再练一课(范围：§3.1～§3.2)
1．某物体的运动方程为s ＝3＋t 2，则在t ∈[2,2.1]内，该物体的平均速度为( ) A ．4.11 B ．4.01 C ．4.0 D ．4.1 答案 D
解析 根据题意可得平均速度
v ＝Δs Δt ＝3＋2.12－(3＋22
)0.1
＝4.1.
2．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy
Δx
等于( ) A ．4 B ．4x
C ．4＋2Δx
D ．4＋2(Δx )2 答案 C
解析 Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝2(1＋Δx )2
－4＋2Δx
＝2(Δx )2＋4Δx Δx
＝2Δx ＋4.
3．已知函数f (x )＝cos x
2x ，则f ′(x )等于( )
A.sin x －cos x 2x
B ．－sin x ＋(ln 2)·cos x 2x
C.sin x －(ln 2)·cos x 2x
D ．－sin x ＋cos x 4x
答案 B
解析 f ′(x )＝(cos x )′2x －cos x ·(2x )′
(2x )2
＝－sin x ·2x －cos x ·2x ln 24x
＝－sin x ＋(ln 2)·cos x 2x
.
4．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8 答案 C
解析 ∵y ′＝1
2x ，
∴切线方程为y －a ＝1
2a (x －a )． 令x ＝0，得y ＝
a
2
，令y ＝0，得x ＝－a ， 由题意知12·a
2
·a ＝2，∴a ＝4.
5．点P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝3ln x ＋x ＋k (k ∈R )上一个定点，且曲线在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则实数k 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．－1 D ．－4 答案 A
解析 y ′＝3x ＋1，令3
x 0＋1＝4，得x 0＝1，代入切线方程得y 0＝3，代入y ＝3ln x ＋x ＋k ，得
k ＝2.
6．已知f (x )＝tan x ，则f ′⎝⎛⎭⎫
4π3＝________. 答案 4
解析 ∵f (x )＝tan x ，∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －(cos x )′sin x cos 2x ＝cos 2
x ＋sin 2
x cos 2x ＝1cos 2x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫4π3＝
1
cos 24π3＝1
cos 2
π3
＝4. 7．已知函数f (x )＝ax 2＋3，若lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)
Δx
＝2，则实数a 的值为________．
答案 1
解析 ∵lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝2，∴f ′(1)＝2. ∵f (x )＝ax 2＋3，∴f ′(x )＝2ax ， ∴f ′(1)＝2a ＝2，∴a ＝1.
8.如图，函数g (x )＝f (x )＋1
5x 2的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝
________.
答案 －5
解析 因为g (5)＝f (5)＋5＝3，所以f (5)＝－2. 因为g ′(x )＝f ′(x )＋2
5
x ，
所以g ′(5)＝f ′(5)＋2
5×5＝－1，f ′(5)＝－3，
所以f (5)＋f ′(5)＝－5.
9．已知函数f (x )＝－2
3x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数f ′(x )的最大值为5，求在函数f (x )图象上的点
(1，f (1))处的切线方程． 解 ∵f ′(x )＝－2x 2＋4ax ＋3 ＝－2(x －a )2＋3＋2a 2， ∴f ′(x )max ＝3＋2a 2＝5， 又a >0，∴a ＝1.
∴f ′(x )＝－2x 2＋4x ＋3， f ′(1)＝－2＋4＋3＝5， 又f (1)＝－23＋2＋3＝13
3
，
∴所求切线方程为y －13
3＝5(x －1)．
即15x －3y －2＝0.
10．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0. (1)求a ，b 的值；
(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线l ：y ＝－1
4x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解 (1)∵f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数为f ′(x )＝3x 2＋a ，
由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13，f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6， 解得a ＝1，b ＝－16.
(2)∵切线与直线y ＝－1
4
x ＋3垂直，
∴切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±
1， 由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14或y 0＝－1－1－16＝－18. 则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即4x －y －18＝0或4x －y －14＝0.
11．已知函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2，下面的不等式在R 上恒成立的是( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )>x D ．f (x )答案 A
解析 当x ＝0时，2f (x )＋xf ′(x )>x 2为2f (0)＋0f ′(0)>02，即f (0)>0，排除B ，D 项；当f (x )＝x 2＋18时，f ′(x )＝2x ，满足2f (x )＋xf ′(x )>x 2在R 上恒成立，而f (x )－x ＝x 2－x ＋18＝(x －12)2
－18≥－1
8
，不满足f (x )>x 在R 上恒成立，排除C.综上可知，应选A. 12．如图，有一个图象是函数f (x )＝1
3x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，且a ≠0)的导函数的图象，
则f (－1)等于( )
A.13 B ．－13 C.73 D ．－13或53 答案 B
解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1＝[x ＋(a ＋1)][x ＋(a －1)]，图(1)与图(2)中，导函数的图象的对称轴都是y 轴，此时a ＝0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数f (x )的导函数的图象．由图(3)知f ′(0)＝0，由根与系数的关系，得－(a ＋1)－(a －1)>0，则a <0，
