高中数学典型例题分析
第八章 平面向量与空间向量
§8.1平面向量及其运算
一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１
个单位长度的向量，叫做单位向量。
2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。
3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。
4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。
5.向量的加法：求两个向量和的运算。
已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。
记作a +b 。
6. 向量的减法：求两个向量差的运算。
已知a ，b 。在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b 的差。
记作a -b 。
7.实数与向量的积： （1）定义： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，并规定： ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |； ②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；
当λ＝0时，λa =0
（2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa
③λ(a +)=λa
+λ 8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，
使得b ＝λa 。
另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b x 1y 2－x 2y 1=0
9.平面向量基本定理：
如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且
只有一对实数λ1、λ2使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e
叫做表示这一
平面内所有向量的一组基底。
10.定比分点
设P 1，P 2是直线l 上的两点，点P 是不同于P 1，P 2的任意一点则存在一个实数λ,使
21P P =λ21P P ，
λ叫做分有向线段所成的比。若点P 1、P 、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x,y)，(x 2,y 2)，则有
特别当λ=1，即当点P 是线段P 1P 2的中点时，有⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=2221
21y y y x x x 11.平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的
数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·＝|a ||b |cos θ
规定：零向量与任一向量的数量积是0。
(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积。
(3)性质：设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则
e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ ，a ⊥b ⇔a ·b ＝0
当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |
当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |
特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a a
⋅ cos θ＝b
a b a ⋅⋅ |a ·b |≤|a ||b | (4)运算律：
a ·
b ＝b ·a (交换律)
(λa )·b ＝λ(b ·a )＝a ·(λb )
(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c
（5）平面向量垂直的坐标表示的充要条件：
设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则
a ⊥
b ⇔a ·b =|a |·|b |cos90°=0
a ⊥
b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0
12.平移公式：
设P （x ，y ）是图形F 上的任意一点，它在平移后图形F /上对应点为P /（x /，y /），且设
/PP 的坐标为（h ，k ），则由/OP ＝＋/PP ，得：（x /，y /）＝（x ，y ）+（h ，k ） 二、疑难知识导析
1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量”
向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的，
由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的．两个向量的模相等，方向相同，我们
称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线
向量；
2．在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点；
3．对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，一定要区分好两
个公式，切不可混淆。因此，建议在记忆时对比记忆；
4．定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开
计算的；
5．平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的
坐标给出，同时注意顺序。
三、经典例题导讲
[例1] 和a = (3,－4)平行的单位向量是_________；
错解：因为a 的模等于5，所以与a 平行的单位向量就是5
1a ，即 (35 ，－45 ) 错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。
正解：因为a 的模等于5，所以与a 平行的单位向量是±5
1a ，即(35 ，－45 )或(－35 ，45 ) 点评：平行的情况有方向相同和方向相反两种。读者可以自己再求解“和a = (3,－4)垂直
的单位向量”，结果也应该是两个。
[例2]已知A （2，1），B （3，2），C （-1，4），若A 、B 、C 是平行四边形的三个顶点，求第
四个顶点D 的坐标。
错解：设D 的坐标为（x ，y ），则有x-2=-1-3，y-1=4-2 ，即x=-2，y=3。故所求D 的坐标
为（-2，3）。
错因：思维定势。习惯上，我们认为平行四边形的四个顶点是按照ABCD 的顺序。其实，在
这个题目中，根本就没有指出四边形ABCD 。因此，还需要分类讨论。
正解：设D 的坐标为（x ，y ）
当四边形为平行四边形ABCD 时，有x-2=-1-3，y-1= 4-2 ，即x= -2，y= 3。解得D 的
坐标为（-2，3）；
当四边形为平行四边形ADBC 时，有x-2=3-（-1），y-1= 2-4 ，即x= 6，y= -1。解得D
