西安交通大学 级研究生课程考试试题
考试（查）科目：有限元方法（II ）时间 年 月 日下午
一、4
)
3,1(),()2,2(),()1,3(),()1,1(),(44332211==
==
y x ，
y x ，y x ， y x
母体单元为22⨯的正方形，如图所示。
求：（1）单元坐标变换()(ξηξ,,,y y x x == （2）变换的
Jacobi 行列式detJ 的解析表达式，并分析该变换是否存在奇异性（10分）。
二、分析以下两种单元的位移场是否具备收敛到真实解所需的各项条件。（20分）
（1） 9结点矩形平面应力单元 结点参数取为：)9~1(,=
i v u i i 位移场为：
2
92
83726524321xy
y x x y xy x y x u ααααααααα++++++++=
3
1821721621514213121110y xy y x y xy x y x v ααααααααα++++++++=
(2) 15自由度三角形薄板弯曲单元结点参数取为：
()3~1,,=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂i y w x w w i i i ;()6~4,=⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂i n w w i
i 位移场为：
4
153142
2
133
124
113
102
92
83
726524321y xy y x y x x y xy y x x y xy x y x w ααααααααααααααα++++++++++++++= 三、13结点平面应力单元如图所示， 在计算单元刚度矩阵时取图示的9个 积分点。试分析在单元一级是否存在 出现零变形能位移模式的可能性。 （5分）
7
8 10
9
11 12 1
2
3
4 5
6
y 7 4 x
四、图示8结点平面应力单元厚度为t ， 沿结点374－－所在边作用图示分布载
荷，最大压强为q 。求与上述载荷对应 的结点3，4处的等效结点力的大小，并图
示其方向（10分）。
五、 图（a ）所示的变截面梁简化为图（b ）所示的梁单元计算模型。由梁的直面假设可知结点i 与m ，结点j 与n 之间的自由度不独立(存在刚性约束关系)。每个结点有三个自由度，即: θ,,v u
（1）若用罚函数法实现上述约束关系试写出罚函数的表达式。（7分）
（2）若用主、从自由度方法实现上述约束关系，试写出从属自由度.（8分）
{}{}T j j
j i i i
v u v u d θθ=1
与主自由度
{}{}T
n n n
m m m
v u v u d θθ=2
之间的转换矩阵[]T （{}[]{}21d T d =）
(a,)
n (a+l , e +c )
y ,v
(b)
六、简答题（每题5分）
（1）试列举出至少三个经典的加权残值方法，并简述伽辽金法的基本思想。
最小二乘法，配点法，子域发，伽辽金法。
应用这种方法可以将求解微分方程问题（通过方程所对应泛函的变分原理）简化成为线性方程组的求解问题。而一个高维（多变量）的线性方程组又可以通过线性代数方法简化，从而达到求解微分方程的目的。
伽辽金法采用微分方程对应的弱形式，其原理为通过选取有限多项势函数（又称基函数或形函数），将它们叠加，再要求结果在求解域内及边界上的加权积分（权函数为势函数本身）满足原方程，便可以得到一组易于求解的线性代数方程，且自然边界条件能够自动满足
（2）与有限元方法（finite element method）相比无网格方法（Mesh-less method）有何优势？
有限元方法的缺点，这些缺点也大都来源于网格。首先不是在所有的网格上都能构造出适定的插值函数来的，如果网格出现内凹等情况，那么就不能构造出适定的插值函数。即便在划分初始网格的时候充分注意保证不出现奇异的网格，后续若变形过大也很难保证变形后的网格不奇异，这就使得有限元方法在处理极端大变形的时候出现困难。其次，有限元插值函数的构造还需考虑网格之间的连续性，对于C0连续性，构造是十分简单的，但是一旦连续性要求提高，譬如要求C1连续性，那么插值函数的构造就变得异常困难，困难到迄今为止对于板壳问题也没有构造出完全满足C1连续性的单元。还有，如果计算过程中需要重新划分网格，譬如裂缝扩展问题或者自适应分析问题，网格的拓扑结构发生了变化，其计算成本机会变得非常大。
（3）有限元方法（finite element method）与瑞利-里兹法有何联系？并简述瑞利-里兹法的基本思想。
有限元方法是在单元（子域）内应用的里兹法
里兹法是通过泛函驻值条件求未知函数的一种近似方法，在许多力学、物理学、量子化学问题中得到应用。同时它也是广泛应用于应用数学和机械工程领域的经典数值方法，是直接变分法的一种，以最小势能原理为理论基础。通过选择一个试函数来逼近问题的精确解，将试函数代入某个科学问题的泛函中，然后对泛函求驻值，以确定试函数中的待定参数，从而获得问题的近似解。
书上3-2节，基本步骤。
（4）请简述用有限元方法分析梁的横向振动问题的主要流程？
Lecture 4
（5）有限元（FEM）和无限元（IEM）的主要适用范围有什么不同？写出无限元（IEM）的主要特点。
在水利、地震、岩土、海洋和爆破等实际工程中，常常会涉及到无界域问题．这类问题中为数不多的几个情形，如均质无限弹性空间在集中力或分布力作用下的应力分析，均质无界域中的圆孔内承受均布荷载作用等，对于比较复杂的工程实际问题，要获得解析解就非常困难，可以助于无限元．
无限元在概念上它是有限元的延伸，是一种几何上可以趋于无限远处的单元，即它所占的区域是无限的；又由于无限元必须反映近场的边界特征或与模拟近场的有限元结合，它实际上只在一个方向趋于无限，因而又被称为半无限元．由于有限元的概念涵盖所有占非无穷小区域的单元，广义地讲，无限元仍然属于有限元的范畴．总之，无限元为克服有限元在解决无界域问题时而提出，常常与常规有限元同时用来解决更复杂的无界问题，是对有限元方法的一种补充
七、英译汉(5分)
One of the Rayleigh-Ritz conditions requires the prescribed functions to be p times differentiable, where p is the order of highest derivative appearing in the expression for the strain energy. The same applies to our choice of basis functions here and thus to the shape functions. Otherwise we would not be able to calculate the strain energy properly when we are using the finite element approximation method.
瑞利- 李兹法的条件之一要求规定的函数p次可微，其中p是出现在应变能表达式中的最高阶导数的阶数。这在我们的选择基函数和形函数时同样适用。否则，当我们使用有限元近似方法时，将无法正确计算应变能。
