研究生课程-有限元共35页

有限体积法 (Finite Volume Method)
其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。
1-2 应力的概念
作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。 体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
边界元法 （Boundary Element Method）
边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新的数值方法，与有限元法不同，边界元法仅在定义域的边界划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元与有限元相比具有单元和未知数少、数据准备简单等优点，但边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分奇异点处的强烈的奇异性，使求解遇到困难。边界元法在塑性问题中应用还比较少。
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学 弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。 弹性力学 固有弱点： 由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：
塑性有限元常用软件

05
有限元方法的程序实现
使用Fortran实现有限元方法
Fortran语言特点
Fortran是科学计算领域广泛使用的编程语言，具有高效的数值计算能力和并行计算支持 。Fortran代码通常用于高性能计算和大规模数据处理。
有限元方法实现流程
使用Fortran实现有限元方法需要遵循完整的有限元方法流程，包括建立模型、离散化、 构建刚度矩阵和质量矩阵、求解方程等步骤。Fortran代码需要针对每个步骤进行相应的 编程实现。
总结词
简单、直观、易于理解
详细描述
对于一维问题，有限元方法将连续的求解区域离散化为由有限个单元组成的离散 网格，通过求解每个单元的近似解，得到整个区域的近似解。这种方法简单直观 ，易于理解，适合于求解一维问题，如杆件、弹簧等简单结构的分析。
二维问题的有限元方法
要点一
总结词
复杂、应用广泛、效果良好
要点二
Python具有简单易学、跨平台等特点 ，同时拥有丰富的科学计算库和可视 化库支持。使用Python实现有限元方 法可以更加便捷地进行模型构建和可 视化分析。然而，Python在执行效率 方面相对较低，对于大规模计算和并 行计算的支持较弱。
06
有限元方法的优点和局限性
有限元方法的优点
适应性强
精度高
有限元方法在工程中的应用
结构分析
用于分析各种复杂结构在载荷作 用下的响应，如桥梁、建筑、航
空航天等。
流体动力学
用于分析流体在静止和运动状态下 的行为，如流体动力学、空气动力 学等。
热传导
用于分析物体在温度变化下的热传 导过程，如加热器设计、温度控制 等。
04
有限元方法在具体问题中的应 用

B
0.80
C
D
I E F G H J K
150 200 250
L
0.75 0 50 100
冲压工艺稳健设计
Section lenght(mm)
0.3 有限元法的学习和应用
0.3.2 数值模拟方法的研究课题 离散方法 有限元法、有限体积法、无网格法、 分子动力学、混合方法 本构模型 力学模型、组织性能演化模型 求解方法 方程组求解、全量理论 应用技术 集成、优化、智能化
tan
1 2
工程切应变：
r
ry
切应变：
yx xy yx
单元体在Oxy坐标平面内的纯变形
1.3* 位移与应变
切应变及刚体转动
切应变与刚性转动
a）两边偏转角度不一定相同， b）先发生纯剪切，
xy yx xy
1 2
yx xy ( yx xy )
硕士课程
有限元与数值模拟
上海交通大学 塑性成形技术与装备研究院
董湘怀 韩先洪 2013年
教材、参考书



王勖成. 有限单元法. 北京:清华大学出 版社，2003 曾攀. 有限元分析及应用. 北京:清华大 学出版社，2004 董湘怀等. 材料加工理论与数值模拟. 北京:高等教育出版社，2005
教学பைடு நூலகம்划
0.275 0.250 0.225 0.200 0.175 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Damage min: 0.000412 max: 0.0463

0 l
0
q(
x)
x
3dx
ql
Q 均布横向力q：M
yi zi
Q yj
2 ql 2
12 ql
M zj
2 ql 2
12
第3节 单元刚度矩阵旳坐标变换
Re , e ,[k]表示单元在局部坐标系oxy的结点力,结点位移,刚度矩阵 Re , e ,[k]表示单元在整体坐标系oxy的结点力,结点位移,刚度矩阵
bi x
ci
y
(i, j, k)
u Niui N ju j Nkuk Niui v Nivi N jv j Nkvk Nivi
d
u v
Ni I
NjI
Nk I e Ne
I 二阶单位阵,[N] 形函数矩阵
第1节 三角形常应变单元(续2)
三、应变
u
x y
xy
S1
总虚变形功：
U ( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz
对于平面问题：
(Xu Yv)dxdy (Xu Yv)ds S1
( x x y y xy xy )dxdy
第4节 最小势能原理
最小势能原理
在几何可能旳一切允许位移和形变中,真正旳位移和形变使总势能取 最小值；反之,使总势能取最小值者也必是真正旳位移和形变。
总 势 能： U V
形变势能：U
1 2
( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz
外力势能：V ( Xu Yv Zw)dxdydz ( Xu Yv Zw)dS
S1
形变势能变分:
U ( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz

《有限元分析》课程教学大纲课程编号：学分：总学时：54讲课学时: 50 实验学时：0 上机学时：4 适用专业：机械工程开课时间：第1学期授课教师：王建明课程性质：学位课授课形式：双语教学一. 本课程的地位、作用和任务《有限元分析》是机械工程专业硕士研究生的一门学位课。

本课程是计算机辅助分析的理论基础和重要工具。

涉及到《计算机辅助设计》、《材料力学》和《计算机算法语言及程序设计》等基础课程的相关知识。

通过本课程的学习，要求学生能够掌握有限元的基本概念、理论和建模技术，以便能正确使用商业有限元软件解决实际工程问题，特别是涉及到复杂工程结构的力学分析问题。

二．本课程教学基本内容固体力学和结构力学简介；有限元法基础；桁架、梁、刚架、二维固体、板和壳、三维固体的有限元法；建模技术；热传导问题的有限元分析；ANSYS软件的使用三．课程教学基本要求1．简要了解二维和三维固体以及桁架、梁和板结构的三组基本力学方程，即表示位移-应变关系的几何方程，表示应力-应变关系的本构方程和表示内力-外力关系的平衡方程。

2．了解利用能量法形成有限元离散系统方程的基本原理，即哈密尔顿原理。

掌握有限元分析的基本方法及步骤，包括域的离散、位移插值、构造形函数、单元有限元方程的建立、坐标变换、整体有限元方程的组装、整体有限元方程的求解技术。

3．具体深入的了解并掌握桁架结构、梁结构、刚架结构、二维固体、板和壳结构、三维固体的有限元法分析技术，包括他们具体的形函数构造，应变矩阵，局部坐标系和整体坐标系中的单元矩阵。

各种结构的实例研究。

4．了解并掌握建立高质量建模所涉及的各种关键技术。

包括单元类型的选择，单元畸形的限制，不同阶数单元混用时网格的协调性问题，对称性的应用（平面对称、轴对称、旋转对称、重复对称），由多点约束方程形成刚域及应用（模拟偏移、不同自由度单元的连接、网格协调性的施加）等，以及多点约束方程的求解。

5. 了解并掌握利用有限元的加权残值法求解场问题的概念，重点介绍1维和2维热传导问题有限元分析。

工程有限单元法
2.3 有限元法与工程求解问题的关系
机电工程学院
通常，实际工程问题可分为线性问题和非线性问题、边界 规则与不规则问题。有限元法其实是非线性问题，如图右 所示。
工程有限单元法
三、有限元法的基本步骤
机电工程学院
无论对于什么样的结构，有限元分析过程都 是类似的。其基本步骤为： （1）研究分析结构的特点，包括结构形状与 边界、载荷工况等； （2）将连续体划分成有限单元，形成计算模 型，包括确定单元类型与边界条件、材料特性 等；
工程有限单元法
工程有限单元法 课程介绍
机电工程学院
一、课程内容： 1、有限元法理论基础； 2、有限元软件ANSYS应用。 二、学习方法： 理论与实践相结合，即通过应用有限元分析 实际问题来掌握有限元理论。 三、学时数：36学时（理论学时+上机学时） 四、考核方式：平时成绩+报告成绩
工程有限单元法 第一章 概述
机电工程学院
1.1 有限元法概述 有限元法诞生于20世纪中叶，随着计算机技 术和计算方法的发展，已成为计算力学和计算 工程科学领域里最为有效的方法，它几乎适用 于求解所有连续介质和场的问题。
工程有限单元法
一、什么是有限元法？
机电工程学院
有限元法是将连续体理想化为有限个单元集 合而成，这些单元仅在有限个节点上相连接， 即用有限个单元的集合来代替原来具有无限个 自由度的连续体。
工程有限单元法
二、有限元法的基本思想 有限元法的基本思想是：“分与合”。
机电工程学院
“分”是为了划分单元，进行单元分析； “合”则是为了集合单元，对整体结构进行综合 分析。
结构离散-单元分析-整体求解
工程有限单元法
2.1有限元法的实现过程

微元体温度升 高所需的热量
三个方向传入微 元体的净热量
微元体内热源 产生的热量
ρ ——物体密度 c ——比热，单位质量物体温度升高
一度所需的热量 kx ,ky , kz —— 热传导系数
有限元分析及应用
胡于进
8-1 温度场问题的边界条件
•
整理得：
cρ
∂T ∂t
−
∂ ∂x
(kx
∂T ∂x
)−
∂ ∂y
∂J
e n
∂Ti
⎪⎪ ⎨ ⎪
∂J
e n
∂Tj
⎪ ⎪
∂J
e n
⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪
=
k 4A
⎡⎢bi2 ⎢ ⎣⎢
+
ci2
⎪⎩∂Tm ⎪⎭
bibj + cic j b2j + c2j
bibm b j bm
+ +
cicm c jcm
⎤ ⎥ ⎥
⎨⎧⎪TTij
⎫ ⎪ ⎬
=
[H
]e
{T }e
=
0
bm2 + cm2 ⎦⎥ ⎪⎩Tm ⎭⎪
h22
" "
h2n "
hnn
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎪⎪⎨⎪"T2 ⎪⎪⎬⎪ ⎩⎪Tn ⎭⎪
=
⎪⎪⎨⎪"p2 ⎩⎪ pn
⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎭⎪
• 对于其他带热源的稳态温度场或三维温度场计算其方 法相似。
有限元分析及应用
[H ]{T} = { p}
胡于进
8-3 热变形的计算
• 当弹性体的温度改变时，体内各部分将随温度变化而产生变 形，这种变形常称为热变形。考虑到弹性体实际工作中都受

结构有限元分析
北京交通大学土木建筑工程学院
2008年4月
1.定义：
Computer, structural analysis, numerical method, Finite Element Method
2.概念的产生： 几个世纪之前 3.方法的形成： 伴随计算机的出现和发展 4.最初的应用： 航空器的结构强度计算 5.现状： 应用广泛、实用高效，
2 2 2
图0-7.2
0-4 有限元法的计算步骤
有限元法的计算步骤归纳为以下三个基 本步骤： (1)网格划分 (2)单元分析 (3)整体分析
0-4 有限元法的计算步骤
(1) 网格划分 有限元法的基础是用有限个单元体的集 合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性 体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限 个单元组成的离散体。单元之间通过单元结 点相连接。由单元、结点、结点连线构成的 集合称为网格。
9618mnumber1616京沪高速铁路南京大胜关长江大桥断面布置京沪高速铁路南京大胜关长江大桥断面布置应用实例应用实例有限元法的进展与应用有限元法的进展与应用1717南京大胜关长江大桥南京大胜关长江大桥的有限元模型的有限元模型ansysansys应用实例应用实例有限元法的进展与应用有限元法的进展与应用1818某曲轴的有限元模型曲轴的有限元模型sysweldsysweld应用实例应用实例有限元法的进展与应用有限元法的进展与应用1919焊接残余应力分析焊接残余应力分析sysweldsysweld结构与焊缝布置结构与焊缝布置焊接过程的温度分布与焊接过程的温度分布与轴向残余应力轴向残余应力应用实例应用实例有限元法的进展与应用有限元法的进展与应用2020螺旋齿轮成形过程的分析螺旋齿轮成形过程的分析deformdeform应用实例应用实例有限元法的进展与应用有限元法的进展与应用本次课小结本次课小结questionquestion什么是有限元法

ENDΒιβλιοθήκη 1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
研究生课程-有限元4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃

用户定义坐标系。（4）选择要约
束的自由度（旋转自由度只对壳
体单元或虚拟实体起作用），
图8-5高级约束对话框
现在是8页\一共有44页\编辑于星期五
例如约束图8-6所示形体外棱边的2（Y方向）和3（Z方
向）的平移自由度，第一自由度（X方向）未被约束，
因此X轴上无箭头。
现在是9页\一共有44页\编辑于星期五
计算
1. 确定存放计算数据和计算结果文件的的路径（同静态分析）。 2. 确定计算模态的最高阶数
双击图8-26(a)所示特征树上频率分析工况节点
，弹出图8-26(b)所示频率参数对话框，在对话框中指定计算模态的最高阶 数，例如10。
现在是32页\一共有44页\编辑于星期五
现在是33页\一共有44页\编辑于星期五
现在是23页\一共有44页\编辑于星期五
对话框。若切换开关Display on Deformed Mesh为开，显示变形后的 形体，见图8-17，否则显示变形前的形体，见图8-18（b）。
（a）
现在是24页\一共有44页\编辑于星期五
（b） 图8-18控制网格效果的对话框
1. 冯米斯应力（Stress Von Mises）显示
现在是29页\一共有44页\编辑于星期五
2. 附加质量
通过Mass工具栏
为形体附加质量。
（1）附加分布质量
分布质量施加于形体表面或虚拟单元上，代表着节点上的附加质 量，计算中等价到各个节点之上。
单击 图标，弹出图8-23所示分布质量对话框。选择形体表面、棱
边或虚拟单元，
在对话框中输入质量数值。
例如选择了图8-24所示零
现在是27页\一共有44页\编辑于星期五
图8-21主应力张量显示图

有限元复习宝典重点掌握一般问题的描述、模型简化、有限元的基本思想及分析原理、位移法求解基本过程、位移函数构造、单元特性、有限元计算的具体操作（单元刚阵形成、总纲阵组装）、边界条件处理（载荷等效/边界约束施加）、有限元分析的具体操作一．基本概念1. 平面应力/平面应变问题；空间问题/轴对称问题；板壳问题；杆梁问题；温度场；线性问题/非线性问题（材料非线性/几何非线性）等平面应力问题（1） 均匀薄板（2）载荷平行于板面且沿厚度方向均匀分布在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY 平面的三个应力分量，即x y xy yx σσττ=、、 （000z zx xz zy yz σττττ=====，，）。

一般0z σ=，z ε并不一定等于零，但可由x σ及y σ求得，在分析问题时不必考虑。

于是只需要考虑x y xy εεγ、、三个应变分量即可。

平面应变问题（1） 纵向很长，且横截面沿纵向不变。

（2）载荷平行于横截面且沿纵向均匀分布z yz zx εγγ===只剩下三个应变分量x y xy εεγ、、。

也只需要考虑x y xy σστ、、三个应力分量即可 轴对称问题物体的几何形状、约束情况及所受外力都对称于空间的某一根轴轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别）：轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；单元边界是一回转面；板壳问题一个方向的尺寸比另外两个方向尺寸小很多，且能承受弯矩的结构称为板壳结构，并把平分板壳结构上下表面的面称为中面。

如果中面是平面或平面组成的折平面，则称为平板；反之，中面为曲面的称为壳。

杆梁问题杆梁结构是指长度远大于其横断面尺寸的构件组成的系统。

在结构力学中常将承受轴力或扭矩的杆件成为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。

线性问题/非线性问题线性问题：基于小变形假设他，应力与应变，应力与位移，平衡方程都是线性的。

非线性问题：材料非线性(非线性弹性、非线性弹塑性)，几何非线性（大变形大应变如金属橡胶，小应变大位移如薄壁结构）空间问题、温度场问题，略2. 不同类型单元的节点自由度的理解和不同单元连接的处理不同单元连接的处理如果两相邻单元在连接处节点重合且节点自由度相同，可直接连接，则此时不同单元的刚度矩阵可类似单一单元分析一样直接组集。

研究生课程
课程代码:100.549
有限元分析及应用
Finite Element Analysis and Application 主讲人: 胡于进 教授 华中科技大学机械学院
2008年2月
第2章 有限元法基本理论
• • • • • • • • • • • • • • 2-1 材料力学与弹性力学的比较 2-2 弹性力学问题的基本描述 1、弹性力学的基本变量 2、弹性力学基本方程 3、弹性力学的平面问题 4、弹性力学的轴对称问题 2-3 弹性问题的能量原理 1、弹性问题的能量表示 2、虚功原理 3、势能变分原理和最小势能原理 2-4 弹性力学问题有限元法的一般步骤 1、有限元法基本步骤 2、有限元法的基本概念 2-4 有限元法解的误差分析及收敛性
su
∂Ω = su + s p
有限元分析及应用
胡于进
弹性力学基本变量--外力
外力的概念 作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种: 表面力：是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与 另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分 解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。 X、、 YZ 体力：是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性 力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、 Y、Z表示。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
u+
v+ ∂v dy ∂y
∂u dy ∂y
C'
∂v v+ dx ∂x
D" β D'
B'
线素AB的转角为：
α
∂v dx ∂x
A'
v+
∂u u + dx ∂x
B"

附件4：研究生课程教学大纲课程编号：小四宋体，右对齐，加粗工程有限元分析Finite Element Analysis In Engineering一、计划总学时：36 学分： 3 开课学期：Ⅱ授课方式：课堂教学考核方式：其他形式（大作业）二、适用专业：机械工程及其相关应用专业三、预修课程：高等数学、CAD三维设计基础、工程力学、材料力学四、教学目的：有限元分析方法是一种现代设计方法。

应用于工程设计中，可以提高产品质量、降低产品成本，是一种具有重要意义和巨大潜力的先进数字化分析技术。

该课程为机械工程及其相关专业硕士研究生的基础选修课。

本课程的目的是培养学生学会在机械设计中应用有限元分析技术来解决实际工程问题，掌握有限元分析方法的基本概念、基本原理、使用方法和解题步骤，并能够对轴对称结构、梁结构、桁架结构等变形进行具体的分析，熟悉ANSYS、ABAQUS、LS-DYNA等常用有限元分析软件在实际工程中的应用。

五、大纲内容及学时分配：第1章绪论（2学时）1.1 有限元分析的基本概念及其适用性1.2 有限元分析的发展概况及工程应用第2章常见有限元分析软件介绍（3学时）2.1 ANSYS介绍2.2 ABAQUS介绍2.3 LS-DYNA介绍2.4 HyperWorks介绍2.5 I-DEAS介绍第3章有限元分析方法的一般步骤（4学时）3.1 物体的离散化及插值函数3.2 平面问题有限元分析方法和程序3.3 边界条件和约束3.4 单元刚度矩阵和总刚度矩阵3.5 静力平衡问题求解第4章ANSYS7.0有限元分析的典型过程（4学时）4.1 前处理4.1.1 有限元模型的建立4.1.2 ANSYS 图元4.1.3 设置工作平面4.1.4 定义单元属性4.1.5 划分网格4.1.6 细划局部网格4.2 加载和求解4.2.1 加载4.2.2 求解4.3 结果后处理第5章静力分析（6学时）5.1 静力分析的基本步骤5.1.1 建立有限元模型5.1.2 施加载荷并求解5.1.3 查看分析结果5.2 梁结构静力分析5.2.1 自重对结构影响的分析5.2.2 均布载荷对结构影响的分析5.2.3 三维梁受集中载荷弯曲的分析5.3 桁架结构静力分析5.3.1 二维桁架分析5.3.2 三维桁架分析5.4 平面应力分析5.4.1 平面应力分析实例5.4.2 通过自定义路径查看分析结果5.4.3 P法分析第6章非线性分析（4学时）6.1 非线性分析简介6.1.1 非线性行为的原因6.1.2 非线性分析的特殊性6.1.3 非线性分析的主要步骤及注意事项6.1.4 非线性分析实例6.2 几何非线性分析6.2.1 几何非线性分析的注意事项6.2.2 几何非线性分析实例6.2.3 屈服分析及实例6.3 材料非线性分析6.3.1 材料塑性理论介绍6.3.2 塑性分析选项6.3.3 材料非线性分析实例6.4 状态非线性分析6.4.1 接触分析类型及其主要分析步骤6.4.2 接触分析实例第7章动力学分析（4学时）7.1 动力学分析简介7.1.1 动力学分析的类型7.1.2 动力学分析建模的注意事项7.2 模态分析7.2.1 模态分析的主要步骤7.2.2 模态分析实例7.3 谐响应分析7.3.1 谐响应的分析方法7.3.2 谐响应分析步骤7.3.3 谐响应分析实例7.4 瞬态分析7.4.1 瞬态动力学分析的分析方法7.4.2 瞬态动力学分析的主要步骤7.4.3 瞬态动力学分析实例第8章APDL及其应用（3学时）8.1 APDL简介8.2 APDL应用实例分析第9章MATLAB语言及应用（4学时）9.1 基础准备及入门9.2 符合计算9.3 数值数组及向量化运算9.4 数值计算9.5 数据和函数可视化9.6 M文件和函数句柄9.7 Simulink仿真第10章ANSYS7.0拓扑优化设计方法（2学时）10.1 拓扑优化设计方法简介10.2 拓扑优化的主要步骤和实例分析六、教材及主要参考书：(一) 理论课教材1、张亚欧，谷志飞，宋勇等. ANSYS7.0有限元分析实用教程. 清华大学出版社，2004.2、张志涌，杨祖樱.MATLAB教程，北京：北京航空航天大学出版社，2006.(二) 主要参考书1、李亚智．有限元法基础与程序设计．科学出版社，2004.2、李黎明．Ansys有限元分析实用教程．清华大学出版社，2005.3、曾攀. 有限元分析及应用. 清华大学出版社，2004.4、周昌玉，贺小华. 有限元分析的基本方法及工程应用研究. 化学工业出版社，2006.5、曹戈，赵阳. MTALAB实用教程，北京：清华大学出版社，2005.6、朱衡君，肖燕彩，邱成. MA TLAB语言及实践教程，北京：北京交通大学出版社，2005.七、任课老师：杨志贤，申祥八、大纲撰写人：杨志贤，申祥填表说明：1．开课学期请填写Ⅰ或Ⅱ2．授课方式：课堂教学、课堂教学与研讨、研讨、其他形式，其他形式请注明3．考核方式：笔试（开卷、闭卷），论文报告，其他形式，其他形式请注明。

F1b u1 0
k
u 2 F2b
B B1
〔2〕只有结点2可以变形，节点1固定，此时有：
F2b k u2 由力的平衡F有 1b ： F2b 0 则：F2b F1b ku2
第10页，共35页。
F1
u1
k
A A1
(3)据迭加原理，结果为：
u2
F2
B B1
作用在节1上 点的合F力 1 F1a F1b 作用在节2上 点的合F力 2 F2a F2b 或FF21kku1u1kku2u2
令sin,cos，则节点力的变为换：关系
Fx1 FFxy21 Fy2
0
0
0 0
0 0
0Fx1
0FFFxyy212
第27页，共35页。
简写为： F T F , ( 2 13 )
T 为变换矩阵。
相对于位移有： T
( 2 14 )
把（ 2 13）代入（ 2 12 ）有：
C
D 统，要确定在力的作用下，结
点BCDE处的变形，以便计算
出各杆件的内应力及各杆的轴
向力，可以假设整个杆件系统
B
E 具有和单根杆一样的刚度，不
过此时的刚度应采用矩阵来表
示，同样各点的位移及力都用
矩阵表示。即：
A
F
{F}[k]{}
第5页，共35页。
{F}[k]{}
重点：式中[K]为多少阶？如何求出？
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简单拉〔压〕杆的受力特点为作用在直杆上的外力〔体力、面力〕合力 的作用线一定与杆的轴线重合，如下图。
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以弹簧为例： 弹簧系统中力与弹簧的伸长量间的关系满足胡 克定律，并且它们之间是线性关系，直线的斜