山东财经大学线性代数n维向量

山东财经大学2015—2016学年第1学期期末试题线性代数（16200031）试卷(A)注意事项：所有答案都必须写在答题纸上，答在试卷上一律无效.一、判断题（本题共5小题，每小题2分，满分10分）1.各行所有元素之和均为0的行列式的值为0.（ ）2.任一n 阶可逆矩阵均与单位矩阵n E 等价.（ ）3.n 个1+n 维向量必线性相关.（ ）4.若n m <，则齐次线性方程组O X A n m =⨯必有非零解.（ ）5.若B A ~，则对任意常数λ，有B A λλ~.（ ） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1.若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡98765432101010000110000101020162015A ，则A =________. 2.若bc ad ≠，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1d c b a ________.3.齐次线性方程组0221=+++n nx x x 的基础解系中含________个解向量.4.若3333~⨯⨯B A ，)31,21,1(diag B =，则=--|2|1E A ________.5.二次型⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=321321321213104121),,(),,(x x x x x x x x x f 的秩为________.三、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1.行列式00000033441122a b a b b a b a 的值是（ ）. （A ）43214321b b b b a a a a - （B ）43214321b b b b a a a a + （C ）))((32324141b b a a b b a a -- （D ）))((43432121b b a a b b a a -- 2.设n 阶矩阵C B A ,,满足E ABC =，则必有（ ）.（A ）E BCA = （B ）E BAC = （C ）E CBA = （D ）E ACB = 3.若向量组s ααα,,,21 线性相关，则必有（ ）. （A ）s ααα,,,21 中任意两个向量均成比例 （B ）s ααα,,,21 中任一部分向量组线性相关 （C ）s ααα,,,21 中含有零向量（D ）s ααα,,,21 中至少有一向量可由其余向量线性表出 4.齐次线性方程组m n A X O ⨯=仅有零解的充要条件是（ ）. （A ）A 的列向量组线性相关 （B ）A 的列向量组线性无关 （C ）A 的行向量组线性相关 （D ）A 的行向量组线性无关5.与矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211相似的矩阵是（ ）. （A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡212 （B ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200110001 （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200010011 （D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020101四、计算题（本题共5小题，满分50分）1.（本题满分5分）设行列式11201212112110-----，求42322212A A A A +++，其中ij A 为元素ij a 的代数余子式，4,3,2,1,=j i .2.（本题满分10分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111111111A ，*A 为A 的伴随矩阵，且X A X A 21+=-*，求X .3.（本题满分10分）设向量组)2,2,1,1(1=α，)2,1,1,2(2--=α，,1(3-=α)2,1,1-，),2,2,1(4a ---=α，求a 为何值时，4321,,,αααα线性相关？此时，求4321,,,αααα的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出.4.（本题满分10分）解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x ，其中b a ,为待定参数（若有无穷多解，要写出通解）.5.（本题满分15分）利用正交替换将二次型232221.32144),,(x x x x x x f ++= 323121448x x x x x x -+-化为标准形.五、证明题（本题共2小题，每小题5分，满分10分）1.求证：⎩⎨⎧-<==*1)(,0)(,)(n A r n A r n A r ，其中*A 为n n A ⨯的伴随矩阵.2.求证：若n 维单位向量组n εεε,,,21 可由向量组n ααα,,,21 线性表出，则n ααα,,,21 线性无关.山东财经大学2015-2016学年第一学期期末试题线性代数 试卷 (A)参考答案与评分标准一、判断题（本题共5小题，每小题2分，满分10分）1．√ 2．√ 3．× 4．√ 5．√二、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡978645312 2. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---a c b d bc ad 1 1 3. 1-n 4. 0 5. 3 三、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．C 2．A 3．D 4．B 5．B四、计算题（本题共5小题，满分50分）1.（本题满分5分）2011201112011211042322212=---=+++A A A A ………………5分（转化2分，计算3分）注：逐个计算（4分），再加和（1分）亦可. 2.（本题满分10分）X A X A 21+=-*1)24(--=⇒⇒A E X （5分）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10111001141（10分）. 3.（本题满分10分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=a T T T T 222211*********),,,(4321αααα⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-----−→−4000110012301121a 行(阶梯形). ………3分当4-=a 时，4321,,,αααα线性相关. …………5分此时，),,,(4321TT T T αααα⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−000011003101034001行(行简化阶梯形). ………7分3),,,(4321=ααααr （8分）；极大无关组为321,,ααα（9分）；32143134αααα-+-=（10分）.4.（本题满分10分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-−→−=01000101001221001111][a b a A 行(阶梯形). ………2分 （1）当1=a ，1-≠b 时，无解. ………3分 （2）当1≠a 时，有惟一解. ………4分此时，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+----+-−→−010001101001320010120001a b a b a a a b A 行(行简化阶梯形).因此，解为Ta b a b a a a b )0,11,132,12(-+----+-. ………5分（3）当1=a ，1-=b 时，有无穷多解. ……………6分此时，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−→−00000000001221011101行A (行简化阶梯形). 一般解为⎩⎨⎧+--=-+=1221432431x x x x x x .特解：T )0,0,1,1(0-=α. ……………7分导出组的一般解为⎩⎨⎧--=+=43243122x x x x x x .基础解系：T )0,1,2,1(1-=α，T )1,0,2,1(1-=α. ……………9分 因此，通解为22110αααc c X ++=. ……………10分 5.（本题满分15分）二次型的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=122244244A . …………1分 计算特征值和特征向量：)9(122244244||2-=-----=-λλλλλλA E . A 的特征值为01=λ（二重），92=λ. …………3分对01=λ（二重），解线性方程组O X A E =-)(1λ，得基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1021,01121αα. …5分对92=λ，解线性方程组O X A E =-)(2λ，得基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1223α. …………6分正交化：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==01111αβ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=141410112211021),(),(1111222ββββααβ. ………8分 单位化：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==021211111ββγ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==32262621232ββγ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==3132321333ααγ. ………11分（3）令⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==313232322626202121),,(321γγγQ ， …………12分则Q 为正交矩阵，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-9001AT Q AQ Q T . …………13分 作正交替换QY X =（14分），则可将原二次型化为标准形239y .（15分）五、证明题（本题共2小题，每小题5分，满分10分）1.过程略. 证第一个结论2分，证第二个结论3分.2.过程略.n ααα,,,21 与n εεε,,,21 等价， …………2分 ∴n r r n n ==),,,(),,,(2121εεεααα . …………4分因此，n ααα,,,21 线性无关. …………5分。

山东省考研数学复习资料线性代数重点知识点总结一、向量与线性空间1. 向量的定义及性质1.1 向量的概念1.2 向量的加法和数乘1.3 向量的点乘和叉乘2. 线性空间的定义和基本性质2.1 线性空间的定义2.2 线性空间的子空间2.3 线性空间的基和维数二、线性变换与矩阵1. 线性变换的概念及性质1.1 线性变换的定义1.2 线性变换的基本性质1.3 线性变换的表示与矩阵2. 矩阵的定义和基本运算2.1 矩阵的定义2.2 矩阵的加法和数乘2.3 矩阵的乘法和转置三、线性方程组与矩阵的应用1. 线性方程组的表示和解法1.1 线性方程组的标准形式1.2 齐次线性方程组与非齐次线性方程组1.3 解线性方程组的常见方法2. 矩阵的应用2.1 方阵的逆与可逆矩阵2.2 矩阵的秩与线性无关性2.3 矩阵的特征值与特征向量四、线性空间中的基和坐标表示1. 线性空间的基及坐标表示1.1 线性空间的基的定义和性质1.2 向量在基下的坐标表示2. 基变换和相似矩阵2.1 基变换的概念与性质2.2 矩阵的相似性与相似矩阵的计算五、特殊线性空间和二次型1. 子空间和陪集空间1.1 子空间的定义和性质1.2 陪集空间的定义和性质2. 二次型的定义和矩阵表示2.1 二次型的定义和性质2.2 二次型的矩阵表示和标准形六、广义特征值问题1. 广义特征值问题的概念和性质1.1 广义特征值问题的定义和性质1.2 广义特征值与特征向量的关系2. 广义特征值问题的求解2.1 广义特征值问题的求解方法2.2 广义特征值问题的应用举例总结：线性代数作为数学的一个重要分支，在数学科学以及工程技术中起着重要的作用。

本文对山东省考研数学复习资料线性代数的重点知识点进行了总结。

通过学习本文所述的内容，读者可以对向量与线性空间、线性变换与矩阵、线性方程组与矩阵的应用、线性空间中的基和坐标表示、特殊线性空间和二次型、广义特征值问题等知识点有一个较为全面的了解和掌握。

山东财经大学2016-2017学年第一学期期末试题一、判断题（本题共5小题，每小题2分，满分10分）1.设行列式0≠D ，则其任两行的对应元素均不成比例.（ ）2.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000cb ea dfA ，且f a ~均不为0，则abc A 11=-.（ ） 3.n m >是m 个n 维向量线性相关的必要条件.（ ） 4.齐次线性方程组O X A =⨯53无基础解系.（ ）5.设A 为n 阶正交矩阵，α为n 维单位向量，则1=αA .（ ） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1.设4阶行列式中第1行的元素分别为4,0,2,1-，第4行元素的余子式分别为2,19,,6x ，则=x ________.2.设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1011A ，1)(2++=x x x f ，则矩阵=)(A f ________. 3.向量组),0,(311a a =α，)0,,(322a a =α，),,0(213a a =α线性无关应满足的条件是________.4.线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++1132194321321321x x x x x x x x x 的解为________.5.设矩阵33⨯A 满足A E -3，A E +，A E 3+均不可逆，则=||A ________.三、计算题（本题共4小题，每小题10分，满分40分）1.设矩阵B A ,满足B A AB +=，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101020101B .试证E A -可逆，并求A .（提示：不得使用待定系数法.）2.求向量组)1,5,3,1(1-=α，)4,3,1,2(2--=α，)1,9,7,7(3=α，)6,4,4,6(4=α，)3,2,2,3(5=α的秩，判断其线性相关性，求其一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.3.解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=--+=--120225543214321432x x x x x x x x a x x x ，其中a 为待定参数.（提示：有无穷多解时，需写出通解.）4.求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=312130112A 的特征值与特征向量.（提示：要写出全部特征向量.）四、证明题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）1.求证：若2016阶行列式D 中零元素的个数多于201620162-，则D 的值为0.2.求证：若矩阵Q 可逆，则)()(A r AQ r =.3.求证：若n 维单位向量组n εεε,,,21 可由向量组n ααα,,,21 线性表示，则n ααα,,,21 线性无关.4.求证：若矩阵A 的互异特征值s λλλ,,,21 对应的特征向量分别为s ααα,,,21 ，则s ααα+++ 21必不是A 的特征向量.五、综合题（本题满分15分）设3阶实对称矩阵A 的特征值为6,3,3，且特征值6对应的一个特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111.（1）求一个可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵.（2）求一个正交矩阵Q ，使AQ Q 1-为对角矩阵.(A)参考答案一、判断题（本题共5小题，每小题2分，满分10分）1．√ 2．× 3．× 4．× 5．√ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1.72.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3033 3.0321≠a a a ( 321,,a a a 均不为0) 4.T )0,0,1( 5.1三、计算题（本题共4小题，每小题10分，满分40分）1.解：⇒+=B A AB E E B E A =--))((，E A -∴可逆.11)()(---+=⇒-=-E B E A E B E A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=-0010101000010101001E E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101020101. 注：1)(--E B 结果正确即可，方法无论；但整题使用待定系数法的，不给分.2.解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=0000000100122103672136141249352471336721),,,,(54321行TT T T T ααααα（阶梯形）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−→−00000001001201012001行（行简化阶梯形） 3),,,,(54321=αααααr ；线性相关；一个极大无关组为321,,ααα；21422ααα+=，215ααα+=.3.解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------==10000151500212111112021215150)(a a B A A 行（阶梯形）（1）若1-≠a ，则)(32)(A r A r =≠=，无解.（2）若1-=a ，则n A r A r =<==42)()(，有无穷多解.A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−→−0000051151105205301行（行简化阶梯形）,一般解为⎪⎩⎪⎨⎧-+=+=5151525343231x x x x x （43,x x 为自由未知量）. 令043==x x ，得特解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0051520α.导出组的一般解为⎪⎩⎪⎨⎧+==432315153x x x x x （43,x x 为自由未知量）.分别令0,143==x x 和1,043==x x ，得导出组的基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0151531α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10102α. 因此，方程组的通解为22110αααc c X ++=（21,c c 为任意常数）.4.解：)4()2(312131122--=------=-λλλλλλA E ，A ∴的特征值为21=λ（二重），42=λ.对21=λ，解方程组O X A E =-)(1λ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-0001101011121101101A E λ，基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1111α. 因此，对应于特征值21=λ的全部特征向量为11αc （01≠c ）. 对42=λ，解方程组O X A E =-)(2λ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-0001101011121101122A E λ，得基础解系：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1112α.因此，对应于特征值42=λ的全部特征向量为22αc （02≠c ）. 注：不写出全部特征向量的，各扣1分。

⼭东财经⼤学计量经济学整理第⼀章导论计量经济学：计量经济学是以经济理论为指导，以经济事实为依据，以数学、统计学为⽅法，以计量经济模型的建⽴和应⽤为核⼼，（以计算机处理为主要⼿段，）对经济关系与经济活动的数量规律进⾏研究的⼀门应⽤性经济学科。

计量经济学是经济理论、统计学和数学的结合，具有综合性、交叉性、边缘性的特点。

但是经济理论、统计学和数学三者的关系不是并列的，经济学提供理论基础、统计学提供资料依据，数学提供研究⽅法。

变量(Variable) ——反映客观事物整体及各个侧⾯的⽔平、规模、状态和属性等特征的概念和范畴变量的具体取值称为数据(Data)。

根据形式不同，数据分为时间序列数据、横截⾯数据和合并数据。

（区分三种数据形式）时间序列数据（Time series data）是按时间顺序排列⽽成的数据。

截⾯数据（Cross sectional data）⼜称横断⾯数据，是指在同⼀时间，不同统计单位的相同统计指标组成的数据列。

合并数据（Pooled data）是指既有时间序列数据⼜有横截⾯数据。

在合并数据中有⼀类特殊的数据，称为⾯板数据 (Panel Data)。

即同⼀个横截⾯单位在不同时期的调查数据函数关系与相关关系(会区分）函数关系，也称为确定性关系，它反映着现象之间存在着严格的数量依存关系。

例如：圆的⾯积对于半径的依存关系就是属于确定性关系。

相关关系，是指某⼀变量的取值与其他变量的取值之间存在着⼀定的依存关系，但不是确定的和严格依存的。

计量经济模型及其构成要素:模型由经济变量（x,y），随机误差项（u），参数（β）和⽅程的形式f (?)等四个要素构成。

经济变量（x,y）——⽤于描述经济活动⽔平的各种量，是经济计量建模的基础。

y称为因变量或被解释变量。

x称为⾃变量或解释变量。

随机误差项（u）——表⽰模型中尚未包含的影响因素对因变量的影响，⼀般假定其满⾜⼀定条件参数（β）——是模型中表⽰变量之间数量关系的系数，具体说明解释变量对解释变量的影响程度。

附件一：山东省高等学校精品课程申报书课程名称线性代数主讲教师郝秀梅学校名称山东财政学院所在院系统计与数理学院联系电话0531――82617577上网网址 /netclass申报日期 2005年7月山东省教育厅制二○○五年七月填写说明一、申报书的各项内容要实事求是，真实、可靠。

文字表达要明确、简洁。

二、表中空格不够时，可另附页，但页码要清楚。

三、申报书一律用A4纸打印，在左侧装订成册，一式3份，由所在学校审核同意后盖章，报山东省教育厅高等教育处。

注：此页不够可另附页附件二：山东财政学院《线性代数》课程综合说明材料二OO五年七月一、课程建设的目标、规划、采取的主要措施通过对本课程的教学及建设工作，使学生掌握线性代数课程的基础知识，培养学生的抽象思维能力、运算能力、应用能力及创新能力。

在教学过程中，要求教师始终坚持严谨治学的理念，重视教学质量，不断提高自身的教学业务水平，力争将该课程列为省级精品课程，并努力将其建设为国家级精品课程。

具体如下：1．写出反映我们改革思路和方案的教学研究论文，在有影响的教学研究刊物上发表。

2．在教学实践中继续完善我们的经验，达到以下教学效果：(1) 有利于学生掌握基本内容，为以后的课程学习、科学研究和应用打下一个坚实的基础。

(2) 有利于学生提高逻辑推理能力、抽象和归纳的能力、用公理化方法处理问题的能力、几何直观和空间想象能力、应用能力等，以及进行探索和研究的意识和能力。

3．通过讲学、举办研讨会、出去调研等形式向其它高校学习并介绍经验，起到精品课程应有的辐射和示范作用，为教学改革和教师队伍建设作出贡献。

4．进一步充实上网的如下资源：（1）教案及课件：包括文字教案和电子教案、课件。

（2）教学录像。

(3) 学生预习材料和指导材料：提出问题, 介绍背景和思想方法、理论框架。

课后复习和拓宽知识面的材料：问题分析和讨论及相关的理论材料等。

(4) 建立网上答疑系统。

本课程教学资源已上网的情况如下：（/netclass）1．课程介绍2．教学大纲3．课程教案：电子教案.ppt4．导学导读（包括本章小结、难点解析、习题分析）5．双基训练6．典型习题及答案7．考研指导8．试题库9．教材与参考文献二、师资队伍建设及概况1．《线性代数》课程的授课教师是一支高学历、高素质的教学队伍，对所授课程具备坚实的理论基础。