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二 项 式 定 理一、教学目标：知识与技能：能解决二项展开式有关的简单问题，进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式过程与方法：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神二、教学重点、难点重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即一知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程一温故知新⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：4a ，3a b ，22a b ，3ab ，4b ， 展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有24C 种，22a b 的系数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是44C ，∴40413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++．二 探究新知二项式定理：01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈⑴()n a b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ；恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……，恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n r r a b -的系数是r n C ，……，有n 都取b 的情况有n n C 种，n b 的系数是n n C ，∴01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()n a b +的二项展开式，⑶它有1n +项，各项的系数(0,1,)r n C r n =叫二项式系数，⑷r n r r n C a b -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r r r n T C a b -+=．⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++三应用巩固例1．展开41(1)x+． 解一： 411233444411111(1)1()()()()C C C x x x x x +=++++23446411x x x x=++++． 解二：4444413123444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 23446411x x x x=++++．例2．展开6．解：6631(21)x x =- 61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x=-+-+-+32236012164192240160x x x x x x =-+-+-+． 例3．求12()x a +的展开式中的倒数第4项解：12()x a +的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，9129933939911212220T C x a C x a x a -+===．例4．求（1）6(23)a b +，（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．解：（1）24242216(2)(3)2160T C a b a b +==，（2）24242216(3)(2)4860T C b a b a +==．点评：6(23)a b +，6(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同例5．（1）求9(3x的展开式常数项； （2）求9(3x +的展开式的中间两项 解：∵399292199()33r rr r r r r x T C C x ---+==⋅， ∴（1）当390,62r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=； （2）9(3x的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，489912593423T C x x --=⋅=，15951092693T C x --=⋅=例6．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数；（2）求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数 解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==， ∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280．（2）∵91()x x -的展开式的通项是9921991()(1)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-， ∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =． （四）课堂练习：1求()623a b +的展开式的第3项2求()632b a +的展开式的第3项 n 33)x21x (-1项 4求()732x x +的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数5用二项式定理展开：（1）5(a ；（2）5(2- 6化简：（1）55)x 1()x 1(-++；（2）4212142121)x 3x 2()x3x 2(----+ 7．()5lg x x x +展开式中的第3项为610，求x ． 8．求nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项 答案：1 262242216(2)(3)2160T C a b a b -+== 2 262224216(3)(2)4860T C b a a b -+== 32311(2rn r r n r r r r n n T C C x --+⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 4展开式的第4项的二项式系数3735C =，第4项的系数3372280C =5 （1）552(510105a a a a a b =++；（2）515328x =+- 6 （1）552(1(122010x x +=++；（2）1111442222432(23)(23)192x x x x x x --+--=+7 ()5lg x x x +展开式中的第3项为232lg 632lg 551010xx C x x ++=⇒=22lg 3lg 50x x ⇒+-=5lg 1,lg 2x x ⇒==-10,1000x x ⇒== 8 nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项为2(1)n n n C - 五、小结1二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点六、作业1课堂检测七、课后记教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
《1.5.1二项式定理》教学设计一、课题分析二项式定理是初中学过的多项式乘法的继续，定理的证明是计数原理的应用。
定理的探索过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现解决问题的一般方法。
是培养学生数学探究能力的极好的载体。
二、学情分析认知分析：学生的认知结构中已经有了二项式的平方、立方的有关知识，初步具备了乘方、多项式运算、组合数等相关的知识储备，能够在教师的引导之下通过小组探究，理解并掌握本节课对二项式定理的推理演绎过程。
能力分析：学生能够运用所学的知识解决简单问题——求组合数，但归纳演绎能力有待于进一步提高。
三、教学目标1．知识目标了解二项式定理的推理过程，掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能正确运用它们解决有关问题2．能力目标培养学生理解分析、归纳猜想、抽象概括、演绎证明等思维能力3．情感目标通过二项式定理探究过程激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，使学生体会数学中发现、分析和解决问题的一般方法四、教学重难点重点：了解二项式定理的推理，会灵活运用二项式定理难点：二项展开式的获得五、教学过程设计本节课应属于概念操作的课型，因此，授课中务必要解决以下几个问题：（1）为什么要使用二项式定理？（2）什么是二项式定理？（3）二项展开式是怎么获得的？（4）什么时候使用二项式定理？（5）怎样正确使用二项式定理及其通项公式？基于此，本节课设计了以下几个环节（一） 创设情境 引入课题师（幻灯片上打出图片）：同学们知道他是谁？是的，他就是牛顿，被誉为人类历史上最伟大的科学家之一，他不仅是一位物理学家，还是一位伟大的数学家，他在数学上第一个伟大的发现就是我们今天要学习的内容---二项式定理（板书课题），今天就让我们沿着大数学家牛顿的足迹重温他探索发现二项式定理的历程，牛顿是怎么样发现二项式定理的？情景导入：1664年冬，年仅22岁的牛顿研读沃利斯博士《无穷算术》，他发现：()2222a b a ab b +=++ ()3322333a b a a b ab b +=+++ ()4a b +=_____________________………………………………（提问）研究展开后有多少项，每一项是什么样的，每一项的系数是多少（二）自主探究 建构概念提问，引导学生观察、讨论用组合数的方法重新得到()2a b +、()3a b +、()4a b +的展开式于是猜出：011()......n n n n n n n n a b C a C a b C b -+=+++ 师：这仅仅是猜想，数学是严密的，猜想的结论需要证明，我们如何证明？生：要说明三点：一是项数，二是项的形式，三是项的系数师：可是那么多项一项一项地说明是不是很麻烦？你有简单的办法吗？提示一下，这么多项你能不能用一个统一的式子表示出来？比如：选r 个b 时，对应的式子是什么？生：r n r r n C a b -（老师补充完整上式）师：我们发现r 取不同的值，它可以表示展开式中不同的项，我们把它叫做通项。
1．5.1二项式定理[对应学生用书P19]问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：展开式中的项数是n＋1项，每一项的次数为n.问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？提示：因(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式乘法法则知，从四个a＋b中选a 或选b是任意的．若有一个选b，则其余三个都选a，其方法有C14种，式子为C14a3b；若有两个选b，则其余两个选a，其方法有C24种，式子为C24a2b2.问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？提示：能，(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C n n b n.1．二项式定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，它一共有n＋1项．2．二项展开式的通项C r n a n－r b r叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用T r＋1表示，即T r＋1＝C r n a n－r b r.3．二项式系数C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．1．(a＋b)n中，n∈N*，a，b为任意实数．2．二项展开式中各项之间用“＋”连接．3．二项式系数依次为组合数C0n，C1n，…，C r n，…，C n n.4．(a＋b)n的二项展开式中，字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐次减1直到0；字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐次加1直到n.[对应学生用书P19][例1] (1)(a ＋2b )4；(2)⎝⎛⎭⎫2x －32x 25. [思路点拨] 可直接利用二项式定理展开，对于(2)也可以先化简再展开． [精解详析] (1)根据二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n，得(a ＋2b )4＝C 04a 4＋C 14a 32b ＋C 24a 2(2b )2＋C 34a (2b )3＋C 44(2b )4＝a 4＋8a 3b ＋24a 2b 2＋32ab 3＋16b 4.(2)法一：⎝⎛⎭⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4⎝⎛⎭⎫－32x 2＋ C 25(2x )3⎝⎛⎭⎫－32x 22＋C 35(2x )2⎝⎛⎭⎫－32x 23＋C 45(2x )·⎝⎛⎭⎫－32x 24＋C 55⎝⎛⎭⎫－32x 25 ＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x10.法二：⎝⎛⎭⎫2x －32x 25＝(4x 3－3)532x 10＝132x 10[C 05(4x 3)5＋ C 15(4x 3)4·(－3)＋…＋C 45(4x 3)·(－3)4＋C 55·(－3)5] ＝132x10(1 024x 15－3 840x 12＋5 760x 9－4 320x 6＋1 620x 3－243) ＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x10.[一点通] 形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．含负号的二项展开式形如(a －b )n 的展开式中会出现正负间隔的情况．1．写出(1＋2x )4的展开式．解：(1＋2x )4＝C 04×14×(2x )0＋C 14×13×(2x )1＋C 24×12×(2x )2＋C 34×11×(2x )3＋C 44×10×(2x )4＝1＋8x ＋24x 2＋32x 3＋16x 4. 2．求⎝⎛⎭⎫x －12x 4的展开式． 解：法一：⎝⎛⎭⎫x －12x 4＝C 04()x 4－C 14()x 3·12x＋C 24(x )2·⎝⎛⎭⎫12x 2－C 34x ·⎝⎛⎭⎫12x 3＋C 44⎝⎛⎭⎫12x 4＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2. 法二：⎝⎛⎭⎫x －12x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 4＝116x2(2x －1)4＝116x2(16x 4－32x 3＋24x 2－8x ＋1) ＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2.[例2] 已知二项式⎝⎭⎫x 2＋12x 10.(1)求展开式中的第5项； (2)求展开式中的常数项．[思路点拨] (1)直接利用通项公式求解； (2)利用通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r ⎝⎛⎭⎫a ＝x 2，b ＝12x ，设第r ＋1项为常数项，令x 的指数等于0即可求出r .[精解详析] (1)⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 10的展开式的第5项为T 5＝C 410·(x 2)6·⎝⎛⎭⎫12x 4＝C 410·⎝⎛⎭⎫124· x 12·⎝⎛⎭⎫1x 4＝1058x 10. (2)设第r ＋1项为常数项， 则T r ＋1＝C r 10·(x 2)10－r ·⎝⎛⎭⎫12x r ＝C r 10·x 20－52r ·⎝⎛⎭⎫12r(r ＝0,1,2，…，10)， 令20－52r ＝0，得r ＝8，所以T 9＝C 810·⎝⎛⎭⎫128＝45256， 即第9项为常数项，其值为45256.[一点通](1)二项展开式的通项T r ＋1＝C r n an －r b r表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项也随之确定．对于一个具体的二项式，通项T r ＋1依赖于r ，公式中的二项式的第一个量a 与第二个量b 的位置不能随便交换，且它们的指数和一定为n .(2)利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第r 项、常数项、含某字母的r 次方的项等．其通常解法就是根据通项公式确定T r ＋1中r 的值或取值范围以满足题设的条件．3．(x －2y )6 展开式中的第4项为________．解析：由二项展开式的通项得，(x －2y )6展开式中的第4项为C 36x6－3·(－2y )3＝－160x 3y 3. 答案：－160x 3y 34．二项式⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为________． 解析：二项展开式的通项是T r ＋1＝C r n x3n－3r x－2r＝C r n x3n－5r，令3n －5r ＝0，得n ＝5r3(r ＝0,1,2，…，n )，故当r ＝3时，n 有最小值5.答案：55．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项．解：⎝⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－124x r＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 8x 16－3r 4(r ＝0,1,2，…，8)，为使T r ＋1为有理项，r 必须是4的倍数，所以r ＝0,4,8，故共有3个有理项，分别是T 1＝⎝⎛⎭⎫－120C 08x 4＝x 4， T 5＝⎝⎛⎭⎫－124C 48x ＝358x ，T 9＝⎝⎛⎭⎫－128C 88x －2＝1256x 2.[例3] 已知二项式⎝⎭⎫3x －23x 10. (1)求展开式中第4项的二项式系数； (2)求展开式中第4项的系数．[思路点拨] 利用二项式的通项直接求第4项的二项式系数及第4项的系数． [精解详析] ⎝⎛⎭⎫3x －23x 10的二项展开式的通项是 T r ＋1＝C r 10()3x 10－r ·⎝⎛⎭⎫－23x r (r ＝0,1，…，10)． (1)第4项的二项式系数为C 310＝120. (2)第4项的系数为C 31037⎝⎛⎭⎫－233＝－77 760.[一点通] 要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C r n ；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．6．(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中，x 2的系数等于________．解析：x 2的系数是四个二项展开式中4个含x 2的系数和，则有－C 02(－1)0＋C 13(－1)1－C 24(－1)2＋C 35(－1)3＝－(C 02＋C 13＋C 24＋C 35)＝－20.答案：－207．在二项式(1－x 2)20的展开式中，第4r 项和第r ＋2项的二项式系数相等，则r ＝________.解析：第4r 项与第r ＋2项的二项式系数分别为C 4r －120和C r ＋120，由题设得C 4r －120＝C r ＋120.由组合数性质得4r －1＝r ＋1或4r －1＝20－(r ＋1)． 4r －1＝r ＋1没有整数解．由4r －1＝20－(r ＋1)，得r ＝4，所以r ＝4. 答案：48．求(2x 2＋1x)9的展开式中第3项的二项式系数及第4项的系数．解：通项公式为T r ＋1＝C r 9(2x 2)9－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝29－r ·C r 9x 18－3r ，故第3项的二项式系数为C 29＝36，第4项的系数为 26C 39＝5 376.1．求二项展开式特定项的一般步骤2.求二项展开式的特定项应注意的问题通项公式的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第r 项；②求含x r (或x p y q )的项；③求常数项；④求有理项．其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解．另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误．3．二项式系数与项的系数的区别二项式系数C r n 与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负．[对应课时跟踪训练(八)]一、填空题1．(a ＋2b )10展开式中第3项的二项式系数为________． 解析：第3项的二项式系数为C 210＝10！8！×2！＝45. 答案：452．(四川高考改编)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为________． 解析：只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15. 答案：153．二项式⎝⎛⎭⎫x 3－1x 25的展开式中的常数项为________． 解析：∵T r ＋1＝C r 5(－1)r x15－5r，令15－5r ＝0，∴r ＝3.故展开式中的常数项为C 35(－1)3＝－10.答案：－104．若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋nx ＋1(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝________.解析：a ＝C n －3n ，b ＝C n －2n ，又∵a ∶b ＝3∶1，∴C n －3n C n －2n＝C 3nC 2n ＝31，即n (n －1)(n －2)·26n (n －1)＝3，解得n ＝11.答案：115.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 9的展开式中有理项共有________项．(用数作答) 解析：由T r ＋1＝C r 9(x 2)9－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 9x18－3r, 依题意需使18－3r 为整数，故18－3r ≥0，r ≤6，即r ＝0,1,2,3,4,5,6共7项．答案：7 二、解答题6．求()x －2y 37的第4项，指出第4项的二项式系数与第4项的系数分别是什么？解：∵T 4＝C 37()x 7－3(－2y 3)3＝C 37x 2(－2)3y 9＝－280x 2y 9，∴第四项的二项式系数为C 37＝35，第四项的系数为－280. 7．若⎝⎛⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值． 解：二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 26展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6x6－r()－a r x－2r＝C r 6x6－3r()－a r .当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ， 根据已知C 26a ＝60，解得a ＝4.8．已知⎝⎛⎭⎫x ＋12x n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中含x 项的系数及二项式系数．解：⎝⎛⎭⎫x ＋12x n展开式的通项公式为 T r ＋1＝C r n·()x n －r ⎝⎛⎭⎫12x r＝⎝⎛⎭⎫12r C r n x n －2r 2. 由题意知，C 0n ，12C 1n ，14C 2n 成等差数列， 则C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，即n 2－9n ＋8＝0， 解得n ＝8或n ＝1(舍去)．∴T r ＋1＝⎝⎛⎭⎫12r C r 8x 4－r .令4－r ＝1，得r ＝3.∴含x 项的系数为⎝⎛⎭⎫123C 38＝7，二项式系数为C 38＝56.。
过程与方法：培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。
情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想
到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
二项式定理和二项展开式的通项公式.
培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力.
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
构造思维搭载体，突破教学难点--------二项式定理教学设计与思考1、背景描述笔者最近参加了学校组织的青年教师根本功大赛，讲授了“二项式定理〞这节课，在备课过程中，收集了大量的资料，在同组老师悉心帮助下，进行了深入研究。
二项式定理为苏教版选修2-3 第一章第5节第1课时，是在计数原理之后学习的一个重要应用，然而从知识的长远来看，它是开启微分学的一把钥匙，也是对于多项式乘法和知识的开发和拓展，开拓学生的视野，了解辉煌的数学史，激发学生学习的数学兴趣。
本节课的重点是二项式的定理发现，形成过程，二项式定理的简单应用。
难点在于二项式系数的生成。
就二项式定理这一内容而言，就是一个展开式，毕业后初次遇到这个课题，笔者竟一时想不起具体的公式，然后看到了问题是=？，理性的思考了下这个问题，应该是用从特殊到一般，归纳推理的解决方案。
所以笔者就想假设干年后学生大概也是跟我相差无几，那么本节课能留给学生什么呢？我想培养学生一种解决问题的能力作为重要，所以课上的重点是二项式定理的形成过程。
对于突破二项式系数的生成这一难点，可以构造思维搭载体，帮助学生建立系数生成的过程，理解二项式系数生成的本质者打算采用探究式教学的方法，主要采用对话和引导的方式，本节课力图表达“过程〞和其中蕴含的数学思想方法，以，的展开式为知识的生长点，要得到的展开式，再加上刚学过的推理证明，学生自然会想到用特殊到一般，归纳猜测的方法，归纳猜测展开式，再加以证明。
在推测一般展开式的规律时，可以猜测说出，项数，项的结构特征，系数规律难以发现，思路受阻后，教师启发学生转换思维角度，重新审视问题，构造思维的搭载体，把观察结论的规律转换为探寻多项式乘法的形成过程规律，以为例，分析每项的产生及得到每一项的方法数，引出用组合数表示展开式各项的系数，突破教学难点，在二项式定理的发现过程中，积极调动学生的思维，留给学生充分的思维量，让学生自主发现二项式定理的形成。
2、片段实录1.创设情境激发兴趣师：恩格斯说：“牛顿由于创立了二项式定理和无限理论而创立了科学的数学。
1.5.二项式定理-苏教版选修2-3教案一、教学目标1.掌握二项式定理的定义和公式2.能熟练运用二项式定理解决实际问题3.培养学生运用二项式定理解决实际问题的能力二、教学重难点1.二项式定理的定义和公式2.应用二项式定理解决实际问题三、教学内容和方法（一）教学内容1.二项式定理的定义和公式2.二项式系数的基本性质3.应用二项式定理解决实际问题（二）教学方法1.导入新知识，激发学生的学习兴趣。
2.讲究启发式教学，培养学生自学的能力。
3.把握适当的课堂氛围，使学生生动、活泼、轻松学习。
4.多结合实例讲解，使学生感受到知识的实用性。
（三）教学流程1.导入本节课的内容是二项式定理。
请同学们思考一道数学题：（1）(x+y)2=x2+2xy+y2，其中y是多少？2.讲解提示同学们用二项式定理计算题目中的多项式。
3.巩固（1）求(a+b)2; （2）求(a−b)2。
4.练习(1)用二项式定理展开(x+y)3(2)计算(2+3)4−(2−3)45.总结二项式定理是我们在中学数学中常见的一个定理。
这个定理不仅在数学中很重要，在实际生活中也非常有用，可以解决很多生活问题。
四、教学评估1.教师观察学生在课堂上的表现、回答问题的能力和继续发展的兴趣。
2.学生提交的练习和作业。
五、教学反思1.教学方法灵活多变，要充分体现学生的听课积极性。
2.多布置练习和作业，提高学生的学习热情。
3.评估学生的学习情况，及时调整授课内容。
1.5二项式定理课题 1.5二项式定理解决二项展开式有关的简单问题第二课时教学目标知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学重点教学难点二项式定理和二项展开式的通项公式。
解决二项展开式有关的简单问题。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学过程：学生探究过程：一．复习： (a+b) n = （n ）,这个公式N ∈表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b) n 的 ，其中（r=0,1,2,……,n ）叫做 ， 叫做二项展开rn C 式的通项，通项是指展开式的第 项，展开式共有 个项.二．例题例1选择题（1）的展开式中，第五项是………………………………………（ ）62)x a a x(- A . B . C . D .x 15-32ax 6-x 20x 15（2）的展开式中，不含a 的项是第……………………………（ ）项153)a 1a (- A .7 B .8 C .9 D .6（3）（x-2）9的展开式中，第6项的二项式系数是……………………………（ ）A . 4032B .-4032C .126D .-126（4）若的展开式中的第三项系数等于6，则n 等于………………（ ）n )111x (- A .4 B .4或-3 C .12 D .3（5）多项式(1-2x)5(2+x)含x 3项的系数是………………………… ………（ ）A .120B .-120C .100D .-100例2.求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x 2的系数.例3.求二项式的展开式中的有理项.73)213(+例4.二项式的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数.n 4)x 1x x (+巩固练习：1. 展开式中第9项是常数项，则n 的值是………………… （ ）n )22x 3(- A.13 B.12 C.11 D.102.的展开式中的整数项是…………………………………（ ）2475)53(+ A.第12项 B. 第13项 C. 第14项 D. 第15项3. 在(x 2+3x+2)5的展开式中，x 的系数为…………………………（ ）A .160B .240C .360D .8004.(1-x)5(1+x+x 2)4的展开式中，含x 7项的系数是 .5. 展开式的常数项是 .3)2|x |1|x (|-+课外作业：第36页 习题1.5 4， 5，6教学反思：二项式定理是指 +++++=+---r r n r n n n n n n n b ab a b a a b a C C C )(22211这样一个展开式的公式.它是(a +b )2=a 2+2ab +b 2，(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3…等等n nn b C +展开式的一般形式，在初等数学中它各章节的联系似乎不太多，而在高等数学中它是许多重要公式的共同基础，根据二项式定理的展开，才求得y =x n 的导数公式y ′=nx n －1，同时=e ≈2.718281…也正是由二项式定理的展开规律所确定，而e 在高等n n n)11(lim +∞→数学中的地位更是举足轻重，概率中的正态分布，复变函数中的欧拉公式e iθ=cos θ+i sin θ，微分方程中二阶变系数方程及高阶常系数方程的解由e 的指数形式来表达.且直接由e 的定义建立的y =ln x 的导数公式y =与积分公式=d x ln x +c 是分x 1⎰x1析学中用的最多的公式之一.而由y =x n 的各阶导数为基础建立的泰勒公式；f (x )=f (x 0)+(x －x 0)2+…(x －x 0)!1)(0x f '!)(0n x f n n +(θ∈(0，1))以及由此建立的幂级数理论，更1000)1()()!1()]([++-+-⋅+n n x x n x x x f θ是广泛深入到高等数学的各个分支中.怎样使二项式定理的教学生动有趣正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调，课本上先给出一个(a +b )4用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式，再用数学归纳法证明，因为证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以课必然上得累赘，学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看，记也感到吃力，又怎能发挥主体作用？怎样才能使得在这节课上学生获得主动？采用课前预习；自学辅导；还是学生讨论，或读，议、讲，练，或目标教学，还是设置发现情境？看来这些办法遇到真正困难时都会无能为力，因为这些方法都无法改变算式的冗长，证法的呆板，课堂上的新情境与学生的认知结构中的图式不协调的事实.而MM 教育方式即数学方法论的教育方式却能根据习题理论注意到充分利用数学方法与数学技术把所要证明或计算的形式变换得十分简洁，心理学家皮亚杰一再强调“认识起因于主各体之间的相互作用”1］只有客体的形式与学生主体认知结构中的图式取得某种一致的时候，才能完成认识的主动建构，也就是学生获得真正的理解.MM 教育方式遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和“教，学，研互相促进的规律”2］在教学中追求简易，重视直观，并巧妙地在应用抽象使问题变得十分有趣，学生学得生动主动，充分发挥其课堂上的主体作用.。
《二项式定理》教学设计【教材分析】二项式定理是高中数学选修2-3第一章第五节的内容，此前学生已经具备了排列组合相关知识，本节课的形成过程其实是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。
二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。
运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。
【学情分析】本节课之前，学生已经熟练掌握了完全平方公式，3次方和4次方的公式也可以通过多项式的展开法则进行展开，但是更高次的二项展开学生会感觉异常麻烦，通过本节课的学习,学生应该对二项式的展开有一个更深的认识。
【教学目标】1知识与技能：理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题。
2过程与方法：在学生对二项式定理形成过程的参与探讨过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识与知识迁移的能力。
3情感态度价值观：（1）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，培养学生解决数学问题的兴趣和信心。
（2）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，使学生体会到数学内在的和谐对称美以及自己获取知识的喜悦。
【教学重难点】重点：二项式定理的内容及应用。
难点：掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。
【教学方法】本节课的教法采用启发式教学，并以启发学生主动学习，积极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境，通过教师引导，使学生从熟悉的多项式乘法入手，利用组合的有关知识加以分析、归纳，探索出二项展开式的规律，培养学生观察、联想、归纳能力和从特殊到一般的数学思想方法。
【教学过程】（一）引出新知通过展示“杨辉三角之美”，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，使得学生对本节课的内容有更强的求知欲，也为下节课二项式定理与“杨辉三角”的关系做铺垫，引出课题《二项式定理》，并开门见山的讲出二项式定理所研究的内容是n b(+的展开式。
1．5.1二项式定理[对应学生用书P19]问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：展开式中的项数是n＋1项，每一项的次数为n.问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？提示：因(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式乘法法则知，从四个a＋b中选a 或选b是任意的．若有一个选b，则其余三个都选a，其方法有C14种，式子为C14a3b；若有两个选b，则其余两个选a，其方法有C24种，式子为C24a2b2.问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？提示：能，(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C n n b n.1．二项式定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，它一共有n＋1项．2．二项展开式的通项C r n a n－r b r叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用T r＋1表示，即T r＋1＝C r n a n－r b r.3．二项式系数C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．1．(a＋b)n中，n∈N*，a，b为任意实数．2．二项展开式中各项之间用“＋”连接．3．二项式系数依次为组合数C0n，C1n，…，C r n，…，C n n.4．(a＋b)n的二项展开式中，字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐次减1直到0；字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐次加1直到n.[对应学生用书P19][例1] (1)(a ＋2b )4；(2)⎝⎛⎫2x －32x 25. [思路点拨] 可直接利用二项式定理展开，对于(2)也可以先化简再展开． [精解详析] (1)根据二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n，得(a ＋2b )4＝C 04a 4＋C 14a 32b ＋C 24a 2(2b )2＋C 34a (2b )3＋C 44(2b )4＝a 4＋8a 3b ＋24a 2b 2＋32ab 3＋16b 4.(2)法一：⎝⎛⎭⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4⎝⎛⎭⎫－32x 2＋ C 25(2x )3⎝⎛⎭⎫－32x 22＋C 35(2x )2⎝⎛⎭⎫－32x 23＋C 45(2x )·⎝⎛⎭⎫－32x 24＋C 55⎝⎛⎭⎫－32x 25 ＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x10.法二：⎝⎛⎭⎫2x －32x 25＝(4x 3－3)532x 10＝132x 10[C 05(4x 3)5＋ C 15(4x 3)4·(－3)＋…＋C 45(4x 3)·(－3)4＋C 55·(－3)5] ＝132x10(1 024x 15－3 840x 12＋5 760x 9－4 320x 6＋1 620x 3－243) ＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x10.[一点通] 形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．含负号的二项展开式形如(a －b )n 的展开式中会出现正负间隔的情况．1．写出(1＋2x )4的展开式．解：(1＋2x )4＝C 04×14×(2x )0＋C 14×13×(2x )1＋C 24×12×(2x )2＋C 34×11×(2x )3＋C 44×10×(2x )4＝1＋8x ＋24x 2＋32x 3＋16x 4. 2．求⎝⎛⎭⎫x －12x 4的展开式．解：法一：⎝⎛⎭⎫x －12x 4＝C 04()x 4－C 14()x 3·12x＋C 24(x )2·⎝⎛⎭⎫12x 2－C 34x ·⎝⎛⎭⎫12x 3＋C 44⎝⎛⎭⎫12x 4＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2. 法二：⎝⎛⎭⎫x －12x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 4＝116x2(2x －1)4 ＝116x2(16x 4－32x 3＋24x 2－8x ＋1) ＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2.[例2] 已知二项式⎝⎭⎫x 2＋12x 10.(1)求展开式中的第5项； (2)求展开式中的常数项．[思路点拨] (1)直接利用通项公式求解；(2)利用通项公式T r ＋1＝C r n a n －r b r ⎝⎛⎭⎫a ＝x 2，b ＝12x ，设第r ＋1项为常数项，令x 的指数等于0即可求出r .[精解详析] (1)⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 10的展开式的第5项为 T 5＝C 410·(x 2)6·⎝⎛⎭⎫12x 4 ＝C 410·⎝⎛⎭⎫124· x 12·⎝⎛⎭⎫1x 4＝1058x 10. (2)设第r ＋1项为常数项，则T r ＋1＝C r 10·(x 2)10－r ·⎝⎛⎭⎫12x r＝C r 10·x 20－52r ·⎝⎛⎭⎫12r(r ＝0,1,2，…，10)， 令20－52r ＝0，得r ＝8，所以T 9＝C 810·⎝⎛⎫128＝45256， 即第9项为常数项，其值为45256.[一点通](1)二项展开式的通项T r ＋1＝C r n an －r b r表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项也随之确定．对于一个具体的二项式，通项T r ＋1依赖于r ，公式中的二项式的第一个量a 与第二个量b 的位置不能随便交换，且它们的指数和一定为n .(2)利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第r 项、常数项、含某字母的r 次方的项等．其通常解法就是根据通项公式确定T r ＋1中r 的值或取值范围以满足题设的条件．3．(x －2y )6 展开式中的第4项为________．解析：由二项展开式的通项得，(x －2y )6展开式中的第4项为C 36x6－3·(－2y )3＝－160x 3y 3. 答案：－160x 3y 34．二项式⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为________． 解析：二项展开式的通项是T r ＋1＝C r n x 3n －3r x －2r ＝C r nx 3n －5r，令3n －5r ＝0，得n ＝5r 3(r ＝0,1,2，…，n )，故当r ＝3时，n 有最小值5.答案：55．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项．解：⎝⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－124x r ＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 8x 16－3r 4(r ＝0,1,2，…，8)，为使T r ＋1为有理项，r 必须是4的倍数，所以r ＝0,4,8，故共有3个有理项，分别是T 1＝⎝⎛⎭⎫－120C 08x 4＝x 4， T 5＝⎝⎛⎭⎫－124C 48x ＝358x ，T 9＝⎝⎛⎭⎫－128C 88x －2＝1256x 2.[例3] 已知二项式⎝⎭⎫3x －23x 10.(1)求展开式中第4项的二项式系数； (2)求展开式中第4项的系数．[思路点拨] 利用二项式的通项直接求第4项的二项式系数及第4项的系数． [精解详析] ⎝⎛⎭⎫3x －23x 10的二项展开式的通项是 T r ＋1＝C r 10()3x 10－r ·⎝⎛⎭⎫－23x r (r ＝0,1，…，10)． (1)第4项的二项式系数为C 310＝120. (2)第4项的系数为C 31037⎝⎛⎭⎫－233＝－77 760.[一点通] 要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C r n ；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．6．(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中，x 2的系数等于________．解析：x 2的系数是四个二项展开式中4个含x 2的系数和，则有－C 02(－1)0＋C 13(－1)1－C 24(－1)2＋C 35(－1)3＝－(C 02＋C 13＋C 24＋C 35)＝－20.答案：－207．在二项式(1－x 2)20的展开式中，第4r 项和第r ＋2项的二项式系数相等，则r ＝________.解析：第4r 项与第r ＋2项的二项式系数分别为C 4r －120和C r ＋120，由题设得C 4r －120＝C r ＋120.由组合数性质得4r －1＝r ＋1或4r －1＝20－(r ＋1)． 4r －1＝r ＋1没有整数解．由4r －1＝20－(r ＋1)，得r ＝4，所以r ＝4. 答案：48．求(2x 2＋1x)9的展开式中第3项的二项式系数及第4项的系数．解：通项公式为T r ＋1＝C r 9(2x 2)9－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝29－r ·C r 9x 18－3r ，故第3项的二项式系数为C 29＝36，第4项的系数为 26C 39＝5 376.1．求二项展开式特定项的一般步骤2.求二项展开式的特定项应注意的问题通项公式的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第r 项；②求含x r (或x p y q )的项；③求常数项；④求有理项．其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解．另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误．3．二项式系数与项的系数的区别二项式系数C r n 与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负．[对应课时跟踪训练(八)]一、填空题1．(a ＋2b )10展开式中第3项的二项式系数为________． 解析：第3项的二项式系数为C 210＝10！8！×2！＝45.答案：452．(四川高考改编)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为________． 解析：只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15. 答案：153．二项式⎝⎛⎭⎫x 3－1x 25的展开式中的常数项为________． 解析：∵T r ＋1＝C r 5(－1)r x 15－5r，令15－5r ＝0，∴r ＝3. 故展开式中的常数项为C 35(－1)3＝－10.答案：－104．若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋nx ＋1(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝________.解析：a ＝C n －3n ，b ＝C n －2n， 又∵a ∶b ＝3∶1，∴C n －3n C n －2n ＝C 3n C 2n ＝31， 即n (n －1)(n －2)·26n (n －1)＝3，解得n ＝11.答案：115.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 9的展开式中有理项共有________项．(用数作答) 解析：由T r ＋1＝C r 9(x 2)9－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 9x 18－3r, 依题意需使18－3r 为整数，故18－3r ≥0，r ≤6，即r ＝0,1,2,3,4,5,6共7项．答案：7 二、解答题6．求()x －2y 37的第4项，指出第4项的二项式系数与第4项的系数分别是什么？解：∵T 4＝C 37()x 7－3(－2y 3)3＝C 37x 2(－2)3y 9＝－280x 2y 9，∴第四项的二项式系数为C 37＝35，第四项的系数为－280. 7．若⎝⎛⎭⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值． 解：二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 26展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6x 6－r ()－a r x －2r ＝C r 6x6－3r()－a r . 当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ， 根据已知C 26a ＝60，解得a ＝4.8．已知⎝⎛⎭⎫x ＋12x n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中含x 项的系数及二项式系数．解：⎝⎛⎭⎫x ＋12x n展开式的通项公式为 T r ＋1＝C r n ·()x n －r⎝⎛⎭⎫12x r ＝⎝⎛⎫12r C r n x n －2r 2.由题意知，C 0n ，12C 1n ，14C 2n 成等差数列， 则C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ，即n 2－9n ＋8＝0， 解得n ＝8或n ＝1(舍去)．∴T r ＋1＝⎝⎛⎭⎫12r C r 8x 4－r .令4－r ＝1，得r ＝3.∴含x 项的系数为⎝⎛⎭⎫123C 38＝7，二项式系数为C 38＝56.。
