高中数学选修1-1学案及答案(人教B版)

人B版高中数学选修1-1同步习题目录第1章1.1.1~1.1.2同步练习第1章1.2.1同步练习第1章1.2.2同步练习第1章1.3.1同步练习第1章1.3.2同步练习第1章章末综合检测第2章2.1.1同步练习第2章2.1.2同步练习第2章2.2.1同步练习第2章2.2.2同步练习第2章2.3.1同步练习第2章2.3.2同步练习第2章章末综合检测第3章3.1.1~3.1.2同步练习第3章3.1.3同步练习第3章3.2.1~3.2.2同步练习第3章3.2.3同步练习第3章3.3.1同步练习第3章3.3.2第1课时同步练习第3章3.3.2第2课时同步练习第3章3.3.3同步练习第3章章末综合检测人教B 版选修1-1同步练习1．下列是全称命题且是真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2>0 B ．∀x ∈Q ，x 2∈Q C ．∃x 0∈Z ，x 20>1 D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0 答案：B2．下列命题是真命题的为( )A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x <y 2解析：选A.由1x ＝1y，得x ＝y ，A 正确，B 、C 、D 错误．3．判断下列命题的真假： ①3≥3：________；②100或50是10的倍数：________. 答案：①真命题 ②真命题4．(1)用符号“∀”表示命题“不论m 取什么实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实根”； (2)用符号“∃”表示命题“存在实数x ，使sin x >tan x ”． 解：(1)∀m ∈R ，x 2＋x －m ＝0有实根． (2)∃x 0∈R ，sin x 0>tan x 0.一、选择题1．下列命题为存在性命题的是( ) A ．偶函数的图象关于y 轴对称 B ．正四棱柱都是平行四面体 C ．不相交的两条直线是平行直线 D ．存在实数大于等于3 答案：D2．下列命题是真命题的是( ) A ．{∅}是空集B.{}x ∈N ||x －1|<3是无限集 C ．π是有理数D ．x 2－5x ＝0的根是自然数解析：选D.x 2－5x ＝0的根为x 1＝0，x 2＝5，均为自然数． 3．(2010年高考湖南卷)下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0 D ．∀x ∈R,2x >0解析：选C.对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x >0，正确．4．下列命题中，是正确的全称命题的是( )A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0B ．菱形的两条对角线相等C ．∃x 0∈R ，x 20＝x 0D ．对数函数在定义域上是单调函数解析：选D.A 中含有全称量词“任意”，a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，是假命题．B 、D 在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”．菱形的对角线不一定相等；C 是特称命题．所以选D.5．下列存在性命题不正确的是( ) A ．有些不相似的三角形面积相等 B ．存在一个实数x ，使x 2＋x ＋1≤0C ．存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大D ．有一个实数的倒数是它本身解析：选B.B 中因为x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，所以不存在x 使x 2＋x ＋1≤0；A 中等底等高的三角形面积相等但不一定相似；C 中a >0时，成立；D 中1的倒数是它本身．6．下列命题中真命题的个数为( ) ①面积相等的两个三角形是全等三角形； ②若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0； ③若a >b ，则a ＋c >b ＋c ； ④矩形的对角线互相垂直． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选A.①错；②错，若xy ＝0，则x ，y 至少有一个为0，而未必|x |＋|y |＝0；③对，不等式两边同时加上同一个常数，不等号开口方向不变；④错．二、填空题7．填上适当的量词符号“∀”“∃”，使下列命题为真命题． (1)________x ∈R ，使x 2＋2x ＋1≥0；(2)________α，β∈R ，使cos(α－β)＝cos α－cos β.解析：(1)中(x ＋1)2≥0所以对∀x ∈R 恒成立；(2)为存在性命题． 答案：(1)∀；(2)∃8．下列语句中是命题的有________，其中是假命题的有________．(只填序号) ①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ ②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边．解析：根据命题的概念，判断是否是命题；若是，再判断其真假．①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题； ②是假命题，因为0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况． 答案：②③ ②③9．给出下列几个命题：①若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0； ②若a >b ，则a 2>b 2；③若x >－3，则x 2＋x －6≤0；④若a ，b 是无理数，则a b 也是无理数． 其中的真命题有________个．解析：①是真命题．②设a ＝1>b ＝－2，但a 2<b 2，假命题．③设x ＝4>－3，但x 2＋x －6＝41>0，假命题．④设a ＝(2)2，b ＝2，则a b ＝(2)2＝2是有理数，假命题．答案：1 三、解答题10．用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题． (1)一定有整数x ，y ，使得3x ＋2y ＝10成立； (2)对所有的实数x ，都能使x 2＋2x ＋2≤0成立． 解：(1)∃x ，y ∈Z ，使3x ＋2y ＝10； (2)∀x ∈R ，有x 2＋2x ＋2≤0.11．判断下列语句是不是全称命题或存在性命题，如果是，找出命题中的量词．(1)中国的所有党派都由中国共产党统一领导； (2)0不能作除数；(3)存在一个x ∈R ，使2x ＋1＝3；(4)至少有一个x ∈Z ，使x 能被2和3整除． 解：(1)全称命题，命题中的量词是“所有”； (2)是命题，但不是全称命题或者存在性命题； (3)存在性命题，命题中的量词是“存在一个”； (4)存在性命题，命题中的量词是“至少有一个”．12．已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0(m ∈R )无实根，求使p 正确且q 正确的m 的取值范围．解：若p 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，m >0，解得m >2.若q 为真，则Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3.p 真，q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧m >2，1<m <3.故m 的取值范围是(2,3)．人教B版选修1-1同步练习1．如果命题“p∨q”是真命题，那么()A．命题p与命题q都是真命题B．命题p与命题q同为真命题或同为假命题C．命题p与命题q只有一个是真命题D．命题p与命题q至少有一个是真命题答案：D2．由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”，都为真命题的是()A．p：4＋4＝9，q：7＞4B．p：a∈{a，b，c}；q：{a}{a，b，c}C．p：15是质数；q：8是12的约数D．p：2是偶数；q：2不是质数答案：B3．判断下列命题的形式(从“p∨q”、“p∧q”中选填一种)：(1)6≤8：________；(2)集合中的元素是确定的且是无序的：________.答案：p∨q p∧q4．分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题，并判断其真假．(1)8或6是30的约数；(2)矩形的对角线垂直平分．解：(1)p或q，p：8是30的约数(假)，q：6是30的约数(真)．“p或q”为真．(2)p且q，p：矩形的对角线互相垂直(假)，q：矩形的对角线互相平分(真)．“p且q”为假．一、选择题1．下列命题是真命题的是()A．5＞2且7＞8B．3＞4或3＜4C．7－1≥7 D．方程x2－3x＋4＝0有实根解析：选B.虽然p：3＞4假，但q：3＜4真，所以p∨q为真命题．2．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么()A．命题p，q都是真命题B．命题p，q都是假命题C．命题p，q只有一个是真命题D．命题p，q至少有一个是真命题解析：选C.p∨q为真命题，则p，q中至少有一个是真命题；p∧q为假命题，则p，q 中至少有一个是假命题，因此，p，q中必有一个真命题，一个假命题．因此选C.3．命题p：x＝π是y＝|sin x|的对称轴．命题q：2π是y＝|sin x|的最小正周期．下列命题中，是真命题的个数是()①p∨q②p∧q③p④qA．0 B．1C．2 D．3答案：C4．“xy≠0”指的是()A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x，y至少有一个不为0D．不都是0解析：选A.x 、y 都不为0，即x ≠0且y ≠0.5．已知集合A ＝{x |p (x )}＝{x |x 是等腰三角形}，B ＝{x |q (x )}＝{x |x 是直角三角形}，用特征性质描述法表示A ∩B 是( )A ．{x |p 且q }＝{x |x 是等腰直角三角形}B ．{x |p 或q }＝{x |x 是等腰三角形或直角三角形}C ．{x |p 且q }＝{x |x 是等腰三角形}D ．{x |p 或q }＝{x |x 是直角三角形} 答案：A 6．若命题p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1被直线x ＝1平分；q ：在△ABC 中，若sin2A ＝sin2B ，则A ＝B ，则下列结论中正确的是( )A ．“p ∨q ”为假B ．“p ∨q ”为真C ．“p ∧q ”为真D ．以上都不对 答案：B 二、填空题7．“10既是自然数又是偶数”为________形式． 解析：注意逻辑联结词“且”的含义． 答案：p ∧q8．用“或”、“且”填空，使命题成为真命题： (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈A ________x ∈B ； (2)若x ∈A ∩B ，则x ∈A ________x ∈B ； (3)若ab ＝0，则a ＝0________b ＝0；(4)a ，b ∈R ，若a ＞0________b ＞0，则ab ＞0. 答案：(1)或 (2)且 (3)或 (4)且9．设命题p ：2x ＋y ＝3；q ：x －y ＝6.若p ∧q 为真命题，则x ＝________，y ＝________. 解析：若p ∧q 为真命题，则p ，q 均为真命题，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝3，x －y ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3.答案：3 －3 三、解答题10．判断下列命题的真假：(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边； (2)－1是偶数或奇数．解：(1)这个命题是p ∧q 的形式，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边．因为p 真、q 真，则p ∧q 真，所以该命题是真命题．(2)此命题是p ∨q 的形式，其中p ：－1是偶数，q ：－1是奇数．因为p 为假命题，q 为真命题，所以p ∨q 为真命题，故原命题为真命题．11．分别指出由下列各组命题构成的“p ∧q ”、“p ∨q ”形式的命题的真假． (1)p ：正多边形有一个内切圆；q ：正多边形有一个外接圆．(2)p ；角平分线上的点到角的两边的距离不相等；q ：线段垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等．(3)p ：2∈{2,3,4}；q ：{矩形}∩{菱形}＝{正方形}．(4)p ：正六边形的对角线都相等；q ：凡是偶数都是4的倍数． 解：(1)因为p 真q 真，所以“p ∧q ”真，“p ∨q ”真． (2)因为p 假q 真，所以“p ∧q ”假，“p ∨q ”真． (3)因为p 真q 真，所以“p ∧q ”真，“p ∨q ”真． (4)因为p 假q 假，所以“p ∧q ”假，“p ∨q ”假．12．已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立．若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求a 的取值范围．解：∵y ＝a x 在R 上单调递增，∴p ：a ＞1； 又不等式ax 2－ax ＋1＞0对∀x ∈R 恒成立，∴Δ＜0，即a2－4a＜0，∴0＜a＜4，∴q：0＜a＜4.而命题p∧q为假，p∨q为真，那么p、q中有且只有一个为真，一个为假．(1)若p真，q假，则a≥4；(2)若p假，q真，则0＜a≤1，∴a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．人教B版选修1-1同步练习1．(2011年高考辽宁卷)已知命题p：∃n∈N,2n＞1000，则¬p为()A．∀n∈N,2n≤1000B．∀n∈N,2n＞1000C．∃n∈N,2n≤1000 D．∃n∈N,2n＜1000答案：A2．命题“一次函数都是单调函数”的否定是()A．一次函数都不是单调函数B．非一次函数都不是单调函数C．有些一次函数是单调函数D．有些一次函数不是单调函数解析：选D.命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．3．A⃘(A∪B)是________形式；该命题是________(填“真”“假”)命题．答案：“¬p”假4．写出下列命题的否定，并判断真假(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)有些实数的绝对值是正数．解：(1)存在一个矩形不是平行四边形；假命题；(2)所有的实数的绝对值都不是正数；假命题．一、选择题1．如果命题“p∨q”与命题“¬p”都是真命题，那么()A．命题p不一定是假命题B．命题q一定为真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真假相同解析：选B.“p∨q”为真，则p、q至少有一个为真．¬p为真，则p为假，∴q是真命题．2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，使得x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，使得x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，使得x3－x2＋1＞0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0解析：选C.全称命题的否定为存在性命题．3．若p、q是两个简单命题，且“p∨q”的否定是真命题，则必有()A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真解析：选B.∵“p∨q”的否定为真，则p∨q为假，即p、q均为假．故选B.4．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是()A．(¬p)∨q B．p∧qC．(¬p)∧(¬q) D．(¬p)∨(¬q)解析：选D.p为真，q为假，所以¬q为真，(¬p)∨(¬q)为真．5．下列命题的否定是假命题的是()A．p：能被3整除的整数是奇数；¬p：存在一个能被3整除的整数不是奇数B．p：每一个四边形的四个顶点共圆；¬p：存在一个四边形的四个顶点不共圆C．p：有些三角形为正三角形；¬p：所有的三角形都不是正三角形D ．p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0；¬p ：∀x ∈R ，都有x 2＋2x ＋2>0 解析：选C.p 为真命题，则¬p 为假命题．6．给出两个命题：p ：函数y ＝x 2－x －1有两个不同的零点；q ：若1x<1，则x >1，那么在下列四个命题中，真命题是( )A ．(¬p )∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∨(¬q )解析：选D.对于p ，函数对应的方程x 2－x －1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝5>0. 可知函数有两个不同的零点，故p 为真．当x <0时，不等式1x<1恒成立；当x >0时，不等式的解为x >1.故不等式1x<1的解为x <0或x >1.故命题q 为假命题． 所以只有(¬p )∨(¬q )为真．故选D. 二、填空题7．写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定：________.解析：命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论．答案：有些函数没有奇偶性8．命题“存在实数x ，y ，使得x ＋y >1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________命题(填“真”或“假”)．解析：原命题为真，所以它的否定为假．也可以用线性规划的知识判断． 答案：∃x 0，y 0∈R ，x 0＋y 0>1 ∀x ，y ∈R ，x ＋y ≤1 假 9．命题“方程x 2＝4的解是x ＝2或x ＝－2”的否定是____________________________．解析：x 2＝4的解是x ＝2或x ＝－2，则它的否定：解不是2也不是－2. 答案：方程x 2＝4的解不是2也不是－2. 三、解答题10．写出下列各命题的否定： (1)x ＝±3；(2)圆既是轴对称图形又是中心对称图形； (3)a ，b ，c 都相等．解：(1)x ≠3，且x ≠－3；(2)圆不是轴对称图形或不是中心对称图形；(3)a ，b ，c 不都相等，即a ≠b 或b ≠c 或c ≠a ，即a ，b ，c 中至少有两个不相等． 11．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假： (1)二次函数的图象是抛物线；(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象； (3)∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一解． 解：(1)¬p ：∃x 0∈{二次函数}，x 0的图象不是抛物线．假命题． (2)¬p ：在直角坐标系中，∃x 0∈{直线}，x 0不是一次函数的图象．真命题． (3)¬p ：∃a 0，b 0∈R ，方程a 0x ＋b 0＝0无解或至少有两解．真命题．12．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.若¬p 则¬q 成立，求实数a 的取值范围．解：由x 2－4ax ＋3a 2＜0得 (x －3a )(x －a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8＞0，得2＜x ≤3， 若¬p 则¬q 成立， 设A ＝{x |¬p }，B ＝{x |¬q }，则A ⊆B ， 又A ＝{x |¬p }＝{x |x ≤a 或x ≥3a }， B ＝{x |¬q }＝{x ≤2或x ＞3}，则0＜a ≤2，且3a ＞3，所以实数a 的取值范围是{a |1＜a ≤2}．人教B 版选修1-1同步练习1．(2011年高考福建卷)若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.若a ＝1，则有|a |＝1是真命题，即a ＝1⇒|a |＝1，由|a |＝1可得a ＝±1，所以若|a |＝1，则有a ＝1是假命题，即|a |＝1⇒a ＝1不成立，所以a ＝1是|a |＝1的充分而不必要条件，故选A.2．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由于“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．3．用符号“⇒”或“”填空：(1)整数a 能被4整除________a 的个位数为偶数；(2)a >b ________ac 2>bc 2.答案：(1)⇒ (2)4．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的什么条件？解：当a ＝2时，直线ax ＋2y ＝0，即2x ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行，因为直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1，所以a 2＝1，a ＝2， 综上，“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充要条件．一、选择题1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以N M ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．2．(2010年高考福建卷)若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4是|a |＝5”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；反之，由|a |＝x 2＋32＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件，故选A.3．“b ＝c ＝0”是“二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.b＝c＝0⇒y＝ax2，二次函数一定经过原点；二次函数y＝ax2＋bx＋c经过原点⇒c＝0，b不一定等于0，故选A.4．已知p，q，r是三个命题，若p是r的充要条件且q是r的必要条件，那么q是p 的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.p是r的充要条件且q是r的必要条件，故有p⇔r⇒q，即p⇒q，q p，所以q是p的必要条件．5．已知条件p：y＝lg(x2＋2x－3)的定义域，条件q：5x－6>x2，则q是p的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.p：x2＋2x－3>0，则x>1或x<－3；q：5x－6>x2，即x2－5x＋6<0，则2＜x＜3.由小集合⇒大集合，∴q⇒p，但p q．故选A.6．下列所给的p、q中，p是q的充分条件的个数是()①p：x>1，q：－3x<－3；②p：x>1，q：2－2x<2；③p：x＝3，q：sin x>cos x；④p：直线a，b不相交，q：a∥b.A．1B．2C．3 D．4解析：选C.①由于p：x>1⇒q：－3x<－3，所以p是q的充分条件；②由于p：x>1⇒q：2－2x<2(即x>0)，所以p是q的充分条件；③由于p：x＝3⇒q：sin x>cos x，所以p是q的充分条件；④由于p：直线a，b不相交q：a∥b，所以p不是q的充分条件．二、填空题7．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________．解析：x2－3x＋2<0⇔(x－1)(x－2)<0⇔1<x<2.答案：1<x<28．在△ABC中，“sin A＝sin B”是“a＝b”的________条件．解析：在△ABC中，由正弦定理及sin A＝sin B可得2R sin A＝2R sin B，即a＝b；反之也成立．答案：充要9．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以是x2<1的一个充分条件的所有序号为________．解析：由于x2<1即－1<x<1，①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意．答案：②③④三、解答题10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．解：(1)∵|x|＝|y|x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，∴p是q的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．(3)四边形的对角线互相平分 四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．11．命题p ：x >0，y <0，命题q ：x >y ，1x >1y，则p 是q 的什么条件？ 解：p ：x >0，y <0，则q ：x >y ，1x >1y成立； 反之，由x >y ，1x >1y ⇒y －x xy>0， 因y －x <0，得xy <0，即x 、y 异号，又x >y ，得x >0，y <0.所以“x >0，y <0”是“x >y ，1x >1y”的充要条件． 12．已知条件p ：A ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}，条件q ：B ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，当a 为何值时(1)p 是q 的充分不必要条件；(2)p 是q 的必要不充分条件；(3)p 是q 的充要条件？解：由p ：A ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，由q ：B ＝[1,2]．(1)∵p 是q 的充分不必要条件，∴A ⊆B 且A ≠B ，故A ＝[1，a ]⇒1≤a ＜2.(2)∵p 是q 的必要不充分条件，∴B ⊆A 且A ≠B ，故A ＝[1，a ]且a ＞2⇒a ＞2.(3)∵p 是q 的充要条件，∴A ＝B ⇒a ＝2.人教B 版选修1-1同步练习1．命题“若a >0，则3a 4a ＝34”的逆命题为( ) A ．若a ≤0，则3a 4a ≠34 B ．若3a 4a ≠34，则a >0 C ．若3a 4a ≠34，则a ≤0 D ．若3a 4a ＝34，则a >0 解析：选D.逆命题为把原命题的条件和结论对调．2．(2011年高考山东卷)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3解析：选A.a ＋b ＋c ＝3的否定是a ＋b ＋c ≠3，a 2＋b 2＋c 2≥3的否定是a 2＋b 2＋c 2＜3.3．命题“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的否命题是________．答案：若A ∪B ≠B ，则A ⃘B4．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假．解：(1)命题p 的否命题为：“若ac <0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”；(2)命题p 的否命题是真命题．证明如下：∵ac <0，∴－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根．∴该命题是真命题．一、选择题1．若“x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题是( )A ．若x ≤y ，则x 2≤y 2B ．若x >y ，则x 2<y 2C ．若x 2≤y 2，则x ≤yD ．若x <y ，则x 2<y 2解析：选C.由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题．故选D. 3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )A ．逆命题、否命题、逆否命题都为真B ．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D．逆命题、否命题为假，逆否命题为真解析：选D.因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其逆命题：“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．4．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的()A．逆命题B．逆否命题C．否命题D．以上判断都不对解析：选B.命题p：若x，则y，其逆命题q：若y，则x，那么命题q的否命题r：若¬y，则¬x，所以p是r的逆否命题．所以选B.5．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除解析：选B.一个命题与它的逆否命题是等价命题，选项B中的命题恰为已知命题的逆否命题．6．存在下列三个命题：①“等边三角形的三个内角都是60°”的逆命题；②“若k>0，则一元二次方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆否命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.①②正确．二、填空题7．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是________，逆否命题是________．答案：若a>0，则a>1若a≤0，则a≤18．有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若a＋b是无理数，则a，b都是无理数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案：③9．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．解析：①中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC1做模型来观察：上底面A1B1C1D1中任意三点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以①中的逆命题不是真命题．②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点．由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点．所以②中的逆命题是真命题．答案：②三、解答题10．写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断真假．(1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B；(2)正偶数不是质数．解：(1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题；否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题；逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．(2)逆命题：若一个数不是质数，则它一定是正偶数，假命题；否命题：若一个数不是正偶数，则它一定是质数，假命题；逆否命题：若一个数是质数，则它一定不是正偶数，假命题．11．判断下列命题的真假：(1)“若x∈A∪B，则x∈B”的逆命题与逆否命题；(2)“若自然数能被6整除，则自然数能被2整除”的逆命题．解：(1)逆命题：若x∈B，则x∈A∪B.根据集合“并”的定义，逆命题为真．逆否命题：若x∉B，则x∉A∪B.逆否命题为假．如2∉{1,5}＝B，A＝{2,3}，但2∈A∪B.(2)逆命题：若自然数能被2整除，则自然数能被6整除．逆命题为假．反例：2,4,14,22等都不能被6整除．12．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．人教B 版选修1-1第1章章末综合检测(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若A ⊆B ，则A ＝B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．4解析：选B.原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真．故共有2个真命题．2．若命题p ：x ＝2且y ＝3，则¬p 为( )A ．x ≠2或y ≠3B ．x ≠2且y ≠3C ．x ＝2或y ≠3D ．x ≠2或y ＝3解析：选A.由于“且”的否定为“或”，所以¬p ：x ≠2或y ≠3.故选A.3．命题“若a >b ，则a －5>b －5”的逆否命题是( )A ．若a <b ，则a －5<b － 5B ．若a －5>b －5，则a >bC ．若a ≤b ，则a －5≤b － 5D ．若a －5≤b －5，则a ≤b解析：选D.逆否命题是把原命题条件的否定作为结论，把原命题结论的否定作为条件而构成的．4．下列语句中，命题和真命题的个数分别是( )①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？②一个数不是奇数就是偶数；③x ＋y 是有理数，则x 、y 也都是有理数；④求证：x ∈R ，方程x 2＋x ＋1＝0无实数根．A ．3,1B ．2,2C ．2,0D ．2,1解析：选C.命题是②、③，它们都是假命题，所以选C.5．下列全称命题中假命题的个数是( )①2x ＋1是整数(x ∈R ) ②对所有的x ∈R ，x >3 ③对任意一个x ∈Z,2x 2＋1为奇数A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选C.对于①，当x ＝14时，2x ＋1＝32不是整数，假命题．对于②，当x ＝0时，0<3，假命题．对于③，当x ∈Z 时，2x 2是偶数，进而2x 2＋1是奇数，所以①②是假命题，故选C.6．“x >0”是“3x 2>0”成立的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件解析：选A.因为当x >0时，一定有3x 2>0，但当3x 2>0时，x <0也成立，因此，x >0是3x 2>0成立的充分非必要条件．7．下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2解析：选B.对于A，正确；对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，错误；对于C，当x∈(0,1)时，lg x<0<1，正确；对于D，正确．8．(2011年高考大纲全国卷)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3解析：选A.由a＞b＋1得a＞b＋1＞b，即a＞b；且由a＞b不能得出a＞b＋1.因此，使a＞b成立的充分不必要条件是a＞b＋1，故选A.9．f(x)、g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，则“f(x)、g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若f(x)、g(x)均为偶函数，则h(x)一定是偶函数，但h(x)是偶函数，并不能保证f(x)、g(x)均为偶函数，例如：f(x)＝x，g(x)＝－x，f(x)＋g(x)＝0是偶函数，但f(x)与g(x)均为奇函数．10．已知p：x＝1，¬q：x2＋8x－9＝0，则下列为真命题的是()A．若p，则q B．若¬q，则pC．若q，则¬p D．若¬p，则q解析：选C.p：x＝1，q：x≠1且x≠－9，易判断A、B为假命题，∵x2＋8x－9≠0⇒x≠1，∴选项C正确．11．下列说法错误的是()A．命题“若m>0，则方程x2＋3x－m＝0有实根”的逆否命题为“若方程x2＋3x－m＝0无实根，则m≤0”B．“x＝2”是“x2－5x＋6＝0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．若命题p：∃x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则¬p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0解析：选C.C项p∧q为假命题，则只要p、q中至少有一个为假即可．12．已知命题p：存在x∈R，使tan x＝22，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，则下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且¬q”是假命题；③命题“¬p或q”是真命题；④命题“¬p或¬q”是假命题．其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④解析：选D.∵p、q都是真命题，∴①②③④均正确．二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)13．命题p：内接于圆的四边形的对角互补，则p的否命题是________，非p是________．答案：不内接于圆的四边形的对角不互补内接于圆的四边形的对角不互补14．用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2π：________；(2)存在一个有理数x0，使得x20＝8：________.答案：(1)∀x∈{凸n边形}，x的外角和等于2π(2)∃x0∈Q，x20＝815．a＝3是“直线l1：ax＋2y＋3a＝0和直线l2：3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合”的________条件．解析：当a＝3时，l1：3x＋2y＋9＝0，l2：3x＋2y＋4＝0，∴l1∥l2.反之，若l1∥l2，则a(a－1)＝6，即a＝3或a＝－2，但a＝－2时，l1与l2重合．答案：充要16．给出下列命题：①已知a ＝(3,4)，b ＝(0，－1)，则a 在b 方向上的投影为－4；②函数y ＝tan(x ＋π3)的图象关于点(π6，0)成中心对称； ③若a ≠0，则a ·b ＝a ·c 是b ＝c 成立的必要不充分条件．其中正确命题的序号是________．(将所有正确命题的序号都填上)解析：①∵|a |＝5，|b |＝1，a ·b ＝－4，∴cos 〈a ，b 〉＝－45， ∴a 在b 方向上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝－4，①正确．②当x ＝π6时，tan(x ＋π3)无意义， 由正切函数y ＝tan x 的图象的性质知，②正确．③当a ≠0，b ＝c 时，a ·b ＝a ·c 成立．(当a ≠0，a ·b ＝a ·c 时不一定有b ＝c .)∴③正确．答案：①②③三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知命题p ：∀非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )＝0，则b ＝c .写出其否定和否命题，并说明真假．解：¬p ：∃非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )＝0，则b ≠c .¬p 为真命题．否命题：∀非零向量a 、b 、c ，若a ·(b －c )≠0，则b ≠c .否命题为真命题．18．指出下列命题中，p 是q 的什么条件：(1)p ：{x |x >－2或x <3}；q ：{x |x 2－x －6<0}；(2)p ：a 与b 都是奇数；q ：a ＋b 是偶数．解：(1)∵{x |x >－2或x <3}＝R ，{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，∴{x |x >－2或x <3}{x |－2<x <3}，而{x |－2<x <3}⇒{x |x >－2或x <3}．∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵a 、b 都是奇数⇒a ＋b 为偶数，而a ＋b 为偶数a 、b 都是奇数，∴p 是q 的充分不必要条件．19．根据条件，判断“p ∨q ”，“p ∧q ”，“¬p ”的真假：(1)p ：9是144的约数，q ：9是225的约数；(2)p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R ，q ：不等式x 2－2x ＋1≤0的解集为∅.解：(1)p ∨q ：9是144或225的约数．p ∧q ：9是144与225的公约数．¬p ：9不是144的约数．∵p 真，q 真，∴p ∨q 为真，p ∧q 为真，而¬p 为假．(2)p ∨q ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R 或不等式x 2－2x ＋1≤0的解集为∅.p ∧q ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R 且不等式x 2－2x ＋1≤0的解集为∅.¬p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集不为R .∵p 假，q 假，∴p ∨q 为假，p ∧q 为假，而¬p 为真．20．已知p ：A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，q ：B ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，且x ∈A 是x ∈B 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：因为p ：A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，q ：B ＝{x |1<x <3}．又因为x ∈A 是x ∈B 的必要条件，所以q ⇒p ，即B ⊆A .所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1a ＋4≥3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，即－1≤a ≤5.∴实数a 的取值范围是{a |－1≤a ≤5}．21．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z .若p ∧q 和¬q 都是假命题，求x 的值．解：∵p ∧q 为假命题，∴p 、q 至少有一个为假．。

学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分、必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．知识点一全称命题与存在性命题1．全称命题与存在性命题真假的判断方法(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例．(2)判断存在性命题为真命题，需要举出正例，而判断存在性命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．2．含有一个量词的命题否定的关注点全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．知识点二简易逻辑联结词“且、或、非”命题的真假判断可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假．知识点三充分条件、必要条件的判断方法1．直接利用定义判断：即若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(条件与结论是相对的)2．利用等价命题的关系判断：p⇒q的等价命题是綈q⇒綈p，即若綈q⇒綈p成立，则p是q 的充分条件，q是p的必要条件．3．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件知识点四四种命题的关系原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题．类型一命题的关系及真假的判断例1将下列命题改写成“如果p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及它们的真假．(1)垂直于同一平面的两条直线平行；(2)当mn<0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．反思与感悟(1)四种命题的改写步骤①确定原命题的条件和结论．②逆命题：把原命题的条件和结论交换．否命题：把原命题中条件和结论分别否定．逆否命题：把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论．(2)命题真假的判断方法跟踪训练1下列四个结论：①已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”；②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；③命题p的否命题和命题p的逆命题同真同假；④若|C|>0，则C>0.其中正确结论的个数是()A．1 B．2C．3 D．4类型二逻辑联结词与量词的综合应用例2已知p：∃x∈R，mx2＋2≤0.q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m 的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]C．(－∞，－2] D．[－1,1]反思与感悟解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径．跟踪训练2已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．类型三充分条件与必要条件命题角度1充分条件与必要条件的判断例3(1)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法 (1)定义法：直接判断若p 则q ，若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ，B ⇒A 与綈A ⇒綈B ，A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．跟踪训练3 使a >b >0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．a 2>b 2>0 B ．12log a >12log b >0C ．ln a >ln b >0D ．x a >x b 且x >0.5命题角度2 充分条件与必要条件的应用例4 设命题p ：x 2－5x ＋6≤0；命题q ：(x －m )(x －m －2)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p 是綈q 的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p 是q 的必要不充分(充分不必要、充要)条件．跟踪训练4 已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：2<x <3且綈q 是綈p 的必要条件，求实数a 的取值范围．1．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)e x>1，则綈p为()A．∃x≤0，使得(x＋1)e x≤1B．∃x>0，使得(x＋1)e x≤1C．∀x>0，总有(x＋1)e x≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)e x≤12．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为______________．4．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．5．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．1．否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题．(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为“如果p，则q”，则该命题的否命题是“如果綈p，则綈q”；命题的否定为“如果p，则綈q”．2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．4．注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．答案精析问题导学 知识点四如果p ，则q 如果q ，则p 如果綈p ，则綈q 如果綈q ，则綈p 题型探究例1 解 (1)将命题写成“如果p ，则q ”的形式为：如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：如果两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．(假) 否命题：如果两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．(假) 逆否命题：如果两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．(真)(2)将命题写成“如果p ，则q ”的形式为：如果mn <0，则方程mx 2－x ＋n ＝0有实数根． 它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：如果方程mx 2－x ＋n ＝0有实数根，则mn <0.(假) 否命题：如果mn ≥0，则方程mx 2－x ＋n ＝0没有实数根．(假)逆否命题：如果方程mx 2－x ＋n ＝0没有实数根，则mn ≥0.(真) 跟踪训练1 B [正确的为①③.]例2 A [因为p ∨q 为假命题，所以p 和q 都是假命题． 由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假， 得∀x ∈R ，mx 2＋2＞0，所以m ≥0.① 由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0为假， 得∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0，所以Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.② 由①和②得m ≥1.]跟踪训练2 解 由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1， ∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即函数y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2. ∵命题“p 或q ”为假命题， ∴a >2或a <－2.即a 的取值范围为{a |a >2或a <－2}． 例3 (1)B (2)C解析 (1)∵x 2－3x >0⇒/ x >4， x >4⇒x 2－3x >0，故x 2－3x >0是x >4的必要不充分条件． (2)∵a >0且b >0⇔a ＋b >0且ab >0，∴a >0且b >0是a ＋b >0且ab >0的充要条件． 跟踪训练3 C例4 解 方法一 命题p ：x 2－5x ＋6≤0， 解得2≤x ≤3；命题q ：(x －m )(x －m －2)≤0， 解得m ≤x ≤m ＋2，∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤2，m ＋2>3或⎩⎪⎨⎪⎧m <2，m ＋2≥3，解得1≤m ≤2.∴实数m 的取值范围是[1,2]． 方法二 命题p ：2≤x ≤3， 命题q ：m ≤x ≤m ＋2， 綈p ：x <2或x >3， 綈q ：x <m 或x >m ＋2，∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴{x |x <m 或x >m ＋2}{x |x <2或x >3}，故⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，m ＋2≥3，解得1≤m ≤2. ∴实数m 的取值范围是[1,2]．跟踪训练4 解 ∵綈q 是綈p 的必要条件，∴q 是p 的充分条件， 令f (x )＝2x 2－9x ＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤0，f (3)≤0，解得a ≤9， ∴实数a 的取值范围是(－∞，9]． 当堂训练1．B 2.A 3.若x ，y 不全为零，则xy ≠0 4.②③ 5.(－∞，0]。

学习目标1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题．知识点一在x ＝x 0处的导数1．定义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是li m Δx→0ΔyΔx＝________________，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数．2．几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数是函数图象在点(x 0，f (x 0))处的切线________． 知识点二导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的__________(简称________)，f ′(x )＝y ′＝____________.知识点三基本初等函数的导数公式知识点四导数的运算法则1．函数的单调性与导数如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间内单调递增；________，则f(x)在此区间内单调递减．2．函数的极值与导数已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有________，则称函数f(x)在点x0处取____________，记作y极大值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有________，则称函数f(x)在点x0处取____________，记作y极小值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．知识点六求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤1．求f(x)在开区间(a，b)内所有____________．2．计算函数f(x)在极值点和________________，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．类型一导数几何意义的应用例1已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．反思与感悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由y0－y1x0－x1＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一类类型．跟踪训练1已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在实数k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，说明理由．类型二函数的单调性与导数 例2已知函数f (x )＝ax －1e x .(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若对任意t ∈[12，2]，f (t )>t 恒成立，求实数a 的取值范围．反思与感悟(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间． (2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价． (3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集． (4)求参数的范围时常用到分离参数法． 跟踪训练2已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．类型三函数的极值、最值与导数例3已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，过曲线y ＝f (x )上的点P (1，f (1))的切线方程为y ＝3x ＋1，y ＝f (x )在x ＝－2时有极值． (1)求f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的单调区间和最大值．反思与感悟(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义． (2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f ′(x )的正负．(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者． 跟踪训练3已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．类型四分类讨论思想 例4已知函数f (x )＝ln xx －1.(1)试判断函数f (x )的单调性；(2)设m >0，求f (x )在[m,2m ]上的最大值； (3)试证明：对∀n ∈N ＋，不等式ln(1＋n n )e <1＋nn .反思与感悟(1)分类讨论即分别归类再进行讨论，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略．(2)解题时首先要思考为什么分类，即分类依据是什么，一般的分类依据如：方程类型、根的个数及与区间的关系、不等号的方向等；其次考虑分几类，每一类中是否还需要再分类． (3)分类讨论的基本原则是不重不漏．跟踪训练4设函数f (x )是定义在[－1,0)∪(0,1]上的偶函数，当x ∈[－1,0)时，f (x )＝x 3－ax (a 为实数)．(1)当x ∈(0,1]时，求f (x )的解析式；(2)若a >3，试判断f (x )在(0,1]上的单调性，并证明你的结论； (3)是否存在a ，使得当x ∈(0,1]时，f (x )有最大值1?1．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12B.12C ．－22D.22.2．如果函数f (x )的图象如图所示，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是()3．体积为16π的圆柱，它的半径为________时，圆柱的表面积最小．4．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上单调递增，则a 的最大值为________． 5．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．1．利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．明确“过点P (x 0，y 0)的曲线y ＝f (x )的切线方程”与“在点P (x 0，y 0)处的曲线y ＝f (x )的切线方程”的异同点．2．借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．3．利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题．答案精析知识梳理 知识点一 1．lim Δx→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx2．斜率 知识点二 导函数导数li m Δx→f (x ＋Δx )－f (x )Δx知识点三0ux u －1cos x －sin xa x ln ae x1x ln a 1x知识点四f ′(x )±g ′(x )f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )知识点五1．f ′(x )>0f ′(x )<02．f (x )<f (x 0)极大值f (x )>f (x 0)极小值 知识点六 1．极值点 2．端点的函数值 题型探究例1解函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ， f ′(x )＝1－2x (x >0),∴f (1)＝1，f ′(1)＝－1,∴y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－(x －1), 即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0.①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .∵当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．跟踪训练1解(1)因为f′(x)＝3ax2＋6x－6a，且f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，得a＝－2.(2)因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线y＝g(x)相切的直线方程．设切点坐标为(x0,3x20＋6x0＋12)，又因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)．将点(0,9)代入，得9－3x20－6x0－12＝－6x20－6x0，所以3x20－3＝0，得x0＝±1.当x0＝1时，g′(1)＝12，g(1)＝21，切点坐标为(1,21)，所以切线方程为y＝12x＋9；当x0＝－1时，g′(－1)＝0，g(－1)＝9，切点坐标为(－1,9)，所以切线方程为y＝9.下面求曲线y＝f(x)的斜率为12和0的切线方程：因为f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，所以f′(x)＝－6x2＋6x＋12.由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.当x＝0时，f(0)＝－11，此时切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，f(1)＝2，此时切线方程为y＝12x－10.所以y＝12x＋9不是公切线．由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.当x＝－1时，f(－1)＝－18，此时切线方程为y＝－18；当x＝2时，f(2)＝9，此时切线方程为y＝9，所以y＝9是公切线．综上所述，当k＝0时，y＝9是两曲线的公切线．例2解(1)当a＝1时，f(x)＝x－1 e x，∴f ′(x )＝－x ＋2e x .由f ′(x )>0，得x <2， 由f ′(x )<0，得x >2.故f (x )的单调递增区间为(－∞，2)，单调递减区间为(2，＋∞)． (2)若对任意t ∈[12，2]，f (t )>t 恒成立，则当x ∈[12，2]时，ax －1e x >x 恒成立，即当x ∈[12，2]时，a >e x ＋1x 恒成立．设g (x )＝e x ＋1x ，x ∈[12，2]，则g ′(x )＝e x －1x 2，x ∈[12，2]．设h (x )＝e x －1x2，∵h ′(x )＝e x ＋2x 3>0在x ∈[12，2]上恒成立，∴h (x )在[12，2]上单调递增，即g ′(x )＝e x －1x 2在[12，2]上单调递增．∵g ′(12)＝e 12－4<0，g ′(2)＝e 2－14>0，∴g ′(x )＝e x －1x 2在[12，2]上有零点m ，∴g (x )＝e x ＋1x 在[12，m ]上单调递减，在[m,2]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >g (12)，a >g (2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a >e ＋2，a >e 2＋12，∴a >e 2＋12.即实数a 的取值范围为(e 2＋12，＋∞)．跟踪训练2解(1)求导得f ′(x )＝3x 2－a ， 因为f (x )在R 上是增函数，所以f ′(x )≥0在R 上恒成立． 即3x 2－a ≥0在R 上恒成立， 即a ≤3x 2，而3x 2≥0，所以a ≤0.当a ＝0时，f (x )＝x 3－1在R 上单调递增，符合题意． 所以a 的取值范围是(－∞，0]．(2)假设存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减， 则f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立． 即3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立， 即a ≥3x 2，又因为在(－1,1)上，0≤3x 2<3， 所以a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )＝3x 2－3，在(－1,1)上，f ′(x )<0， 所以f (x )在(－1,1)上单调递减， 即a ＝3符合题意．所以存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，且a 的取值范围是[3，＋∞)． 例3解(1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 所以f ′(1)＝3＋2a ＋b ， 故过曲线上P 点的切线方程为 y －f (1)＝(3＋2a ＋b )(x －1)，即y －(a ＋b ＋c ＋1)＝(3＋2a ＋b )(x －1)， 已知该切线方程为y ＝3x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝3，c －a －2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，c －a ＝3，因为y ＝f (x )在x ＝－2时有极值，所以f ′(－2)＝0， 即－4a ＋b ＝－12， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，c －a ＝3，－4a ＋b ＝－12，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，c ＝5，所以f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5. (2)由(1)知f ′(x )＝3x 2＋4x －4 ＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23.当x ∈[－3，－2)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，23)时，f ′(x )<0；当x ∈(23，1]时，f ′(x )>0.所以f (x )的单调递增区间为[－3，－2)和(23，1]，单调递减区间为(－2，23)．又f (－2)＝13，f (23)＝9527，f (－3)＝8，f (1)＝4，所以f (x )在区间[－3,1]上的最大值为13.跟踪训练3解(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知，f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 所以函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln5. 例4(1)解函数f (x )的定义域是(0，＋∞)． 由已知f ′(x )＝1－ln xx2，令f ′(x )＝0，得1－ln x ＝0，所以x ＝e. 因为当0<x <e 时，f ′(x )＝1－ln xx 2>0，当x >e 时，f ′(x )＝1－ln xx 2<0，所以函数f (x )在(0，e]上单调递增， 在(e ，＋∞)上单调递减．(2)解由(1)知函数f (x )在(0，e]上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， ①当0<2m ≤e ，即0<m ≤e2时，f (x )在[m,2m ]上单调递增， 所以f (x )max ＝f (2m )＝ln2m2m－1；②当m ≥e 时，f (x )在[m,2m ]上单调递减．所以f (x )max ＝f (m )＝ln m m－1； ③当m <e<2m ，即e 2<m <e 时， 当m ≤x <e 时，f ′(x )>0，当e<x ≤2m 时，f ′(x )<0，所以f (x )max ＝f (e)＝1e－1. (3)证明由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )max ＝f (e)＝1e－1， 所以在(0，＋∞)上恒有f (x )＝ln x x －1≤1e －1， 即ln x x ≤1e，当且仅当x ＝e 时“＝”成立， 所以对∀x ∈(0，＋∞)恒有ln x ≤1ex . 因为1＋n n >0，1＋n n≠e ， 所以ln 1＋n n <1e ·1＋n n ⇒ln(1＋n n )e <1＋n n， 即对∀n ∈N ＋，不等式ln(1＋n n )e <1＋n n恒成立． 跟踪训练4解(1)设x ∈(0,1]，则－x ∈[－1,0)．∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x 3＋ax ，即当x ∈(0,1]时，f (x )＝－x 3＋ax .(2)f (x )在(0,1]上单调递增，证明如下：f ′(x )＝－3x 2＋a ，x ∈(0,1]，∴－3x 2∈[－3,0)．又a >3，∴a －3x 2>0，即f ′(x )>0.∴f (x )在(0,1]上单调递增．(3)当a >3时，f (x )在(0,1]上单调递增，∴f (x )max ＝f (1)＝a －1＝1.∴a ＝2与a >3矛盾．当0≤a ≤3时，令f ′(x )＝a －3x 2＝0，得x ＝a 3或x ＝－a 3(舍去)． 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 3时，f ′(x )>0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，a 3上单调递增． 当x ∈⎝⎛⎭⎫a 3，1时，f ′(x )<0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫a 3，1上单调递减． 又函数f (x )在x ＝a 3处连续， ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－⎝⎛⎭⎫a 33＋a a 3＝1.解得a ＝3274. 当a <0时，f ′(x )＝a －3x 2<0，∴f (x )在(0,1]上单调递减，f (x )在(0,1]上无最大值． 综上，存在a ＝3274，使f (x )在(0,1]上有最大值1. 当堂训练1．B[y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故y ′|x ＝π4＝12， ∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12.] 2．A[由f (x )与f ′(x )的关系可知选A.]3．2解析设圆柱底面半径为r ，母线长为l .∴16π＝πr 2l ，即l ＝16r2， 则S 表面积＝2πr 2＋2πrl ＝2πr 2＋2πr ×16r 2＝2πr 2＋32πr， 由S ′＝4πr －32πr2＝0，得r ＝2. ∴当r ＝2时，圆柱的表面积最小．4．3解析由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ≥0(x ≥1)，∴a ≤3x 2，∴a ≤3，∴a 的最大值为3.5．解(1)f ′(x )＝a x －12x 2＋32. 由题意知，曲线在x ＝1处的切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1. (2)由(1)知，f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)， 则f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(舍去)． 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3，无极大值．。

1．1.1命题学习目标 1.理解命题的概念.2.会判断命题的真假．知识点一命题的概念思考1给出下列语句：①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；②3＋6＝7；③偶函数的图象关于y轴对称；④5能被4整除．请你找出上述语句的特点．思考2命题有哪些表达形式，疑问句、祈使句、感叹句能否作为命题？梳理(1)命题的定义用______________________表达的，可以判断________的________叫做命题．(2)分类①真命题：________________的语句叫做真命题；②假命题：________________的语句叫做假命题．知识点二命题真假性的判断思考判断下列命题的真假性．(1)函数y＝cos4x－sin4x的最小正周期是π；(2)若a >b ，则1a <1b .梳理 数学中判断一个命题是真命题，要经过证明；而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．类型一 命题的判断 例1 下列语句：(1)2是无限循环小数；(2)x 2－3x ＋2＝0；(3)当x ＝4时，2x >0；(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？(5)一个数不是合数就是素数；(6)作△ABC ≌△A ′B ′C ′；(7)二次函数的图象太美了！(8)4是集合{1,2,3}中的元素． 其中是命题的是____________．(填序号)反思与感悟 (1)一般来说，陈述句才有可能是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题． (2)该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题． (3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．跟踪训练1 下列语句中，是命题的为________． ①红豆生南国； ②作射线AB ； ③中国领土不可侵犯！ ④当x ≤1时，x 2－3x ＋2≤0.类型二 命题真假的判断 引申探究本例中命题④变为：若AB →·BC →<0，则△ABC 是锐角三角形，该命题还是真命题吗？例2 给定下列命题： ①若a >b ，则2a >2b ；②命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是真命题； ③直线x ＝π2是函数y ＝sin x 的一条对称轴；④在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 是钝角三角形． 其中为真命题的是________．反思与感悟 一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．要判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可． 跟踪训练2 下列命题中假命题的个数为( )①mx 2＋2x －1＝0是一元二次方程；②空间中两条直线不相交，两条直线就平行；③函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期为π2；④空集是任何集合的子集．A ．1B ．2C ．3D ．41．下列语句不是命题的有( )①2<1；②x <1；③如果x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．有下列命题：①若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；②若a >b ，则a ＋c >b ＋c ；③矩形的对角线互相垂直． 其中真命题共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 3．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D ．语句“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 4．下列语句：①四边形的内角和为360°；②0是最小的偶数吗？③两直线平行，同位角相等；④若两直线不平行，则它们相交．其中，不是命题的序号为________，真命题的序号为________．5．若“方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a 的取值范围是______________．根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．答案精析问题导学 知识点一思考1 上述语句有两个特点：①都是陈述句；②能够判断真假．思考2 命题的表达形式有语言、符号或式子；疑问句、祈使句、感叹句不能作为命题，它们不符合命题必须是陈述句的特点． 梳理 (1)语言、符号或式子 真假 语句 (2)①判断为真 ②判断为假 知识点二思考 命题(1)中，y ＝cos 4x －sin 4x ＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ，显然其最小正周期为π，为真命题． 命题(2)中，当a ＝2，b ＝－1时，1a ＝12，1b ＝－1，1a <1b 不成立，为假命题．题型探究 例1 (1)(3)(5)(8)解析 本题主要考查命题的判断，判断依据：一是陈述句；二是看能否判断真假．(1)是命题，能判断真假；(2)不是命题，因为语句中含有变量x ，在没给变量x 赋值前，我们无法判断语句的真假；(3)是命题；(4)不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断；(5)是命题；(6)不是命题；(7)不是命题；(8)是命题．故答案为(1)(3)(5)(8)． 跟踪训练1 ①④解析 ②和③都不是陈述句，根据命题的定义可知①④是命题． 例2 ①③④解析 结合函数f (x )＝2x 的单调性，知①为真命题；而函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝π2＋k π，k ∈Z ，故③为真命题；因为AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－B )＝－|AB →||BC →|cos B >0，故得cos B <0，从而得B 为钝角，所以④为真命题． 引申探究解 不是真命题，AB →·BC →<0只能说明∠B 是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形． 跟踪训练2 C 当堂训练1．B 2.B 3.D 4.② ①③ 5．a <98且a ≠0。

1解逻辑用语问题三绝招1．利用集合——理清关系充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本文使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：①A是B的充分条件，即A⊆B.②A是B的必要条件，即B⊆A.③A是B的充要条件，即A＝B.④A是B的既不充分也不必要条件，即A∩B＝∅或A、B既有公共元素也有非公共元素．或例1“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)解析 设命题p ：“x 2－3x ＋2≥0”，q ：“x ≥1”对应的集合分别为A 、B ，则A ＝{x |x ≤1或x ≥2}，B ＝{x |x ≥1}，显然“A B ，B A ”，因此“x 2－3x ＋2≥0”是“x ≥1”的既不充分也不必要条件．答案 既不充分也不必要 2．抓住量词——对症下药全称命题与存在性命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．例2 (1)已知命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，与命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2＋a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围为______________．(2)已知命题p ：“存在x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”与命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2＋a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围为____________． 解析 (1)将命题p 转化为“当x ∈[1,2]时， (x 2－a )min ≥0”，即1－a ≥0，即a ≤1.命题q ：即方程有解，Δ＝(2a )2－4×(2＋a )≥0， 解得a ≤－1或a ≥2.综上所述，a ≤－1. (2)命题p 转化为当x ∈[1,2]时，(x 2－a )max ≥0， 即4－a ≥0，即a ≤4.命题q 同(1)． 综上所述，a ≤－1或2≤a ≤4.答案 (1)(－∞，－1] (2)(－∞，－1]∪[2,4]点评 认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢． 3．等价转化——提高速度在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．例3 设p ：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －12>0，2x －y －8≤0，x －2y ＋6≥0，q ：x 2＋y 2≤r 2 (r >0)，若q 是綈p 的充分不必要条件，求r 的取值范围．分析 “q 是綈p 的充分不必要条件”等价于“p 是綈q 的充分不必要条件”．设p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则可由A ⊆∁R B 出发解题．解 设p 、q 对应的集合分别为A 、B ，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A 表示平面区域，点集∁R B 表示到原点距离大于r 的点的集合，即圆x 2＋y 2＝r 2外的点的集合． ∵A ⊆∁R B 表示区域A 内的点到原点的最近距离大于r ， ∴直线3x ＋4y －12＝0上的点到原点的最近距离大于等于r ， ∵原点O 到直线3x ＋4y －12＝0的距离 d ＝|－12|32＋42＝125，∴r 的取值范围为0<r ≤125.点评 若直接解的话，q 是綈p 的充分不必要条件即为x 2＋y 2≤r 2 (r >0)在p ：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －12>0，2x －y －8≤0，x －2y ＋6≥0所对应的区域的外部，也是可以解决的．但以上解法将“q 是綈p 的充分不必要条件”等价转化为“p 是綈q 的充分不必要条件”，更好地体现了相应的数学思想方法．2 判断条件四策略1．应用定义如果p ⇒q ，那么称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件．判断的关键是分清条件与结论．例1 设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，那么“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈P ∩M ”的____________条件．解析 条件p ：x ∈M 或x ∈P ；结论q ：x ∈P ∩M .若x ∈M ，则x 不一定属于P ，即x 不一定属于P ∩M ，所以pD /⇒q ； 若x ∈P ∩M ，则x ∈M 且x ∈P ，所以q ⇒p .综上知，“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈P ∩M ”的必要不充分条件． 答案 必要不充分 2．利用传递性充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即若p ⇒q ，q ⇒r ，则p ⇒r .例2 如果A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充要条件，D 是C 的充分不必要条件，那么A 是D 的____________条件．解析 依题意，有A ⇐B ⇔C ⇐D 且AD ⇒/B ⇔CD ⇒/D ，由命题的传递性可知D ⇒A ，但AD ⇒/D .于是A 是D 的必要不充分条件． 答案 必要不充分 3．利用集合运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法．若p 以非空集合A 的形式出现，q 以非空集合B 的形式出现，则①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；③若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；④若B A ，则p 是q 的必要不充分条件；⑤若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．例3 已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是________．解析 设p 、q 分别对应集合P 、Q ，则P ＝{x |－2≤x ≤10}，Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }， 由题意知，p ⇒q ，但qD ⇒/p .故P Q ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m <－2，1＋m ≥10，m >0或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10，m >0，解得m ≥9.即m 的取值范围是[9，＋∞)． 答案 [9，＋∞) 4．等价转化由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由p 推q 较困难时，可利用等价转化，先判断由非q 推非p ，从而得到p ⇒q .例4 已知p ：x ＋y ≠2，q ：x ，y 不都是1，则p 是q 的____________条件． 解析 因为p ：x ＋y ≠2，q ：x ≠1或y ≠1， 所以綈p ：x ＋y ＝2，綈q ：x ＝1且y ＝1. 因为綈pD ⇒/綈q ，但綈q ⇒綈p ， 所以綈q 是綈p 的充分不必要条件， 即p 是q 的充分不必要条件． 答案 充分不必要3 走出逻辑用语中的误区误区1 所有不等式、集合运算式都不是命题例1 判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假． (1)x ＋2>0； (2)x 2＋2>0； (3)A ∩B ＝A ∪B ； (4)A ⊆A ∪B .错解(1)、(2)、(3)、(4)都不是命题．剖析(1)中含有未知数x，且x不定，所以x＋2的值也不定，故无法判断x＋2>0是否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题；(2)x虽为未知数，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判断x2＋2>0成立，故(2)为真命题．(3)若A＝B，则A∩B＝A∪B＝A＝B；若A B，则A∩B＝A A∪B＝B.由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题．(4)A为A∪B的子集，故A⊆A∪B成立，故(4)为真命题．正解(2)、(4)是命题，且都为真命题．误区2原命题为真，其否命题必为假例2判断下列命题的否命题的真假：(1)若a＝0，则ab＝0；(2)若a2>b2，则a>b.错解(1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；(2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题．剖析否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出命题的否命题，再判断．正解(1)否命题：若a≠0，则ab≠0，是假命题；(2)否命题：若a2≤b2，则a≤b，是假命题．误区3搞不清谁是谁的条件例3使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件是()A．x>3 B．x>4C．x>2 D．x∈{1,2,3}错解由不等式x－3>0成立，得x>3，显然x>3⇒x>2，又x>2D⇒/x>3，因此选C.剖析若p的一个充分不必要条件是q，则q⇒p，pD⇒/q.本题要求使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件，又x>4⇒x－3>0，而x－3>0D⇒/x>4，所以使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件为x>4.正解 B误区4考虑问题不周例4如果a，b，c∈R，那么“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件错解判别式Δ＝b2－4ac>0，即方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.综上可知“b2>4ac”是“方程ax2＋bx ＋c＝0有两个不等实根”的充要条件，故选C.剖析判别式Δ＝b2－4ac只适用于一元二次方程的实数根存在情况的判断．对于方程ax2＋bx ＋c＝0，当a＝0时，原方程为一次方程bx＋c＝0(b≠0)，一次方程不存在判别式，所以当b2>4ac 时不能推出方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则它的判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.由上可知，“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的必要不充分条件．正解 B误区5用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论例5(1)已知p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2，试写出“p∨q”；(2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出“p∧q”．错解(1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2.(2)p∧q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．剖析(1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“p∨q”，“p∧q”也都应是假命题．而上述解答中写出的两命题却都是真命题．错误原因：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件．正解(1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2. (2)p∧q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．误区6不能正确否定结论例6p：方程x2－5x＋6＝0有两个相等的实数根，试写出“綈p”．错解綈p：方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根．剖析命题p的结论：“有两个相等的实数根”，所以“綈p”应否定“有”，而不能否定“相等”．正解綈p：方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实数根．误区7对含有一个量词的命题否定不完全例7已知命题p：存在一个实数x0，使得x20－x0－2<0，写出綈p.错解一綈p：存在一个实数x0，使得x20－x0－2≥0.错解二綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.剖析该命题是存在性命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的綈p仍是存在性命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定．正解綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.误区8忽略了隐含的量词例8写出下列命题的否定：(1)不相交的两条直线是平行直线；(2)奇函数的图象关于y轴对称．错解(1)不相交的两条直线不是平行直线；(2)奇函数的图象不关于y轴对称．剖析以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题．对于一些量词不明显或不含有量词，但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题，要特别引起注意．正解(1)存在不相交的两条直线不是平行直线；(2)存在一个奇函数的图象不关于y轴对称.4解“逻辑”问题需强化的三意识1．转化意识由于互为逆否的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题的真假来判断或证明．例1证明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.分析本题直接证明原命题是真命题，显然不太容易，可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题．证明命题“若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1”的逆否命题是“若a－b＝1，则a2－b2＋2a－4b－3＝0”．由a－b＝1得a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝a－b －1＝0.∵原命题的逆否命题是真命题，∴原命题也是真命题．故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.例2已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．分析将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题．解解不等式x2－8x－20>0，得p：A＝{x|x>10或x<－2}；解不等式x2－2x＋1－a2>0，得q：B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}．依题意p⇒q，但qD⇒/p，说明A B.于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >01＋a ≤101－a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧a >01＋a <101－a ≥－2，解得0<a ≤3.所以正实数a 的取值范围是(0,3]． 2．简化意识判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是分别将各命题简化，对等价的简化命题进行判断．例3 已知命题p ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ，命题q ：函数y ＝－(5－2a )x 是R 上的减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是______________． 分析 先将命题p ，q 等价转化，再根据题意构建关于a 的关系式，从而得到a 的取值范围． 解析 函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ，即y ＝x 2＋2x ＋a 的值域是(0，＋∞)，即在方程x 2＋2x ＋a ＝0中，Δ＝4－4a ≥0⇔a ≤1，即p 真⇔a ≤1； 函数y ＝－(5－2a )x 是减函数⇔5－2a >1⇔a <2， 即q 真⇔a <2.由p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，知命题p ，q 中必有一真一假．若p 真q 假，则无解；若p 假q 真，则1<a <2.故满足题意的实数a 的取值范围是(1,2)． 答案 (1,2)点评 若命题“p 或q ”“p 且q ”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p ，q ，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p 或q ”“p 且q ”的真假情况确定参数的取值范围． 3．反例意识在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法． 例4 设A ，B 为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是________． ①A ⊈B ⇔对任意x ∈A ，都有x ∉B ； ②A ⊈B ⇔A ∩B ＝∅； ③A ⊈B ⇔B ⊈A ；④A ⊈B ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B .分析 画出表示A B 的V enn 图进行判断．解析 画出Venn 图，如图1所示，则A B ⇔存在x ∈A ，使得x ∈B ，故①②是假命题，④是真命题．A B⇒B A不成立的反例如图2所示．同理可得B A⇒A B不成立．故③是假命题．综上知，真命题的序号是④.答案④。

姓名，年级：时间：章末评估验收(一)（时间：120分钟满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列语句中是命题的个数有( ）①“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?”；②“一个数不是正数就是负数”；③“大角所对的边大于小角所对的边"；④“若x＋y为有理数,则x，y也都是有理数”；⑤“作△ABC∽△A′B′C′”．A．2个B．3个C．4个D．5个解析：①疑问句：没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断,不是命题．②是假命题.0既不是正数也不是负数．③是假命题．没有指明在同一个三角形中．④是假命题．如x＝错误!，y＝－错误!。

⑤祈使句．不是命题．所以②③④是命题．答案：B2．命题“若a>0,则a2>0”的逆命题是（)A．若a>0，则a2≤0 B．若a2〉0，则a〉0C．若a≤0，则a2>0 D．若a≤0,则a2≤0解析：交换原命题的条件和结论即可得其逆命题．答案：B3．在△ABC中，“A＝错误!”是“cos A＝错误!”的( ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：在△ABC中,0〈A<π.所以A＝错误!⇔cos A＝错误!，故选C。

答案：C4．若“x2＜1，则－1＜x＜1"的逆否命题是（)A．若x2≥1,则x≥1或x≤－1B．若－1＜x＜1,则x2＜1C．若x＞1或x＜－1，则x2＞1D．若x≥1或x≤－1,则x2≥1解析：－1＜x＜1的否定是x≥1或x≤－1；x2＜1的否定是x2≥1。

则逆否命题为：若x≥1或x≤－1则x2≥1。

答案：D5．下列命题中，是真命题的是（）A．若向量a，b满足a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若0＜a＜b,则错误!＜错误!C．对任意x∈R，错误!是无理数D．∃x∈R，使得sin x＋cos x＝错误!成立解析：对于选项A中，当a⊥b时，a·b＝0也成立，此时不一定有a ＝0或b＝0；选项B显然是假命题；选项C是假命题，例如错误!是有理数；对于选项D，因为sin x＋cos x＝2sin错误!∈［－错误!，错误! ]，所以该命题正确．答案：D6．命题“设a,b，c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（)A．0个B．1个C．2个D．3个解析：原命题为真,则逆否命题也为真；逆命题“设a,b,c∈R,若a＞b,则ac2＞bc2”是假命题，故否命题也为假命题，因此真命题有2个．答案：C7．命题p：∀x∈R，x2＋1＞0,命题q：∃θ∈R，sin2θ＋cos2θ＝1。

章末评估验收(二)(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线3x 2－y 2＝9的焦距为( )A. B ．2 C ．2 D ．46633解析：方程化为标准方程为－＝1，所以a 2＝3，b 2＝9.x 23y 29所以c 2＝a 2＋b 2＝12，所以c ＝2，所以2c ＝4.33答案：D2．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( )A ．(0，2) B ．(0，1)C ．(2，0)D ．(1，0)解析：由y 2＝4x 知p ＝2，故抛物线的焦点坐标为(1，0)．答案：D3．已知椭圆＋＝1(m >0)的离心率e ＝，则m 的值为( )x 25y 2m 105A ．3 B.或3253C.D.或5515315解析：由题意知m >0，当5>m 时，a ＝，b ＝，c ＝，5m 5－m 所以e ＝＝＝，解得m ＝3；当5<m 时，a ＝，b ＝，c ＝c a 5－m 5105m 5，所以e ＝＝＝，解得m ＝.故选B.m －5c a m －5m105253答案：B4．已知两定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的12等差中项，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段解析：依题意知|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|＝2，作图可知点P 的轨迹为线段．答案：D5．双曲线x 2－＝1的焦点到渐近线的距离为( )y 23A ．1 B.3C ．3D ．4解析：依题意得，c 2＝a 2＋b 2＝1＋3＝4，所以双曲线的右焦点坐标是(2，0)，一条渐近线方程是y ＝x ，即x －y ＝0，因此焦点到渐33近线的距离为＝，故选B.23（3）2＋13答案：B6．过抛物线y 2＝8x 的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )A ．8B ．16C ．32D ．64解析：抛物线中2p ＝8，p ＝4，则焦点坐标为(2，0)，过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y ＝x －2，由得x 2－12x ＋4＝0，{y ＝x －2，y 2＝8x ，)则x 1＋x 2＝12(x 1，x 2为直线与抛物线两个交点的横坐标)．从而弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.答案：B7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是( )A. B.1－525－12C.D.－1－525＋12解析：依题意有(2b )2＝2a ·2c ，即4b 2＝4ac ，所以 b 2＝ac .又b 2＝a 2－c 2，所以 a 2－c 2＝ac .两边同除以a 2，得1－－＝0.(c a )2 c a即有e 2＋e －1＝0，解得e ＝或e ＝(舍去)．5－12－5－12答案：B8．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m ＜0)的半径为2，椭圆C ：＋x2a2＝1的左焦点为F (－c ，0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆My 23相切，则a 的值为( )A. B ．1C ．2D ．434解析：圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2，则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m ＜0)，所以 m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1，0)．由题意知直线l 的方程为x ＝－c ，又因为直线l 与圆M 相切，所以 c ＝1，所以 a 2－3＝1，所以 a ＝2.答案：C9．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( )A. B. C. D ．3437585解析：设与直线4x ＋3y －8＝0平行的直线方程为4x ＋3y ＋c ＝0，与抛物线联立方程组得消去y 得3x 2－4x －c ＝0，Δ＝{4x ＋3y ＋c ＝0，y ＝－x 2，)(－4)2－4×3×(－c )＝0，解得c ＝－，则抛物线与直线4x ＋3y －8＝0平行的切线是4x ＋3y43－＝0，问题转化为平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式得d 43＝＝.|－43＋8|42＋3243答案：A10．已知点M (－3，0)，N (3，0)，B (1，0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于P 点，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－＝1(x ＞1)B ．x 2－＝1(x ＜－1)y 28y 28C ．x 2＋＝1(x ＞0)D ．x 2－＝1(x ＞1)y 28y 210解析：设圆与直线PM ，PN 分别相切于E ，F ，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NB |＝|NF |.所以 |PM |－|PN |＝(|PE |＋|ME |)－(|PF |＋|NF |)＝|MB |－|NB |＝4－2＝2.所以点P 的轨迹是以M (－3，0)，N (3，0)为焦点的双曲线右支(去掉B 点)，且a ＝1，所以 c ＝3，b 2＝8，所以双曲线方程是x 2－＝1(x ＞1)．y 28答案：A11．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 等于( )A. B.C. D.132323223解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0.由{y ＝k （x ＋2），y 2＝8x)得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1x 2＝4，①根据抛物线的定义得，|FA |＝x 1＋＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2.p2因为|FA |＝2|FB |，所以x 1＝2x 2＋2，②由①②得x 2＝1(x 2＝－2舍去)，所以B (1，2)，代入y ＝k (x ＋2)得k ＝.2223答案：D12．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M 总MF 1→ MF 2→在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0，1) B.(0，12]C.D.(0，22)[22，1)解析：由·＝0可知点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，要MF 1→ MF 2→使点M 总在椭圆内部，只需c <b ，即c 2<b 2，c 2<a 2－c 2，2c 2<a 2，即e 2＝<.因为0<e <1，所以0<e <，即椭圆离心率的取值范围是.c 2a 21222(0，22)答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程为________．12解析：由双曲线渐近线方程为y ＝±x ，可设该双曲线的标准方程12为－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，)，所以－()2＝λ，即λ＝x 24342431，故所求双曲线的标准方程为－y 2＝1.x 24答案：－y 2＝1x 2414．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝________．解析：设A 点(x 1，y 1)，B 点(x 2，y 2)，抛物线y 2＝4x ，焦点为(1，0)，准线为x ＝－1，|AF |＝x 1－(－1)＝2，所以x 1＝1.则AF 与x 轴垂直，|BF |＝|AF |＝2.答案：215.如右图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆＋＝1(a >b >0)x 2a 2y 2b2的右焦点，直线y ＝与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该b2椭圆的离心率是________．解析：将y ＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，b2x 2a 2b 24b2所以x ＝±a ，故B ，C .32(－32a ，b2)(32a ，b2)又因为F (c ，0)，所以＝，BF →(c ＋32a ，－b 2)＝.CF →(c －32a ，－b 2)因为∠BFC ＝90°，所以·＝0，BF → CF →所以＋＝0，即c 2－a 2＋b 2＝0，将b 2＝a 2(c ＋32a )(c －32a )(－b 2)2 3414－c 2代入并化简，得a 2＝c 2，所以 e 2＝＝，所以e ＝(负值舍去)．32c 2a 22363答案：6316．已知点M (－1，1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________．解析：法一　设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则{y ＝4x 1，y ＝4x 2，)所以y －y ＝4(x 1－x 2)，所以k ＝＝.212y 1－y 2x 1－x 24y 1＋y2设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，因为∠AMB ＝90°，则|MM ′|＝|AB |＝(|AF |＋|BF |)＝(|AA ′|＋|BB ′|)．121212因为M ′(x 0，y 0)为AB 中点，所以M 为A ′B ′的中点，所以MM ′平行于x 轴，所以y 1＋y 2＝2，所以k ＝2.法二　由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1，0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝.2k 2＋4k 2由M (－1，1)，得＝(－1－x 1，1－y 1)，AM →＝(－1－x 2，1－y 2)．BM →由∠AMB ＝90°，得·＝0，AM → BM →所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，所以x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0.又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，所以1＋＋1＋k 2(1－＋1)－k (－2)＋1＝0，2k 2＋4k 22k 2＋4k 22k2＋4k2整理得－＋1＝0，解得k ＝2.4k 24k 答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线y ＝m (x －3)对称，求m 的取值范围．解：设抛物线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝m (x －3)对称，AB 的中点为M (x ，y )，则当m ＝0时，有直线y ＝0，显然存在两点关于它对称．当m ≠0时，⇒＝＝＝－，{y ＝x 1，y ＝x 2，)y 1－y 2x 1－x 21y 1＋y 212y 1m所以y ＝－，m 2所以M 的坐标为，(52，－m2)因为M 在抛物线内，则有>，52(－m 2)2得－<m <且m ≠0，1010综上所述，m 的取值范围为(－，)．101018．(本小题满分12分)设F 1，F 2分别为双曲线－＝1(a >0，b >0)x 2a 2y 2b 2的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程．解：设PF 1的中点为M ，连接F 2M .由|PF 2|＝|F 1F 2|，故F 2M ⊥PF 1，即|F 2M |＝2a .在Rt △F 1F 2M 中，|F 1M |＝＝2b ，（2c ）2－（2a ）2故|PF 1|＝4b .根据双曲线的定义有4b －2c ＝2a ，即2b －a ＝c ，即(2b －a )2＝a 2＋b 2，即3b 2－4ab ＝0，即3b ＝4a ，故双曲线的渐近线方程是y ＝±x ，ba即4x ±3y ＝0.19．(本小题满分12分)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由{y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，)联立得x 2－4x －4b ＝0，(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1，故点A (2，1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.20．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，一条渐近线方程为y ＝x ，且过点(4，－)．10(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求·.MF 1→ MF 2→解：(1)因为双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ，所以设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．把(4，－)代入双曲线方程得42－(－)2＝λ，1010所以λ＝6，所以所求双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)由(1)知双曲线方程为x 2－y 2＝6，所以双曲线的焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)．33因为点M 在双曲线上，所以32－m 2＝6，所以m 2＝3.所以·＝(－2－3，－m )·(2－3，－m )＝(－3)2－(2)2MF 1→ MF 2→333＋m 2＝－3＋3＝0.21．(本小题满分12分)已知椭圆M ：＋＝1(a >b >0)的离心率为x 2a 2y 2b 2，焦距为2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .632(1)求椭圆M 的方程；(2)若k ＝1，求|AB |的最大值；(3)设P (－2，0)，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB与椭圆M 的另一个交点为D ，若C ，D 和点Q (－，)共线，求k .7414解：(1)由题意得解得a ＝，b ＝1.{a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，2c ＝22，)3所以椭圆M 的方程为＋y 2＝1.x 23(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，{y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，)所以x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝.3m 23m 2－34所以|AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝2（x 2－x 1）2＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝ .12－3m 22当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为.6(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得x ＋3y ＝3，x ＋3y ＝3.212122直线PA 的方程为y ＝(x ＋2)．y 1x 1＋2由{y ＝y 1x 1＋2（x ＋2），x 2＋3y 2＝3，)得[(x 1＋2)2＋3y ]x 2＋12y x ＋12y －3(x 1＋2)2＝0.212121设C (x C ，y C )，所以x C ＋x 1＝＝.－12y（x 1＋2）2＋3y4x －124x 1＋7所以x C ＝－x 1＝.4x －124x 1＋7－12－7x 14x 1＋7所以y C ＝(x C ＋2)＝.y 1x 1＋2y 14x 1＋7设D (x D ，y D )，同理得x D ＝，y D ＝.－12－7x 24x 2＋7y 24x 2＋7记直线CQ ，DQ 的斜率分别为k CQ ，k DQ ，则k CQ －k DQ ＝－＝y 14x 1＋7－14－12－7x 14x 1＋7＋74y 24x 2＋7－14－12－7x 24x 2＋7＋744(y 1－y 2－x 1＋x 2)．因为C ，D ，Q 三点共线，所以k CQ －k DQ ＝0.故y 1－y 2＝x 1－x 2.所以直线l 的斜率k ＝＝1.y 1－y 2x 1－x 222．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋＝1(a >b >0)的离心率为，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、y 2b 232以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：＋＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直x 24a 2y 24b 2线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(ⅰ)求的值；|OQ ||OP |(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．解：(1)由题意知，2a ＝4，则a ＝2，又＝，a 2－c 2＝b 2，c a 32可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为＋y 2＝1.x 24(2)由(1)知椭圆E 的方程为＋＝1.x 216y 24(ⅰ)设P (x 0，y 0)，＝λ，|OQ ||OP |由题意知，Q (－λx 0，－λy 0)．因为＋y ＝1，x 420又＋＝1，（－λx 0）216（－λy 0）24即＝1，λ24(x 4＋y )所以λ＝2，即＝2.|OQ ||OP |(ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.①因为x 1＋x 2＝－，8km 1＋4k 2x 1x 2＝，4m 2－161＋4k 2所以|x 1－x 2|＝.416k 2＋4－m 21＋4k2因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝|m ||x 1－x 2|12＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）m 21＋4k 2＝2.(4－m 21＋4k 2)m 21＋4k 2设＝t ，则t >0.m 21＋4k2将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知0<t ≤1，因为S＝2＝2，（4－t）t－t2＋4t故S≤2，3当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值2.3由(ⅰ)知，△ABQ面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为6.3。

第一章 1.1.2 1.1.3一、选择题(每小题5分，共20分)1．命题“若p 则q ”的逆命题是( )A ．若q 则pB ．若¬p 则¬qC ．若¬q 则¬pD ．若p 则¬q解析： 利用原命题与逆命题间的关系进行转化．命题“若p 则q ”的逆命题是“若q 则p ”． 答案： A2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4解析： 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 答案： C3．有下列四个命题：①“已知函数y ＝f (x )，x ∈D ，若D 关于原点对称，则函数y ＝f (x )，x ∈D 为奇函数”的逆命题；②“对应边平行的两角相等”的否命题；③“若a ≠0，则方程ax ＋b ＝0有实根”的逆否命题；④“若A ∪B ＝B ，则B ≠A ”的逆否命题，其中的真命题是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④解析： ①由奇函数的定义知①正确，③原命题正确，则逆否命题正确，②④均错误． 答案： C4．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题；逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”为假命题，则否命题是假命题．故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，只有逆否命题是真命题．故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．有下列四个命题：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的是________．(填序号)解析：④中由A∩B＝B，应该得出B⊆A，所以原命题为假命题，从而其逆否命题为假命题．答案：①②③6．设有两个命题：①关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R；②函数f(x)＝log m x是减函数．如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是________．解析：①是真命题，则m≥0；②是真命题，则0<m<1；若①真，②假，则m＝0或m≥1；若②真，①假，m不存在．综上，m＝0或m≥1.答案：m＝0或m≥1三、解答题(每小题10分，共20分)7．把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假：(1)全等三角形的对应边相等．(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.解析：(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等，真命题；逆命题：若两个三角形三边对应相等，则两个三角形全等，真命题；否命题：若两个三角形不全等，则两个三角形三边对应不相等，真命题；逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等，真命题．(2)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0，真命题；逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2，假命题；否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0，假命题；逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2，真命题．8．设“若p，则q”是原命题，其中p：x2－2x－80>0，q：x2－2x＋1－m2>0.已知原命题是真命题而逆命题为假命题，求正实数m 的取值范围．解析： p ：M ＝{x |x 2－2x －80≤0}＝{x |－8≤x ≤10}，q ：N ＝{x |x 2－2x ＋1－m 2≤0}＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，∵“若p ，则q ”为真，且“若q ，则p ”为假，∴M N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m ≤－8，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，1－m <－8，1＋m ≥10⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，m ≥9，m >9或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m >9⇔m >9，m ≥9 即所求m 的取值范围是{m |m >9}．9．(10分)已知c >0，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减，q ：不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R ，如果p 和q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围．解析： 函数y ＝c x 在R 上单调递减⇔0<c <1.记P ＝{c |0<c <1}．不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R ⇔函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上恒大于1.∵x ＋|x －2c |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2c ，x ≥2c ，2c ，x <2c ， ∴函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上的最小值为2c .∴不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R ⇔2c >1⇔c >12. 记Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c ⎪⎪c >12.如果p 正确，且q 不正确，则0<c ≤12. 如果p 不正确，且q 正确，则c ≥1.所以c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，12∪[1，＋∞)．。

人教版高中数学选修1-1全册教案基因详解目录1.1.1命题及其关系1.1.2双曲线的几何性质1.1.3双曲线及其标准方程1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件1.3.1且1.3.2或1.3.3非2.1.1椭圆及其标准方程2.1.2椭圆的简单几何性质2.3.1抛物线及其标准方程2.3.2抛物线的简单几何性质3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念教案3.1.3导数的几何意义3.2.1几个常用函数导数3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则3.3.1函数的单调性与导数3.3.2函数的极值与导数3.3.3函数的最值与导数3.4生活中的优化问题举例1. 1.1命题及其关系一、课前小练：阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？（1）矩形的对角线相等；（2）312>；（3）312>吗？（4）8是24的约数；（5）两条直线相交，有且只有一个交点；（6）他是个高个子.二、新课内容：1.命题的概念：①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）.上述6个语句中，哪些是命题.②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true p roposition）；假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）.上述5个命题中，哪些为真命题？哪些为假命题？③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）215x<；（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨.（学生自练→个别回答→教师点评）④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假.2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式：三、练习：教材P41、2、3四、作业：1、教材P8第1题2、作业本1-10五、课后反思命题教案课题 1.1.1命题及其关系(一) 课型新授课教学目标1）知识方法目标了解命题的概念，2）能力目标会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式.教学重点难点1）重点：命题的改写2）难点：命题概念的理解，命题的条件与结论区分教法与学法教法：教学过程备注1.课题引入（创设情景）阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？（1）矩形的对角线相等；（2）312>；（3）312>吗？（4）8是24的约数；（5）两条直线相交，有且只有一个交点；（6）他是个高个子.2.问题探究1）难点突破2）探究方式3）探究步骤4）高潮设计1.命题的概念：①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）.上述6个语句中，（1）（2）（4）（5）（6）是命题.②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）；假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）.上述5个命题中，（2）是假命题，其它4个都是真命题.③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）215x<；（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨.（学生自练→个别回答→教师点评）④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假.2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式：①例1中的（2）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.②试将例1中的命题（6）改写成“若p，则q”的形式.③例2：将下列命题改写成“若p，则q”的形式.（1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等.引导学生归纳出命题的概念，强调判断一个语句是不是命题的两个关键点：是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”。

第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程A级基础巩固一、选择题1．已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段解析：因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2，故选D.答案：D2．椭圆x225＋y2169＝1的焦点坐标是()A．(±5，0) B．(0，±5)C．(0，±12) D．(±12，0)解析：因为c2＝a2－b2＝169－25＝122，所以c＝12.又焦点在y轴上，故焦点坐标为(0，±12)，答案：C3．已知椭圆x2m＋y216＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则m＝()A．10 B．5 C．15 D．25解析：设椭圆的焦点分别为F 1，F 2，则由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，所以 a ＝5，所以 a 2＝25，所以 椭圆的焦点在x 轴上，m ＝25.答案：D4．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( )A.y 225＋x 2＝1 B.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C.x 225＋y 2＝1 D ．以上都不对解析：设椭圆方程为：Ax 2＋By 2＝1(A ≠B ，A >0，B >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧925A ＋16B ＝1，1625A ＋9B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝1，B ＝125. 答案：A5．若方程x 2m ＋9＋y 225－m＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9<m <25B ．8<m <25C ．16<m <25D ．m >8解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧25－m >0，m ＋9>0，m ＋9>25－m ，解得8<m <25. 答案：B二、填空题6．已知椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是(0，2)，则k ＝________．解析：易知k ≠0，椭圆方程可化为x 2＋y 2－5k ＝1， 所以 a 2＝－5k ，b 2＝1.又c ＝2，所以 －5k－1＝4， 所以 k ＝－1.答案：－17．已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 是椭圆上的一点，则|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则该椭圆的方程是___________．解析：由题意得2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，所以 4c ＝2a ＝4，所以 a ＝2.又c ＝1，所以 b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 答案：x 24＋y 23＝1 8．若椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为________．解析：设|PF 1|＝x ，则|PF 2|＝14－x ，又2c ＝10，根据勾股定理，得x 2＋(14－x )2＝100，解得x ＝8或x ＝6，所以S ＝12×8×6＝24. 答案：24三、解答题9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52；(2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；(3)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)．解：(1)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由椭圆的定义知，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＝210， 即a ＝10.又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝6.所以所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)． 又椭圆经过点(0，2)和(1，0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 所以所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. (3)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )， 因为点P (－23，1)，Q (3，－2)在椭圆上，代入椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1. 10．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．解：由题意知两定圆的圆心与半径分别为O 1(－3，0)，r 1＝1；O 2(3，0)，r 2＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件可得|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R ，所以|MO 1|＋|MO 2|＝10.由椭圆的定义知，点M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16.故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1. B 级 能力提升1．平面内有两个定点A ，B 及动点P ，设甲：|PA |＋|PB |是定值，乙：点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，则|PA |＋|PB |是定值，由椭圆的定义，知反之不一定成立．答案：B2．(2014·安徽卷)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．解析：过B 作x 轴的垂线，垂足为M .因为AF 2⊥x 轴，所以|AF 2|＝|y A |＝b 2.因为|AF 1|＝3|BF 1|，所以|BM |＝b 23，|MF 1|＝2c 3， 所以|MO |＝5c 3，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 3，－b 23或⎝ ⎛⎭⎪⎫－5c 3，b 23， 则25（1－b 2）9＋b 29＝1， 故b 2＝23，则椭圆E 的方程为x 2＋3y 22＝1. 答案：x 2＋3y 22＝1 3．已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点． (1)当∠F 1PF 2＝60°时，求△F 1PF 2的面积；(2)当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围． 解：(1)由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，①且F 1(－3，0)，F 2( 3.0)．在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°.②由①②得|PF 1|·|PF 2|＝43. 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝33. (2)设点P (x ，y )，由已知∠F 1PF 2为钝角，得F 1P →·F 2P →＜0，即(x＋3，y )·(x －3，y )＜0，又y 2＝1－x 24，所以34x 2＜2，解得－263＜x ＜263，263＜x＜26 3.所以点P横坐标的取值范围是－。

（人教版）高中数学选修1-1（全册）同步练习汇总►基础梳理1．命题的定义．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．♨思考：如何判断一个语句是不是命题？ 答案：判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．2．命题的结构．本章中我们只讨论“若p ，则q ”这种形式的命题．我们把这种形式的命题中的p 叫做命题的条件，把q 叫做命题的结论．►自测自评1．下列语句是命题的是①(填序号)． ①π2是无限不循环小数 ②3x ≤5③什么是“温室效应”？ ④明天给我买本《金版学案》解析：选项①，“π2是无限不循环小数”是陈述句，并且它是真的，所以是命题；选项②，因为无法判断“3x ≤5”的真假，所以选项②不是命题；选项③是疑问句，选项④是祈使句，故都不是命题．2．语句“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”(C ) A ．不是命题 B ．是假命题 C ．是真命题 D ．不能判断真假3．把命题“垂直于同一平面的两条直线互相平行”改成“若p ，则q ”的形式：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行．1．下列语句是命题的是(B )①72＋1≠50 ②5－x ＝0 ③存在x ∈R ，使x 2－4>0 ④平行于同一条直线的两条直线平行吗？A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④2．下列命题中是真命题的是(B ) A.3是有理数 B ．22是实数C ．e 是有理数D ．{x |x 是小数}R3．下面是关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两相等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的序号是________． 答案：②④4．将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)正n 边形(n ≥3)的n 个内角全相等； (2)方程x 2－x ＋1＝0有两个实根； (3)菱形的对角线互相垂直； (4)偶函数的图象关于y 轴对称．答案：(1)若n (n ≥3)边形是正多边形，则它的n 个内角全相等．真命题． (2)若一个方程是x 2－x ＋1＝0，则它有两个实根．假命题． (3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．真命题． (4)若一个函数是偶函数，则它的图象关于y 轴对称．真命题．1．下列语句中，是命题的个数是(B )①求证：3是无理数 ②－5∈Z ③5是无理数 ④x 2－4x ＋7≥0.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列四个命题中是真命题的为(C ) A ．若sin A ＝sin B ，则∠A ＝∠B B ．若lg x 2＝0，则x ＝1C ．若a >b ，且ab >0，则1a <1bD ．若b 2＝ac ，则a 、b 、c 成等比数列 3．下列说法正确的是(D )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D ．语句“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 解析：A 写成“若p 则q ”的形式，B 是命题，C 假命题． 4．(2013·肇庆二模)对于平面α和直线m ，n ，下列命题中假命题的个数是(D )①若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ∥α，n ⊂a ，则m ∥n ④若m ∥n ，n ∥α，则m ∥αA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是(C ) A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC D ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC 6．(2013·广州二模)对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是(D ) A ．|a ·b |＝|a ||b | B ．|a ＋b |＝|a |＋|b | C ．(a ·b )c ＝a (b ·c ) D ．a ·a ＝|a |27．命题“末位数字是0或5的整数，能被5整除”，条件p ：________________________________________________________________________；结论q ：________________________________________________________________________；是________命题(填“真”或“假”)． 解析：“末位数字是0或5的整数，能被5整除”改写成“若p ，则q ”的形式为：若一个整数的末位数是0或5，则这个数能被5整除，为真命题．答案：一个整数的末位数是0或5 这个数能被5整除 真8．命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 得－3≤a ＜0.∴－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]9．下面是关于四棱柱的四个命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条体对角线两两相等，则四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的序号是________． 答案：②④10．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足条件：f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1，0]上是增函数，给出下面关于f (x )的命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于直线x ＝－1对称；③f (0)≤f (1)；④f (2)＝f (0)；⑤f (x )在[1，2]上是减函数．其中正确的命题序号是________． 答案：①②④11．将下列命题改成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)正n 边形(n ≥3)的n 个内角全相等； (2)方程x 2－x ＋1＝0有两个实根； (3)菱形的对角线互相垂直； (4)偶函数的图象关于y 轴对称．答案：(1)若n (n ≥3)边形是正多边形，则它的n 个内角全相等．真命题． (2)若一个方程是x 2－x ＋1＝0，则它有两个实根．假命题． (3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．真命题． (4)若一个函数是偶函数，则它的图象关于y 轴对称．真命题．12．已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p ，q 一真一假，求m 的取值范围．解析：当p 为真命题时， ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－m ＜0，x 1·x 2＝1＞0，∴m ＞2.当q 为真命题时，Δ＝42(m －2)2－16＜0， ∴1＜m ＜3.若p 、q 一真一假，则， p 真q 假或p 假q 真， ①若p 真q 假， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2，m ≤1或m ≥3， ∴m ≥3.②若p 假q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1＜m ＜3， ∴1＜m ≤2.综上m 的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)． 13．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x ＜0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．解析：因为A ∩B ＝∅是假命题，所以A ∩B ≠∅. 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≤－1或m ≥32. 假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2都非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0，解得m ≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ≥32在全集U 中的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是{m |m ≤－1}．►体验高考1．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，是真命题的是(D ) A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．②和④解析：①中没有强调这两条直线是相交的. ③中这两条直线也可以相交或是异面． 2．设a ，b 为正实数，现有下列命题： ①若a 2－b 2＝1，则a －b <1；②若1b －1a＝1，则a －b <1；③若|a －b |＝1，则|a －b |<1； ④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中真命题有____________(写出所有真命题的序号)． 答案：①④►基础梳理1．四种命题的概念．(1)一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．(2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题．(3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的相互关系．3．四种命题的真假性．由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．,►自测自评1．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是(A)A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数2．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以是(D) A．1或2或3或4B．1或3C．0或4D．0或2或43．若命题p的逆命题为q，命题q的否命题为r，则p是r的逆否命题．解析：设p为：“若m，则n”，则q为：“若n，则m”，所以r为：“若綈n，则綈m”．故p是r的逆否命题．1．“若x，y∈R且(x－1)2＋(y－1)2＝0，则x，y全为1”的否命题是(B)A．若x，y∈R且(x－1)2＋(y－1)2≠0，则x，y全不为1B．若x，y∈R且(x－1)2＋(y－1)2≠0，则x，y不全为1C．若x，y∈R且x，y全为1，则(x－1)2＋(y－1)2＝0D．若x，y∈R且xy≠1，则(x－1)2＋(y－1)2＝02．下列命题中，不是真命题的是(D)A．“若b2－4ac>0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”的逆否命题B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C．“x2＝9，则x＝3”的否命题D．“内错角相等”的逆命题3．命题“a，b是实数，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”，用反证法证明时反设为：________________________________________________________________________.答案：若a≠1或b≠14．已知命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．答案：逆命题：已知，a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．否命题：已知，a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．逆否命题：已知，a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.真命题．5．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，对a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立，证明a＋b≥0.证明：原命题的逆否命题为：a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．以下证明其逆否命题：若a＋b<0，则a<－b，b<－a，又因为y＝f(x)是R上的增函数，所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．又因为原命题和逆否命题有相同的真假性，所以求证成立．1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是(C)A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解2．下列说法中正确的是(D)A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性．3．已知原命题“若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(B)A．0个B．1个C．2个D．3个4．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题；④“若ab是无理数，则a、b是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是(B)A．0个B．1个C．2个D．3个5．命题“若c>0，则函数f(x)＝x2＋x－c有两个零点”的逆否命题的是：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________，则c ≤0.答案：若函数f (x )＝x 2＋x －c 没有两个零点6．若命题p 的否命题是q ，命题q 的逆命题是r ，则r 是p 的逆命题的________． 解析：本题主要考查四种命题的相互关系．显然，r 与p 互为逆否命题． 答案：否命题 7．(x －1)(x ＋2)＝0的否定形式是________________________________________________________________________．答案：(x －1)(x ＋2)≠0 8．命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 答案：若a ≤b ，则2a ≤2b －1 9．有下列五个命题：①“若a 2＋b 2＝0，则ab ＝0”的逆否命题； ②“若a >b ，则ac >bc ”的逆命题③“若a <b <0，则1a >1b”的逆否命题；④“若1a <1b <0，则ab <b 2”的逆否命题；⑤“若b a ＞ab，则a <b <0”的逆命题其中假命题有________．解析：①逆否命题为“若ab ≠0，则a 2＋b 2≠0”，这是一个真命题． ②逆命题为“若ac >bc ，则a >b ”，这是一个假命题． ③原命题是一个真命题，所以逆否命题也为真命题．④若1a <1b<0，则b <a <0，则ab >b 2故原命题为真命题，所以逆否命题也为真命题．⑤逆命题为“若a <b <0，则b a >ab”．若a <b <0，则⎩⎪⎨⎪⎧－a >－b >0，1b <1a<0，则⎩⎪⎨⎪⎧－a >－b >0，－1b >－1a >0，故a b >b a . 故这是一个假命题． 答案：②⑤10．若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.证明(用反证法)：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0，而a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x 2－2y ＋π2＋⎝⎛⎭⎫y 2－2z ＋π3＋⎝⎛⎭⎫z 2－2x ＋π6＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π ＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，显然a ＋b ＋c >0，这与假设a ＋b ＋c ≤0相矛盾． 因此a ，b ，c 中至少有一个大于0.►体验高考1．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(C )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：本小题主要考查四种命题的真假，易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个，选C.2．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是(A ) A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3 B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3 C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3 D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝33．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(B ) A ．若一个数是负数，则它的平方不是正数 B ．若一个数的平方是正数，则它是负数 C ．若一个数不是负数，则它的平方不是正数 D ．若一个数的平方不是正数，则它不是负数 4．命题“若p 则q ”的逆命题是(A )A ．若q 则pB ．若綈p 则綈qC ．若綈q 则綈pD ．若p 则綈q5．命题“若a ＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是(C )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4►基础梳理1．充分条件和必要条件． 一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．充要条件．一般地，如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．概括地说，如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．♨思考：如何从集合与集合之间的关系上理解充分条件、必要条件和充要条件？答案：对于集合A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，分别是使命题p 和q 为真命题的对象所组成的集合.,►自测自评1．已知集合A ，B ，则“A ⊆B ”是“A ∩B ＝A ”的(C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的(C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分不必要条件． 解析：由a ＝2能得到(a －1)(a －2)＝0，但由(a －1)·(a －2)＝0得到a ＝1或a ＝2，而不是a ＝2，所以a ＝2是(a －1)(a －2)＝0的充分不必要条件．1．在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的(B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当A ＝170°时，sin 170°＝sin 10°<12，所以“过不去”；但是在△ABC 中，sinA >12⇒30°<A <150°⇒A >30°，即“回得来”． 2．(2014·湛江一模)“x >2”是“(x －1)2>1”的(B ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．“b 2＝ac ”是“ a ，b ，c 成等比数列”的________条件．解析：因为当a ＝b ＝c ＝0时，“b 2＝ac ”成立，但是a ，b ，c 不成等比数列； 但是“a ，b ，c 成等比数列”必定有“b 2＝ac ”． 答案：必要不充分4．求不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件． 解析：当a ＝0时，2x ＋1>0不恒成立． 当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1>0恒成立 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0⇔a >1. ∴不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的充要条件是a >1.5．已知p ：x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0，q ：2x 2－3x －2≥0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解析：令M ＝{x |2x －3x －2≥0} ＝{x |(2x ＋1)(x －2)≥0}⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥2 N ＝{x |x 2－2(a －1)x ＋a (a －2)≥0}＝{x |(x －a )[x －(a －2)]≥0}⇒{x |x ≤a －2或x ≥a }，已知q ⇒p 且p ⇒/ q ，得M ?N .所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－12，a <2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－12，a ≤2⇔32≤a <2或32<a ≤2⇔32≤a ≤2.即所求a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，2.1．(2013·深圳二模)设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的(A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的(B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．若等比数列{a n }的公比为q ，则“q >1”是“a n ＋1>a n (n ∈N )”的(D ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：可以借助反例说明：①如数列：－1，－2，－4，－8，…公比为2，但不是增数列；②如数列：－1，－12，－14，－18，…是增数列，但是公比为12<1.4．(2013·东莞二模)已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的(A )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件5．已知直线a 、b 和平面α，则a ∥b 的一个必要不充分条件是(D )A ．a ∥α，b ∥αB ．a ⊥α，b ⊥αC ．a ∥α，b ⊂αD ．a 、b 与平面α成等角6．圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是(B ) A ．k ∈(－2， 2) B ．k ∈(－3， 3)C ．k ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．k ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：本小题主要考查直线和圆的位置关系．依题意知圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点⇔d ＝21＋k 2>1⇔k ∈(－3，3)．7．已知命题p ：不等式x 2＋1≤a 的解集为∅，命题q ：f (x )＝a x (a >0且a ≠1)是减函数，则p 是q 的____________________．解析：命题p 相当于命题：a <1，命题q 相当于：0<a <1.所以，p 是q 的必要不充分条件．答案：必要不充分条件8．已知条件p ：x 2＋x －2>0，条件q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：令A ＝{x |x 2＋x －2>0}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |x >a }，∵p 是q 的充分不必要条件，∴B ?A ，∴a ≥1.答案：a ≥19．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件． (1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ； (2)p ：a ＝3，q ：(a ＋2)(a －3)＝0；(3)p ：a <b ，q ：ab<1.答案：(1)充要条件 (2)充分不必要条件(3)既不充分也不必要条件10．是否存在实数p ，使4x ＋p <0是x 2－x －2>0的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解析：由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1， 令A ＝{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0，得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－p 4.当B ⊆A 时，即－p4≤－1.即p ≥4，此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，4x ＋p <0是x 2－x －2>0的充分条件．11．已知p ：－2≤－1－ x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．分析：(1)用集合的观点考察问题，先写出綈p 和綈q ，然后，由綈q ⇒綈p ，但綈p ⇒/綈q 来求m 的取值范围；(2)将綈p 是綈q 的必要不充分条件转化为p 是q 的充分不必要条件再求解． 解析：方法一 由x 2－2x ＋1－m 2≤0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，∴綈q ：A ＝{x |x >1＋m ，或x <1－m ，m >0}．由－2≤1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴綈p ：B ＝{x |x ＞10，或x ＜－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，结合数轴∴A ?B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，解得m ≥9.1＋m ≥10.方法二 ∴綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p ，且綈p ⇒/ 綈q .∴p ⇒q ，且q ⇒/ p ，即p 是q 的充分不必要条件． 结合数轴∵p ：C ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：D ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}∴C ?D ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥10，1－m ≤－2，∴m ≥9.所以实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．12．求证：关于x 的一元二次不等式ax 2－ax ＋1>0对于一切实数x 都成立的充要条件是0<a <4.证明：ax 2－ax ＋1>0(a ≠0)恒成立 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0⇔0<a <4. ►体验高考 1．(2014·安徽卷)“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的(B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由ln(x ＋1)<0得－1<x <0，故选B. 2．(2014·广东卷)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的(C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B ⇔sin A ≤sin B . 3．(2014·浙江卷)设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的(A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．(2014·北京卷)设a 、b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的(D ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．(2013·福建卷)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的(A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若x ＝2且y ＝－1，则x ＋y －1＝0；反之，若x ＋y －1＝0，x ，y 有无数组解，如x ＝3，y ＝－2等，不一定有x ＝2且y ＝－1，故选A.6．设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的(A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件►基础梳理 1．且(and )．(1)定义：一般地，用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作p ∧q .读作“p 且q ”．(2)当p ，q 两个命题都为真命题时，p ∧q 就为真命题；当p ，q 两个命题中只要有一个命题为假命题时，p ∧q 就为假命题．2．或(or )．(1)定义：一般地，用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，就得到一个新命题，记作p ∨q .读作“p 或q ”．(2)当p ，q 两个命题中，只要有一个命题为真命题时， p ∨q 就为真命题；当p ，q 两个命题都为假命题时，p ∨q 就为假命题．3．非(not )． (1)定义：一般地，对一个命题p 全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p .读作“非p ”或“p 的否定”．(2)若p 为真命题时，则綈p 必为假命题；若p 为假命题，则綈p 为真命题．4．复合命题真值表．复合命题的真假可通过真值表加以判断：p q 非p p 或q p 且q 真 真 假 真 真真假假真假假真真真假假假真假假联结词，后确定被联结的简单命题)；(2)判断各个简单命题的真假；(3)结合真值表推断复合命题的真假．5．复合命题的否定．(1)命题的否定：“綈p”是命题“p”的否定，命题“綈p”与命题“p”的真假正好相反．(2)命题(p∧q)的否定：命题(p∧q)的否定是“綈p∨綈q”．(3)命题(p∨q)的否定：命题(p∨q)的否定是“綈p∧綈q”．6．常用词语及其否定．原词语等于大于(＞)小于(＜)是都是否定词语不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是原词语至多有一个至少有一个至多有n个否定词语至少有两个一个也没有至少有n＋1个原词语任意的任意两个所有的能否定词语某个某两个某些不能1．命题：“不等式(x－2)(x－3)<0的解为2<x<3”，使用的逻辑联结词的情况是(B)A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“且”C．使用了逻辑联结词“或”D．使用了逻辑联结词“非”2．命题p与非p(C)A．可能都是真命题B．可能都是假命题C．一个是真命题，另一个是假命题D．只有p是真命题3．若命题p：2是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是(C)A．非pB．p且qC．p或qD．非p且非q4．若xy＝0，则x＝0或y＝0；若xy≠0，则x≠0且y≠0(填“且”或“或”)．1．以下判断正确的是(B)A．若p是真命题，则“p∧q”一定是真命题B．命题“p∧q”是真命题，则命题p一定是真命题C．命题“p∧q”是假命题时，命题p一定是假命题D．命题p是假命题时，命题“p∧q”不一定是假命题2．若p、q是两个简单命题，且“p∨q”的否定是真命题，则必有(B)A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真3．若命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－b a .命题q ：不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }．则“p ∧q ”，“p ∨q ”，“綈p ”形式的复合命题中的真命题是________． 答案：綈p4．分别写出由下列命题构成的“p ∨q ”，“p ∧q ”，“綈p ”形式的命题，并判断真假． (1)p ：3是无理数，q ：3>1；(2)p ：平行四边形对角线互相平分，q ：平行四边形的对角线互相垂直． 解析：(1)p ∧q ：3是无理数且3>1；真命题． p ∨q ：3是无理数或3>1；真命题．綈p ：3不是无理数；假命题．(2)p ∧q ：平行四边形的对角线互相平分且垂直；假命题． p ∨q ：平行四边形的对角线互相平分或互相垂直；真命题． 綈p ：平行四边形的对角线不互相平分；假命题．5．(1)已知命题p ：2x 2－3x ＋1≤0和命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围；(2)已知命题s ：方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的一根在(0，1)内，另一根在(2，3)内．命题t ：函数f (x )＝ln(mx 2－2x ＋1)的定义域为全体实数．若s ∨t 为真命题，求实数m 的取值范围．解析：(1)对于命题p ：2x 2－3x ＋1≤0，解得12≤x ≤1.对于命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，解得a ≤x ≤a ＋1，∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p 且綈pD /⇒綈q ，得p ⇒q 且q ⇒/ p .所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ＋1≥1解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ≥0即0≤9 ≤12所以实数的取值范围是0≤a ≤12.(2)对于命题s ：方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的一根在(0.1)内，另一根在(2，3)内， 设g (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧g （0）>0，g （1）＜0，g （2）＜0，g （3）>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1＋m －3＋m <0，4＋2m －6＋m <0，9＋3m －9＋m >0.解得0<m <23.对于命题t ：函数f (x )＝ln(mx 2－2x ＋1)的定义域为全体实数，则有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4－4m <0，解得m >1.又s ∨t 为真命题，即s 为真命题或t 为真命题．故所求实数m 的取值范围为0<m <23或m >1.1．已知命题p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1，2}，由它们构成的“p ∨q ”，“p ∧q ”和“綈p ”形式的命题中，真命题有(B )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．命题p ：a 2＋b 2<0(a ，b ∈R )；命题q ：a 2＋b 2≥0(a ，b ∈R )，下列结论中正确的是(A ) A ．“p ∨q ”为真 B ．“p ∧q ”为真 C ．“綈p ”为假 D ．“綈q ”为真 3．如果命题“p 且q ”是假命题，“非p ”是真命题，那么(D ) A ．命题p 一定是真命题 B ．命题q 一定是真命题 C ．命题q 一定是假命题D ．命题q 可能是真命题也可能是假命题解析：因为“非p ”是真命题，所以命题p 为假，所以无论q 是真或是假“p 且q ”都是假命题．所以应选D.4．如果命题“綈p ∨綈q ”是假命题，则在下列各结论中，正确的为(A ) ①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧q ”是假命题； ③命题“p ∨q ”是真命题；④命题“p ∨q ”是假命题． A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④ 5．(2013·汕头一模)设α、β为两个不同的平面，m 、n 为两条不同的直线，m ⊂α，n ⊂β，有两个命题：p ：若α∥β，则m ∥n ；q ：若n ⊥α，则α⊥β，那么(D )A ．“p 或q ”是假命题B ．“p 且q ”是真命题C ．“非p 或q ”是假命题D ．“非p 且q ”是真命题解析：由已知得，p 是假命题，q 是真命题，则非p 是真命题，故“p 或q ”是真命题，A 错；“p 且q ”是假命题，B 错；“非p 或q ”是真命题，C 错；“非p 且q ”为真命题，D 正确．6．(2013·江门一模)设命题p ：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位得到的曲线关于y 轴对称；命题q ：函数y ＝|3x －1|在[－1，＋∞)上是增函数，则下列判断错误的是(D ) A ．p 为假 B ．綈q 为真 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真解析：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位得到的图象的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，它是非奇非偶函数，它的图象不关于y 轴对称，故p 是假命题；函数y ＝|3x －1|，由图象可知在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，故q 也是假命题．綈q 为真命题，p ∧q 为假命题，p ∨q 也是假命题，故D 是不正确的．7．命题p ：菱形的对角线互相垂直，则p 的否命题是________________________________________________________________________， 綈p 是________________________________________________________________________．答案：不是菱形的四边形，其对角线不互相垂直 菱形的对角线不互相垂直 8．已知命题p ：(x ＋2)(x －6)≤0，命题q ：－3≤x ≤7，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则实数x 的取值范围为________．解析：由题条件可知p 与q 一真一假，p 为真命题时，x 满足－2≤x ≤6，∴满足条件的x 的范围是[－3，－2)∪(6，7]．答案：[－3，－2)∪(6，7]9．设有两个命题．命题p ：不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅；命题q ：函数f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求a 的取值范围．解析：对于p ：因为不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅，所以Δ＝[－(a ＋1)]2－4<0. 解这个不等式得：－3<a <1.对于q ：f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数， 则有a ＋1>1，所以a >0.又p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题． 所以p 、q 必是一真一假．当p 真q 假时有－3<a ≤0，当p 假q 真时有a ≥1. 综上所述，a 的取值范围是(－3，0]∪[1，＋∞)．10．设p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋14a 的定义域为R ；q ：关于x 的不等式3x －9x <a 对一切正实数均成立．如果“p ∨q ”为真，且“p ∧q ”为假，求实数a 的取值范围解析：若p 为真，即ax 2－x ＋14a >0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－a 2<0，∴a >1. 令y ＝3x －9x＝－⎝⎛⎭⎫3x －122＋14，由x >0得3x >1，∴y ＝3x －9x 的值域是(－∞，0)．∴若q 为真，则a ≥0.由“p ∨q ”为真，且“p ∧q ”为假，知p ，q 一真一假． 当p 真q 假时，a 不存在；当p 假q 真时，0≤a ≤1. 综上，a 的取值范围是[0，1]． ►体验高考 1(2014·湖南卷)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是(C ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 2．(2013·湖北卷)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(A )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q解析：命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选A.或者，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降在指定范围”的否命题，即“p ∧q ”的否定．选A.3．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是(C )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∨q 为假D ．p ∧q 为真。