S4 S5的子群

S4及其子群S4的元已知|S4|=24及S4的的元的形式为（a），（ab），（abc），（abcd），（ab）（cd），其中a，b，c，d∈{1,2,3,4}1阶元:因为（a）=（b）=（c）=（d）,所以1阶元有1个，即单位元（1）；2阶元：形式为(ab)或（ab）（cd）,共有C42+21( C42•C22)=9个，即：(12),(34),(13),(24)，（14），(23), (12)(34),(13)(24),(14)(23)；3阶元：形式为（abc）,共有C43A22=8个，即：(123),(132),(134),(143),(124),(142),(234),(243)；4阶元：形式为（abcd）,共有C44A33= 6，即：(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)；S4的子群因为|S4|=24，由定理1，知S5子群的阶可能为：1,2,3,4,6,8,12,24，又因为|24|=23×3，根据sylow定理，S4必存在2阶、3阶、4阶和8阶子群，另S4有平凡子群1阶子群和24阶子群，可能有6阶和12阶子群。

1阶子群：N1={（1）}，为一共轭类。

2阶子群：由S4的2阶元生成的循环群，因为S4的2阶元有9个，所以S4的2阶子群有9个，即：N2=<(12)>={（1），（12）}，N3=<(13)>={（1），（13）}，N4=<(23)>={（1），（23）} ，N5=<(24)>={（1），（24）} ，N6=<(14)>={（1），（14）} ，N7=<(34)>={（1），（34）} ，N8=<(12)(34)>={（1），（12）（34）}，N9=<(13)(24)>={（1），（13）（24）}，N10=<(14)(23)>={（1），（14）（23）}，其中N2至N7为一共轭类，N8至 N10为一共轭类。

正规子群求解方法的一个注记陈一萍【摘要】Cayley定理是抽象代数中一个非常重要的定理.因为这个定理建立了抽象的有限群G和一个具体群S n之间的联系.即G同构于S n的一个子群.所以,对于Sn的子群的研究就显得尤其重要.但是,在教学实践中,学生只是通过定义来求Sn或是S n的子群的正规子群往往是很困难的事情.本文给出了在群论和表示论中经常用到求Sn的正规子群的一种方法.通过这种方法,希望可以加深学生对相应知识的理解.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2018(034)001【总页数】4页(P80-83)【关键词】对称群;正规子群;共轭关系;共轭类【作者】陈一萍【作者单位】武汉大学数学与统计学学院,武汉 430072【正文语种】中文【中图分类】O152.11 引言给定一个有限群G，如何确定G的结构是群论中的一个主要问题.Cayley定理是抽象代数中很重要的一个定理.因为这个定理给出了研究抽象的有限群的一种表示论的看法.根据Cayley定理的叙述：设G是阶为n的群，则G同构于Sn的一个子群.这样，有限的抽象群就可以用一个具体的对称群表示出来.如果想要弄清所有的有限群的结构，就只需要弄清楚对称群的所有子群.可是，事实上，这种做法比较困难.但是，尽管如此，对称群的研究对我们理解一般抽象群是十分有益的.在传统教材中[1-2]，我们发现对共轭类，正规子群的叙述较少，在后续的教学研究中有一些新的研究内容涉及这两个问题[3-4].但总体来说内容不多.以至于在实际的教学中，学生在求正规子群时会有很多困难.这些困难的来源一方面在于很多学生不能认真，仔细地完成这项工作；另一方面的原因也在于按照传统教材的叙述如果仅仅是从定义出发，这项工作会变得繁冗，条理不清晰.基于这些原因，我们希望给出求解正规子群的一般方法.这些方法和技巧在研究群论和表示论中被经常用到.但是，在抽象代数教材中又几乎没有涉及.但愿这篇文章能够弥补这个知识点的空缺.按照Cayley定理，研究有限群的正规子群最终归结为研究对称群Sn子群的正规子群.在以下几节里，我们将重点讨论这种情形.2 正规子群与共轭类假设G是n阶有限群，H是G的m阶子群.经典的拉格朗日定理表明m是n的因子.假设α和β是G中的两个元素.α与β共轭是指存在G中的元素γ使得α=γβγ-1.共轭关系是一种等价关系，即满足：自反性，对称性和传递性.利用共轭关系可以给出群G中元素的共轭分类.群G中所有和α共轭的元素称为α的共轭类，记作[α].群N是群G的正规子群如果N是G的子群且对于任意g∈G有N=gNg-1.根据正规子群的定义，群G的正规子群是G中一些共轭类的并集.即：相反，从定义可以直接验证：如果G中一些共轭类的并集和单位元构成群，则它一定是G的正规子群.那么，求解群G的正规子群归根结底就是要确定群G的共轭类.在下面一节将要讨论n元对称群的共轭类.3 共轭类和n元置换的型我们首先回忆一下：Sn中任意一个n元置换都可以写成不相交轮换的乘积.假设α=(a11…a1i)(a21…a2j)…(ar1…ark)是{1，…，n}的一个n元置换α的不相交轮换的分解，并且假设1，…，n这些数字在这些轮换中都已经出现.根据n元置换的定义，在α的基础上去掉括号，a11…a1ia21…a2j…ar1…ark是{1，…，n}的一个排列.例如：S5中置换(13)(24)会被记为(13)(24)(5).这样，打开括号后，得到1，…，5的一个排列13245.下面的一个引理给出Sn中共轭地作用下得到的置换与原来的置换之间的关系.定理1 设n元置换α=(a11…a1i)(a21…a2j)…(ar1…ark)，则对于Sn中任意置换γ，有γαγ-1=(γ(a11)…γ(a1i))(γ(a21)…γ(a2j))…(γ(ar1)…γ(ark)).证显然γ(a11)…γ(a1i)γ(a21)…γ(a2j)…γ(ar1)…γ(ark)是1，…，n的一个排列.左边置换作用在γ(a11)后得到γ(a12).右边的置换作用在γ(a11)上得到γ(a12).故此时等式成立.分别带入a12，…，ark至等式两端可以验证等式成立.这个引理表明共轭类中的所有置换在写成不相交轮换分解时候，任何一个特定长度的轮换个数是相同的.记α的循环分解中，长度为l的轮换个数为λl(α)个.显然，λl(α)是一个大于或者等于0的整数.称λl(α)为n元置换α的第l个型函数.符号(λ1(α)，…，λn(α))称为置换α的型.通过定义可知，型函数满足公式λ1(α)+2λ2(α)+…+nλn(α)=n.在下面的引理中，将要说明引理1的逆命题也是成立的.即在Sn中，两个n元置换在写成不相交的循环分解时，每个长度的轮换个数相同，则这两个置换共轭.定理2 在Sn中，置换α和β共轭当且仅当α与β的第l个型函数相同，其中l=1，…，n.证充分性由引理1可得.下面证明必要性.假设α=(a11a12…a1i)…(ar1ar2…ark)，β=(b11b12…b1i)…(br1br2…brk).令由于a11a12…a1ia21…a2j…ar1…ark与b11b12…b1ib21…b2j…br1…brk分别是1，…，n的排列.所以γ∈Sn.由引理1，γαγ-1=(γ(a11)…γ(a1i))…(γ(ar1)…γ(ark))=(b11…b1i)…(br1…brk).引理2表明Sn中的共轭类由置换的型函数完全决定.例如：在S5中，置换(235)(14)与(123)(45)对应的型函数为(0，1，1，0，0)，因而共轭.在数量关系的层面上，利用排列组合的知识可以知道，型为(λ1，…，λn)的置换个数是这个公式给出了Sn中共轭类元素的个数.为了确定置换的型函数，需要整数的划分这个概念.整数n的一个划分是指序列(a1…al)满足a1≥a2≥…≥al>0和a1+a2+…+al=n.例如：假设n=5.则(1，1，1，1，1)，(2，1，1，1)，(2，2，1)，(3，1，1)，(3，2)，(4，1)，(5)是整数5的所有划分.4 总结与举例分析结合第二和第三部分，求解对称群子群的正规子群的方法归纳如下：(a) 确定整数的划分.(b) 找到每种划分对应的元素的型，从而确定对称群的共轭类.(c) 利用对称群的共轭类对对称群子群大致分类.然后，细化分类.(d) 由于单位元和一些共轭类的并集构成的群是正规子群，所以利用拉格朗日定理，大致给出可能的共轭类的并集.然后再验证是否是群.以下利用两个例子分别说明.例1 求S4的正规子群.解易知S4中有24个元素.假设N是S4的正规子群，由拉格朗日定理可知，N的阶数是24的因子.下面来确定S4的共轭类.数字4有以下5种划分：(a) a1=a2=a3=a4=1.对应置换的型函数是(4，0，0，0).对应共轭类的代表元是(1).共轭类中有1个元素.(b) a1=2，a2=1，a3=1.对应置换的型函数是(2，1，0，0).对应共轭类的代表元是(12).共轭类中有6个元素.(c) a1=2=a2.对应置换的型函数是(0，2，0，0).对应共轭类的代表元是(12)(34).共轭类中有3个元素.(d) a1=3，a2=1.对应置换的型函数是(1，0，1，0).对应共轭类的代表元是(123).共轭类中有8个元素.(e) a1=4.对应置换的型函数是(0，0，0，1).对应共轭类代表元是(1234).共轭类中有6个元素.显然，单位元群和S4是S4的平凡的正规子群.(a)，(c)和(d)的并集恰好是4次交错群A4，因而是S4的正规子群.根据拉格朗日定理，N的另一种可能性是(a)和(d)的并集，即：{(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}.可以验证这是一个同构于Z2×Z2的交换群.故其为S4的一个非平凡的正规子群.值得注意的是：“α与β在Sn中共轭当且仅当α与β有相同的型”这个结论强调的是在Sn中共轭.如果我们考虑给出Sn的某个子群的共轭类，则需要具体问题具体分析.例2 给出二面体群D6的共轭类.解 D6是S6的子群，其中包含12个元素.D6= {(1)，(123456)，(135)(246)，(14)(25)(36)，(153)(264)，(165432)，(26)(35)，(16)(25)(34)，(15)(24)(36)，(14)(23)(56)，(13)(46)，(12)(36)(45)}.如果按照在S6中共轭.我们大致可以把这12个元素分成5个共轭类：(a) (1).(b) (123456)，(165432).(c) (135)(246)，(153)(264).(d) (14)(25)(36)，(16)(25)(34)，(15)(24)(36)，(14)(23)(56)，(12)(36)(45).(e) (26)(35)，(13)(46).但是，需要注意在S6中共轭不表示在D6中共轭.所以，此时仍需要逐一验证.由于(14)(25)(36)是中心中的元素.故其单独在一个共轭类中.又因为[(26)(35)]-1(123456)[(26)(35)]=(165432)，[(26)(35)]-1(12)(36)(45)[(26)(35)]=(16)(25)(34)，[(13)(46)]-1(12)(36)(45)[(13)(46)]=(23)(14)(56)，(123456)-1(26)(35)(123456)=(13)(46)，(165432)-1(26)(35)(165432)=(24)(15)，所以，D6总共有6个共轭类：{(1)} {(14)(25)(36)} {(123456)，(165432)} {(135)(246)，(153)(264)} {(12)(36)(45)，(16)(25)(34)，(23)(14)(56)} {(26)(35)，(13)(46)，(24)(15)}.如果要求D6的正规子群，则需要按照上个例子中的方法分别进行讨论.我们把剩余的工作留给读者.[参考文献]【相关文献】[1] 刘绍学.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，2012.[2] 聂灵沼，丁石孙.代数学引论[M].北京：高等教育出版社，2000.[3] 周后型.三次对称群的一个特征性质[J].大学数学，1997，13(1)：107-108.[4] 唐曾林，黄雨星.有限群的共轭类个数与群的性质[J].大学数学，2008，24(6)：56-58.。

群論的起源曹亮吉「群」這個觀念在數學及自然科學中都非常重要，而它的起源則是為了解方程式。

一次、二次方程式的解法很早就為人所熟悉。

高次方程式的解法有兩個方向。

其一為數字係數方程式的數值近似解，這種方法最早在中國發展得很完善。

另一種則為文字係數方程式的根式解，它在十六世紀上半因義大利一些數學家解決了三次及四次的問題，而掀起了高潮。

一般的三次方程式都可以經由移根的處理，而變成x3+px+q=0。

若以ω表1約三次方根，則此方程式的三根為其中這些公式都是由係數經四則運算及開方運算表示出來的，所以說三次方程式有根式解四次方程式一樣有根式解，雖然其公式比三次的要複雜得多。

當三次及四次方程式獲解後，大家的注意力自然就轉到五次方程式。

在這方面，雖然經過十七、十八兩世紀的努力，但幾乎都交了白卷。

直到十八世紀末的Lagrange(1736-1813年)，才算有些突破。

他經由方程式根的置換觀點，把四次以下的方程式給予統一的解法。

先以三次方程式為例。

令考慮則將(x1,x2,x3)的順序重排，就稱為x i的一個置換，譬如(x1,x2,x3)(x3,x1,x2)就是一個置換。

而在x i的置換之下，y1變成了y2，y2變成了y3，而y3變成了y1，因此我們得到y1，y2，y3的一個置換(y1,y2,y3)(y2,y3,y1)。

同理，x i的置換(x1,x2,x3)(x3,x1,x2)也引起y4,y5,y6的一個置換(y4,y5,y6)(y5,y6,y4)。

x i的置換一共有6個，它們把y1分別變到y i。

這6個置換中有三個引起y1，y2，y3間的置換，使y13=y1y2y3不變;也引起y4,y5,y6間的置換，因比也使y43=y4y5y6不變。

但另外三個x i的置換則使y1,y2,y3與y4,y5,y6兩者之間互變。

這就說明了x i無論怎麼置換，f(y)的係數y13+y43及y13y43總是不變，所以它們是x i的對稱式，因此可以寫成為原方程式係數的有理式。

5次对称群S5的一类子群的一个构造方法唐耀平;吴建平;周立平【摘要】由于有限群的Lagrange定理的逆定理不成立.因此,要确定S5的各阶子群是较困难的.文章通过n次对称群的基本概念及5-循环置换各次方幂的计算及研究,找到了S5的一类子群的构成规律,并使用构造性方法给出了3、5、6、8阶子群.【期刊名称】《湖南科技学院学报》【年(卷),期】2017(038)010【总页数】4页(P1-4)【关键词】5次对称群;子群;Lagrange定理;循环置换【作者】唐耀平;吴建平;周立平【作者单位】湖南科技学院理学院,湖南永州 425199;湖南科技学院理学院,湖南永州 425199;湖南科技学院理学院,湖南永州 425199【正文语种】中文【中图分类】O152关于子群及个数的研究在计算机通信、代数编码及计数理论研究中都具有重要意义。

n次对称群Sn是一个重要的群，由Caylay定理知，任何有限群G都同构于对称群Sn的一个子群. 所以，只要能够解决Sn的所有子群及这些子群的结构，则任意有限群的问题就得到完全解决。

但n较大时，要找出Sn的全部子群及决定各子群的结构仍然困难。

文献[2]讨论了S4的所有子群及其结构，文献[3-5]讨论了S6的所有子群及两类子群的构造方法，文献[6]讨论了S5的2、4、20、24阶的子群，文献[7-13]给出了S5的子群A5的一些性质及其结构。

这些文献表明对n次对称群Sn及其子群的讨论依然是非常活跃的。

本文使用有限群的Lagrange定理及n次对称群的结果，构造性地给出了S5的3、5、6、8阶子群，文中所引用的符号见文献[1]。

定理1[1]（Lagrange定理）设G是有限群，，则.其中符号表示有限群G的子群H在群G中的指数.推论1 设G是有限群，，，则.其中表示a的阶.定理2[1] 记k－循环置换，则（1）的阶是k；（2）；（3）若k为奇数，则；若k为偶数，则.推论2[12] 设k为奇数，k－循环置换，则，，，…分别为，，，即，若i的下标，则应取以k为模的余.定理3[1] Sn的任一元可以表为若干个互不相连的循环置换的乘积，即若，.首先，以的各次方的求得过程来说明一个更一般的5－循环置换各次方幂的计算方法。

§3.4 正规子群同态基本定理在本节中讨论群的同态基本定理。

首先考虑一种特殊的等价关系。

3.4.1 定理H是G的子群，在G上定义二元关系~如下：a ~ b当且仅当ab-1∈H，则~是G上等价关系。

证(1) 任给a∈G，都有aa-1 = e∈H，所以a ~ a；(2) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则ab-1∈H，所以ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1∈H，因此b ~ a；(3) 任给a, b, c∈G，如果a ~ b且b ~ c，则ab-1, bc-1∈H，所以ac-1 = aec-1 = a(b-1b)c-1 = (ab-1)(bc-1)∈H，因此a ~ c。

■这种等价关系记为~H，称为由H生成的等价关系。

由H生成的等价关系中的等价类有一个明显的表示。

3.4.2 定理H是G的子群，~H是由H生成的等价关系。

(1) 任给a∈G，都有a= Ha = {ha | h∈H}。

特别地，e= He = H。

(2) 任给a∈G，都有|a|= |H|。

证(1) 任给x∈a，都有x ~H a，由~H的定义得xa-1∈H，设xa-1 = h∈H，则x = xe = x(a-1a) =(xa-1)a = ha，因此y∈Ha。

任给x∈Ha，都存在h∈H，使得x = ha，所以xa-1 = (ha)a-1 = h(aa-1) = he = h∈H，由~H的定义得x ~H a，因此x∈|a|。

(2) 取H到a的映射F：H→a F(h) = ha。

显然F是满射。

任给x, y∈H，如果F(x) = F(y)，则xa = ya，由消去律得x = y，所以F是单射。

因为F是双射，所以|a| = |H|。

■因为e= H，所以a~H b当且仅当ab-1∈H=e当且仅当ab-1~H e。

1定理3.4.2的(2)告诉我们，商集G/~H中每个元素（作为G的子集）的基数都是|H|，这样的元素共有|G/~H|个，所以有：3.4.3 定理如果H是G的子群，则| G | = |H|⋅|G/~H|。

六阶群的结构：从三阶子群开始六阶非循环群只有一种结构，由三个二阶子群和一个三阶子群组合构成。

我们已经做过论证，一个包含二阶子群的六阶非循环群必定由三个二阶子群和一个三阶子群组合构成。

如果一个六阶非循环群包含一个三阶子群，这个六阶群会有怎样的结构？根据子群的性质，六阶群能够包含的最高阶的子群是三阶子群。

一个三阶群有三个互不相同的群元：。

假定有一个六阶群包含了作为子群，那么，就必定存在一个群元并且。

用构造的左陪集，根据陪集的性质可以判断：接下来让我们仔细分析，一个包含三阶子群的六阶群的可能的结构。

为了得到这样的六阶群的结构，先在形式上列出这个六阶群的乘法表：在这个乘法表中，用红色标记的位置是未确定的。

我们要用这个乘法表分析这三个群元的性质，把那些未确定的位置确定下来。

我们从找这三个群元的逆开始。

我们知道，寻找互逆群元的方法很简单：在乘法表中找出一个单位群元，与这个单位群元所在行的标题列和所在列的标题行对应的一对群元互逆；我们还知道，乘法表的每一行和每一列只存在一个单位群元。

从上面列出的形式上的乘法表可以看出，第 1,2,3 行和第 1,2,3 列相交的左上角那一块区域已经存在单位群元，这块区域所对应的互逆群元是和，因此，我们只能在第4,5,6 行和第4,5,6 列相交的右下角那一块区域中寻找。

在这一块区域中，单位群元处于哪一个位置并未确定，我们的目的就是要找出这些位置。

先看第4 行，由于，两边取平方得出，因此，；同样的道理，由得出，从而。

因此，在这一行中只能有，于是，，，这样，第4 行就确定下来了。

再看第 5 行，由导致，两边右乘得，两边再右乘，利用得，由此进一步得到。

由于，由第 2 行马上可以判断：，这一行也就确定了。

对同时左乘和右乘得到，第 3 行又确定下来了。

对的两边左乘得到，两边再右乘或就得到，，于是，第 5 行也确定下来了。

有了上面的结果，对第6 行就不用再做分析了，直接用或就可以得到，两边再右乘或就得到，，这样就把这一行确定下来了。