高二上学期数学北师大版选修2-1师生共用导学案：2.1从平面向量到空间向量

§1从平面向量到空间向量●三维目标1．知识与技能(1)理解空间向量的概念．(2)掌握空间向量的两种表示法．(3)掌握两个空间向量的夹角、空间向量的方向向量和平面的法向量的概念．2．过程与方法通过从平面向量到空间向量的教学，掌握类比的学习方法，培养学生迁移的能力．3．情感、态度与价值观学会用发展的眼光看问题，会用联系的观点看待事物．●重点难点重点：使学生理解两空间向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量等概念．难点：准确找出已知平面的法向量．对于空间向量的有关概念，可通过与平面向量的相应概念的类比进行教学．对于本节课的难点，则可设置一些递进式的问题，采用启发、诱导、合作探究的方式，引导学生分析比较，在探索中，总结寻找平面法向量的方法．(教师用书独具)●教学建议在教学中，可采用以问题为主线，以小组合作探究为主体，学生自我展示、老师适当点拨为辅助的教学模式：本节课的核心是空间向量相关概念的生成，在教学中，应始终渗透一种由已知类比探究未知，由特殊到一般的认识事物的方法；通过问题设置让学生主动参于、积极思考、认真探究，积极引导他们学会合作与交流，进而逐步将知识内化为自身的认知结构．●教学流程通过类比引入概念⇒通过概括形成概念⇒通过辨析深化概念⇒通过例题应用概念⇒反馈矫正归纳小结1．空间中任意两个向量是共面向量吗？【提示】是．2．问题1中的结论，对你学习空间向量有什么启发？【提示】由问题1的结论可知，空间向量的平行、垂直、夹角等概念应与平面向量中相应概念的定义相同．空间向量的概念→①用有向线段AB表示，过空间中任意一点O ，作向量叫做向量a ，b 的夹角，记作〈1．给定空间中任意一点A 和非零向量a ，可以确定唯一一条过点A 且平行于向量a 的直线吗？可以确定唯一一条过点A 且垂直于向量a 的直线吗？【提示】 可以，不可以．2．给定空间中任意一点A 和非零向量a ，可以确定唯一一个过点A 且垂直于向量a 的平面吗？可以确定唯一一个过点A 且平行于向量a 的平面吗？【提示】 可以，不可以． 1．直线的方向向量设l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量． 2．平面的法向量如果直线l 垂直于平面α，那么把直线l 的方向向量a 叫作平面α的法向量.图2－1－1如图2－1－1所示，在正六棱柱ABCDEF －A ′B ′C ′D ′E ′F ′中，(1)与AB →相等的向量有哪些？ (2)BD →与E ′A ′→是相反向量吗？ (3)与AD →平行的向量有多少个？【思路探究】 根据正六棱柱的结构特征，分析各线段的相互关系，从而得到向量之间的关系．【自主解答】 (1)CD →，A ′B ′→，E ′D ′→. (2)是 (3)11个．以几何体为载体给出向量时，要注意结合几何体的结构特征来分析向量之间的关系．图2－1－2如图2－1－2所示已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′. (1)写出与BB ′→相等的向量；(2)写出与AB →相反的向量； (3)与AB →平行的向量共有多少个？ 【解】 (1)AA ′→，CC ′→，DD ′→. (2)BA →，CD →，C ′D ′→，B ′A ′→. (3)7个．图2－1－3如图2－1－3所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，(1)分别给出直线AA 1，BD 的一个方向向量；(2)分别给出平面ADD 1A 1，平面BB 1D 1D 的一个法向量． 【思路探究】 根据方向向量与法向量的定义直按写出即可．【自主解答】 (1)直线AA 1的一个方向向量可为BB 1→、AA 1→、CC 1→、DD 1→、A 1A →、B 1B →、C 1C →、D 1D →中的任一个，直线BD 的一个方向向量可为B 1D 1→、BD →、DB →、D 1B 1→中的任一个．(2)平面ADD 1A 1的一个法向量可为AB →、DC →、A 1B 1→、D 1C 1→、BA →、CD →、B 1A 1→、C 1D 1→中的任一个．平面BB 1D 1D 的一个法向量可为AC →、CA →、A 1C 1→、C 1A 1→中的任一个．找直线的方向向量要注意几何体中的平行关系；找平面的法向量要注意几何体中的垂直关系，特别是线面垂直关系．根据例2的条件，写出平面AB 1C 的一个法向量．【解】 如图，直线BD 1垂直于平面AB 1C ，即一个法向量为BD 1→.图2－1－4如图2－1－4在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中．(1)求〈BA 1→，CC 1→〉； (2)求〈BA 1→，B 1C 1→〉； (3)求〈BA 1→，AD 1→〉．【思路探究】 平移向量，使它们的起点相同，然后在三角形中求角．【自主解答】 (1)∵CC 1→∥BB 1→， ∴∠A 1BB 1为BA 1→，CC 1→所成的角， 在Rt △A 1BB 1中，A 1B 1＝B 1B ，∴∠A 1BB 1＝45°，即〈BA 1→，CC 1→〉＝45°.(2)∵B 1C 1→∥BC →，∴∠A 1BC 为BA 1→，B 1C 1→所成的角，又∵BC ⊥面A 1ABB 1，BA 1面A 1ABB 1，∴BC ⊥BA 1，即∠A 1BC ＝90°， ∴〈BA 1→，B 1C 1→〉＝90°.(3)∵AD 1→∥BC 1→，∴∠A 1BC 1为BA 1→与AD 1→所成的角，在△A 1BC 1中，A 1B ＝BC 1＝A 1C 1.∴∠A 1BC 1＝60°，即〈BA 1→，AD 1→〉＝60°.1．解答本题的关键是平移向量，使它们的起点相同．2．求两个向量的夹角和求两条异面直线所成的角比较相似，就是采取平移的方法找到一个与另一向量相交的共线向量，进而转化为同一平面内的两条相交直线所成的角进行求解，在平移的过程中，要充分利用已知图形的特点，寻找线线平行，找出所求的角，这一过程可简单总结为：(1)找角，(2)在三角形中求角．3．在利用平面角求向量角时，要注意两种角的取值范围，线线角的范围是[0，π2]，而向量夹角的范围是[0，π]，比如〈a ，b 〉与〈－a ，b 〉两个角互补，而它们对应的线线角却是相等的．在本例中求(1)〈BA 1→，D 1C →〉； (2)〈BA 1→，D 1A →〉； (3)〈BA 1→，DA →〉．【解】 (1)BA 1→∥D 1C →，且BA 1→与D 1C →反向，∴〈BA 1→，D 1C →〉＝π.(2)∵AD 1→∥BC 1→，且D 1A →与BC 1→反向， ∴〈BA 1→，D 1A →〉＝π－∠A 1BC 1，由例题知∠A 1BC 1＝π3，∴〈BA 1→，D 1A →〉＝2π3.(3)∵DA ⊥面A 1ABB 1，BA 1面A 1BB 1， ∴DA ⊥BA 1， ∴〈BA 1→，DA →〉＝π2.因思维定势致误在空间中，把单位向量的始点放置于同一点，则终点构成的图形是( )A ．点B ．直线C ．圆D ．球面【错解】 由于单位向量的模为单位长度，由圆的定义知：应选C. 【答案】 C【错因分析】 没考虑到空间与平面的不同，造成错误．【防范措施】 空间比平面多了一维，对于在平面向量中成立的结论，在空间中不一定成立．在学习空间向量时，要注意这一点．【正解】 由于单位向量的模为单位长度，由球面的定义知：应选D ． 【答案】 D1．在数学中所研究的向量是与起点无关的自由向量，可以设法将向量平移到同一起点上，然后再研究向量之间的夹角问题，如例3.2．若要证明一个向量是一条直线的方向向量，只要证明向量所在直线与直线平行即可；若要证明一个向量是一个平面的法向量，只要证明向量所在直线垂直于平面即可.1．若空间任意两个非零向量a ，b ，则|a |＝|b |，且a ∥b 是a ＝b 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 a ＝b ⇒|a |＝|b |，且a ∥b ；所以，必要；当b ＝－a 时，有|a |＝|b |且a ∥b ，但a ≠b ，所以，不充分．故选B ．【答案】 B图2－1－52．在正四面体A －BCD 中，如图2－1－5，〈AB →，DA →〉等于( ) A ．45° B ．60° C ．120°D ．90°【解析】 〈AB →，DA →〉＝180°－ 〈AB →，AD →〉＝180°－60°＝120°.【答案】 C3．当两个平面平行时，它们的法向量________；当两个平面垂直时，它们的法向量________．【解析】 由于平面与其法向量垂直，所以，当两个平面平行时，它们的法向量平行；当两个平面垂直时，它们的法向量垂直．【答案】 平行 垂直图2－1－64．如图2－1－6在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中(1)给出平面ABC 1D 1的一个法向量；(2)试求〈C 1C →，AD 1→〉． 【解】 (1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， ∵AB ⊥平面AA 1D 1D ，A 1D 平面AA 1D 1D ， ∴AB ⊥A 1D ，又AD 1⊥A 1D ，AD 1∩AB ＝A ， ∴A 1D ⊥平面ABC 1D 1，∴A 1D →是平面ABC 1D 1的一个法向量．(2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，〈D 1D →，D 1A →〉＝45°， 又C 1C →＝D 1D →，∴〈C 1C →，D 1A →〉＝45°，∴〈C 1C ，AD 1〉＝135°.一、选择题1．若空间向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不同的方向B ．有不相等的模C ．不可能是平行向量D ．不可能都是零向量【解析】 若a ＝0，b ＝0，则a ＝b ，这与已知矛盾，故选D ． 【答案】 D图2－1－72．如图2－1－7所示，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，在下列选项中，CD →的相反向量是( )A.BA →B ．A 1C 1→C.A 1B 1→ D ．AA 1→【解析】 由相反向量的定义可知，A 1B 1→是CD →的相反向量． 【答案】 C图2－1－83．在如图2－1－8所示的正三棱柱中，与〈AB →，AC →〉相等的是( ) A ．〈AB →，BC →〉B ．〈BC ，CA 〉 C ．〈C 1B 1→，AC →〉D ．〈BC →，B 1A 1→〉【解析】 ∵B 1A 1→＝BA →，∴〈BA →，BC →〉＝〈AB →，AC →〉＝〈BC →，B 1A 1→〉＝60°，故选D ． 【答案】 D4．在正三棱锥A -BCD 中，E 、F 分别为棱AB ，CD 的中点，设〈EF →，AC →〉＝α，〈EF →，BD →〉＝β，则α＋β等于( )A.π6 B ．π4C.π3 D ．π2【解析】 如图，取BC 的中点G ，连接EG 、FG ， 则EG ∥AC ，FG ∥BD ， 故∠FEG ＝α，∠EFG ＝β. ∵A －BCD 是正三棱锥， ∴AC ⊥BD ．∴EG ⊥FG ，即∠EGF ＝π2.∴α＋β＝∠FEG ＋∠EFG ＝π2.【答案】 D5．如图2－1－9所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB 的方向向量有( )图2－1－9A ．8个B ．7个C ．6个D ．5个【解析】 与向量AB →平行的向量就是直线AB 的方向向量，有AB →，BA →，A 1B 1→，B 1A 1→，C 1D 1→，D 1C 1→，CD →，DC →，共8个，故选A.【答案】 A 二、填空题6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则向量CE →和BD →的夹角为________．【解析】 ∵BD →为平面ACC 1A 1的法向量，而CE 在平面ACC 1A 1中， ∴BD →⊥CE →.∴〈BD →，CE →〉＝90°. 【答案】 90°7．下列命题正确的序号是________． ①若a ∥b ，〈b ，c 〉＝π4，则〈a ，c 〉＝π4.②若a ，b 是同一个平面的两个法向量，则a ＝B ． ③若空间向量a ，b ，c 满足a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . ④异面直线的方向向量不共线．【解析】 ①〈a ，c 〉＝π4或3π4，①错；②a ∥b ；②错；③当c ＝0时，推不出a ∥c ，③错；④由于异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对． 【答案】 ④8．在棱长为1的正方体中，S 表示所有顶点的集合，向量的集合P ＝{a |a ＝P 1P 2→，P 1，P 2∈S }，则在集合P 中模为3的向量的个数为________．【解析】 由棱长为1的正方体的四条体对角线长均为3知：在集合P 中模为3的向量的个数为8.【答案】 8 三、解答题9．如图2－1－10所示，在长、宽、高分别为AB ＝3、AD ＝2、AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量； (3)试写出与AB →相等的所有向量．【解】 (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→共8个．(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)共有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→3个．图2－1－1110．如图2－1－11所示，正四棱锥S －ABCD 中，O 为底面中心，求平面SBD 的法向量与AD →的夹角．【解】 ∵正四棱锥底面为正方形， ∴BD ⊥AC ，SO ⊥AC 又∵BD ∩SO ＝O ∴AC ⊥平面SBD ．∴AC →为平面SBD 的一个法向量．∴〈AC →，AD →〉＝45°.11．如图2－1－12，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形且PD ＝AD ，E 、F 分别是PC 、PB 的中点．(1)试以F 为起点作直线DE 的一个方向向量； (2)试以F 为起点作平面PBC 的一个法向量． 【解】 (1)取AD 的中点M ，连接MF ，连接EF ，∵E 、F 分别是PC 、PB 的中点，∴EF 綊12BC ，又BC 綊AD ，∴EF 綊12AD ，则由EF 綊DM 知四边形DEFM 是平行四边形，∴MF ∥DE ，∴FM →就是直线DE 的一个方向向量． (2)∵PD ⊥平面ABCD ， ∴PD ⊥BC ， 又BC ⊥CD ， ∴BC ⊥平面PCD ， ∵DE 平面PCD ，∴DE ⊥BC ，又PD ＝CD ，E 为PC 中点， ∴DE ⊥PC ，从而DE ⊥平面PBC ，∴DE →是平面PBC 的一个法向量，由(1)可知FM →＝ED →， ∴FM→就是平面PBC的一个法向量.(教师用书独具)判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①若非零向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上； ②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB →＝DC →； ⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．【思路探究】 明确共线向量的定义；掌握单位向量的含义；理解零向量的特征． 【自主解答】 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD →在同一条直线上．②不正确，单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同．③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的． ④不正确，因为A 、B 、C 、D 可能共线． ⑤正确，符合零向量的定义．⑥不正确，AC →与BC →共线，可能起点不同，但终点却相同．解此类题主要是透彻理解概念，对向量、零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、共面向量的概念特征及相互关系要把握好．下列命题是真命题的是( )A ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同C ．若向量AB →，CD →满足|AB →|＞|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →＞CD →D ．若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD →【解析】 由AB →＋CD →＝0，得AB →＝－CD →，∴AB →与CD →是相反向量，∴AB →∥CD →. 【答案】 D。

第二章第一节从平面向量到空间向量一、设计思路本节是北师大版高中数学选修2-1第二章第一节内容，学生已经学习了平面向量和空间几何体及其点线面位置关系，本章是平面向量的推广和延伸，是解决空间问题的有力工具.学生是学习的主体，本节课注重给学生提供各种参与机会：通过自学，小组讨论，多媒体展示，最大程度地激发学生参与教学的过程.结合教材以及本班学生情况，本节教学内容设计为两个部分，第一部分是向量的概念，着重学生自学与合作后的展示.通过与平面向量的类比，引入空间向量的相应概念：空间向量、向量的表示、自由向量、向量的模、向量，的夹角等.第二部分是向量、直线、平面，主要由教师引导完成教学内容.通过分析向量与直线，向量与平面的位置关系，引入直线l的方向向量，平面 的法向量等概念.通过这两部分的设计，降低学生的理解难度，突出了类比的数学思想方法.二、教学目标1. 知识与技能：(1)了解空间向量的有关概念；(2)掌握两个空间向量的夹角、方向向量和平面的法向量的概念.2. 过程与方法：经历向量从平面到空间推广的过程，分析向量与直线、平面的位置关系，让学生学会类比的数学思想方法.3. 情感与态度：尝试解决问题过程中，让学生树立类比分析、循序渐进解决数学问题的能力；借助直观模型，让学生感受从感性到理性，从具体到抽象的研究问题的方法.三、教学重点及处理设想理解向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量等概念.借助平面向量以及空间平行概念的基础，对向量的概念从维度(二维平面到三维空间)进行推广，可让学生从周围的几何体(长方体模型，教室等)培养学生的空间想象能力.四、教学难点及处理设想理解共面向量的概念.对于空间两个向量都是共面向量的认同，处理设想为可以借助空间异面直线的概念提出空间两向量是否可能异面的问题，继而结合自由向量和相等向量的概念来解决.五、教学方法导学法，讨论法.六、教学准备学生学案，多媒体课件.七、教学流程设计八、教学反思1.《新课程标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法(类比与归纳)，体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题.同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质.掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求.空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，空间向量的基本概念是后续学习的前提，空间向量是平面向量的推广，空间向量及其运算所涉及的内容与平面向量及其运算相似，所以，空间向量的教学要注重知识间的联系，温故而知新，运用类比的方法认识新问题，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.教师的教学实际上就是保证和促进学生学习的主动性和知识体系的建构.本节课尝试让学生自主学习，主要过程包括:(1)预习交流——学生按照“学案”进行课前预习或当堂预习交流；(2)小组讨论——根据自学任务小组进行讨论交流，完成预期任务；(3)展示交流——各组根据组内讨论情况，对本组的学习任务进行讲解展示；(4)穿插巩固——在展示过程中，对未能展现的学习任务进行巩固练习.(5)学后反思——对学习过程中的感受进行总结.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

§1从平面向量到空间向量
[对应学生用书P15]
小刚从学校大门口出发，向东行走100 m，再向北行走600 m，最后乘电梯上行20 m 到达住处．
问题1：位移是既有大小又有方向的量，可用向量表示．那么，小刚从学校大门口到住处的总位移所对应的向量是三个位移所对应的向量的合成吗？
提示：是．
问题2：问题1中的位移是不在同一个平面内的位移，已不能用平面向量来刻画，应如何刻画这种位移？
提示：用空间向量．
问题3：若设大门口向东行走100 m为a，再向北行走600 m为b，最后乘电梯上行20 m为c，则a，b，c夹角分别是多少？
提示：π2.
空间向量
(1)空间向量及其模的表示方法：。

§1. 从平面向量到空间向量主备：审核: 班级: 小组：学生姓名：【学习目标】1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示法；2. 理解空间向量→a、→b的夹角、直线的方向向量、平面的法向量。

3.运用类比的方法.经历向量由平面向空间推广的过程.【学习重点】理解空间向量→a、→b的夹角、直线的方向向量、平面的法向量.【学习难点】理解直线的方向向量、平面的法向量.【自主预习】（一）旧知回顾在平面中，1.我们把叫做向量.2.零向量: ；单位向量: .3.向量的表示:⑴；⑵ .4.向量的模: ；相反向量: .5.相等向量: .6.平行向量: .7. (1)直线的方向向量: ；(2)直线的法向量: .8.(1)向量的夹角: ；(2)向量夹角的范围: .（二）自主探究阅读课本P25----26用类比法填空:在空间中，1.我们把叫做空间向量.2.零向量: ；单位向量: .3.空间向量的表示:⑴；⑵ .ABCDA 1B 1C 1D 1 4.空间向量的模: ； 相反向量: . 5.相等向量: . 6.平行向量: .7. (1) 直线的方向向量: ； (2)平面的法向量: . 8. (1)空间向量的夹角: ； (2)空间向量夹角的范围: . 【合作探究】探究活动一例1.在正方体ABCD--A 1B 1C 1D 1 中,求: （1)〈,〉；(2)〈,11D B 〉；(3)〈,11C B 〉；（4)〈A 1,DC 〉；(5)〈AC ,1BC 〉；(6)〈11B D ,1BC 〉.探究活动二例2. 给出下列命题:(1) 两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同; (2) 若空间向量a .b 满足︱a ︱=︱b ︱,则a =b(3) 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,必有=11C A (4) 若空间向量m ，n ，p 满足m =n ,n =p ,则m =p ; (5) 空间中任意两个单位向量必相等.其中正确的命题序号为 .(把你认为正确的命题序号都填上)B A 1 探究活动三例3.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，（1）写出与向量1AA 相等的向量 ； （2）写出向量1AA 的相反向量 ； （3）写出与向量1AA 平行的向量 ； （4）写出直线AA 1的方向向量 ； （5）写出以向量1AA 为法向量的平面 ； （6）写出平面ADD 1A 1的法向量 ； （7）写出平面ACD 1的法向量 ；【达标测评】1.下列关于空间向量的说法正确的是( )A .若向量a .b 平行,则a .b 所在的直线平行 B.若向量a .b 所在的直线是异面直线,则不共线 C.若A.B.C.D 四点不共面,则向量、不共面 D.若A.B.C.D 四点不共面,则向量AB 、AC 、AD 不共面'B'ABCDA 'B 'C 'D '【今日作业】P 27 A 组 2,3,4. 2. 3. 4.。

数学、高中数学、数学课件、数学教课设计、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、会合、有理数、函数、不等式、解三角形课题： 空间向量的运算 ( 二)学习目标 :知识与技术 ： 1、娴熟掌握空间向量的数目积运算 . 2 、能用空间向量的运算律解决简单的立体几何中的问题过程与方法：经历向量运算平面到空间推行的过程 , 进一步掌握类比的数学思想方法 .感情态度与价值观： 学会用发展的目光看问题 , 认识事物是在不停发展变化的 , 会用联系的看法对待问题。

学习要点 ：空间向量的数目积及运算律学习难点： 用向量解决立几体几何问题学习方法： 以讲学稿为依靠的研究式教课学习过程 :一、 课前预习：1．空间向量的数目积：空间两个向量 a 和 b 的数目积是 ，等于 ，记作 .2．空间向量的数目积的运算律(1) 互换律： a ·b＝ ；(2) 分派律： a ·(b ＋c) ＝； (3) λ ( a ·b ) ＝ ( λ∈R)．3．利用空间向量的数目积获得的结论(1)| a| ＝ ； (2) a ⊥b ； ? a ， b 〉＝ a ≠ ， b ≠(3)cos 〈 ( 0). 0 二 . 新课学习 问题研究一 数目积的看法 1 类比平面向量的数目积，说出空间向量的数目积 a ·b 的定义？2 请你类比平面向量说出 a ·b 的几何意义．例 2：独立达成教材 31 页例 2学后检测 1： 已知长方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1 中， AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面 AB 1 的中心， F 为 A 1 D 1 的中点．试计算：(1) → → → → → → BC ·ED ；(2) BF · AB ； (3) EF ·FC.1 1 1问题研究二 利用数目积求夹角1 利用数目积如何证明两个向量垂直？数学、高中数学、数学课件、数学教课设计、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、会合、有理数、函数、不等式、解三角形数学、高中数学、数学课件、数学教课设计、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、会合、有理数、函数、不等式、解三角形2 如何求两个向量的夹角？例 3 如下图，已知正四棱柱 ABCD — A 1B 1 C 1D 1 中， AA 1＝2AB ，E 为 AA 1中点，求异面直线 BE 与 CD 1 所成角的余弦值．三、 当堂检测：1．设 a 、b 、c 是随意的非零平面向量，且它们互相不共线，以下命题： c · a · b 与 c a ·b · c － c ·a · b ＝ ；②|a － b a －b ；③(b ·a · c － ①( ) ( ) 0 | | |<| | ) ( ) 垂直； b · a － b ＝ a 2－ b 2 此中正确的有 ④(3 a ＋ (3 . ( ) 2 ) 2 ) 9| | 4| | A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ a ＋ b 等于 （ ） 2．已知 a ，b 均为单位向量，它们的夹角为 °，那么 | 60 3 | A. 7 B. 10 C. 13 D ． 4 3．如下图，已知 PA ⊥平面 ABC ，∠ ABC ＝120°， PA ＝AB ＝BC ＝ 6，则 PC 等于()A ．6 2B ．6C ．12D ．144四、 讲堂小结：五、 课后作业：六、 板书设计：七、教（学）后反省：数学、高中数学、数学课件、数学教课设计、数学试题、试卷数学、数学考试、奥数、会合、有理数、函数、不等式、解三角形。