．(2021·漳州高二检测)已知函数f(x)＝e x ＋e －x ，给出以下结论：(1)f(x)是偶函数；(2)f(x)的最大值为2；(3)当f(x)取到最小值时对应的x＝0；(4)f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．其中正确的结论是() A．(1)(2) B．(1)(2)(4) C．(1)(3) D．(1)(4)【解析】选C.因为函数f(x)＝e x＋e－x，x∈R，所以f(－x)＝e－x＋e x＝f(x)，所以函数f(x)是R上的偶函数，故(1)正确；因为f′(x)＝e x－e－x＝e x－1e x＝（e x）2－1e x，令f′(x)＝0得，e x＝1，x＝0，所以当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，且f(0)＝2，画出函数f(x)的大致图象，如图所示：所以函数f(x)的最小值为2，故(2)错误，(3)正确，(4)错误．4．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为()A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)【解析】选A.令u(x)＝f(x)－g(x)，则u′(x)＝f′(x)－g′(x)＜0，所以u(x)在[a，b]上为减函数，所以u(x)的最大值为u(a)＝f(a)－g(a).二、填空题(每小题5分，共20分)5．函数f(x)＝ax3＋2ax＋1在区间[－3，2]上有最大值4，则实数a＝________. 【解析】f′(x)＝3ax2＋2a＝a(3x2＋2).当a>0时，f′(x)>0，所以f(x)max ＝f(2)＝8a ＋4a ＋1＝4，解得a ＝14 ； 当a<0时，f′(x)<0，所以f(x)max ＝f(－3)＝－27a －6a ＋1＝4，解得a ＝－111 . 答案：14 或－1116．当x ∈[－1，1]时，函数f(x)＝x 2e x 的值域是________． 【解析】由f′(x)＝2xe x －x 2e x （e x ）2＝2x －x 2e x ＝0， 得x ＝0或2(应舍去)，f(－1)＝e ，f(0)＝0，f(1)＝1e ，所以f(x)的值域为[0，e]. 答案：[0，e]7．当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R . 当x ∈(0，1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a≥x 2－4x －3x 3， 所以a≥⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 2－4x －3x 3max . 设φ(x)＝x 2－4x －3x 3，x ∈(0，1]. φ′(x)＝（2x －4）x 3－（x 2－4x －3）3x 2x 6 ＝－x 2－8x －9x 4 ＝－（x －9）（x ＋1）x 4 >0， 所以φ(x)在(0，1]上递增，φ(x)max ＝φ(1)＝－6，所以a≥－6.当x ∈[－2，0)时，a≤x 2－4x －3x 3， 所以a≤⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 2－4x －3x 3min . 仍设φ(x)＝x 2－4x －3x 3 ，x ∈[－2，0). φ′(x)＝－（x －9）（x ＋1）x 4 . 当x ∈[－2，－1)时，φ′(x)<0， 当x ∈(－1，0)时，φ′(x)>0.所以当x ＝－1时，φ(x)有极小值，即为最小值． 而φ(x)min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1 ＝－2，所以a≤－2.综上知－6≤a≤－2. 答案：[－6，－2]8．若函数f(x)＝ax sin x －32 (a ∈R )，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上的最大值为π－32 ，则实数a 的值为______．【解析】由已知得f′(x)＝a(sin x ＋x cos x)， 对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 ，有sin x ＋x cos x ＞0，当a ＝0时，f(x)＝－32 ，不符合题意， 当a ＜0时，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上，f′(x)＜0，从而f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上单调递减，所以f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上的最大值为f(0)＝－32 ，不符合题意，当a ＞0时，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上，f′(x)＞0，从而f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上单调递增，所以f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＝π2 a －32 ＝π－32 ，解得a ＝1.答案：1三、解答题(每小题10分，共30分)9．已知函数f(x)＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．【解析】由题设知a≠0，否则f(x)＝b 为常函数，与题设矛盾． 求导得f′(x)＝3ax 2－12ax ＝3ax(x －4)， 令f′(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去).(1)当a>0，且x 变化时f′(x)，f(x)的变化情况如表：由表可知，当x ＝0时，f(x)取得极大值b ，也就是函数在[－1，2]上的最大值，所以f(0)＝b ＝3.又f(－1)＝－7a ＋3，f(2)＝－16a ＋3<f(－1)， 所以f(2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.(2)当a<0时，同理可得，当x ＝0时，f(x)取得极小值b ，也就是函数在[－1，2]上的最小值，所以f(0)＝b ＝－29.又f(－1)＝－7a －29，f(2)＝－16a －29>f(－1)，所以f(2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2.综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.10．已知函数f(x)＝x 3－ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R )，(1)若函数f(x)在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2，6]时，f(x)<2|c|恒成立，求c 的取值范围．【解析】(1)f′(x)＝3x 2－2ax ＋b.因为函数f(x)在x ＝－1和x ＝3处取得极值，所以－1，3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根．所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝2a 3，－1×3＝b 3， 所以⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－9.(2)由(1)知f(x)＝x 3－3x 2－9x ＋c ，f′(x)＝3x 2－6x －9.当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：而f(－2)＝c －2，f(6)＝c ＋54，所以当x ∈[－2，6]时，f(x)的最大值为c ＋54，要使f(x)<2|c|恒成立，只要c ＋54<2|c|即可，当c≥0时，c ＋54<2c ，所以c>54；当c<0时，c ＋54<－2c ，所以c<－18， 故c 的取值范围为(－∞，－18)∪(54，＋∞).11．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ae x －ln x －1.(1)设x ＝2是f(x)的极值点．求a ，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a≥1e 时，f(x)≥0.【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝ae x－1x . 由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2 .从而f(x)＝12e 2 e x －ln x －1，f ′(x)＝12e 2 e x －1x .当0<x<2时，f ′(x)<0；当x>2时，f ′(x)>0.所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．(2)当a≥1e 时，f(x)≥e x e －ln x －1.设g(x)＝e x e －ln x －1，则g′(x)＝e x e －1x .当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0.所以x ＝1是g(x)的最小值点．故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.因此，当时a≥1e 时，f(x)≥0.。

第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大(小)值第2课时函数的最大(小)值课后篇巩固提升基础达标练1.(2019湖南高三期末)函数y=2x3-3x2-12x+5在[-2,1]上的最大值、最小值分别是()A.12,-15B.1,-8C.5,-16D.12,-8y=2x3-3x2-12x+5,得y'=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),令y'=0,解方程可得x1=-1,x2=2,列表如下.由表格可知,函数y=2x3-3x2-12x+5在[-2,1]上的最大值为12,最小值为-8,故选D.2.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6 h 到9 h,车辆通过该市某一路段的用时y (min)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用如下函数表示:y=-18t 3-34t 2+36t-6294.则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是( ) A.6 h B.7 hC.8 hD.9 h,得y'=-38t 2-32t+36=-38(t+12)(t-8).令y'=0得t=-12(舍去)或t=8.当6≤t<8时,y'>0;当8<t ≤9时,y'<0,所以当 t=8时,y 有最大值,即此时刻通过该路段用时最多.3.(2020合肥第二中学高三月考)已知函数f (x )=13x 3+12x 2-2x+1,若函数f (x )在(2a ,a 2-3)上存在最小值,则a 的取值范围是( )A.12,2 B.12,2C.(-1,3)D.-74,-2f (x )=13x 3+12x 2-2x+1,可得f'(x )=x 2+x-2,令f'(x )>0,解得x ∈(-∞,-2)∪(1,+∞),令f'(x )<0,解得x ∈(-2,1),故f (x )在x=1时取得极小值.极小值f (1)=-16,由f (x )=-16,得(x-1)(2x 2+5x-7)=0,解得x 1=1,x 2=-72,又因为函数f (x )在(2a ,a 2-3)上存在最小值,故可得-72≤2a<1<a 2-3,解得-74≤a<-2.故选D .4.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为p 元,销售量为Q 件,则销售量Q 与零售价p 有如下关系:Q=8 300-170p-p 2.则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)( ) A.30元 B.60元 C.28 000元D.23 000元L (p ),由题意知L (p )=Q (p-20)=(8 300-170p-p 2)(p-20) =-p 3-150p 2+11 700p-166 000, 所以L'(p )=-3p 2-300p+11 700. 令L'(p )=0,解得p=30或p=-130(舍去). 此时,L (30)=23 000.因为在p=30附近的左侧L'(p )>0,右侧L'(p )<0,所以L (30)是极大值,根据实际问题的意义知,L (30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23 000元.5.(多选)(2019山东高三月考)若函数f (x )=2x 3-ax 2(a<0)在a 2,a+63上有最大值,则a 的取值可能为( )A.-6B.-5C.-4D.-3解析令f'(x )=2x (3x-a ),得x 1=0,x 2=a 3(a<0),当a 3<x<0时,f'(x )<0;当x<a 3或x>0时,f'(x )>0,则f (x )的增区间为-∞,a3,(0,+∞),减区间为a3,0,从而f (x )在x=a3处取得极大值f a3=-a 327,由f (x )=-a 327,得(x -a3)22x+a3=0,解得x=a3或x=-a6,又f (x )在a 2,a+63上有最大值,所以a 3<a+63≤-a6,即a ≤-4,故选ABC.6.函数y=x+12x 2(x>0)的最小值为 .1+12×(-2)×1x 3=1-1x 3=x 3-1x 3=(x -1)(x 2+x+1)x 3, 所以当x>1时,y'>0,当0<x<1时,y'<0,所以函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数在x=1处取得最小值,最小值为1+12=32,故答案是32.7.函数f (x )=ax 4-4ax 3+b (a>0),x ∈[1,4],f (x )的最大值为3,最小值为-6,则a+b= .(x )=4ax 3-12ax 2.令f'(x )=0,得x=0(舍去)或x=3.当1<x<3时,f'(x )<0,当3<x<4时,f'(x )>0,故x=3为极小值点.因为f (3)=b-27a ,f (1)=b-3a ,f (4)=b ,所以f (x )的最小值为f (3)=b-27a ,最大值为f (4)=b.所以{b =3,b -27a =-6,解得{a =13,b =3,故a+b=103.8.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使水桶的体积是27π,且用料最省,则水桶的底面半径为 ,最小表面积为 .S ,底面半径为r (r>0),则水桶的高为27r2,所以S=πr 2+2πr×27r2=πr 2+54πr (r>0),S'=2πr-54πr2,令S'=0,解得r=3.当0<r<3时,S'<0;当r>3时,S'>0,所以当r=3时,圆柱形水桶的表面积最小,即用料最省.∴S min =π×32+54π3=9π+18π=27π.27π9.设函数f (x )=ln(2x+3)+x 2. (1)讨论f (x )的单调性;(2)求f (x )在区间-34,14上的最大值和最小值.解(1)易知f (x )的定义域为-32,+∞.f'(x )=22x+3+2x=4x 2+6x+22x+3=2(2x+1)(x+1)2x+3.当-32<x<-1时,f'(x )>0;当-1<x<-12时,f'(x )<0;当x>-12时,f'(x )>0,从而f (x )在区间-32,-1和 -12,+∞上单调递增,在区间-1,-12上单调递减.(2)由(1)知f (x )在区间-34,14上的最小值为f -12=ln 2+14.又因为f -34-f 14=ln 32+916-ln 72−116=ln 37+12=121-ln 499<0,所以f (x )在区间-34,14上的最大值为f 14=ln 72+116.能力提升练1.已知函数f (x )=-x 3+ax 2-4在x=2处取得极值,若m ,n 均属于[-1,1],则f (m )+f'(n )的最小值是( ) A.-13B.-15C.10D.15f (x )求导得f'(x )=-3x 2+2ax ,由函数f (x )在x=2处取得极值知f'(2)=0, 即-3×4+2a×2=0,∴a=3.由此可得f (x )=-x 3+3x 2-4,f'(x )=-3x 2+6x ,易知f (x )在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,∴当m ∈[-1,1]时,f (m )min =f (0)=-4. 又∵f'(x )=-3x 2+6x 的图象开口向下, 且对称轴为x=1,∴当n ∈[-1,1]时, f'(n )min =f'(-1)=-9,故f (m )+f'(n )的最小值为-13.2.设直线x=t 与函数f (x )=x 2,g (x )=ln x 的图象分别交于点M ,N ,则当|MN|达到最小时t 的值为( )A .1B .12 C .√52 D .√22,设|MN|=F (t )=t 2-ln t (t>0),令F'(t )=2t-1t =0,得t=√22或t=-√22(舍去).F (t )在(0,√22)内单调递减,在(√22,+∞)内单调递增,故当t=√22时,F (t )=t 2-ln t (t>0)有极小值,也是最小值,即|MN|达到最小值,故选D .3.在四面体ABCD 中,若AD=DB=AC=CB=1,则四面体ABCD 体积的最大值是( )A.2√327 B.13C.2√39D.√33,取AB 中点E ,连接CE ,DE ,设AB=2x (0<x<1),则CE=DE=√1-x 2,平面ABC ⊥平面ABD 是四面体体积最大的必要条件,此时四面体的体积V (x )=13×12×2x×√1-x 2×√1-x 2=13x-13x 3.V'(x )=13-x 2,令V'(x )=0,得x=√33,当x ∈(0,√33)时,V (x )为增函数,当x ∈(√33,1)时,V (x )为减函数,则当x=√33时,V (x )有最大值V (x )max =13×√33−13×(√33)3=2√327.故选A .4.(多选)(2020山东高三期末)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x<0时,f (x )=e x (x+1),则下列命题正确的是( ) A .当x>0时,f (x )=-e -x (x-1) B .函数f (x )有3个零点 C .f (x )<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1) D .∀x 1,x 2∈R ,都有|f (x 1)-f (x 2)|<2x>0时,-x<0,则由题意得f (-x )=e -x (-x+1),∵函数f(x)是奇函数, ∴f(0)=0,且x>0时,f(x)=-f(-x)=-e-x(-x+1)=e-x(x-1),A错;∴f(x)={e x(x+1),x<0, 0,x=0,e-x(x-1),x>0,当x<0时,由f(x)=e x(x+1)=0,得x=-1,当x>0时,由f(x)=e-x(x-1)=0,得x=1,∴函数f(x)有3个零点-1,0,1,B正确;当x<0时,由f(x)=e x(x+1)<0,得x<-1,当x>0时,由f(x)=e-x(x-1)<0,得0<x<1,∴f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1),C正确;当x<0时,由f(x)=e x(x+1),得f'(x)=e x(x+2),由f'(x)=e x(x+2)<0,得x<-2,由f'(x)=e x(x+2)>0得-2<x<0,∴函数f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,0)上单调递增,∴函数在(-∞,0)上有最小值f(-2)=-e-2,且f(x)=e x(x+1)<e0·(0+1)=1,又∵当x<0时,f(x)=e x(x+1)=0时x=-1,函数在(-∞,0)上只有一个零点,∴当x<0时,函数f(x)的值域为[-e-2,1),由奇函数的图象关于原点对称得函数f(x)在R的值域为(-1,e-2]∪[-e-2,1)=(-1,1), ∴对∀x1,x2∈R,都有|f(x1)-f(x2)|<2,D正确.故选BCD.5.已知函数f(x)=e x-2x+a有零点,则a的取值范围是.f (x )=e x -2x+a 有零点,即方程e x -2x+a=0有实根,即函数g (x )=2x-e x ,y=a 有交点,而g'(x )=2-e x ,易知函数g (x )=2x-e x 在(-∞,ln 2)上单调递增,在(ln 2,+∞)上单调递减,因而g (x )=2x-e x 的值域为(-∞,2ln 2-2],所以要使函数g (x )=2x-e x ,y=a 有交点,只需a ≤2ln 2-2即可.-∞,2ln 2-2] 6.已知函数f (x )=x ln x. (1)求f (x )的最小值;(2)若对所有的x ∈[1,+∞)都有f (x )≥ax-1,求实数a 的取值范围.f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=1+ln x.令f'(x )>0,解得x>1e;令f'(x )<0,解得0<x<1e .从而f (x )在(0,1e )单调递减,在(1e,+∞)单调递增.所以,当x=1e 时,f (x )取得最小值-1e .(2)依题意,得f (x )≥ax-1在[1,+∞)上恒成立,即不等式a ≤ln x+1x 对于x ∈[1,+∞)恒成立.令g (x )=ln x+1x ,则g'(x )=1x −1x 2=1x (1-1x ).当x>1时,因为g'(x )=1x (1-1x )>0,故g (x )是[1,+∞)上的增函数,所以g (x )的最小值是g (1)=1,所以a 的取值范围是(-∞,1].素养培优练(2020安徽六安一中高三月考)已知函数f (x )={1x,x <0,lnx x,x >0,若函数F (x )=f (x )-kx 在R 上有3个零点,则实数k 的取值范围为( )A .0,1eB .0,12eC .-∞,12e D .12e ,1ex<0时,由F (x )=0,得k=f (x )x =1x 2,令g (x )=1x 2,g'(x )=-2x 3>0,g (x )在x ∈(-∞,0)是增函数,当k>0时,k=f (x )x 有一个零点,当x>0时,k=f (x )x =lnxx 2,令h (x )=lnxx 2,h'(x )=1-2lnxx 3, 当x ∈(0,√e )时,h'(x )>0,∴h (x )在(0,√e )上单调递增,当x ∈(√e ,+∞)时,h'(x )<0,∴h (x )在(√e ,+∞)上单调递减,所以当x=√e 时,h (x )取得最大值12e,因为F (x )=f (x )-kx 在R 上有3个零点,所以当x>0时,k=f (x )x 有2个零点,所以实数k 的取值范围为0,12e ,综上可得实数k 的取值范围为0,12e .故选B .。

专题5.3.2 函数的极值和最大（小）值知识储备1．函数的极值(1)函数的极小值:函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小,f′(a)＝0;而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0,右侧f′(x)＞0,则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值:函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大,f′(b)＝0;而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0,右侧f′(x)＜0,则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0,极值点是f′(x)＝0的根,但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3,f′(0)＝0,但x＝0不是极值点).②极值反映了函数在某一点附近的大小情况,刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点,不会是端点.2．函数的最值(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值．3常用结论1.对于可导函数f(x),“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.2.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值.3.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系.能力检测注意事项:本试卷满分100分,考试时间45分钟,试题共16题．答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题1． （2020·大同市煤矿第四中学校高三期中 （文））已知函数233()32f x x x e ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭,则 （ ） A ．函数()f x 的极大值点为xB ．函数()f x 在(,-∞上单调递减C ．函数()f x 在R 上有3个零点D ．函数()f x 在原点处的切线方程为33y e x =-2． （2020·全国高二课时练习）已知函数()32f x x px qx =--的图象与x 轴相切于点()1,0,则()f x 的极小值为 （ ）A ．0B ．427-C ．527-D ．13． （2020·全国高二课时练习）若函数2xy e mx =-有小于零的极值点,则实数m 的取值范围是 （ ） A ．12m <B ．102m <<C ．12m >D ．01m <<4． （2020·全国高二课时练习）已知可导函数()f x 的导函数为()f x ',则“()00f x '=”是“0x x =是函数()f x 的一个极值点”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5． （2020·全国高二课时练习）已知函数2()(0)x f x a x a =>+在[1,)+∞,则a 的值为 （ ）A 1B ．34C ．43D 16． （2020·全国高二课时练习）若函数321()13f x x x =+-在区间(,3)m m +上存在最小值,则实数m 的取值范围是 （ ） A ．[5,0)-B ．(5,0)-C ．[3,0)-D ．(3,0)-7． （2020·全国高二课时练习）已知函数2()2ln f x x x =-,若在定义域内存在0x ,使得不等式()00f x m -成立,则实数m 的最小值是 （ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-8． （2020·全国高二课时练习）若函数32()1(0)f x x mx m =-++≠在区间(0,2)上的极大值为最大值,则m 的取值范围是 （ ） A ．(0,3) B ．(3,0)- C ．(,3)-∞- D ．(3,)+∞二、多选题9． （2020·全国高二专题练习）已知函数()ln 2xf x e x =--,则下列说法正确的是 （ ） A ．()f x 有且仅有一个极值点 B ．()f x 有零点C ．若()f x 的极小值点为0x ,则()0102f x << D ．若()f x 的极小值点为0x ,则()0112f x << 10． （2020·全国高二课时练习） （多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ,则下列说法正确的是 （ ）A ．若0a ≤,则函数()f x 没有极值B ．若0a >,则函数()f x 有极值C ．若函数()f x 有且只有两个零点,则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．若函数()f x 有且只有一个零点,则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭11． （2020·全国高二课时练习）定义在R 上的函数()f x ,若存在函数()g x ax b =+ （a ,b 为常数）,使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立,则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数,下列命题中正确的是 （ ）A ．函数()2g x =-是函数ln ,0()1,0x x f x x >⎧=⎨⎩的一个承托函数B ．函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数C ．若函数()g x ax = 是函数()xf x e =的一个承托函数,则a 的取值范围是[0,]eD ．值域是R 的函数()f x 不存在承托函数12． （2020·福建莆田市·莆田一中高三期中）设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+,已知()f x 有且只有一个零点,下列结论正确的有 （ ）A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值三、填空题13． （2020·全国高二课时练习）已知1x =是函数()2af x x x=+的极值点,则实数a 的值为_______． 14． （2020·天津经济技术开发区第二中学高三期中）已知函数32()245f x ax x x =+-+,当23x =时,函数()f x 有极值,则函数()f x 在[]3,1-上的最大值为_________.15． （2020·全国高二单元测试）对于函数22,0()12,02x x e x f x x x x ⎧⋅≤⎪=⎨-+>⎪⎩有下列命题: ①在该函数图象上一点 （﹣2,f （﹣2））处的切线的斜率为22e -; ②函数f (x )的最小值为2e-; ③该函数图象与x 轴有4个交点;④函数f (x )在 （﹣∞,﹣1]上为减函数,在 （0,1]上也为减函数. 其中正确命题的序号是_____. 四、双空题16． （2020·北京市第十三中学高三开学考试）已知函数()ln xf x x=.（1）函数的最大值等于________;（2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞,都有()()121f x f x e-≤成立,则实数a 的最小值是________.。

第五章 5.3 5.3.2 第2课时A 级——基础过关练1．函数y ＝ln xx的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D ．103【答案】A2．已知函数f (x )＝e x－eln x ，则f (x )的最小值为( ) A ．e B ．－e C ．1eD ．－1e【答案】A 【解析】f ′(x )＝e x －e x ，令f ′(x )＝0，即e x＝e x，解得x ＝1，令f ′(x )>0，得f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，令f ′(x )<0，得f (x )的单调递减区间为(0，1)，所以f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (1)＝e.3．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值时，x 的值为( )A ．0B ．π6C ．π3D ．π2【答案】B 【解析】f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )>0，解得0≤x <π6；令f ′(x )<0，解得π6<x ≤π2，∴当x ＝π6时，f (x )取得最大值．4．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A ．12B ．1C ．0D ．不存在【答案】A 【解析】f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －1x，令f ′(x )>0，解得x >1；令f ′(x )<0，解得0<x <1，∴当x ＝1时，f (x )取得最小值，即f (1)＝12×12－ln 1＝12.5．(多选)函数f (x )＝x －12x 在区间[0，＋∞)上( )A ．有最大值B ．无最大值C ．有最小值D ．无最小值【答案】AD 【解析】由已知得f (x )的定义域为[0，＋∞)，f ′(x )＝12x －12.令f ′(x )>0，得f (x )的单调递增区间为[0，1)；令f ′(x )<0，得f (x )的单调递减区间为(1，＋∞)，所以f (x )在区间[0，＋∞)上有最大值，无最小值．6．(2022年虎林期末)若函数f (x )＝ax ln x (a ∈R )的最小值为－1，则实数a ＝( ) A ． 5 B ．e C ．4D ．12【答案】B 【解析】由题意知a ≠0，当a ＞0时，f ′(x )＝a (ln x ＋1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝e －1；当x ∈(0，e －1)时，f ′(x )＜0，f (x ) 单调递减；当x ∈(e －1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，故f (x )在x ＝e －1处取得最小值，即f (e －1)＝a e －1ln e －1＝－1，解得a ＝e ；当a ＜0时，f ′(x )＝a (ln x ＋1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝e －1；当x ∈(0，e －1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(e －1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，故f (x )无最小值，故舍去．综上所述，a ＝e.故选B ．7．(2022年重庆期末)已知函数f (x )＝－x 3＋x 2在[－1，m ]上的最小值为0，则m 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．[0，1]C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)【答案】B 【解析】因为函数f (x )＝－x 3＋x 2，所以f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23，所以令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝23.令f ′(x )＞0，得0＜x ＜23；令f ′(x )＜0，得x ＜0或x ＞23，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，23上单调递增，在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎪⎫23，＋∞上单调递减，所以f (x )的极小值为f (0)＝0，极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝427.又因为函数f (x )＝－x 3＋x 2在[－1，m ]上的最小值为0，而令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝1.由三次函数的图象可得0≤m ≤1.故选B ．8．设f (x )，g (x )是定义在[a ，b ]上的可导函数且f ′(x )>g ′(x )，令F (x )＝f (x )－g (x )，则F (x )的最小值为________．【答案】f (a )－g (a ) 【解析】F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＞0，所以函数F (x )在定义域内单调递增，所以F (x )min ＝F (a )＝f (a )－g (a )．9．函数f (x )＝4xx 2＋1，x ∈[－2，2]的最大值是________，最小值是________． 【答案】2 －2 【解析】f ′(x )＝4(x 2＋1)－4x ·2x (x 2＋1)2＝－4(x ＋1)(x －1)(x 2＋1)2，令f ′(x )＝0，解得x ＝±1.又因为f (－2)＝－85，f (－1)＝－2，f (1)＝2，f (2)＝85，所以函数的最大值是2，最小值是－2.10．已知函数f (x )＝mx 3＋nx ，y ＝f (x )的图象以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13为切点的切线的倾斜角为π4. (1)求m ，n 的值；(2)求函数y ＝f (x )在[－2，1]上的最大值和最小值． 解：(1)易得f ′(x )＝3mx 2＋n ， 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧－m －n ＝13，3m ＋n ＝1，解得m ＝23， n ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝23x 3－x ，f ′(x )＝2x 2－1.令f ′(x )>0，得x <－22或x >22； 令f ′(x )<0，得－22<x <22. 所以f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1上单调递增．计算得f (－2)＝－103，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－23，f (1)＝－13，所以f (x )的最大值为23，最小值为－103. B 级——能力提升练11．(多选)(2022年长沙月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ＜0，ln(x ＋1)，x ≥0，则下列说法正确的是( )A ．若f (x )的最小值为－1，则a ＝2B ．当a ≥0时，f (x )≥0恒成立C ．当a ≤0时，存在x 0∈R 且x 0≠0，使得f (x 0)＝f (－x 0)D ．存在a ∈R ，使得对任意x ∈R ，f (x )＞1－a 恒成立【答案】AC 【解析】当x ≥0时，y ＝ln(x ＋1)≥0，因为f (x ) 的最小值为－1，所以函数y ＝x 2＋ax 在(－∞，0)上取最小值－1，则⎩⎪⎨⎪⎧－a2＜0，－a24＝－1，解得a ＝2，故A 正确；当a≥0时，令x 2＋ax ＜0，解得－a ＜x ＜0，故当x ∈(－a ，0)时，f (x )＜0，故B 错误；令x 0＞0，要满足f (x 0)＝f (－x 0)，即只需函数f (－x )的图象与函数f (x )的图象有交点即可，即将问题转化为将左侧y ＝x 2＋ax 的图象关于y 轴对称，与y ＝ln(x ＋1)是否有交点，如图，显然当开口特别大时，与y ＝ln(x ＋1)存在交点，故C 正确；当a ≤0时，1－a ≥1，显然f (x )＞1－a 不恒成立；当a ＞0时，f (x )min ＝－a 24，因为－a 24＋a －1＝－(a －2)24≤0，所以－a 24≤1－a ，即f (x )min ≤1－a 恒成立，则f (x )＞1－a 不恒成立，故D 错误．故选AC ．12．已知函数f (x )＝x 4cos x ＋mx 2＋2x (m ∈R )，若导函数f ′(x )在区间[－4，4]上有最大值16，则导函数f ′(x )在区间[－4，4]上的最小值为( )A ．－16B ．－12C ．12D ．16【答案】B 【解析】∵f (x )＝x 4cos x ＋mx 2＋2x ，∴f ′(x )＝4x 3cos x －x 4sin x ＋2mx ＋2，令g (x )＝4x 3cos x －x 4sin x ＋2mx .∵g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数．∵f ′(x )在区间[－4，4]上有最大值16， ∴g (x )在区间[－4，4]上有最大值14，∴g (x )在区间[－4，4]上的最小值为－14，∴f ′(x )在区间[－4，4]上有最小值－12. 13．已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1，且对任意x ∈(0，1]，f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[4，＋∞) 【解析】当x ∈(0，1]时，不等式ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x －1x3.设g (x )＝3x －1x3，x ∈(0，1]，则g ′(x )＝3x 3－(3x －1)·3x 2x6＝－6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x4.令g ′(x )＝0，得x ＝12.g ′(x )与g (x )随x 的变化情况如下表，故g (x )的最大值为4，实数a 的取值范围是[4，＋∞)．14．(2022年漳州一模)已知函数y ＝|x 2－2x －1|的图象与直线y ＝m (m ∈R )有四个交点，且这四个交点的横坐标分别为a ，b ，c ，d (a <b <c <d )，则a ＋b ＋c ＋d ＝________，2(d －a )＋(c －b )的最大值为________．【答案】4 4 5 【解析】y ＝|x 2－2x －1|图象如图．由图知0<m <2，x ＝a ，x ＝d 是方程x 2－2x －1＝m 的两根，则a ＋d ＝2，ad ＝－1－m ，x ＝b ，x ＝c 是方程x 2－2x －1＝－m 的两根，则b ＋c ＝2，bc ＝－1＋m ，∴a ＋b ＋c ＋d ＝4.∵d >a ⇒d －a >0，∴d －a ＝(d －a )2＝(d ＋a )2－4ad ＝22＋m ，c >b ⇒c －b >0，∴c －b ＝(c －b )2＝(c ＋b )2－4bc ＝22－m ，∴2(d －a )＋(c －b )＝42＋m ＋22－m ，令f (m )＝42＋m ＋22－m ，0<m <2，则f ′(m )＝8－4m －2＋m2＋m ·2－m，令8－4m >2＋m ，解得0<m <65，此时f ′(m )>0，f (m )单调递增，令8－4m ＜2＋m ，解得65<m <2，此时f ′(m )<0，f (m )单调递减，∴f (m )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫65＝4 5.15．(2021年南阳期中)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)若对任意的x ∈(0，＋∞)，f (x )≤0恒成立，求a 的取值范围； (2)在(1)的条件下，求证：e 1x ≥ex.(1)解：由f (x )≤0，得a ≥ln x x ，设g (x )＝ln x x ，则g ′(x )＝1－ln xx2，故g (x )在(0，e)上是单调递增的，在(e ，＋∞)上是单调递减的，所以[g (x )]max ＝g (e)＝1e ，故a ≥1e.(2)证明：由(1)知，f(x)＝ln x－xe≤0，故f⎝⎛⎭⎪⎫e1x≤0，即1x－e1xe≤0，e1x－1≥1x，即e 1x≥ex.。

5.3.2函数的极值与最大（小）值【题组1已知函数求极值或极值点】1、函数()()2440f x x x x =-+>的极小值是__________．【答案】0【解析】因为0x >，且()()22f x x =-()(222f x x '---∴=-=，令()0f x '=，可得25x =或2，列表如下：x 20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭252,25⎛⎫ ⎪⎝⎭2()2,+∞()f x '+-+()f x 增极大值减极小值增所以，函数()f x 的极小值为()20f =.2、函数()321f x x x x =-++-的极小值为_________.【答案】3227-【解析】()2321f x x x '=-++，令()0f x '=，可得13x =-或1x =.当()1,1,3x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.故当13x =-时，()f x 取得极小值132327f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.3、函数f (x )＝ax －1－ln x (a ≤0)在定义域内的极值点的个数为________.【答案】0【解析】因为x >0，f ′(x )＝a －11ax xx-=，所以当a ≤0时，f ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在(0，＋∞)上没有极值点.4、已知()1ln 31f x a x x x=+-+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处取得极值．（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的极值．【答案】（1）4；（2）极大值为1-，极小值为34ln 3-【解析】（1）由题意，函数()1ln 31f x a x x x=+-+，可得()213,0a f x x x x-'=->，因为曲线()y f x =在点()()1,1f 处取得极值，可得()1130f a =--='，解得4a =，经检验4a =符合题意，所以4a =．（2）由（1）可知，函数()14ln 31,0f x x x x x=+-+>，则()()()2311,0x x f x x x --'=->，当103x <<或1x >时，()0f x '<，当113x <<时，()0f x '>，因此()f x 在区间10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递减，在区间1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 的极大值为()11f =-，()f x 的极小值为134ln 33f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．5、已知函数()22ln f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值．【答案】（1）2y x =-；（2）极小值31ln 222-+，无极大值【解析】（1）因为()12f x x x'=-+，所以()11211f '=-+=，当1x =时，ln1121y =-+-=-，所以切线方程为()111y x +=⨯-，即2y x =-；（2）由题可得()f x 的定义域为()0,∞+．令()0f x '=，即120x x -+=，得22x =或22x =-（舍去），令()0f x '>，得22x >，令()0f x '<，得202x <<，故()f x 在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 存在极小值2312ln 222f =---+⎝⎭⎝⎭，无极大值．【题组2函数（导函数）图象求与极值的关系】1、如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，给出下列命题：①x =-2是函数()y f x =的极值点；②x =1是函数()y f x =的极值点；③()y f x =的图象在0x =处切线的斜率小于零；④函数()y f x =在区间(2,2)-上单调递增．则正确命题的序号是（）A．①②B．②④C．②③D．①④【答案】D【解析】对于①，根据导函数图像可知，-2是导函数的零点，且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，故①正确；对于②，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号一致，故②错误；对于③，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，故③错误；对于④，导函数在()2,2-恒大等于零，故为函数的增区间，故④正确.故选：D2、（多选）函数()f x 的定义域为R ，它的导函数()y f x '=的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A．()()21f f ->-B．1x =是()f x 的极小值点C．函数()f x 在()1,1-上有极大值D．3x =-是()f x 的极大值点【答案】AD【解析】由()y f x '=的图象可知：当(,3)x ∈-∞-时，()0f x '>，所以函数()f x 单调递增；当(3,1)x ∈--时，()0f x '<，所以函数()f x 单调递减，因此有()()21f f ->-，3x =-是()f x 的极大值点，所以选项A、D 正确；当(1,1)x ∈-，或(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 单调递增，因此函数()f x 在()1,1-上没有极大值，且1x =不是()f x 的极小值点，所以选项B、C 不正确，故选：AD3、设函数()f x 的导函数为()f x '，函数()y xf x '=的图像如图所示，则（）A．()f x 的极大值为f ，极小值为(fB．()f x 的极大值为(f ，极小值为f C．()f x 的极大值为()3f -，极小值为()3f D．()f x 的极大值为()3f ，极小值为()3f -【答案】D【解析】当(),3x ∈-∞-时，()0y xf x '=>，∴()0f x '<，()f x 单调递减；同理可得，当()3,3x ∈-时，()0f x '≥，()f x 单调递增；当()3,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减.∴()f x 的极大值是()3f ，()f x 的极小值是()3f -.故选：D.4、设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()2y x =-()f x '的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数()f x 有极大值()2f 和极小值()1f B．函数()f x 有极大值()2f -和极小值()1f C．函数()f x 有极大值()2f 和极小值()2f -D．函数()f x 有极大值()2f -和极小值()2f 【答案】B【解析】由图知：当0y =时，有2x =±、1x =，∴()10f '=，()20f '-=，又<2x -时0y >，而20x ->则()0f x '>，即()f x 递增；2<<1x -时0y <，而20x ->则()0f x '<，即()f x 递减；12x <<时0y >，而20x ->则()0f x '>，即()f x 递增；2x >时0y <，而20x -<则()0f x '>，即()f x 递增；综上，(,2)-∞-、(1,)+∞上()f x 递增；(2,1)-上()f x 递减.∴函数()f x 有极大值()2f -和极小值()1f .故选：B5、定义在R 上的函数()f x ，其导函数为'()f x ，且函数()'1()y x f x =+的图象如图所示，则（）A．()f x 有极大值()1f -和极小值()1f B．()f x 有极大值()2f -和极小值()1f C．()f x 有极大值()1f -和极小值()2f -D．()f x 有极大值()2f -和极小值()1f -【答案】B【解析】由函数图像可知''(2)0,(1)0f f -==，当<2x -时，10x +<，则'()0f x >，当2<<1x --时，10x +<，则'()0f x <，当11x -<<时，10x +>，则'()0f x <，当1x >时，10x +>，则'()0f x >，所以()f x 有极大值()2f -和极小值()1f ，故选：B【题组3根据函数的极值或极值点求参数】1、已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则a b +=（）A．0或－7B．0C．－7D．1或－6【答案】C【解析】由322()f x x ax bx a =+++，得()232f x x ax b '=++，(1)0(1)10f f =⎧⎨='⎩，即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩（经检验应舍去），4117a b +=-=-，故选：C．2、已知函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，且()f x 的极大值为4，则b =（）A．-1B．2C．-3D．4【答案】B【解析】()()()e x f x x a x b =--()2e xx ax bx ab =--+，所以()()()22e e x x f x x a b x ax bx ab '=--+--+()2e 2x x a b x ab a b ⎡⎤=+--+--⎣⎦因为函数()()()e xf x x a x b =--在x a =处取极小值，所以()()()2e 2e 0a af a a a b a ab a b a b '⎡⎤=+--+--=-=⎣⎦，所以a b =，()()2e xf x x a ∴=-，()()()()22e 222=e 2x xf x x a x a a x a x a '⎡⎤=+-+----⎡⎤⎣⎦⎣⎦，令()0f x '=，得=x a 或=2x a -，当()2x a ∈-∞-，时，()0f x '>，所以()f x 在()2a -∞-，单调递增，当()2x a a ∈-，时，()0f x '<，所以()f x 在()2a a -，单调递增，当()x a ∈∞，+时，()0f x '>，所以()f x 在()a ∞+，单调递增，所以()f x 在=2x a -处有极大值为()22e==44a f a --，解得=2a ，所以=2b .故选：B3、已知()()321123f x x m x x =-+--+没有极值，则实数m 的取值范围为（）A．()0,2B．()(),01,-∞⋃+∞C．[]0,2D．(][),02,-∞⋃+∞【答案】C【解析】()()2221f x x m x '=-+--；()f x 在R 上没有极值，()22240m ∴∆=--≤，即()248420m m m m -=-≤，解得：02m ≤≤，即实数m 的取值范围为[]0,2.故选：C.4、已知函数3235y ax x ax =-++有极大值和极小值，则a 的取值范围是（）A．11,33⎛⎫⎪⎝⎭-B．11,00,33⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D．()3,3-【答案】B【解析】由题，2323y ax x a '=-+，函数有极大值和极小值，所以23230y ax x a '=-+=有两个不同解，所以0a ≠，24360a ∆=->，解得11,00,33a ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B5、设函数f (x )＝ln x ＋1ax -在1(0,)e内有极值，求实数a 的取值范围（）A．1e 2e ,∞⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭B．1e ,e ∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭C．1e ,e ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D．1e 2e ,∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由22(2)1()ln ()1(1)a x a x f x x f x x x x -++'=+⇒=--，因为函数f (x )＝ln x ＋1ax -在1(0,)e内有极值，所以22(2)1()0(1)x a x f x x x -++'==-在1(0,)e内有解，即2()(2)10g x x a x =-++=在1(0,)e内有解，21(2)102x a x a x x-++=⇒=+-，设222111()2()1x h x x h x x x x -'=+-⇒=-=，当1(0,)e x ∈时，()0,()h x h x <'单调递减，所以min 1()(e)e 2eh x h ==+-，要想方程12a x x =+-在1(0,)e x ∈时有解，只需min 1()e 2ea h x a >⇒>+-，故选：A【题组4利用导数求函数的最值】1、函数()3243185f x x x x =--+，则()f x 在[]1,2-上的最大值为___________.【答案】16【解析】由题意2()126186(1)(23)f x x x x x '=--=+-，()0f x '=得=1x -，32x =，312x -<<时，()0f x '<，()f x 递减，322x <<时，()0f x '>，()f x 递增，所以3()(2)2f f <，又(1)f -=16，(2)11f =-，所以最大值为16．2、已知函数()s 21e in e x xx f x ---=+，[]π,0x ∈-，则()f x 的最大值为___________.【答案】1【解析】函数()s 21e in e x xx f x ---=+，[]π,0x ∈-，所以()e e 2cos 22cos 222cos 2x x f x x x x -'=+-≥=-，当且仅当e e x x -=，即0x =时等号成立，又因为22cos 20x -≥，所以()0f x '≥，所以()f x 在[]π,0x ∈-时单调递增，其最大值为()000e e sin 011f =--+=.3、函数()ln 2f x x x =--的最大值为___．【答案】ln 2【解析】函数()ln 2,02ln 2ln 2,2x x x f x x x x x x +-<≤⎧=--=⎨-+>⎩，∴当02x <≤时，()ln 2f x x x =+-单调递增，所以()max ln 2f x =，当2x >时，()ln 2f x x x =-+，()1110xf x xx-'=-=<，函数单调递减，所以()ln 2f x <；综上，函数的最大值为ln 2.4、已知函数32()21f x x ax bx =+++的极值点为1-和1．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]22-,上的最大值与最小值．【答案】（1）3()261f x x x =-+；（2）()min 3f x =-；()max 5f x =【解析】（1）由题求出()f x 的导数2()62f x x ax b '=++，因为()f x 的极值点为1-和1，所以(1)620(1)620f a b f a b =++=⎧⎨-=-+=''⎩，解得06a b =⎧⎨=-⎩，所以函数()f x 的解析式为3()261f x x x =-+.（2）由（1）可知3()261f x x x =-+，则2()66f x x '=-，令2()660f x x '=-<，解得11x -<<，由此可得()f x 的单调性：x2-()2,1--1-()1,1-1()1,22()f x '大于00小于0大于0()f x 3-53-5故()min 3f x =-，()max 5f x =.5、设函数()()()2e 1R xf x ax x x =++∈，，且曲线()y f x =在1x =处取得极大值.（1）求a 的值，并讨论()f x 的单调性;（2）求在[0,5]上的最值.【答案】（1）1a =-，函数()f x 在(,2)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(2,1)-上单调递增；（2）最小值为519e -，最大值为e .【解析】（1）由函数2()e (1)x f x ax x =++求导得：2()e [(21)2]x f x ax a x '=+++，因曲线()y f x =在1x =处取得极大值，则(1)e(33)0f a '=+=，解得1a =-，当1a =-时，2()e (2)(2)(1)e x x f x x x x x '=--+=-+-，当<2x -或1x >时，()0f x '<，当2<<1x -时，()0f x '>，即有函数()f x 在(,2)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(2,1)-上单调递增，且()y f x =在1x =处取得极大值，所以1a =-，函数()f x 在(,2)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(2,1)-上单调递增.（2）当[0,5]x ∈时，由（1）知，2()e (1)x f x x x =-++在[0,1]上单调递增，在[1,5]上单调递减，因5(0)1,(5)19e f f ==-，则当5x =时，5min ()(5)19e f x f ==-，当1x =时，max ()(1)f x f ==e ，所以函数()f x 在[0,5]的最小值为519e -，最大值为e .【题组5已知函数的最值求参数】1、已知0a >，函数()ln f x ax x =-的最小值为()1ln21a -+，则=a （）A．1或2B．2C．1或3D．2或3【答案】A【解析】由()ln f x ax x =-（0x >），得()11ax f x a xx-'=-=（0a >，0x >），当10x a<<时，()0f x '<，当1x a>时，()0f x '>，所以()f x 在1 0,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()()min 11ln 1ln 21f x f a a a ⎛⎫==+=-+ ⎪⎝⎭，得ln (1)ln 2a a =-，解得1a =或2.故选：A2、若函数3()3f x x x =-在区间2(12,)a a -上有最大值，则实数a 的取值范围是__________.【答案】(]1,2-【解析】3()3f x x x =-，2()33f x x '∴=-令()0f x '<解得11x -<<；令()0f x '>，解得1x >或1x <-由此可得()f x 在(,1)-∞-上时增函数，在(1,1)-上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，故函数在=1x -处有极大值，在1x =处有极小值，21211()(1)a a f a f ⎧-<-⎪∴>-⎨⎪≤-⎩，解得12a -<≤3、已知函数2()e (2)1x f x x a x =++-+在区间上(0,1)有最小值，则实数a 的取值范围是（）A．(e,1)-B．(1e,1)-C．(e,)-+∞D．(0,e)【答案】A【解析】由2()e (2)1x f x x a x =++-+得()e 2(2)x f x x a '=++-，由于e 2x x ，均为单调递增函数，故()f x '在()01，单调递增，因为()f x 在()01，有最小值，故()()00120e 110e 220f a a f a ⎧<+-<⎧⎪⇒⇒-<<⎨⎨>++-⎩'>⎪⎩'，故选：A4、设函数,()e ,x xx af x x x a⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，若函数存在最大值，则实数a 的取值范围是____．【答案】1ea ≤【解析】当x a <时，()f x x =，函数单调递增，且()()f x f a a <=无最大值，当x a ≥时，()e xx f x =，1()e x xf x -'∴=，当1x <时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，当1x =时，()f x 取得极大值也是最大值为()11ef =，∴要使()f x 有最大值，则11e a a ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，1e a ∴≤.5、已知函数()()lg 1,104,0x x f x a x x x ⎧+-<<⎪=⎨+->⎪⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是_______．【答案】(],4∞-【解析】10x -<<，所以011x <+<，所以()lg 10x +<，当0a =时，()4f x x =-单调递增，所以当0x >时，()44f x x =->-，此时()()lg 1,104,0x x f x x x ⎧+-<<=⎨->⎩值域为R，符合题意；当a<0时，当0x >时，()210a f x x '=->，所以()4af x x x =+-单调递增，当0x >时，()4a f x x x=+-值域为R，所以a<0满足题意；当0a >时，当0x >时，()2221a x af x x x-'=-=，当x ()0f x '>，当0x <<()0f x '<，所以()f x在(上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当0x >时，()()min 4f x f a ==，要想()()lg 1,104,0x x f x a x x x ⎧+-<<⎪=⎨+->⎪⎩值域为R，则要满足40≤，解得：04a <≤，综上：实数a 的取值范围是(],4∞-【题组6函数的极值与最值综合应用】1、已知函数()()()23221,0,R,31f x x ax a x g x x x =->∈=-.(121,1,,2x x ⎛⎫⎤∃∈-∞-∃∈-∞- ⎪⎦⎝⎭，使得()12(f x g x =)，求实数a 的取值范围.【答案】5(0,)2【解析】由题设，f ′(x )＝2x －2ax 2＝2x (1－ax )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝1a ，由a >0，当x ∈(－∞,0)时f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞,－1]上单调递减，且值域为[21,)3++∞a.∵g (x )＝21(1)-x x ，∴g ′(x )＝231()-x x ′＝223232()--x x x x ＝3232(1)--x x x ，∵x <－12时，g ′(x )>0，∴g (x )在1(,)2-∞-上单调递增，且值域为8(,)3-∞.若∃x 1∈(－∞,－1]，∃x 2∈1(,)2-∞-，使得f (x 1)＝g (x 2)，则1＋23a <83，可得a <52.综上，故实数a 的取值范围是5(0,)2.2、已知函数()32e 2xx x f x -=．（1）求函数()f x 的极值；（2）当0x >时，()()24ex x af x xf x '+<恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()f x 的极大值是()00f =或()4e 324f =,极小值是()11ef =-（2）a 的范围是()11--【解析】（1）()()()14e xx x x f x ---='令()0f x '>，解得：0x <或14x <<,令()0f x '<，解得：01x <<或>4x ，∴()f x 在()(),0,1,4-∞上递增，在()0,1，()4,+∞上递减，∴()f x 的极大值是()00f =或()4e 324f =，极小值是()11ef =-;（2）当()0,x ∈+∞时，()()24ex x af x f x <'+恒成立()()()2144a x x x ⇔-<--+,令2x t -=，则()2,2x t t =+>-，22at t t ∴<-+,①当2x >时，20x ->，即0t >，此时不等式等价于21a t t<+-,2111tt +-=- ，当且仅当2t t=即2,22t x ===”成立,221a ∴<-；②当2x =，即0=t 时，不等式22at t t <-+恒成立;③当02x <<即20t -<<时，不等式22at t t <-+等价于21a t t>+-,()()2221121122t t t t t t ⎡⎛⎤⎛⎫+-=--+----⋅--=-- ⎪⎢⎥⎝⎦⎝⎭⎣当且仅当2t t-=-，即2t =-22x =时，“=”成立,122a ∴>--综上：a 的范围是()12,21--.3、已知函数()31443f x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若直线y a =与()f x 的图像有三个不同的交点，求实数a 的范围.【答案】（1）增区间：（(),2),2,∞∞--+；减区间：（2,2)-；（2）428,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）因为()31443f x x x =-+，所以()24=(2)(2)f x x x x '=-+-，由()0f x '>，解得2x >或<2x -，所以()f x 的增区间为(,2)-∞-，()2,+∞由()0f x '<，解得22x -<<，所以()f x 的减区间为(2,2)-，综上，()f x 的增区间为(,2)-∞-，()2,+∞，减区间为(2,2)-；（2）由（1）知，当2x =-，函数取得极大值28(2)3f -=，当2x =，函数取得极小值4(2)3f =-，根据函数单调性，极值情况，其图像大致如图所示，结合图像知42833a -<<.4、知函数()e 1xf x x =--．（1）求()f x 的极值；（2）若()()21f x x a x ≤+-在()0,x ∈+∞时有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极小值为0，无极大值；（2）e 2a ≥-【解析】（1）()e 1x f x '=-，当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<，则()f x 在(),0∞-上单减，在()0,∞+上单增，故()f x 的极小值为()00f =，无极大值.（2）()2e 11x x x a x --≤+-在()0,x ∈+∞时有解，即2e 1x x a x --≥在()0,x ∈+∞时有解，令()()2e 1,0,x x g x x x--=∈+∞，则()()()()()222e 2e 11e 1xx x x x x x x g x x x -⋅------'==，由（1）知()e 1xf x x =--在()0,∞+上单增，且()00f =，则e 10x x -->，则当01x <<时，()()0,g x g x '<单减，当1x >时，()()0,g x g x '>单增，所以()()1e 2g x g ≥=-，故e 2a ≥-.5、已知函数()ln f x ax x =+其中a 为常数，设e 为自然对数的底数.（1）当1a =-时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）是否存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-？若存在，求出求a 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）1y =-；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）当1a =-时，()ln f x x x =-+，0x >，(1)1f =-，1()1f x x'=-+，()01f '=，所以曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为10y +=，即1y =-.（2）假设存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，因为()ln f x ax x =+，0x >，1()f x a x'=+，若0a ≥，则()0f x '>在区间()1,e 上恒成立，()f x 在区间()1,e 上单调递增，此时()f x 在区间()1,e 上无最大值；故a<0，令()0f x '>，得10x a<<-，令()0f x '<，得1x a>-，则函数()f x 在1(0,)a-上单调递增，在1(,)a -+∞上单调递减，因为函数()f x 在开区间()1,e 上有最大值为3-，所以11e a<-<，即11ea -<<-，所以函数()f x 在1(1,a-上单调递增，在1(,e)a-上单调递减，所以max 1()f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭11()ln a a a ⎛⎫⋅-+- ⎪⎝⎭11ln a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭3=-，得2e a =-，又11ea -<<-，所以2e a =-不成立，故不存在实数a ，使得()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-.。

人教版高中数学选择性必修第二册5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时同步作业（含解析）人教版高中数学选择性必修第二册5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时同步作业（原卷版）1．下列关于函数的极值的说法正确的是()A．导数值为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．函数在定义域内必有一个极大值和一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)上有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个3．函数y＝lnx－x的极值情况是()A．有极大值，没有极小值B．有极小值，没有极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值4．函数f(x)＝x2－lnx的极值点为()A．0，1，－1 B.C．－ D.，－5．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数()A．2 B．1C．0 D．由a确定6．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝()A. B．－C．－ln2 D．ln27．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于(1，0)，则极小值为()A．0 B．－C．－D．18．【多选题】如图所示是y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是()A．f(x)在区间(－3，1)上是增函数B．x＝－1是f(x)的极小值点C．f(x)在区间(2，4)上是减函数，在区间(－1，2)上是增函数D．x＝2是f(x)的极小值点9．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________．10．设函数f(x)＝x·(x－c)2在x＝2处有极大值，则c＝________．11．若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围() A．m>0 B．m1 D．m0)，由y′＝0得x＝1，当00，函数是增函数，当x>1时y′时，f′(x)>0；当00 B．m1 D．m0，当x∈(－2，－1)∈(1，2)时，f′(x)0恒成立，f(x)不存在极值．当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝，当x>时，f′(x)>0，当00 x>或xf′(x)0；当x>0时，y′0)，f′(x)＝＋2x－12＝＝，由≥0，得x≤2或x≥4，所以当x∈(0，2]或x∈[4，＋∞)时，f(x)单调递增，由<0，得2<x<4，所以当x∈(2，4)时，f(x)单调递减．故f(x)的单调递增区间是(0，2]和[4，＋∞)，单调递减区间是(2，4)．10．一个三次函数y＝f(x)，当x＝3时取得极小值y＝0，又在此函数的图象上点(1，8)处的切线经过点(3，0)，求函数f(x)的表达式．解析由题意，点(3，0)在曲线上，故可设y＝a(x－3)3＋b(x－3)2＋c(x－3)．∈当x＝3时，y取得极小值，∈y′|x＝3＝0.而y′＝3a(x－3)2＋2b(x－3)＋c，把x＝3代入得c＝0.∈y＝a(x－3)3＋b(x－3)2，y′＝3a(x－3)2＋2b(x－3)．∈曲线过点(1，8)，∈－8a＋4b＝8.①∈曲线在点(1，8)处的切线经过点(3，0)，∈该切线的斜率k＝＝－4.另一方面，应有k＝y′|x＝1，从而12a－4b＝－4.②由①②两式解得a＝1，b＝4.经验证，符合题意．∈y＝(x－3)3＋4(x－3)2，即y＝x3－5x2＋3x＋9.。

5.3.2 函数的极值与最大(小)值 （2） -B 提高练一、选择题1．（2021·全国高二课时练）函数()xf x x e =⋅的最小值是（ ）A ．1-B ．e -C ．1e-D ．不存在2．（2021·山东泰安实验高中高二期末）已知函数2()(0)x f x a x a =>+在[1,)+∞上的最大值为3，则a 的值为（ ）A 1B ．34C ．43D 13．（2021·广州华南师大附中高二期末）已知函数()ln af x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e - 4．（2021·安徽省阜阳第一中学高二期末）设函数()1x f x e ma +=-，()x g x ae x =-（m ，a 为实数），若存在实数a ，使得()()f x g x ≤对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．1,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,02e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭5．（多选题）（2021·全国高二专题练）设()cos ,,63af x x x x ππ⎡⎤=⋅∈⎢⎥⎣⎦的最大值为M ，则（ ）A ．当1a =-时，M <B ．当2a =时，3M <C ．当1a =时，M >D ．当3a =时，12M <6．（多选题）（2020·邵东创新实验学校高三月考）对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x e =处取得极大值12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．23fff π<<D ．若()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，则2ek > 二、填空题7．（2021·湖北黄石高二期末）要设计一个容积为π的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面积的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积造价的一半，储油罐的下部圆柱的底面半径R =_______时，造价最低．8．（2020·东莞市东华高级中学高二月考）若函数4()2f x x ax =-的图象在点(1,(1))P f 处的切线垂直于直线17y x =-，则函数()f x 的最小值是____. 9．（2021·福建屏东中学高二期末）已知()xf x e =，()2x x g x e=，若存在实数1x ，2x 满足()()12f x g x =，则12x x 的最大值为______．10．（2021·江苏苏州市高二期末）已知函数()22,0,0x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩，若方程()2f x a =⎡⎤⎣⎦恰有两个不同的实数根m ，n ，则m n +的最大值是_________. 三、解答题11．（2021·全国高二课时练）已知函数21()ln 2f x x x =+. （1）求函数()f x 在区间[]1,e 上的最大、最小值；.（2）求证：在区间()1,+∞上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方. 12．（2021·大连24中高二期末）已知函数()21,2xf x e ax x =-+其中1a >- （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （3）若()212f x x x b ≥++对于x ∈R 恒成立，求b a -的最大值.。

人教版高中数学选择性必修第二册5.3.2函数的极值与最大(小)值第3课时同步作业（解析版）1．函数f(x)＝x3－3x2＋3x(－1<x<1)()A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也无最小值C．无最大值，也无最小值D．无最大值，但有最小值2．函数f(x)＝lnx－x在(0，e]上的最大值为()A．－1B．1C．0D．e3．函数y＝x＋2cosx在区间0，π2上的最大值为()A.π6＋3B．2C.π6＋2 D.34．设函数f(x)在定义域上可导，y＝f(x)的图象如下图所示，则导数y＝f′(x)的图象可能为下图中的()5．已知对任意实数x有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时()A．f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<06．函数f(x)＝xcosx的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是()7．函数f(x)＝12x 2－1x(x<0)的最小值是________．8．函数f(x)＝x 2＋2ax ＋1在[0，1]上的最小值为f(1)，则a 的取值范围为________．9．函数f(x)＝12e x (sinx ＋cosx)在区间0，π2上的值域为________．10．已知f(x)＝－x 2＋mx ＋1在区间(－2，－1)上最大值就是函数f(x)的极大值，则m 的取值范围是________．11．直线y ＝a 与函数y ＝x 3－3x 的图象有三个不同的交点，则a 的取值范围是________．12．已知f(x)＝x 3－x 2－x ＋3，x ∈[－1，2]，f(x)－m<0恒成立，求实数m 的取值范围．13．设函数f(x)＝12x 2e x .(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x ∈[－2，2]时，不等式f(x)>m 恒成立，求实数m 的取值范围．14．设函数f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数f ′(x)＝1x ，g(x)＝f(x)＋f′(x)．(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g 1x15．设函数f(x)＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t>0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<－2t ＋m 对t ∈(0，2)恒成立，求实数m 的取值范围．1．若函数f(x)2x 3＋3x 2＋1，x ≤0，e ax，x>0在[－2，2]上的最大值为2，则实数a 的取值范围是()A.12ln2，＋∞ B.0，12ln2C ．(－∞，0]D.－∞，12ln22．已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx 在点x 0处取得极小值－4，使其导函数f′(x)>0的x 的取值范围为(1，3)．(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值；(2)当x∈[2，3]时，求g(x)＝f′(x)＋6(m－2)x的最大值．3.已知函数f(x)＝ax2－blnx＋12在x＝x0处取得极小值1＋ln2，其导函数f′(x)的图象如图所示．求x0，a，b的值．人教版高中数学选择性必修第二册5.3.2函数的极值与最大(小)值第3课时同步作业（解析版）1．函数f(x)＝x3－3x2＋3x(－1<x<1)()A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也无最小值C．无最大值，也无最小值D．无最大值，但有最小值答案C2．函数f(x)＝lnx－x在(0，e]上的最大值为()A．－1B．1C．0D．e答案A3．函数y＝x＋2cosx在区间0，π2上的最大值为()A.π6＋3B ．2C.π6＋2 D.3答案A解析y′＝1－2sinx ，x ∈0，π2，由y′>0得x<π6，由y′<0得x>π6，则函数y ＝x ＋2cosx 在区间0，π2上单调递减，所以x ＝π6时y 有最大值，y max ＝π6＋ 3.故选A.4．设函数f(x)在定义域上可导，y ＝f(x)的图象如下图所示，则导数y ＝f′(x)的图象可能为下图中的()答案D5．已知对任意实数x 有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f ′(x)>0，g ′(x)>0，则x<0时()A ．f′(x)>0，g ′(x)>0B ．f′(x)>0，g ′(x)<0C ．f ′(x)<0，g ′(x)>0D ．f′(x)<0，g ′(x)<0答案B6．函数f(x)＝xcosx 的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是()答案A解析∵f(x)＝xcosx ，∴f ′(x)＝cosx －xsinx.∴f ′(－x)＝f′(x)，∴f ′(x)为偶函数．∴函数图象关于y 轴对称．由f′(0)＝1可排除C 、D.而f′(1)＝cos1－sin1<0，从而观察图象即可得到答案为A.7．函数f(x)＝12x 2－1x (x<0)的最小值是________．答案328．函数f(x)＝x 2＋2ax ＋1在[0，1]上的最小值为f(1)，则a 的取值范围为________．答案(－∞，－1]解析f′(x)＝2x ＋2a ，f(x)在[0，1]上的最小值为f(1)，说明f(x)在[0，1]上单调递减，∴x ∈[0，1]时f′(x)≤0恒成立．∴a ≤－x ，∴a ≤－1.9．函数f(x)＝12e x(sinx ＋cosx)在区间0，π2上的值域为________．答案12，12e π2解析∵x ∈0，π2，∴f ′(x)＝e x cosx ≥0，∴f(0)≤f(x)≤即12≤f(x)≤12e π2.10．已知f(x)＝－x 2＋mx ＋1在区间(－2，－1)上最大值就是函数f(x)的极大值，则m 的取值范围是________．答案(－4，－2)解析f′(x)＝m －2x ，令f′(x)＝0，得x ＝m2.由题设得m2∈(－2，－1)，故m ∈(－4，－2)．11．直线y ＝a 与函数y ＝x 3－3x 的图象有三个不同的交点，则a 的取值范围是________．答案(－2，2)解析f′(x)＝3x 2－3，令f′(x)＝0，可以得x ＝1或－1.∵f(1)＝－2，f(－1)＝2，∴－2<a<2.12．已知f(x)＝x 3－x 2－x ＋3，x ∈[－1，2]，f(x)－m<0恒成立，求实数m 的取值范围．解析由f(x)－m<0，即m>f(x)恒成立，知m>f(x)max .f ′(x)＝3x 2－2x －1，令f′(x)＝0，解得x ＝－13或x ＝1.因为＝8627，f(1)＝2，f(－1)＝2，f(2)＝5，所以f(x)的最大值为5，故m 的取值范围为(5，＋∞)．13．设函数f(x)＝12x 2e x .(1)求f(x)的单调区间；(2)若当x ∈[－2，2]时，不等式f(x)>m 恒成立，求实数m 的取值范围．解析(1)f′(x)＝xe x＋12x 2e x ＝e x2x(x ＋2)．由e x2x(x ＋2)>0，解得x>0或x<－2.∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f(x)的单调递增区间．由e x2x(x ＋2)<0，得－2<x<0.∴(－2，0)为f(x)的单调递减区间．∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)；单调递减区间为(－2，0)．(2)令f′(x)＝e x2x(x ＋2)＝0，得x ＝0或x ＝－2.∵f(－2)＝2e 2，f(2)＝2e 2，f(0)＝0，∴f(x)∈[0，2e 2]．又∵f(x)>m 在x ∈[－2，2]时恒成立，∴m<0.故m 的取值范围为(－∞，0)．14．设函数f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数f ′(x)＝1x ，g(x)＝f(x)＋f′(x)．(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g 解析(1)由题设易知f(x)＝lnx ，g(x)＝lnx ＋1x，∴g ′(x)＝x －1x 2.令g′(x)＝0，得x ＝1.当x ∈(0，1)时，g ′(x)<0，故(0，1)是g(x)的单调递减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调递增区间．∴x ＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而也是最小值点，∴最小值为g(1)＝1.lnx ＋x ，设h(x)＝g(x)－2lnx －x ＋1x ，则h′(x)＝－（x －1）2x 2.当x ∈(0，1)∪(1，＋∞)时，h ′(x)<0，h ′(1)＝0，∴h(x)在(0，＋∞)内单调递减．∴当0<x<1时，h(x)>h(1)＝0，即当x ＝1时，g(x)＝当x>1时，h(x)<h(1)＝0，即15．设函数f(x)＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t>0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<－2t ＋m 对t ∈(0，2)恒成立，求实数m 的取值范围．解析(1)∵f(x)＝t(x ＋t)2－t 3＋t －1(x ∈R ，t>0)，∴当x ＝－t 时，f(x)取最小值f(－t)＝－t 3＋t －1，即h(t)＝－t 3＋t －1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t ＋m)＝－t 3＋3t －1－m.由g′(t)＝－3t 2＋3＝0，得t ＝1或t ＝－1(舍去)．当t 变化时，g ′(t)，g(t)的变化情况如下表：t (0，1)1(1，2)g′(t)＋0－g(t)极大值1－m∴g(t)在(0，2)内有最大值g(1)＝1－m ，h(t)<－2t ＋m 在(0，2)内恒成立，即g(t)<0在(0，2)内恒成立，即1－m<0，解得m>1，所以m 的取值范围为(1，＋∞)．1．若函数f(x)3＋3x 2＋1，x ≤0，ax，x>0在[－2，2]上的最大值为2，则实数a 的取值范围是()A.12ln2 B.0，12ln2C ．(－∞，0]－∞，12ln2答案D解析当x ≤0时，f ′(x)＝6x 2＋6x ，易知函数f(x)在(－∞，0]上的最大值点是x ＝－1，且f(－1)＝2，故只需x ∈(0，2]时，e ax ≤2恒成立，即ax ≤ln2在x ∈(0，2]时恒成立，即a ≤ln2x在x ∈(0，2]时恒成立，故a ≤12ln2.2．已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx 在点x 0处取得极小值－4，使其导函数f′(x)>0的x 的取值范围为(1，3)．(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值；(2)当x ∈[2，3]时，求g(x)＝f′(x)＋6(m －2)x 的最大值．解析(1)由题意知f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c＝3a(x －1)(x －3)(a<0)，∴在(－∞，1)上f′(x)<0，f(x)是减函数，在(1，3)上f ′(x)>0，f(x)是增函数，在(3，＋∞)上f′(x)<0，f(x)是减函数．因此f(x)在x 0＝1处取得极小值－4，在x ＝3处取得极大值．＋b ＋c ＝－4，′（1）＝3a ＋2b ＋c ＝0，′（3）＝27a ＋6b ＋c ＝0.解得a ＝－1，b ＝6，c ＝－9.∴f(x)＝－x 3＋6x 2－9x.∴f(x)在x ＝3处取得极大值f(3)＝0.(2)g(x)＝－3(x －1)(x －3)＋6(m －2)x ＝－3(x 2－2mx ＋3)，令g′(x)＝－6x ＋6m ＝0，得x ＝m.①当2≤m ≤3时，g(x)max ＝g(m)＝3m 2－9；②当m<2时，g(x)在[2，3]上是单调递减的，g(x)max ＝g(2)＝12m －21；③当m>3时，g(x)在[2，3]上是单调递增的，g(x)max ＝g(3)＝18m －36.因此g(x)max －21（m<2），2－9（2≤m ≤3），－36（m>3）.3.已知函数f(x)＝ax 2－blnx ＋12在x ＝x 0处取得极小值1＋ln2，其导函数f ′(x)的图象如图所示．求x 0，a ，b 的值．解析由图可知x 0＝12.∴当x ＝12时，f(x)极小值为1＋ln2.∴14a －bln 12＋12＝1＋ln2.∴a ＋4bln2＝2＋4ln2.①又∵f′(x)＝2ax －b x ，∴f 2a ×12－2b ＝0.∴a ＝2b.②由①②解得b ＝1，a ＝2.。