数学物理定解问题

§1.2 什么是定解问题1. 定解问题定解问题是根据已知物理规律求解特定物理过程的数学条件，它由泛定方程和定解条件两个部分组成，泛定方程也称为数学物理方程。

2. 泛定方程泛定方程是待解物理过程所遵循的物理规律的数学表达式，具体表现为某物理量关于时间和空间变量的偏微分方程，同一类物理过程遵循相同的物理规律，因此泛定方程反映一类物理过程的共性。

方程中物理量对时间变量的偏微分项反映物理过程的因果关联。

方程中物理量对空间变量的偏微分项反映物理过程的内部作用，或内在关联。

例1. 质点运动状态的演化问题在质点动力学问题中常求质点的运动轨迹，一旦求出运动轨迹，则一切与质点运动有关的物理量（如动能、动量、角动量等）都可求出。

质点的运动状态是由质点的位矢和动量完全确定，求质点运动轨迹的方法就是求解质点的运动状态随时间演变的过程，即由前一时刻的位矢和动量推算出下一时刻位矢和动量，从物理上看前后二时刻质点的运动状态的联系为dt t p m t r dt t r t r dt t r )(1)()()()(K K K K K +=+=+， dt t F t p dt t p t p dt t p )()()()()(K K K K K +=+=+ 因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程F t r m K K =)(满足初始条件“0000)(,)(v t r r t r K K K K ==”的解。

§1.3 定解条件。

一、初始条件初始条件描述特定物理过程的起因，就t 这个自变数而言，如果泛定方程中物理量u 对t 最高阶偏导数是n 阶偏导数n n tu ∂∂，则要确定具体的定解问题，需要n 个初始条件。

例1：均匀细杆的导热问题满足的泛定方程为02=−xx t u a u ，则要确定具体的导热问题的解只需一个初始条件：)(0x u t ϕ==，即要已知初始温度分布。

常见问题第九章 数学建模--数学物理定解问题 问题一； 设一长为l 的杆，两端受压从而长度缩为(12)l ε-，放手后自由振动，写出此定解问题.【解】 (1)泛定方程：因杆作自由纵振动，自由即无外力作用，所以泛定方程为20tt xx u a u -= (2)边界条件：原来杆受压，放手后作自由振动，即这时两端无外力作用，这意味着杆的两端自由.“自由”表示在两端点处张应力为零．如果杆的材料的杨氏模量是Y ，根据胡克定律，而张应力等于杨氏模量Y 与相对伸长x u 的乘积，故 0|0, |0x x x x l Yu Yu ====即 0|0, |0x x x x l u u ====(3)初始条件：杆由长l 压缩为(12)l ε-，共缩短了2l ε，压缩率为22l l εε=，又杆的中点2l 压缩前后不变，即位移2|0l x u ==，以中点2l 为标准，左边位移为正，右边位移为负.根据上述分析，初始时刻0t =时的位移为2(,0)()2l l u x x l ε=-，初始速度为零，即(,0)0t u x =.综上所述：定解问题为20 (0,0) (0,)0,0 (0)(,0)2(),(,0)0 ( 2,)tt xx x x t u a u x l t u t u t l u x t x u x l ε-=<<>==≥=-= (0)x l ⎧⎪⎪⎨⎪⎪≤≤⎩问题二； 设有一长为l 的理想传输线，远端开路. 先把传输线充电到电位为0v ，近端短路，试写出其定解问题.【解】 （1）泛定方程：由于理想传输线仍然满足波动方程（数学物理方程）类型.20xx a -=tt v v（2）边值条件：至于边界条件，远端开路，即意味着x l =端电流为零，即|0x l i ==，根据(9.1.13)公式得到 0i L Ri x t ∂∂++=∂∂v且注意到理想传输线0G R ≈≈，故i L xt ∂∂=-∂∂v ，代入条件|0x l i ==有 (,)||0x x l x l i i l t L L t t ==∂∂=-=-=∂∂v而近端短路，即意味着0x =端电压为零，即0|(0,)0x t ===v v （3）初始条件：而开始时传输线被充电到电位为0v ，故有初始条件0(,0)x =v v ，且此时的电流0|0t i ==，根据(9.1.14)公式， 0i C G x t ∂∂++=∂∂v v且注意到理想传输线0G R ≈≈，故 1i tC x ∂∂=-⋅∂∂v ，因而有 0011(,0)||0t t i i x t C x C x ==∂∂∂=-⋅=-⋅=∂∂∂v 综上所述，故其定解问题为200000 (0,0)|0,0 (0) |,0 (0) xx x x x l t t t a x l t t x l ====⎧-=<<>⎪=≥⎨⎪=≤≤⎩tt v v v v |=v v v |=。

第七章 数学物理定解问题1. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为5/1处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。

横向位移),(t x u 的初始条件为⎩⎨⎧≤<-≤≤==)5/()4/()(5)5/0(/5,0l x l l x l h l x l hx u u t 。

2.数学物理方程定解问题的适定性是指解的_存在性__，__唯一性__，__稳定性_。

3.一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为3/l 处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。

横向位移),(t x u 的初始条件为.0)0,(u ; )3/( ,2/)(3)0,( )3/0( ,/3)0,(t =≤≤-=≤≤=x l x l l x l h x u l x l hx x u 和4. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为5/9处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。

横向位移),(t x u 的初始条件为、95,[0,]59(,)9()5,[,]49t hx l x l u x t h l x l x l l =⎧∈⎪⎪=⎨-⎪∈⎪⎩。

5. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为3/2处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。

横向位移),(t x u 的初始条件为⎩⎨⎧≤<-≤≤==)3/2(/)(3)3/20(2/3,0l x l l x l h l x l hx u u t 。

6.一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为6/l 处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。

横向位移),(t x u 的初始条件为 。

7. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端四分之一处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。

横向位移),(t x u 的初始条件为 0)0,(u ; )4/( ,3/)(4)0,( )4/0( ,/4)0,(t =≤≤-=≤≤=x l x l l x l h x u l x l hx x u 和。

无界区域的定解问题前言：对于定义在整个空间或半空间的偏微分方程的定解问题，原则上可以用分离变量法求解，另外还有一些专门的方法来解决这类问题，本章就讨论这些解法。

含两个自变量x 和y 的二阶线性偏微分方程的一般形式为：),(22122222122211y x f cu y ub x u b yu a y x u a x u a =+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂其中11a ，12a ，22a ，1b ，2b 和c 都只是x 和y 的函数。

根据判别式2211212a a a -=∆符号的不同可如下来划分偏微分方程的类型⎪⎩⎪⎨⎧<-=∆=-=∆>-=∆椭圆型，抛物型，双曲型，000221121222112122211212a a a a a a a a a 定解问题： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>∞<<-∞=∂∂==∂∂-∂∂==)0,0,(,)(),(),(),(00022222a t x x t x u t x t x u x u a t u t t ψϕ由于111=a ，012=a ，222a a -=，则0)(222211212>=-->-=∆a a a a a 。

令at x t x +=),(ζ，at x t x -=),(η，),(),(ηζv t x u =，可化为：02=∂∂∂ηζv通解为：)()(),(21ηζηζf f v +=，其中)(1ζf ，)(2ηf 为任意函数。

通解为：)()(),(21at x f at x f t x u -++= 代入初始条件可得：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-⇒='-'⇒=∂∂=+⇒=⎰==)()()(1)()()()()()(),()()()()(),(0201212102100x f x f d a x f x f x x f a x f a x t x u tx x f x f x t x u x x t t ζζψψψϕϕ由上式可推出：⎪⎩⎪⎨⎧---=-++=⎰⎰)]()([21)(21)(21)()]()([21)(21)(21)(020*******00x f x f d a x x f x f x f d a x x f x x x x ζζψϕζζψϕ 特解： ⎰+-+-++=atx at x d aat x at x t x u ζζψϕϕ)(21)]()([21),(达朗贝尔公式的物理意义： 初位移)(x ϕ分成两半，各为2)(x ϕ，经过时间t 分别向左移动at 变成2)(at x +ϕ，向右移动at 变成2)(at x -ϕ，移动的速度均为a ，弦的总位移),(t x u 为2)(at x +ϕ和2)(at x -ϕ的叠加。

求定解问题数学物理方法例题1. 一辆汽车从A点出发，经过2小时行驶到B点，然后再经过3小时回到A点。

假设这两段行驶均在同一条直线上，求这辆车的平均速度。

答：假设AB之间的距离为d，时间 t1=2 小时，时间 t2=3 小时。

根据平均速度的定义，平均速度 = 总路程 / 总时间。

总路程 = 2d （从A到B）+ 2d （从B到A）。

总时间 = t1 + t2 = 5小时。

所以平均速度 = 总路程 / 总时间 = (2d + 2d) / 5 = 4d / 5。

2. 一个投掷物从地面上以速度 v0 垂直向上抛出，忽略空气阻力。

求物体到达最高点的时间和最大高度。

答：假设加速度 g = 9.8 m/s²是重力加速度，v0 是初始速度。

根据运动学公式，物体到达最高点时，垂直速度为 0，所以 v = v0 - gt = 0。

解出时间 t = v0 / g。

最大高度为 h = v0 * t - 1/2 * g * t² = v0² / (2g)。

3. 一个弹簧常数为 k 的弹簧，两端有各自质量为 m1 和 m2 的物体。

当这两个物体振动时，求两个物体的共同频率。

答：假设物体1的振动频率为 f1，物体2的振动频率为 f2。

根据振动的基本原理，弹簧的劲度系数k = m1 * (2πf1)² = m2 * (2πf2)²。

解方程组可以得到f1 = sqrt(k / (4π²m1))，f2 = sqrt(k /(4π²m2))。

所以两个物体的共同频率为sqrt(k / (4π²m1)) = sqrt(k / (4π²m2))。

希望以上例题能对您有帮助！请注意，这些例题仅供参考，并不代表所有数学和物理的定解问题。