极限定义证明

极限：定义与证明极限是数学中一个基本概念，在高等数学、微积分等领域都有广泛应用。

在本文中，我们将介绍极限的定义和证明方法。

定义首先，我们先来看一下极限的定义：对于一个无穷序列 $\\{a_n\\}$，如果存在一个实数L，满足对于任意小的正数 $\\epsilon$，都存在一个正整数N，使得当n>N时，$|a_n-L|<\\epsilon$，那么我们说序列 $\\{a_n\\}$ 的极限是L，记作 $\\lim_{n \\to \\infty} a_n = L$。

我们可以简化一下这个定义，将其翻译成人话：如果一个序列越来越接近某个实数L，并且对于任意小的正数 $\\epsilon$，序列的后面的项与L的距离都小于 $\\epsilon$，那么我们就认为这个序列的极限是L。

证明接下来，我们将展示如何证明一个序列的极限。

证明方法一：$\\epsilon-N$ 语言在这种证明方法中，我们将利用上面定义中的 $\\epsilon$ 和N的符号来证明极限。

Step 1：选择 $\\epsilon$我们首先选择一个小的正数 $\\epsilon$，我们可以先随意选择一个值，比如$\\epsilon=0.0001$。

Step 2：找到N接下来，我们要找到对于该正数 $\\epsilon$，序列 $\\{a_n\\}$ 中的后面的项与极限L的距离都小于$\\epsilon$ 的位置N。

具体的，我们需要找到一个整数N，使得当n>N时，$|a_n-L|<\\epsilon$。

这个N可以通过观察序列的性质和极限的值来得到。

比如，如果L=0，而序列 $\\{a_n\\}$ 是一个在正负之间震荡的序列，那么我们可以通过观察来得到N的值。

一般来说，找到这个N的方法是将a n−L的绝对值逐渐变小，直到小于所选的 $\\epsilon$。

也就是说，我们需要找到一个满足 $|a_n-L|<\\epsilon$ 的最小的整数N。

数列极限定义证明例题用极限定义证明数列极限的关键是对Πε>0，都能找到一个正整数N，当n>N时，有|an-a|<ε成立，这里的Πε>0，由证题者自己给出。

因此，关键是找出N。

1极限定义证明数列极限的关键1、对Πε>0，都能找到一个正整数N，当n>N时，有|an-a|<ε成立，这里的Πε>0，由证题者自己给出。

因此。

关键是找出N。

那么，如何寻找N呢?2、显然，要寻找的N，一定要满足当n>N时，有|an-a|<ε成立。

而|an-a|可以看成是关于正整数n的函数，我们可以通过求解不等式|an-a|<ε，找到使|an-a|<ε成立，n所要满足的条件，亦即不等式|an-a|<ε的解集。

该解集是自然数集N的无限子集，对同一个ε，N并不惟一。

3、因此，只需在该解集找出一个作为N即可。

这样寻找N的工作就转化成求解不等式|an-a|<ε的问题了。

2六种方法1、利用数列极限2、利用极限性质3、利用迫敛性4、利用级数收敛的必要条件5、利用单调有界原理6、利用柯西准则3数列极限设{Xn}为实数列，a为定数.若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有∣Xn-a∣<ε则称数列{Xn}收敛于a，定数a称为数列{Xn}的极限，并记作Xn→a(n→∞)读作“当n趋于无穷大时，{Xn}的极限等于或趋于a”。

若数列{Xn}没有极限，则称{Xn}不收敛，或称{Xn}为发散数列。

该定义常称为数列极限的ε-N定义。

对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性。

定理1：如果数列{Xn}收敛，则其极限是唯一的。

定理2：如果数列{Xn}收敛，则其一定是有界的。

即对于一切n(n=1,2……)，总可以找到一个正数M，使|Xn|≤M。

利用数列极限定义证明数列极限定义是研究数学中的数列趋于无限接近于某个数的概念，本文将以数学推导的方式，利用数列极限定义证明数列收敛的概念，具体证明方法如下：数列收敛，指的是随着数列中的元素逐步增加，数列的数值越来越接近某个数L。

换言之，给定任意一个足够小的正实数，总存在一个正整数N，使得数列中所有下标号大于等于N的元素值与L的差的绝对值小于这个正实数，即：对于任意给定的正实数ε>0，存在一个正整数N，使得当n≥N 时，有|an-L|<ε。

使用数列极限定义证明数列收敛需要进行以下的准备：1.分析数列，在数列中找到其极限2.证明上述约束条件成立，即证明存在正整数N，满足当n≥N时，|an-L|<ε3.具体推导证明首先，假设数列{an}收敛于L，则有：我们需要证明上述约束条件成立，其实这个约束条件可以解释成一个式子：forall ε>0, exists N, such that for all n >= N, |an - L| < ε下面解析一下这个约束条件的三个部分：1. 任意一个正实数ε>02. 总存在一个正整数N3. 使得当n≥N时，有|an-L|<ε第一个部分表示ε是一个自由变量，需要满足所有正实数ε都可以成立，也就是说，任意给定一个任意小又大于0的正实数ε，我们都需要找到一个正整数N，使得当n≥N时，有|an-L|<ε。

第三个部分是具体描述了一个对数列中元素的约束条件，与上述两个部分不同，它是具体面向数列而言的。

我们需要证明上述约束条件成立，证明过程分为两部分：1. 找到合适的N2. 证明N对于所有的ε成立证明正整数N对于所有的正实数ε均成立，需要分两部分进行讨论：当ε>0时，设ε=1/k，k∈Z, k>0。

由于当k趋于无穷大时，1/k趋于0，因此，对于任意小的k，都可以由收敛数列的定义找到对应的正整数Nk，使得当n≥Nk时，有|an-L|<1/k。

极限证明定义
极限证明的定义是一种严格的数学推理过程，用于证明一个数列或函数在某一点或无穷远处的极限存在性和具体取值。

具体来说，对于数列的极限证明，定义如下：
设{an}是一个数列，如果存在常数l，使得对于任意给定的正
数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|an - l| < ε成立，则称常数l为数列{an}的极限，记作lim(n→∞)an=l或
an→l。

极限证明通常需要利用数学定义和逻辑推理方法，包括使用
ε-δ方法、数列收敛性的性质、数学定理等手段，具体步骤一
般为：
1. 给出要证明的极限表达式，例如要证明lim(n→∞)an=l。

2. 根据定义，对于任意给定的ε>0，要找到一个正整数N，使
得当n>N时，不等式|an - l| < ε成立。

3. 根据数列的特性和极限定义，将给定的不等式转化为可以进行估计和推导的形式。

4. 利用数学工具和方法，展开推导，找到合适的N，使得不等式满足。

5. 使用数学定理和推理方法，证明该N的存在和可行性。

6. 根据上述步骤进行逻辑推理和数学推导，得出结论
lim(n→∞)an=l成立。

通过以上步骤，可以严格证明一个数列的极限存在且具体取值。

极限证明是数学分析中重要的一部分，对于数列和函数的性质和运算具有重要的理论和实际应用价值。

用定义证明极限等式一、用定义证明数列极限等式1、数列极限的定义：给定数列{}n x ，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得当N n ＞时，不等式ε＜a x n -都成立，那么就称常数a 是数列{}n x 的极限，或者称数列{}n x 收敛于a ，记为a x n n =∞→lim ，或()∞→→n a x n 。

上述定义的几何解释：将常数a 及数列1x ，2x ，3x ，…，n x ，…在数轴上用它们相应的点表示出来，再在数轴上作点a 的ε邻域()εε+-a a ,。

因不等式ε＜a x n -与不等式εε+-a x a n ＜＜等价，所以当N n ＞时，所有的点都落在开区间()εε+-a a ,内，而只有有限个（至多只有N 个）在这区间之外。

ε-a ε2 ε+a上述定义可表达为：.0lim εε＜时，有＞，当正整数，＞a x N n N a x n n n -∃∀⇔=∞→ 2、常用方法：①直接解不等式ε＜a x n -，得()εf n ＞②先放大n n y a x ≤-，n y 比较简单（以0为极限）；然后解不等式ε＜n y ，得()εf n ＞ 3、例题 ①证明01lim2=∞→n n证：因为要使ε＜22101n n =-，只要ε1＞n ，所以0＞ε∀，取11+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ， 则当N n ＞时，就有ε＜012-n，即01lim 2=∞→n n 。

②证明：0!lim=∞→n n n n证：先将n n n !放大：nn n n n n n n n 1321!≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=；然后0＞ε∀，解不等式ε＜n 1，得ε1＞n . a x N +1 x N +2 x N +3x 1 x 2 x 3x因此，0＞ε∀，取11+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ，当N n ＞时，就有ε＜n n n n 10!≤-，即0!lim =∞→n n n n 。

③证明：231213lim =++∞→n n n证：因为()n n n n 411221231213＜+=-++，要使ε＜231213-++n n ，只要ε＜n 41，即ε41＞n ，所以0＞ε∀，取141+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ，则当N n ＞时，就有ε＜231213-++n n ，即231213lim =++∞→n n n 。

用定义证明数列极限存在的步骤
利用数列极限的定义来证明极限通常涉及到以下步骤：
1. **确定要证明的极限**：首先，明确你要证明的数列的极限是什么。

例如，假设你要证明数列 {aₙ} 的极限是 L。

2. **使用数列极限的定义**：数列 {aₙ} 的极限 L 可以用以下定义来表示：
对于任何正实数ε，存在一个正整数 N，使得当 n > N 时，|aₙ - L| < ε成立。

这个定义表明，无论多么小的正实数ε，只要你能找到一个正整数 N，当 n 大于等于 N 时，数列的项 aₙ就会在距离 L 不超过ε的范围内。

3. **证明过程**：现在，你需要根据上述定义来证明极限。

这通常涉及到选择一个适当的ε，并找到相应的 N，使得对所有 n > N，|aₙ - L| < ε成立。

这一步通常需要一些代数和不等式操作。

4. **写出证明**：将你的证明过程写成一个正式的证明，包括对ε和 N 的选择，以及对不等式的推导。

确保每一步都是清晰且严密的。

5. **总结和结论**：最后，总结你的证明，指出你已经满足了数列极限的定义，因此数列的极限是 L。

这是一般性的方法，用于证明数列的极限。

具体的证明过程会根据问题的不同而变化，但关键是理解数列极限的定义，并根据该定义来进行严密的推导和证明。

例1、用数列极限定义证明：22lim 07n n n →∞+=- (1)(2)(3)(4)222222222224|0|77712n n n n n n n n n n n n nn ε>++-=<<=<=<------时 上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号（1）、（2）、（3）均成立方可。

第一个等号成立的条件是n>2；不等号（1）成立的条件是2<n ；不等号（2）成立的条件是7<n ；不等号（3）成立的条件是12n <，即n>2；不等号（4）成立的条件是4[]n ε>，故取N=max{7, 4[]ε}。

这样当n>N 时，有n>7，4[]n ε>。

因为n>7,所以等号第一个等号、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因为4[]n ε>，所以不等式（4）能成立，因此当n>N 时，上述系列不等式均成立，亦即当n>N 时，22|0|7n n ε+-<-。

在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n 或2n 的方法，因此，对于具体的数，．．．．．．．可．把它放大为．．．．．kn ．．（．k ．为大于零的常数）的形式．．．．．．．．．．．例2、用数列极限定义证明：24lim 01n n n n →∞+=++ (1)422224422|0|111n n n n n n n n n n n n n nε>+++-=<<=<++++++时 不等号（1）成立的条件是2[]n ε>,故取N=max{4, 2[]ε},则当n>N 时，上面的不等式都成立。

注：对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

．如： 22222211(1)1n n n n n nn n n n n n ++>++>-<+>+例3、已知2(1)(1)nn a n -=+，证明数列a n 的极限是零。

利用数列极限定义证明数列极限定义是数学中非常重要的概念，它是解决各种数学问题的关键。

数列极限定义是指当数列的项数趋近于无穷大时，数列中的每一项都趋近于一个常数。

利用数列极限定义可以证明各种数学定理，如函数极限、微积分等。

首先，我们来看一个简单的例子。

设数列$a_n$为$frac{1}{n}$，我们要证明$limlimits_{ntoinfty}a_n=0$。

根据数列极限定义，我们需要证明对于任意的$epsilon>0$，存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，$|a_n-0|<epsilon$。

我们可以假设$epsilon=frac{1}{k}$，其中$k$是任意正整数。

根据这个假设，我们需要找到一个正整数$N$，使得当$n>N$时，$|frac{1}{n}-0|<epsilon$，即$frac{1}{n}<frac{1}{k}$，从而得到$n>k$。

因此，我们可以取$N=k$，那么当$n>N$时，$|frac{1}{n}-0|<epsilon$成立，也就是$limlimits_{ntoinfty}frac{1}{n}=0$。

接下来，我们来看一个稍微复杂一些的例子。

设数列$a_n$为$sqrt{n^2+n}-n$，我们要证明$limlimits_{ntoinfty}a_n=frac{1}{2}$。

根据数列极限定义，我们需要证明对于任意的$epsilon>0$，存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，$|a_n-frac{1}{2}|<epsilon$。

我们可以将$a_n$化简为$frac{1}{sqrt{n^2+n}+n}$。

因为$n^2<n^2+n<(n+1)^2$，所以$2n<(n^2+n)+nsqrt{n^2+n}<(n+1)^2+nsqrt{n^2+n}$。

由于$sqrt{n^2+n}<sqrt{n^2+n^2}=nsqrt{2}$，所以$2n<frac{1}{sqrt{n^2+n}+n}<frac{1}{nsqrt{2}}+frac{1}{n}$。

函数极限计算函数的极限和证明极限存在性函数的极限是数学中一个重要的概念，用于描述函数在某个点附近的行为趋势。

在本文中，我们将介绍如何计算函数的极限以及如何证明函数的极限存在性。

请注意，全文将以适合的格式进行书写，无需再重复提及标题。

一、函数极限的定义函数f(x)在点x=a的极限为L，表示为lim(x→a) f(x) = L，当且仅当对于任意给定的ε>0，存在着一个对应的δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，总有|f(x)-L|<ε成立。

二、函数极限的计算方法计算函数极限的方法有多种，下面我们将介绍一些常用的方法。

1. 代入法：当函数在某个点或在某个点的一个极限为给定的数值时，可以直接代入该值计算极限。

例如，计算lim(x→2) (x^2-4)/(x-2)时，可以将x=2代入函数中得到结果为4。

2. 四则运算法则：根据四则运算法则，可以将函数进行恰当的化简，然后逐项计算极限，最后求得函数的极限。

例如，计算lim(x→1) (x^3-1)/(1-x^2)时，可将函数化简为lim(x→1) (x-1)/(1+x)(1-x)，然后依次计算极限得到结果为1。

3. 复合函数法：若函数表达式为两个函数的复合形式，可以分别计算内层函数和外层函数的极限，然后求得复合函数的极限。

例如，计算lim(x→0) sin(2x)/x时，可首先计算lim(x→0)sin(2x)/2x得到结果为2，再计算lim(x→0) 2得到结果为2，最终得到lim(x→0) sin(2x)/x=2。

三、极限存在性的证明方法要证明函数的极限存在，我们可以使用数学分析中的一些常用方法。

下面我们将介绍两种常用的证明方法。

1. ε-δ定义证明法：根据函数极限的定义，我们可以使用ε和δ的取值关系，来证明函数的极限存在性。

例如，要证明函数lim(x→1) x^2 = 1，对于任意给定的ε>0，我们可以选择δ=√ε，这样当0<|x-1|<√ε时，有|x^2-1|=|x-1||x+1|<√ε(|x+1|+1)<2√ε<ε成立，因此函数的极限存在。

用极限定义证明极限的几种方法在数学中，极限是一个非常重要的概念，它描述了一个函数在某一点的邻近区域内的行为。

极限的定义是严格的，而且它的证明方法多种多样。

在本文中，我们将探讨用极限定义证明极限的几种方法。

一、直接代入法直接代入法是最简单的证明极限的方法之一。

它适用于那些可以直接计算出函数值的情形。

如果我们知道函数在某一点的极限值，那么我们只需要将该点的值代入函数，然后证明该值等于极限值即可。

例如，我们要证明函数f(x)=x^2在x=2处的极限为4，我们可以按照以下步骤进行：1.首先，我们知道f(2)=4。

2.接下来，我们选择一个足够小的正数ε，例如ε=0.1。

3.然后，我们找到一个足够小的正数δ，例如δ=0.1。

4.对于所有满足0<|x-2|<δ的x，我们有|f(x)-4|=|x^2-4|=|x-2||x+2|<δ|x+2|。

5.由于|x-2|<δ=0.1，所以1.9<x<2.1，所以|x+2|<4.1。

6.所以|f(x)-4|<0.1×4.1=0.41<ε=0.1。

7.所以，对于所有满足0<|x-2|<δ的x，我们都有|f(x)-4|<ε，这就证明了f(x)在x=2处的极限为4。

二、利用极限的四则运算法则如果我们要证明的函数是由其他函数通过四则运算得到的，那么我们可以利用极限的四则运算法则来证明该函数的极限。

这些法则包括：1.和差的极限等于极限的和差：lim(f(x)±g(x))=lim f(x)±lim g(x)。

2.乘积的极限等于极限的乘积：lim(f(x)g(x))=lim f(x)×lim g(x)。

3.商的极限等于极限的商：lim(f(x)/g(x))=lim f(x)/lim g(x)，其中limg(x)≠0。

例如，我们要证明函数f(x)=(2x-1)/(3x+2)在x=1处的极限为1/5，我们可以按照以下步骤进行：1.首先，我们知道函数f(x)是由两个函数g(x)=2x-1和h(x)=3x+2通过除法得到的。

函数极限的证明(精选多篇)第一篇：函数极限的证明函数极限的证明(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(于正无穷。

把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,m>1;那么存在n1,当x>n1,有a/mn2时，0ni时，0那么当x>n,有(a/m)第三篇：二元函数极限证明二元函数极限证明设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y 同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。

证明极限的几种方法极限是微积分中的一个重要概念，用来描述函数在某一点或无穷远处的趋势。

在数学中，有多种方法可以用来证明极限的存在或计算极限的值。

本文将介绍几种常用的证明极限的方法。

一、数列极限的证明方法数列极限是极限的一种特殊情况，通常用来描述数列在无穷项处的趋势。

对于数列${a_n}$，如果存在一个实数$a$，使得对于任意给定的正实数$\varepsilon$，都存在正整数$N$，使得当$n>N$时，有$|a_n-a|<\varepsilon$成立，则称数列${a_n}$的极限为$a$，记作$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=a$。

数列极限的证明方法主要有夹逼准则、单调有界准则等。

夹逼准则是证明数列极限存在的常用方法。

其思想是通过夹逼数列，找到一个已知的收敛数列，使得待证数列夹在这两个数列之间。

然后利用已知数列的极限，推导出待证数列的极限。

例如，要证明数列${\frac{1}{n}}$收敛于0，可以利用夹逼准则。

首先，我们知道对于任意正整数$n$，都有$0<\frac{1}{n}<\frac{1}{1}=1$。

又因为$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{1}=0$，所以根据夹逼准则，数列${\frac{1}{n}}$的极限存在且为0。

二、函数极限的证明方法函数极限是极限的一般情况，用来描述函数在某一点处的趋势。

对于函数$f(x)$，如果存在一个实数$a$，使得对于任意给定的正实数$\varepsilon$，都存在正实数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-a|<\varepsilon$成立，则称函数$f(x)$在点$a$处具有极限$a$，记作$\lim\limits_{x\to a} f(x)=a$。

函数极限的证明方法主要有$\varepsilon-\delta$准则、夹逼准则等。

用定义证明函数极限方法总结:用定义来证明函数极限式lim ()x af x c →=，方法与用定义证明数列极限式类似，只是细节不同。

方法1：从不等式()f x c ε-<中直接解出(或找出其充分条件)()x a h ε-<，从而得()h δε=。

方法2：将()f x c -放大成()x a ϕ-，解()x a ϕε-<，得()x a h ε-<，从而得()h δε=。

部分放大法：当()f x c -不易放大时，限定10x a δ<-<，得()()f x c x a ϕ-≤-，解()x a ϕε-<，得：()x a h ε-<，取{}1min ,()h δδε=。

用定义来证明函数极限式lim ()x f x c →∞=，方法：方法1：从不等式()f x c ε-<中直接解出(或找出其充分条件)()x h ε>，从而得()A h ε=。

方法2：将()f x c -放大成()x a ϕ-，解()x a ϕε-<，得()x h ε>，从而得()A h ε=。

部分放大法：当()f x c -不易放大时，限定1x A >，得()()f x c x a ϕ-≤-，解()x a ϕε-<，得：()x h ε>，取{}1max ,()A A h ε=。

平行地，可以写出证明其它四种形式的极限的方法。

例1 证明：2lim(23)7x x →+=。

证明：0ε∀>，要使：(23)722x x ε+-=-<，只要 22x ε-<，即022x ε<-<，取2εδ=，即可。

例2 证明：22112lim 213x x x x →-=--。

分析：因为，2211212213213321x x x x x x x --+-=-=--++放大时，只有限制011x <-<，即02x <<，才容易放大。

数列极限定义证明步骤
数列极限定义证明步骤证明：对任意的ε>0，解不等式│1/√n│=1/√n<ε，得n>1/ε²，取N=[1/ε²]+1...
证明步骤
证明：对任意的ε>0，解不等式
│1/√n│=1/√n<ε
得n>1/ε²，取N=[1/ε²]+1。

于是，对任意的ε>0，总存在自然数取N=[1/ε²]+1。

当n>N时，有│1/√n│<ε
故lim(n->∞)(1/√n)=0。

数列极限
数列的极限问题是我们学习的一个比较重要的部分，同时，极限的理论也是高等数学的基础之一。

数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要的意义。

数列极限定义
定义设为数列{a
n
}，a为定数。

若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N 时有
▏a
n-a▕<E则称数列{a
n
}收敛于a，定数a称为数列{a
n
}的极限，并记作
若数列{a
n }没有极限，则称{a
n
}不收敛，或称{a
n
}发散。

等价定义任给ε>0，若在(a-ε,a+ε)之外数列{a
n
}中的项至多只有有限个，则
称数列{a
n
}收敛于极限a。

极限的定义证明
就是用极限的定义证明极限存在。

函数极限定义：
设函数f(x)在x0处的某一去心邻域内有定义，若存在常数a，对于任意ε>0，总存回在正数答δ，使得当
|x-xo|<δ时，|f(x)-a|<ε成立，那么称a是函数f(x)在x0处的极限。

极限的求法有很多种：
1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

第一篇：函数极限的证明函数极限的证明(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.例1(利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4例5例6例7第二篇：函数极限证明函数极限证明记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。