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第二章平面汇交力系第一节平面汇交力系合成平面汇交力系的合成方法可以分为几何法与解析法，其中几何法是应用力的平行四边形法则（或力的三角形法则），用几何作图的方法，研究力系中各分力与合力的关系，从而求力系的合力；而解析法则是用列方程的方法，研究力系中各分力与合力的关系，然后求力系的合力。
下面分别介绍。
一、几何法首先回顾用几何法合成两个汇交力。
如图2—1a，设在物体上作用有汇交于O点的两个力F1和F2，根据力的平行四边形法则，可知合力R的大小和方向是以两力F1和F2为邻边的平行四边形的对角线来表示，合力R的作用点就是这两个力的汇交点O。
也可以取平行四边形的一半即利用力的三角形法则求合力如图2—1b所示。
图2—1对于由多个力组成的平面汇交力系，可以连续应用力的三角形法则进行力的合成。
设作用于物体上O点的力F1、F2、F3、F4组成平面汇交力系，现求其合力，如图2—2a所示。
应用力的三角形法则，首先将F1与F2合成得R1，然后把R1与F3合成得R2，最后将R2与F4合成得R，力R就是原汇交力系F1、F2、F3、F4的合力，图2—2b所示即是此汇交力系合成的几何示意，矢量关系的数学表达式为R=F1+F2+F3+F4 （2—1）实际作图时，可以不必画出图中虚线所示的中间合力R1和R2，只要按照一定的比例尺将表达各力矢的有向线段首尾相接，形成一个不封闭的多边形，如图2—2c所示。
然后再画一条从起点指向终点的矢量R，即为原汇交力系的合力，如图2—2d所示。
把由各分力和合力构成的多边形abcde称为力多边形，合力矢是力多边形的封闭边。
按照与各分力同样的比例，封闭边的长度表示合力的大小，合力的方位与封闭边的方位一致，指向则由力多边形的起点至终点，合力的作用线通过汇交点。
这种求合力矢的几何作图法称为力多边形法则。
从图2—2e还可以看出，改变各分力矢相连的先后顺序，只会影响力多边形的形状，但不会影响合成的最后结果。
图2—2将这一作法推广到由n 个力组成的平面汇交力系，可得结论：平面汇交力系合成的最终结果是一个合力，合力的大小和方向等于力系中各分力的矢量和，可由力多边形的封闭边确定，合力的作用线通过力系的汇交点。
第二章平面汇交力系的合成与平衡课题：第一节平面汇交力系的合成与平衡（一）[教学目标]一、知识目标：1、了解求解平面汇交力系的两种方法。
2、理解平面力系、平面汇交力系。
3、理解平面汇交力系平衡的几何条件。
二、能力目标：通过用几何法求解平面汇交力系的合力，提高学生运用平面几何知识解决力学问题的能力，提高对知识的理解运用能力。
三、素质目标：培养学生的分析问题能力[教学重点]平面汇交力系平衡的几何条件。
[难点分析]用几何法求解平面汇交力系的合力。
[学生分析]学生的数学基础知识需要强化补充。
[辅助教学手段]理论联系实际进行分析，围绕练习题展开讨论。
[课时安排]2课时[教学内容]一、导入新课我们在对力系进行研究时，为了方便，可以按照各力作用线的分布情况进行分类。
从讲实际结构的受力情况入题，一般结构所受的作用力不在同一个平面内，这种力系就属于空间力系；反之，如果所受的作用力都在同一个平面内，这种力系就属于平面力系。
那么在我们研究的力系中，也把它分为两类：空间力系和平面力系。
工程中许多结构所受的作用力虽是空间力系，但在一定条件下可以简化为平面力系，比如水坝、挡土墙的受力等。
平面力系是工程中最常见的力系，本章讨论的便是平面力系的合成和平衡问题，随之引出平面汇交力系的概念及其求解平面汇交力系的两种方法：几何法和解析法。
二、新课讲解1、平面汇交力系合成的几何法（1）导入：力是矢量，矢量的合成都可以遵循平行四边形法则，那么两个汇交力怎么合成呢：两个力的合力的作用点是原汇交点，大小和方向是以两个分力为邻边所构成的平行四边形的对角线。
（2）分析：在力的平行四边形法基础上，可以得到两个汇交力合成的三角形法和多个汇交力合成的力多边形法。
（3）概念：平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等于原力系中各力的矢量和，其作用点是原汇交力系的交点。
2、平面汇交力系平衡的几何条件（1）分析：如果某平面汇交力系的力多边形首尾相重合，即力多边形自行闭合，则力系的合力等于零，物体处于平衡状态，该力系为平衡力系。
反之，欲使平面汇交力系成为平衡力系，必须使它的合力为零，即多边形必须闭合。
（2）总结：平面汇交力系平衡的几何条件是：力多边形自行闭合。
3、例题分析P31例2-1、2-2、2-36、小结：本堂课的难点是用几何法求解平面汇交力系平衡问题，通过多道例题分析引导学生理解；重点是理解平面汇交力系平衡的几何条件。
7、作业P682-1、2-2课题：第二节平面汇交力系的合成与平衡（二）[教学目标]一、知识目标：1、理解平面汇交力系平衡的几何条件和解析条件。
2、掌握用解析法求解平面汇交力系的合力。
二、能力目标：通过用解析法求解平面汇交力系的合力，提高学生运用数学知识解决力学问题的能力，提高对知识的理解运用能力。
三、素质目标：培养学生的分析问题能力[教学重点]用解析法求解平面汇交力系的合力。
[难点分析]用解析法求解平面汇交力系的合力。
[学生分析]学生的数学基础知识需要强化补充。
[辅助教学手段]理论联系实际进行分析，围绕练习题展开讨论。
[课时安排]2课时[教学内容]一、导入新课平面汇交力系的几何法简捷而且直观，但其精确度较差。
在力学计算中用得较多的还是解析法。
其中就要用到力在坐标轴上投影的概念。
二、新课讲解3、平面汇交力系合成的解析法a、力在坐标轴上的投影（1）分析：在力F的作用平面内取直角坐标系x O y，从力F的起点A及终点B分别向x轴做垂线，得垂足a及b，并在x轴上得线段ab。
线段ab加正号或负号叫做力F 在x 轴上的投影，用X 表示。
用同样的方法可以得到力F 在y 轴上的投影为线段a 1b 1，用Y 表示。
（2）强调：从投影的起点a 到终点b 与坐标轴的正向一致时，该投影取正号；与坐标轴的正向相反时取负号。
（3）讨论：当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为多少？当力与坐标轴平行时，力在该轴上的投影有什么特征？（4）总结：如果已知力F 、力F 与x 轴所构成的锐角为α，则力F 在坐标轴x 和y 上的投影X 和Y 分别为：⎭⎬⎫==ααsin cos F Y F X 如果已知力F 在坐标轴x 和y 上的投影为X 和Y 、力F 与x 轴所构成的锐角为α，则力F 的大小和方向分别为： ⎪⎭⎪⎬⎫=+=X Y tg Y X F α22 力F 的具体方向由两投影X 、Y 的正、负号来确定。
（5）例题分析：P 28例2-4b 、合力投影定理（1）设问：如果已知合力在直角坐标轴x 、y 轴上的投影，则合力的大小和方向都可以确定，那么合力和它的分力在同一坐标轴上投影的关系又如何呢？（2）讨论：以一平面汇交力系为例展开讨论。
（3）总结：提出合力投影定理：合力在任一坐标轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。
c 、用解析法求平面汇交力系的合力（1）分析：当平面汇交力系为已知时，我们可选定直角坐标系求得力系中各力在x 轴和y 轴上的投影，再根据合力投影定理求出合力在x 轴和y 轴上的投影，最后就可以得到合力的大小和方向。
（2）结论：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∑∑==∑+∑=+=X Y R R tg Y X R R R x y y x θ2222)()( 其中，R 为合力，θ为合力R 与x 轴所夹的锐角。
4、平面汇交力系平衡的解析条件（1）结论：平面汇交力系平衡的解析条件——力系中所有各力在坐标轴上的投影的代数和为零。
⎭⎬⎫=∑==∑=00Y R X R y x （2）强调：平面汇交力系只有两个独立的平衡方程，利用此解析条件，可以求解两个未知量。
5、例题分析P 31例2-76、小结：本堂课的重点是用解析法求解平面汇交力系平衡问题，必须掌握其求解步骤：选定研究对象；建立坐标系；列平衡方程求解未知力。
7、作业P692-6、2-7、2-8课题：第二节力矩平面力偶系的合成与平衡（一）[教学目标]一、知识目标：1、了解合力矩定理、力偶的基本性质。
2、理解力矩的概念及性质。
3、理解力偶的概念。
二、能力目标：通过引导学生从工程实例中归纳出力矩、力偶的概念及其性质，上升到理论，帮助学生体会认真观察的重要性。
三、素质目标：培养学生理论联系实际的思维[教学重点]力矩、力偶的数值计算。
[难点分析]确定力矩、力偶的正负。
[学生分析]学生的力学思维需要逐步引导，不能操之过急。
[辅助教学手段]1、通过和生活、工程中的实际例子多联系加深学生对力矩、力偶的理解。
2、通过讨论解决学生理解上的误区。
[课时安排]2课时[教学内容]一、导入新课力不仅能使物体移动，还能使物体转动。
如用扳手拧紧螺母，就是一个力使物体产生转动效果的实例。
那么在理论上怎么来解释这种转动的效果的呢？这就需要我们学习力矩及平面力偶理论，这些知识不仅在实际应用中有重要的意义，同时也是学习平面一般力系的基础。
二、新课讲解1、力矩a、力矩的概念（1）导入：如上图，力F使扳手绕螺母中心O转动，实践经验告诉我们，转动效果不仅与力的大小成正比，而且还与该力作用线到O点的垂直距离d 成正比。
（2）分析：当改变F的指向时，扳手的转向也随之改变。
力F使物体绕O点的转动效应用什么来度量呢？（3）概念：力F使物体绕O点的转动效应用力矩来度量，F与d的乘积加上正负号叫做力F对O点的矩，简称力矩。
O点叫做矩心。
O点到力F作用线的垂直距离d叫做力臂。
（4）强调：通常规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。
在国际单位制中常用单位是牛顿·米（N·m）或千牛顿·米（kN·m）。
力矩为零的情况：力等于零或力的作用线通过矩心。
力矩不变的情况：若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。
b、合力矩定理（1）概念：平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于各分力对同一点的力矩的代数和。
（2）分析：合力矩定理的意义：可以简化力矩的计算。
在求力对某点的矩时，若力臂较难确定，可将这个力分解为两个相互垂直的分力，再根据本定理用两分力的力矩的代数和来代替合力对这点的矩。
（3）例题分析：P34例2-10、例2-122、平面力偶系的合成与平衡条件a、力偶的概念（1）导入：在生产和生活中，经常遇到由大小相等、方向相反、不共线的两个平行力所组成的力系使物体产生转动效应。
例如：（2）概念：力学上把大小相等、方向相反、不共线的两个平行力叫做力偶。
并引出力偶矩、力偶臂的概念。
（3）分析：力偶使物体产生转动，其转动效应如何度量呢？由实践得知，若组成力偶的力F越大，或力偶的两个力作用线间的垂直距离越大，则力偶使物体转动的效应越强；反之越弱。
这种转动效应是用力偶矩来度量的。
（4）强调：通常规定，若力偶使物体作逆时针转动时，力偶矩为正；否则为负。
b、力偶的基本性质总结：（1）要搞清楚力与力偶的区别：力偶没有合力，所以不能用一个力来代替，力偶只能和力偶平衡。
（2）力偶的大小：力偶对其作用平面内任一点之矩都等于力偶矩，而与矩心位置无关。
（3）力偶的等效性：在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。
（4）力偶的投影：力偶在任意轴上的投影等于零。
3、小结：本堂课的重点是力矩、力偶的数值计算。
同时要掌握一些基础知识：力矩的概念、力偶的概念、力矩的性质、合力矩定理和力偶的基本性质。
4、作业P712-19、2-20课题：第二节力矩平面力偶系的合成与平衡（二）[教学目标]一、知识目标：掌握求解平面力偶系的平衡问题。
二、能力目标：通过做练习题，增强学生的动手解题能力。
三、素质目标：培养学生理论联系实际的思维[教学重点]求解平面力偶系的平衡问题。
[难点分析]求解平面力偶系的平衡问题。
[学生分析]动手解题能力不足。
[辅助教学手段]1、通过做练习题发现学生理解上的不足，加以强化。
[课时安排]2课时[教学内容]一、导入新课前面讲了力偶的许多性质，如果一个平面内有多个力偶，能不能也象求分力的合力那样来合成呢？合成后又怎么来求解其平衡问题呢？二、新课讲解2、平面力偶系的合成与平衡条件c、平面力偶系的合成（1）概念：同时作用在物体上有两个或两个以上的力偶，这些力偶叫做力偶系。
在同一个平面内的力偶系叫做平面力偶系。
（2）分析：平面力偶系的合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。
（3）例题分析：P38例2-13d、平面力偶系的平衡条件（1）分析：平面力偶系可合成为一个合力偶：当合力偶矩等于零时，则力偶系中各力偶对物体的转动效应相互抵消，物体处于平衡状态；当合力偶矩不等于零，则物体必有转动效应而不平衡。
（2）总结：平面力偶系的平衡的必要和充分条件：力偶中所有各力偶矩的代数和等于零。
3、例题分析P39例2-14、2-154、小结：本堂课的重点是用平面力偶系的平衡条件求解平衡问题，仍需用到一些基础知识：力矩的概念、力偶的概念、力矩的性质、合力矩定理和力偶的基本性质等，所以对于这些基础知识也是必须理解掌握的。
