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《线性代数Ⅰ》教学大纲英文课程名称: Linear Algebra Ⅰ课程编号：1131302, 1131402总学时： 48 （理论课学时：48）总学分：3先修课程：初等代数适用专业：经管、政法、信息类各专业开课单位：数理学院统计学教研室执笔人：张秀丽审校人：窦方军一、课程教学内容第一章行列式第一节二阶与三阶行列式二阶行列式；三阶行列式。
第二节全排列及其逆序数全排列；逆序数三、；奇偶排列。
第三节n阶行列式的定义n阶行列式；上、下三角行列式。
第四节对换对换的定义与性质；n阶行列式的其它定义形式。
第五节行列式的性质行列式的性质；利用性质计算行列式。
第六节行列式按行（列）展开余子式、代数余子式；行列式按行（列）展开定理；范得蒙行列式。
第七节克拉默法则克拉默法则的内容与证明；克拉默法则的推论与应用。
第二章矩阵及其运算第一节矩阵矩阵的概念；几种常见的矩阵。
第二节矩阵的运算矩阵的加法；数与矩阵相乘；矩阵与矩阵相乘；矩阵的转置；方阵的行列式。
第三节逆矩阵逆矩阵的概念；矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的求法与性质。
第四节矩阵分块法分块矩阵的概念；分块矩阵的运算。
第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换矩阵的初等变换；矩阵等价；行阶梯形矩阵及行最简矩阵。
第二节初等矩阵初等矩阵的概念；初等矩阵的性质；用矩阵的初等变换求逆矩阵。
第三节矩阵的秩矩阵秩的概念；用初等行变换求矩阵的秩。
第四节线性方程组的解齐次线性方程组有非零解的充要条件；非齐次线性方程组有解的充要条件；用矩阵的初等行变换求解齐次线性方程组。
第四章向量组的线性相关性第一节向量组及其线性组合向量组的线性组合；向量组的线性组合的性质与判别。
第二节向量组的线性相关性向量组的线性相关与线性无关。
向量组线性相关的性质第三节向量组的秩向量组秩的概念；极大线性无关组；向量组的秩与矩阵秩的关系。
第四节线性方程组的解的结构齐次线性方程组解的性质；齐次线性方程组解空间；齐次线性方程组的基础解系及求法；非齐次线性方程组解的结构。
《线性代数》课程目录Linear Algebra课程编号：学时：36课程性质：必修选课对象：理工类各专业，经济管理学类各专业先修课程：高中数学内容提要：第一章的内容以行列式为中心，介绍行列式的概念、性质与计算及克莱默法则求解线性方程组的方法。
第二章介绍了矩阵这一十分有用的工具，讨论了矩阵的运算、初等变换及矩阵的相关性质。
第三章以矩阵为工具，进一步讨论了线性方程组的求解及解的结构。
第四章介绍了矩阵的特征值理论。
第五章介绍了二次型理论。
建议选用教材：《线性代数》第二版，彭玉芳尹福源沈亦一编，高教出版社，1999年主要参考书：《线性代数》第三版，同济大学数学教研室编，高教出版社， 1999 年《线性代数习题集》上海财经大学应用数学系编，上海财大出版社，2004 年《线性代数》居余马等编，清华大学出版社， 1995 年《线性代数解题指导》王中良编，北京大学出版社，2004年《线性代数》课程教学大纲一、课程的目的和任务《线性代数》是一门基础理论课，由于线性问题广泛存在于经济科学、管理科学及技术科学的各个领域，特别是在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组，求矩阵的特征向量等已经成为工程技术人员经常遇到的课题，因此课程所介绍的方法广泛地应用于这个学科，这就要求工科学生必须具备有关的基本理论知识，并熟练地掌握它的方法。
通过这门课程的学习，使学生获得线性代数的基本知识和必要的基本运算技能，提高学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、实际应用能力以及解题的技能与技巧，同时使学生在运用数学方法分析问题和解决问题的能力方面得到进一步的培养和训练，从而为学生学习后续课程及进一步提高打下必要的数学基础。
二、课程基本要求《线性代数》是高等学校数学教学的重要组成部分，是现代工程科学和经济管理中必备的数学基本理论和基本知识，是进一步学习其它数学分支的基础课程。
要求学生能掌握线性代数中行列式、向量空间、矩阵、线性方程组、二次型的基本理论，学会解线性方程组。
线性代数及其应用作者：方文波段汕江世宏胡雁玲出版社：高等教育出版社目录第0章线性方程组的研究第1章行列式1.1 二阶与三阶行列式1.1.1 二阶行列式1.1.2 三阶行列式1.2 n阶行列式1.2.1 排列及其逆序数1.2.2 n阶行列式的定义1.3 行列式的性质1.4 克拉默法则1.5 应用举例1.5.1 用二阶行列式求平行四边形的面积1.5.2 用三阶行列式求平行六面体的体积习题一第2章矩阵及其运算2.1 矩阵的定义2.1.1 引例2.1.2 定义2.2 矩阵的运算2.2.1 矩阵的线性运算2.2.2 矩阵的乘法运算2.2.3 转置2.2.4 方阵的行列式2.3 逆矩阵2.3.1 引例2.3.2 定义2.3.3 方阵可逆的条件2.4 分块矩阵2.4.1 定义2.4.2 分块矩阵的运算2.4.3 常用的三种分块法2.5 应用举例2.5.1 平面图形变换2.5.2 矩阵在计算机图形学中的应用——齐次坐标2.5.3 希尔密码习题二第3章线性方程组3.1 消元法3.1.1 引例3.1.2 消元法的一般形式3.2 矩阵的初等变换3.2.1 定义3.2.2 初等变换的性质3.3 矩阵的秩3.3.1 引例3.3.2 秩的定义3.3.3 秩的性质3.4 初等矩阵3.4.1 定义3.4.2 初等矩阵的性质3.4.3 求逆矩阵的初等行变换法3.4.4 初等矩阵决定的线性变换3.5 线性方程组的解3.5.1 线性方程组有解的条件3.5.2 线性方程组的解法3.6 应用举例3.6.1 剑桥减肥食谱问题3.6.2 电路网络问题3.6.3 配平化学方程式问题3.6.4 网络流问题习题三第4章向量组的线性相关性4.1 n维向量及其运算4.1.1 向量的定义4.1.2 向量的运算4.2 向量组的线性相关性4.2.1 向量组及其线性组合4.2.2 向量组的线性相关性4.3 向量组的秩4.3.1 定义4.3.2 向量组的秩与矩阵的秩的关系4.3.3 向量组的极大无关组的求法4.4 线性方程组解的结构4.4.1 齐次线性方程组解的结构4.4.2 非齐次线性方程组解的结构4.5 向量空间4.5.1 向量空间的定义4.5.2 向量空间的基和维数4.5.3 向量在基下的坐标4.6 应用举例4.6.1 在差分方程中的应用4.6.2 马尔可夫链习题四第5章特征值、特征向量及二次型5.1 向量的内积、长度及正交性5.1.1 内积的定义与性质5.1.2 施密特（schmidt）正交化过程5.1.3 正交矩阵5.2 特征值与特征向量5.2.1 定义5.2.2 特征值与特征向量的计算5.2.3 特征值与特征向量的性质5.3 相似矩阵5.3.1 相似矩阵的概念与性质5.3.2 矩阵可对角化的条件5.4 实对称矩阵的对角化5.4.1 实对称矩阵的特征值与特征向量5.4.2 实对称矩阵对角化的步骤5.5 复特征值5.6 二次型及其标准形5.6.1 二次型的概念5.6.2 矩阵的合同关系5.6.3 化二次型为标准形5.7 正定二次型5.8 应用举例5.8.1 二次曲线的研究5.8.2 条件优化5.8.3 离散动力系统习题五习题答案附录线性代数智能教学平台简介。
线性代数新东方课程电子版教材名目第一讲差不多概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵相伴矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情形的判别基础解系和通解第六讲特点向量与特点值相似与对角化特点向量与特点值—概念,运算与应用相似对角化—判定与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四06,07年考题第一讲差不多概念1．线性方程组的差不多概念线性方程组的一样形式为:a11x1+a12x2+…+a1n x n=b1,a21x1+a22x2+…+a2n x n=b2,…………a m1x1+a m2x2+…+a mn x n=b m,其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2,…,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i替代时都成为等式.线性方程组的解的情形有三种:无解,唯独解,无穷多解.对线性方程组讨论的要紧问题两个:(1)判定解的情形.(2)求解,专门是在有无穷多接时求通解.b1=b2=…=b m=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情形只有两种:唯独解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量(1)差不多概念矩阵和向量差不多上描写事物形状的数量形式的进展.由m⨯n个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m⨯n型矩阵.例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8是一个4⨯5矩阵.关于上面的线性方程组,称矩阵a11 a12…a1n a11 a…a1n b1A= a21 a22…a2n 和(A|β)= a21 a22…a2n b2…………………a m1 a m2…a mn a m1 a m2…a mnb m为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵表达了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就表达其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),同时对应的元素都相等.由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的重量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如重量依次是a1,a2,⋯ ,a n的向量可表示成a1(a1,a2,⋯ ,a n)或 a2 ,┆a n请注意,作为向量它们并没有区别,然而作为矩阵,它们不一样(左边是1⨯n矩阵,右边是n⨯1矩阵).适应上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个m⨯n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为α1, α2,⋯ ,αn时(它们差不多上表示为列的形式!)可记A=(α1, α2,⋯ ,αn).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量α和β相等(记作α=β),是指它的维数相等,同时对应的重量都相等.(2) 线性运算和转置线性运确实是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个m⨯n的矩阵A和B能够相加(减),得到的和(差)仍是m⨯n矩阵,记作A+B (A-B),法则为对应元素相加(减).数乘: 一个m⨯n的矩阵A与一个数c能够相乘,乘积仍为m⨯n的矩阵,记作c A,法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:①加法交换律:A+B=B+A.②加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A.④数乘结合律: c(d)A=(cd)A.⑤ c A=0⇔ c=0 或A=0.转置:把一个m⨯n的矩阵A行和列互换,得到的n⨯m的矩阵称为A 的转置,记作A T(或A').有以下规律:① (A T)T=A.② (A+B)T=A T+B T.③ (c A)T=c A T.转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把那个向量看作矩阵了.当α是列向量时, αT表示行向量, 当α是行向量时,α T表示列向量.向量组的线性组合:设α1, α2,…,αs是一组n维向量, c1,c2,…,c s是一组数,则称c1α1+c2α2+…+c sαs为α1, α2,…,αs的(以c1,c2,…,c s为系数的)线性组合.n维向量组的线性组合也是n维向量.(3) n阶矩阵与几个专门矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵,它们差不多上考试大纲中要求把握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它确实是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足A T=A矩阵.也确实是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.(反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也确实是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定差不多上0.)3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大伙儿能够仿照着写出它们,那个地点省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,假如满足:①假如它有零行,则都显现在下面.②假如它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是专门的阶梯形矩阵,特点为:③台角位置的元素为1.④同时其正上方的元素都为0.每个矩阵都能够用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运确实是在线性代数的各类运算题中频繁运用的差不多运算,必须十分熟练.请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯独的,然而其非零行数和台角位置是确定的.2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯独的.4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的差不多方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上确实是三种初等行变换.线性方程组求解的差不多方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法. 对非齐次线性方程组步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A|β),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|γ).(2)用(B|γ)判别解的情形:假如最下面的非零行为(0,0, ⋯,0|d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r可不能大于未知数个数n),r=n时唯独解；r<n时无穷多解.(推论:当方程的个数m<n时,不可能唯独解.)(3)有唯独解时求解的初等变换法:去掉(B|γ)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0|γ0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|η),则η确实是解.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)用B判别解的情形:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解(求解方法在第五章讲). (推论:当方程的个数m<n时,有非零解.)讨论题1.设A是n阶矩阵,则(A) A是上三角矩阵⇒A是阶梯形矩阵.(B) A是上三角矩阵⇐A是阶梯形矩阵.(C) A是上三角矩阵⇔A是阶梯形矩阵.(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直截了当的因果关系.2.下列命题中哪几个成立?(1) 假如A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行依旧是阶梯形矩阵.(2) 假如A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列依旧是阶梯形矩阵.(3) 假如(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.(4) 假如(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.(5) 假如 A 是阶梯形矩阵,则A和B差不多上阶梯形矩阵.B第二讲行列式一.概念复习1. 形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:a11 a12 (1)a21 a22 (2)……… .a n1 a n2 … a nn假如行列式的列向量组为α1, α2, … ,αn ,则此行列式可表示为|α1, α2, … ,αn |.意义:是一个算式,把这n 2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为那个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就能够在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作|A |.行列式这一讲的的核心问题是值的运算,以及判定一个行列式的值是否为0.2. 定义(完全展开式)2阶和3阶行列式的运算公式:a 11 a 12a 21 a 22 = a 11a 22-a 12a 21 .a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23 = a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 13a 22a 31- a 11a 23a 32-a 12a 21a 33.a 31 a 32 a 33一样地,一个n 阶行列式a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n… … …a n1 a n2 … a nn的值是许多项的代数和,每一项差不多上取自不同行,不同列的n 个元素的乘积,其一样形式为:n nj j j a a a 2121,那个地点把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项.所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定τ(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n的逆序数(意义见下面),则项n nj j j a a a 2121所乘的是.)1()(21n j j j τ-全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象显现的个数.逆序数可如下运算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和确实是逆序数.例如求436512的逆序数:023********, τ(436512)=3+2+3+2+0+0=10.至此我们能够写出n 阶行列式的值: a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n =.)1(21212121)(n n n nj j j j j j j j j a a a τ-∑… … … a n1 a n2 … a nn那个地点∑n j j j 21表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一样来说工作量专门大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的运算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.2. 化零降阶法把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij 的余子式,记作M ij .称A ij =(-1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.命题第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.化零降阶法用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.因此化为运算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际运算行列式的要紧方法,因此应该熟练把握.3.其它性质行列式还有以下性质:①把行列式转置值不变,即|A T|=|A| .②某一行(列)的公因子可提出.因此, |c A|=c n|A|.③对一行或一列可分解,即假如某个行(列)向量α=β+γ ,则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量α换为β或γ 所得到的行列式.例如|α,β1+β2,γ |=|α,β1,γ |+|α,β2,γ |.④把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.⑤假如一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.⑥某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.⑦假如A与B差不多上方阵(不必同阶),则A * = A O =|A||B|.O B* B范德蒙行列式：形如1 1 1 (1)a1a2 a3 …a na12a22a32…a n2…………a1n-i a2n-i a3n-i…a n n-i的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于 ).(i j ji a a -∏< 因此范德蒙行列式不等于0⇔ a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同.关于元素有规律的行列式(包括n 阶行列式),常常可利用性质简化运算,例如直截了当化为三角行列式等.4.克莱姆法则克莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n 阶矩阵)的情形.现在,假如它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯独解,那个解为(D 1/D, D 2/D,⋯,D n /D),那个地点D 是系数行列式的值, D i 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进:按法则给的公式求解运算量太大，没有有用价值.因此法则的要紧意义在理论上,用在对解的唯独性的判定,而在这方面法则不够. 法则的改进:系数行列式不等于0是唯独解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A |β)作初等行变换,使得A 变为单位矩阵:(A |β)→(E |η),η确实是解.用在齐次方程组上 :假如齐次方程组的系数矩阵A 是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A |≠0.二. 典型例题1.利用性质运算元素有规律的行列式例1① 2 a a a a ②1+x 1 1 1③ 1+a 1 1 1 a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 22a a 2 a a . 1 1 1+x 1 . 3 3 3+a 3 .a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 4 4+aa a a a 2例2 1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 2 .4 5 1 2 35 1 2 3 4例3 1+x1 1 1 11 1+x2 1 1 .1 1 1+x3 11 1 1 1+x4例4 a 0 b c0 a c b .b c a 0c b 0 a例5 1-a a 0 0 0-1 1-a a 0 00 -1 1-a a 0 . (96四)0 0 -1 1-a a0 0 0 -1 1-a2. 测试概念与性质的题例6 x3-3 1 -3 2x+2多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数和最高次项的系数.X+3 -1 33x2-29 x3 6 -6例7求 x-3 a -1 4f(x)= 5 x-8 0 –2 的x4和x3的系数.0 b x+1 12 2 1 x例8 设4阶矩阵A=(α, γ1, γ2 ,γ3),B=(β, γ1, γ2 ,γ3),|A|=2, |B|=3 ,求|A+B| .例9 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z. 1 -z x+3 yy-2 x+1 0 z+3例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01)2 2 2 20 -7 0 05 3 -2 23.几个n 阶行列式两类爪形行列式及其值:例11 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a nb 1c 2 0 … 0 0证明 0 b 2 c 3 0 0 =11111(1)n i i i i n i b b a c c --+=-∑.… … … …0 0 0 … b n-1 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直截了当求出).例12 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a nb 1c 1 0 … 0 0证明 b 2 0 c 2 … 0 0 =011111n n i i i i i n i i a c c c a b c c -+==-∑∏.… … … …b n 0 0 … 0c n 提示: 只用对第1行展开(M 1i都可直截了当求出). 另一个常见的n 阶行列式:例13 证明a+b b 0 … 0 0a a+b b … 0 0… … … … = 110n n n n i ii a b a b a b ++-=-=-∑(当a ≠b 时). 0 0 0 … a+b b0 0 0 a a+b提示:把第j 列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开.4.关于克莱姆法则的题例14设有方程组x1+x2+x3=a+b+c,ax1+bx2+cx3=a2+b2+c2,bcx1+acx2+abx3=3abc.(1)证明此方程组有唯独解的充分必要条件为a,b,c两两不等.(2)在此情形求解.参考答案例1 ①(2+4a)(2-a)4.② x3(x+4). ③ a3(a+10).例2 1875.例3 x1x2x3x4+x2x3x4+x1x3x4+x1x2x4+x1x2x3.例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).例5 1-a+a2-a3+a4-a5.例6 9,-6例7 1,-10.例8 40.例9 x=0,y=3,z=-1.例10 -28.例14 x1=a,x2=b,x3=c..第三讲矩阵一．概念复习1. 矩阵乘法的定义和性质定义2.1 当矩阵A的列数和B的行数相等时,和A和B能够相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应重量乘积之和.设a11a12...a1n b11b12...b1s c11 c12 (1)A= a21a22...a2n B= b21b22...b2s C=AB=c21 c22 (2)………………………a m1a m2…a mn ,b n1b n2…b ns ,c m1 c m2…c ms ,则c ij=a i1b1j+a i2b2j+…+a in b nj.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:①矩阵乘法有条件.②矩阵乘法无交换律.③矩阵乘法无消去律,即一样地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A≠0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A≠0推不出B=C. (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:①加乘分配律 A(B+C)= AB+AC,(A+B)C=AC+BC.②数乘性质(c A)B=c(AB).③结合律(AB)C= A(BC).④ (AB)T=B T A T.2. n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B都能够相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.同时有行列式性质:|AB|=|A||B|.假如AB=BA,则说A和B可交换.方幂设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k即k个A的连乘积.规定A 0=E.明显A的任何两个方幂差不多上可交换的,同时方幂运算符合指数法则:①A k A h= A k+h.② (A k)h= A kh.然而一样地(AB)k和A k B k不一定相等!n阶矩阵的多项式设f(x)=a m x m+a m-1x m-1+…+a1x+a0,对n阶矩阵A规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+…+ a1A+a0E.称为A的一个多项式.请专门注意在常数项上加单位矩阵E.乘法公式一样地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式关于n阶矩阵的不再成立.然而假如公式中所显现的n阶矩阵互相差不多上乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A和B可交换时,有:(A±B)2=A2±2AB+B2;A2-B2=(A+B)(A-B)=(A+B)(A-B).二项展开式成立: B AC B A -=∑=+1)(等等.前面两式成立依旧A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式能够因式分解.3. 分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个能够相乘的矩阵A 和B ,能够先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A 的纵向切割和B 的横向切割一致!),再用它们来作乘法.(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则 A 11 A 12 B 11 B 12 = A 11B 11+A 12B 21 A 11B 12+A 12B 22A 21 A 22B 21 B 22 A 21B 11+A 22B 21 A 21B 12+A 22B 22要求A ij 的列数B jk 和的行数相等.准对角矩阵的乘法:形如A 1 0 0A = 0 A 2 0… … …0 0 … A n的矩阵称为准对角矩阵,其中A 1,A 2,…,A k 差不多上方阵. 两个准对角矩阵A 1 0 ... 0 B 1 0 0A = 0 A 2 ... 0 , B = 0 B 2 0… … … 0 0 … A k 0 0 … B k假如类型相同,即A i 和B i 阶数相等,则A1B10 0AB = 0 A2B2 …0 .………00 …A k B k(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是m⨯n矩阵B是n⨯s矩阵. A的列向量组为α1,α2,…,αn,B的列向量组为β1, β2,…,βs, AB的列向量组为γ1, γ2,…,γs,则依照矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的专门情形):①AB的每个列向量为:γi=Aβi,i=1,2,…,s.即A(β1, β2,…,βs)=(Aβ1,Aβ2,…,Aβs).②β=(b1,b2,…,b n)T,则Aβ= b1α1+b2α2+…+b nαn.应用这两个性质能够得到:假如βi=(b1i,b2i,…,b ni)T,则γi=AβI=b1iα1+b2iα2+…+b niαn.即:乘积矩阵AB的第i个列向量γi是A的列向量组α1, α2,…,αn的线性组合,组合系数确实是B的第i个列向量βi的各重量.类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数确实是A 的第i个行向量的各重量.以上规律在一样教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们不管在理论上和运算中差不多上专门有用的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字专门简单时,直截了当利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了运算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵Λ从左侧乘一个矩阵,相当于用Λ⎤®↵ X !Ξδ矩阵的各行向量; 用对角矩阵Λ从右侧乘一个矩阵,相当于用Λ⎤®↵ X !Ξδ矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量差不多上另一个A的列向量组的线性组合时,能够构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A=(α,β,γ), C=(α+2β-γ,3α-β+γ,α+2γ),令1 3 1B= 2 -1 0 ,则C=AB.-1 1 2(4) 初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.有三类初等矩阵:E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵.E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也确实是把E 的对角线上的第i个元素改为c.E(i,j(c))(i≠j):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也确实是把E的(i,j)位的元素改为c.命题对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.4. 矩阵方程和可逆矩阵(相伴矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运确实是解下面两种差不多形式的(I) AX=B.(II) XA=B.那个地点假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解差不多上存在同时唯独的.(否则解的情形比较复杂.) 当B只有一列时,(I)确实是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯独解.假如B有s列,设 B=(β1, β2,…,βs),则 X也应该有s列,记X=(X1,X2,…,X s),则有AX i=βi,i=1,2,…,s,这是s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯独解,从而AX=B有唯独解.这些方程组系数矩阵差不多上A,可同时求解,即得(I)的解法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,现在B变为解X.(A|B)→(E|X)(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T=B T.再用解(I)的方法求出X T,转置得X..(A T|B T)→(E|X T)矩阵方程是历年考题中常见的题型,然而考试真题往往并不直截了当写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上差不多形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义设A是n阶矩阵,假如存在n阶矩阵B,使得AB=E,BA=E,则称A 为可逆矩阵.现在B是唯独的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.假如A可逆,则A在乘法中有消去律:AB=0⇒B=0；AB=AC⇒B=C.(左消去律)；BA=0⇒B=0；BA=CA⇒B=C. (右假如A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=C⇔B=A-1C. BA=C⇔B=CA-1.由此得到差不多矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.这种解法方法自然，好经历,然而运算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理n阶矩阵A可逆⇔|A|≠0.证明“⇒”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|≠0. (同时|A-1|=|A|-1.)“⇐”因为|A|≠0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯独解.设B,C分别是它们的解,即AB=E,CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),因此从定义得到A可逆.推论假如A和B差不多上n阶矩阵,则AB=E⇔BA=E.因此只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆同时互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:①假如A可逆,则A-1也可逆,同时(A-1)-1=A.A T也可逆,同时(A T)-1=(A-1)T.当c≠0时, c A也可逆,同时(c A)-1=c-1A-1.对任何正整数k, A k也可逆,同时(A k)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)②假如A和B都可逆,则AB也可逆,同时(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)初等矩阵差不多上可逆矩阵,同时E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c))-1=E(i(c-1)), E(i,j(c))-1= E(i,j(-c)).(4) 逆矩阵的运算和相伴矩阵①运算逆矩阵的初等变换法当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,因此可用初等行变换求A-1: (A|E) (E|A-1)那个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的相伴矩阵法简单得多.②相伴矩阵若A是n阶矩阵,记A ij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的相伴矩阵为A11 A21…A n1A*= A12 A22…A n2 =(A ij)T.………A1n A2n…A mn请注意,规定n阶矩阵A的相伴矩阵并没有要求A可逆,然而在A 可逆时, A*和A-1有紧密关系.差不多公式: AA*=A*A=|A|E.因此关于可逆矩阵A,有A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.因此可通过求A*来运算A-1.这确实是求逆矩阵的相伴矩阵法.和初等变换法比较, 相伴矩阵法的运算量要大得多,除非n=2,一样不用它来求逆矩阵.关于2阶矩阵a b * d -bc d = -c a ,因此当ad-bc≠0时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .相伴矩阵的其它性质:①假如A是可逆矩阵，则A*也可逆，同时(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1.③ (A T)*=(A*)T.④ (c A)*=c n-1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A；n=2时,(A*)*=A.二典型例题1.运算题例1 α=(1,-2,3) T,β=(1,-1/2,1/3)T, A=αβ T,求A6.讨论:(1)一样地,假如n阶矩阵A=αβ T,则A k=(βTα)k-1A=(tr(A ))k-1A .(2)乘法结合律的应用:遇到形如βTα的地点可把它当作数处理.① 1 -1 1ααT= -1 1 -1 ，求αTα.（2003一）1 -1 1②设α=(1,0,-1)T, A=ααT,求|a E-A n|.③ n维向量α=(a,0,⋯,0,a)T, a<0, A=E-ααT, A-1=E+a-1αα T,求a. (03三,四)④n维向量α=(1/2,0,⋯,0,1/2)T, A=E-ααT, B=E+2ααT,求AB. (95四)⑤A=E-αβ T,其中α,β差不多上n维非零列向量,已知A2=3E-2A,求αTβ.例2(1999三) 1 0 1设A = 0 2 0 ，求A n-2A n-1.(n>1)1 0 1例3 1 0 0设A = 1 0 1 ，(1)证明当n>1时A n=A n-2+A2-E. (2) 求A n.0 1 0例4 −A为3阶矩阵, α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组,满足Aα1=α1+α2+α3, Aα2=2α2+ α3, Aα3=2α2+3α3.求作矩阵B,使得A(α1,α2,α3)=(α1,α2,α3)B. (2005年数学四)例5设3阶矩阵A=(α1,α2,α3),|A|=1,B=(α1+α2+α3,α1+2α2+3α3,α1+4α2+9α3),求|B|.(05)例6 3维向量α1, α2, α3, β1, β2, β3满足α1+α3+2β1-β2=0, 3α1-α2+β1-β3=0, -α2+α3-β2+β3=0,已知|α1, α2, α3|=a,求| β1, β2, β3|.例7设A是3阶矩阵, α是3维列向量,使得P=(α,Aα,A2α)可逆,同时A3α=3Aα-2A2α.又3阶矩阵B满足A=PBP-1.(1)求B.(2)求|A+E|.(01一)2 1 0例8 3阶矩阵A,B满足ABA*=2BA*+E,其中A= 1 2 0 ,求|B|.(04一)0 0 1例9 3 -5 1设3阶矩阵A= 1 -1 0 , A-1XA=XA+2A,求X.-1 0 2例10 1 1 -1设3阶矩阵A= -1 1 1 , A*X=A-1+2X,求X.1 -1 1例11 4阶矩阵A,B满足ABA-1=BA-1+3E,已知1 0 0 0A*= 0 1 0 0 ,求B. (00一)1 0 1 00 -3 0 8例12 3 0 0 1 0 0已知A= 2 1 0 , B= 0 0 0 , XA+2B=AB+2X,求X11.2 13 0 0 -1例13设α1=(5,1,-5)T, α2=(1,-3,2)T, α3=(1,-2,1)T,矩阵A满足Aα1=(4,3) T, Aα2=(7,-8) T, Aα3=(5,-5) T,求A.2.概念和证明题例14 设A是n阶非零实矩阵,满足A*=A T.证明:(1)|A|>0.(2)假如n>2,则 |A|=1.例15 设矩阵A=(a ij)3⨯3满足A*=A T,a11,a12,a13为3个相等的正数,则它们为(A)3/3.(B) 3. (C)1/3. (D)3. (2005年数学三)例16 设A和B差不多上n阶矩阵,C= A0 ,则C*=0 B(A) |A|A*0 . (B) |B|B * 0 .0 |B|B * 0 |A|A*(C) |A|B*0 . (D ) |B|A*0 .0 |B|A* 0 |A|B*例17 设A是3阶矩阵,交换A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.例18 设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则(A) 交换A*的1,2行得到B*.(B) 交换A*的1,2列得到B*.(C) 交换A*的1,2行得到-B*.(D) 交换A*的1,2列得到-B*.(2005年)例19 设A是n阶可逆矩阵, 交换A的i,j行得到B.(1) 证明B可逆.(2) 求AB-1.例20设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.(1)证明A可逆,同时求A-1.(2)证明对任何整数c,A-c E可逆. 讨论: 假如f(A)=0,则(1) 当f(x)的常数项不等于0时,A可逆.(2) f(c)≠0时,A-c E可逆.(3) 上述两条的逆命题不成立.例21设α是n维非零列向量,记A=E-ααT.证明(1) A2=A⇔αTα =1.(2) αTα =1⇒ A不可逆. (96一)讨论: (2)的逆命题也成立.例22 设A,B差不多上n阶矩阵,证明E-AB可逆⇔ E-BA可逆.例23设3阶矩阵A,B满足AB=A+B.(1) 证明A-E可逆.(2) 设 1 -3 0B= 2 1 0 ,求A.0 0 2 (91)例24设A,B是3阶矩阵, A可逆,它们满足2A-1B=B-4E.(1) 证明A-2E可逆.(2) 设 1 -2 0B= 1 2 0 ,求A.0 0 2 (2002)例25设n阶矩阵A,B满足AB=a A+b B.其中ab≠0,证明(1) A-b E和B-a E都可逆.(2) A可逆⇔ B可逆.(3) AB=BA.例26设A,B差不多上n阶对称矩阵, E+AB可逆,证明(E+AB)-1A也是对称矩阵.例27 设A,B差不多上n阶矩阵使得A+B可逆,证明(1) 假如AB=BA,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(2) 假如A.B都可逆,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(3) 等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B总成立.例28设A,B,C差不多上n阶矩阵,满足B=E+AB,C=A+CA,则B-C为(A)E.(B) -E. (C)A. (D) -A. (2005年数学四)参考答案1 -1/2 1/3例135A=35 -2 1 –2/3 .3 -3/2 1①3.②a2(a-2n). ③-1. ④ E. ⑤4.例2 O.例3 (1)提示: A n=A n-2+A2-E⇔A n-2(A2-E)=A2-E ⇔ A(A2-E)=A2-E.(2)n=2k时, 1 0 0A n = k 1 0 .k 0 1n=2k+1时, 1 0 0A n = k+1 0 1 .k 1 0例4 1 0 0B= 1 2 2 .1 1 3例5 2.例 6 –4a.例7 0 0 0B= 1 0 3 . |E+A|=-40 1 -2例8 1/9.例9 -6 10 4X= -2 4 2 .-4 10 0例10 1 1 0(1/4) 0 1 1 .1 0 1例11 6 00 0B= 0 6 0 0 .6 0 6 00 3 0 -1例12 1 0 02 0 0 .6 -1 -1例13 2 -1 1-4 -2 -5 .例15 (A).例16 (D).例17 0 1 1Q= 1 0 0 .0 0 1例18 (D).例19E(i,j).例22提示:用克莱姆法则.例如证明⇒,即在E-AB可逆时证明齐次方程组(E-BA)X=0只有零解.例23 1 1/2 0A= -1/3 1 0 .0 0 2例24 0 2 0A= -1 -1 0 .0 0 -2例25 提示:运算(A-b E)(B-a E).例28 (A).第四讲向量组的线性关系与秩一.概念复习1. 线性表示关系设α1,α2,…,αs是一个n维向量组.假如n维向量β等于α1,α2,…,αs的一个线性组合，就说β能够用α1,α2,…,αs线性表示.假如n维向量组β1, β2,…,βt -∉ *⎬能够能够用。
