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数学物理方法定解问题

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数学物理方程及其定解问题

数学物理方程及其定解问题

3.定解问题的整体性(除上述两种类型外的 数学物理方程)
4.定解问题的适定性
4
一. 无界弦的自由振动
1. 无界弦的自由振动 (1)无界弦的含义：无界弦不是指无限长的弦，是指所关 心的那一段弦远离两端，在所讨论的时间内，弦两端的影响来 不及传到这段弦上，因而认为弦的两端在无限远，就不必给弦 的两端提出边界条件。 定解问题 初值问题
x at, x at
得方程的通解
u f1 ( x at) f 2 ( x at)
通解的物理意义: f2 ( x at ) 正行波, f2 ( x at ) 反行波
6
⑵ 利用定解条件来确定函数 f1 ( x), f 2 ( x)
由初始条件得
u ( x, 0) f1 ( x) f 2 ( x) ( x) ut ( x, 0) af1 ( x) af 2 ( x) ( x)
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第七章 数学物理方程及其定解问题
1.数学物理方程的导出 2.定解条件 3.数学物理方程的分类 4.达朗贝尔公式 定解问题
1
3.数学物理方程的分类
15
三. 一般情况下的数学物理方程
一般情况下，无法像对无限长弦那样，先求通解，然后用定解条件 求特解。
定解问题的整体性
物理问题
数学问题
定解问题是一个整体
四 . 定解问题的适定性
如定解问题满足 (1) 有解 (2) 解是唯一的 (3) 解是稳定的 则称此定解问题是适定的。 因为定解问题来自实际。

数学物理方法定解问题

数学物理方法定解问题
12
核心等式关系：
牛顿第二定律 F=ma
13
u(x) u+u u 0 1
F B
T2 受力分析： 2
分竖直和水平方向考虑 沿水平方向，不出现平移
T1 x
x+x
即F水平 0
T2 cos 2 T1 cos 1 0
（1）
在微小振动近似下：
1， 0, cos 1， 1. 2 2
u 即dQ k ds dt n
其中k为热传导系数，当物体为均匀且各向同性时为常 数，取“-”是因为热量流向与温度梯度方向相反（温度 梯度方向指温度变化方向，指向标量场增长最快的方 向）。
25
△x
A
x x1 x2
则△t时间内由ox轴正向流入的热量为
Q流入
u k x
(4)设单位长度上弦受力 F ( x , t ) ，力密度为：
f ( x, t ) F ( x, t ) /
质量线密度，
11
u(x)
F
u+u
u
T2 2
1
T1 x
B
0
x+x
s x
弦的原长：
振动拉伸后：s ' (x)2 (u)2 x dx 弦长dx ，质量线密度，B段 的质量为m= dx
同样利用前面关系代换，有
T 2u x
2
x F (3 , t ) x x
1
2u t 2
2
19
两边约去Δx，并令Δx→0，得到
2u 2u a 2 2 f ( x, t ) t 2 x
其中
（3）
f ( x, t ) F ( x, t ) /

数学物理方法_第1章 数学物理定解问题

数学物理方法_第1章 数学物理定解问题

根据不同的具体情况，对参数R ,L, C, G作 不同的假定，就可以得到传输线方程的各 种特殊形式。例如，在高频传输的情况下， 电导与电阻所产生的效应可以忽略不计， 也就是说可令 G R 0 , 此时方程 （1.1.9）与（1.1.10 ）可简化为 2 2
I 1 I 2 2 t LC x
2 2 u x , t u x, t g T x 2 t 2
或
一般说来，张力较大时弦振动的速度变化 2 很快，即 u x, t 要比g大很多，所以又可
t 2
以把g略去。这样，经过逐步略去一些次 要的量，抓住主要的量，在u（x，t）
关于x和t都是二次连续可微的前提下，最 后得出u(x ,t)应近似地满足方程
Az Ay i z y
Ay Ax Ax Az j k x y z x
相联立，其中 是介质的介电常数， 是 导磁率， 为导电率，我们假定介质是均 匀而且是各向同性的，此时 , , 均为常 数。 方程（1.1.11）与（1.1.12）都同时包 含有 E 与 H , 从中消去一个变量，就可 以得到关于另一个变量的微分方程。例如 先消去 H ，在方程（1.1.11）两端求旋度 （假定， E 和 H 都是二次连续可微的） 并利用方程（1.1.15）与（1.1.17）得
图1.1.3
今考虑一来一往的高频传输线，它被当作 具有分布参数的导体（图1.1.3），我们 来研究这种导体内电流流动的规律。在具 有分布参数的导体中，电流通过的情况， 可以用电流强度I与电压V来描述，此处I 与V都是 x, t 的函数,记作 I ( x, t ) 与 V ( x, t ) 。 以R, L, C, G分别表示下列参数： R—每一回路单位的串联电阻；L—每一 回路单位的串联电感；C—每单位长度的 分路电容；G—每单位长度的分路电导。

数学物理方法 第7章 定解问题

数学物理方法 第7章 定解问题

( t ) dt r ( t ) 1 p ( t ) dt ， r ( t dt ) r ( t ) r m ( t ) dt p ( t ) F ( t ) dt p ( t dt ) p ( t ) p
因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求 出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程
T sin 2 T 2 cos
2 2
T1 cos 1 0 u
2
T1 sin 1 F ( x , t ) ds ( ds )
t
2
其中 为单位长度弦的质量， ( x , t ) 为单位 F
长度的弦所受的横向外力，ds 为 B 段弦的长度。 因研究的弦振动为微小振动， 所谓微小振动是指 弦 上 质 点离 开平 衡 位置 的 最大 位移 远 小于 波 在 弦中传播的波长，
2
【讨论】
数学物理方程导出的主要步骤： (1)选取一个坐标系，选择适当物理量。 (2)建立一个理想模型，理想情况下物理量才具有较好 的数学性质，如“柔软的弦”表明 u ( x , t ) 具有连续的 偏导数。 (3)找出该物理过程所遵循的运动规律，取一微元为代 表，将物理规律应用于该微元，列出方程。 (4)作适当的近似，并化简最后得出描述该物理过程的 数学物理方程。 (5)所得方程的正确性必须由实验验证，数学上的演 绎、推导只表明理论的自恰
2 u u xx u yy 、 u u xx u yy u zz 。常数 a 具有速度
量纲，以后将看到 a 就是波速。
二、输运方程
1．扩散方程
u t D ( u ) 0 ，或 u t a u 0 （其中 a

数学物理方法-第七章 数学物理方程的定解问题-文档资料

数学物理方法-第七章 数学物理方程的定解问题-文档资料


u dxdydz t
二者相等得连续性方程
u (uv x ) 0 t x

q u dxdydz dxdydz x t
表示物质的总量守恒
3.流体力学与声学方程 A.连续介质性质： 当振动在液体和气体中传播时，液体和气体就成为传播振动 的连续介质。在其中取一个小的立方体，可以定义介质在此 的密度 ρ，速度 v 和压强 P。 振动引起密度的疏密变化。
d2y f m 2 m ytt m utt dt
T2 sin 2 T1 sin 1 ( dx)utt
小振动：
1 0, 2 0, cos1 1, cos 2 1.
sin 1 tan 1 u x
x
ux
x
sin 2 tan2 ux
不含时的解满足方程
( )u 0 u
此为拉普拉斯方程。即稳定的浓度分布和温度分布，其浓度和温度满足 拉普拉斯方程。
8.真空静电场 高斯定理
D dS dV
S V
D 0 E
V
1 E dV
0 V
dV
1 E
又 真空还有 最后： 9.薛定谔方程

p p0 (
) p0 (1 s) p0 (1 s) 0
p vt 0 s
1 vt p
0
p p0 (1 s)

0
p vt 0 s
0
st v 0
stt a 22 s 0
a2
系统的温度
能量守恒，满足连续性方程 傅立叶定律：
q ku
q 热流强度 ：单位时间通过单位面积的热量。

09_数学物理定解问题

09_数学物理定解问题

第二节 定解条件
上一节中推导出的偏微分方程，可以用来描述具 有某种共同物理规律的一类物理现象，但并不能惟 一地、确定地描写某一个具体的物理过程.为了完全 描写一个具有确定解的物理问题，在数学上就要构 成一个定解问题，即除了微分方程，还必须有初始 条件和边界条件.
一．初始条件
初始条件应该完全描写初始时刻介质内部及边界上任 意一点的状态分布情况. 振动问题 从物理的角度考虑，对于波动方程，应该给出 初始时刻的“位移”和“速度”；从数学的角度看， 由于波动方程关于时间的偏导是二阶的，因此需要 列出两个初始条件：
为了简化计算，我们假设弦的重量很轻，重力相对于弦 的张力来说可以忽略不计，从而将整根弦抽象为没有质量 的弦.
如图9.1.1所示，去弦的平衡位置为x轴，并以u ( x, t )表示弦上任意 一点，在某个时刻t沿垂直于x方向的位移，把弦细分为许多极小 的小段，并任意选取一段区间( x, x dx)上的小段B，其长为ds，设
F ( x, t )dx T (ux
由于dx取得很小，u x
x dx
x dx
ux x ) utt dx
(5)
ux
x
u x x dx u xx dx，所以（5）式简化为 （6） （7）
F ( x, t ) Tu xx utt 两端同时除以，并适当移项，得B段的运动方程为 utt a 2u xx f ( x, t )
u t 0 ( x) u t t 0 ( x)
例1 有一根长为 l 的两端固定且紧绷的弦，用手将弦的中点横向拨 开距离 h ，如图9.2.1所示，然后轻轻放手任其振动，试写出初始 条件.
因此，t时间内流入立方体的总热量为
dQ dQx dQy dQz

数学物理方法课件：第7章 数学物理方程定解问题

第二篇 数学物理方程
第七章 数学物理方程定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出 §7.2 定解条件 §7.3 数学物理方程的分类(自学） §7.4 达朗贝公式、定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出
（一）、梯度矢量
i
j
k
x y z
(i
j
k
) (i
j
k
)
x y z x y z
2 x2
2 y 2
2 z 2
令
2 2 2 x2 y2 z2
2 2 2 x2 y2 z2
记
utt
2u t 2
ut
u t
有时记
2
2 x2
2 y 2
u xx
2u x 2
2 2 2 3 x2 y2 z2
（二）、三类数学物理方程的导出
1、弦的横振动
弦的横向位移为 u(x,t)
dm ds T2 cos2 T1 cos1 0
(qx xdx qx x )dydzdt
qx dxdydzdt x
z
dx
y
dz
dy
(x, y, z)
x
x 方向净流入量为
qx dxdydzdt x
(D u )dxdydzdt x x
y 方向净流入量为
(D u )dxdydzdt y y
z 方向净流入量为 (D u )dxdydzdt z z
y
F (x,t)
M2
M1
1
T2
2
T2 sin 2 T1 sin 1 dmutt
T1
x
x+x
x
T2 sin 2 T1 sin 1 dsutt
T2 cos2 T1 cos1 0

07_定解问题


叠加原理：如果泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定 解问题的解看作几个部分的线性叠加，只要这些部分各自所 满足的泛定方程和定解条件的相应的线性叠加正好是原来的 泛定方程和定解条件即可。 I 2 I
例：下面的定解问题
utt a u xx f ( x, t ) I u |x 0 0; u I |x l 0 u I | 0; u I | 0 t t 0 t 0
2
sin 1 tan 1 ux ( x0 0, t ) sin 2 tan 2 ux ( x0 0, t )
h
x0
0
x
u( x0 0, t ) u( x0 0, t )
衔接条件
Tux ( x0 0, t ) Tux ( x0 0, t ) F (t )
kun |xa h u |xa u |media (u Hun ) |xa u |media
左端点x=0，(u Hux ) |x0 u |media .
( 右端点x=a， u Hux ) |xl u |media .
例2：纵振动杆，端点x=a处与弹性体连接到固定物上
u u , t n
(1) 第一类边界条件 例：弦两端固定
u( x, t ) x0 u( x, t ) xl 0
u( x, t ) xa f (t )
细杆导热，x=a端温度为f(t)
一维杂质浓度扩散，x=0, l端浓度保持为N0
1 B1u B2u Cu F . u 2 A12
i Re ( ) / 2 , or . i Im ( ) / 2i

数学物理方法课件：7-数学物理定解问题

19九稳定浓度分布扩散方程随时间变化扩散运动将持续进行下去最终将达到稳定状态即u泊松方程如果在某一区域里无源无汇解满足方程laplace方程20十稳定温度分布热传导方程z不随时间变化热传导将持续进行下去最终将达到稳定状泊松方程如果在某一区域里无热源解满足方程21十一静电场电荷密度分布为xyz电场分布满足方程因此存在标量势uxyz代入上式有poisson方程
，a是弦的振动传播速度，则
utt a2uxx 0 (7.1.6)
如果，弦受到线密度为F(x,t) 的横向 力作用，弦 y方向方程应为：
T2ux xdx T1ux x F(x,t)dx (dx)utt
则弦的受迫振动方程为：
u
T2
B
α2
α1
C
T1 A
o x x+dx x
utt
a2uxx
F ( x, t )
y,
z, t )dxdydzdt
所以三维热传导方程为
cut
x
k
u x
y
k
u y
z
k
u z
F ( x,
y,
z,t)
17
三维 热传导方程
cut
x
k
u x
y
k
u y
z
k
u z
F ( x,
y,
z,t)
➢对于均匀物体，k、c、 ρ是常数
ut a23u f (x, y, z,t)
k k
x u
y u
k ux k uy k uz
z
15
确定物理量：温度的空间和时间分布u(x, y, z, t)
确定研究微元：x, x dxy, y dyz, z dz dV

数学物理方程的定解问题


无源静电场满足
0 u 0
也可用静电场的微分形式来推证：
高斯定理的微分形式 E 1 x, y,z
0
E
静电场是无旋场 E 0，必定有
q
E V x, y,z
then, we lead to Poisson equation
u 浓度, D 系数, f 与源有关的函数（已知 量）
泊松方程
u 稳定物理量 , f 与源有关的已知量
u f x, y, z
2、数学物理方法研究问题的步骤
写出定解问题
定解问题
泛定方程 定解条件
共性，一般规律 初始，边界
把物理问题转化为数学语言(建模)
V
利用热量守恒定律 ，得到
t2
kgradu

dsdt

c
u

x,
y,
z,
t2


u

x,
y,
z,
t1
dV
t1
s
V
利用奥——高公式将左面的曲面积分化成体积分
kgradu ds kdiv gradudV k2udV
s
V
V
同时，右边的体积分写成
u
x
是小量，
u
2 x

0
sin ' tg ' tg ' u(x dx,t) ,
1 tg '
x
ds dx2 du2 1 u 2 dx dx
小弧段的加速度 2u
x
t 2
由牛顿第二定律得
T
sin
T'
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第二篇 数学物理方程
Mathematical Equations for Physics 想要探索自然界的奥秘就得解微分方程
—— 牛顿
第一章 数学物理方程的定解问题
重点
1、从实际问题中建立数学物理方程的基本方法； 2、系统的边界条件和初始条件的写法。
1
数学物理思想
数学物理方程（简称数理方程）是指从物理学 及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数 方程，主要指偏微分方程和积分方程．
t22
(x2x x)
16
综合前式，有
2u T
xx2u
x21
t22
上式即为通过核心等式关系建立的研究对对等式进行化简得到最终方程（泛定方程）
17
令Δx→0，得到
t2u2 a2x2u2 其中 a2 T /
（2）
（2）式即为弦的自由横振动方程（齐次方程）。
18
3
一、数学物理方程---泛定方程:物理规律的数学表示
物理规律 数学语言物翻理译 量u 在空间和时间中的变化规
律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间
的联系。
振动与波（振动波，电磁波）传播满足 波动方程
多数为二 阶线性偏 微分方程
热传导问题和扩散问题满足热传导方程
静电场和引力势满足拉普拉斯方程或 泊松方程
13
u(x)
F
u+u
u 1
B
T1
0
x
x+x
T2 受力分析：
2
分竖直和水平方向考虑
沿水平方向，不出现平移
即F水平0
T 2c o s2 T 1c o s1 0
（1）
在微小振动近似下：
1 ， 2 0 , c o s1 ， 2 1 .
由（1）式可得弦中各点的张力相等
T2 T1
即张力为常数，记为T
14
u(x)
F
u+u
u 1
B
T1
0
x
x+x
T2 2
沿竖直方向
即 F 竖 直 Tsi2 n Tsi1 n
T(si2n sin 1)
对于小振动，有
sin1 tan1 u xxuxx sin2 ta n2u xx x
F竖直 T(uxxxuxx)
2u Tx21x
(x1xx)
（注：上朗 式日 利中 用 f(值 x了 )在 [a定 ,拉 b]连 理 格 (续 a,b： )可 ，导
(4)设单位长度上弦受力 F (，x, t力) 密度为：
f(x,t)F (x,t)/ 质量线密度， 11
u(x)
F
T2
u+u
2
u 1
B
T1
0
x
x+x
弦的原长： sx
振动拉伸后： s'( x)2( u )2 xd x
弦长dx ，质量线密度，B段 的质量为m= dx
12
核心等式关系： 牛顿第二定律
F=ma
若有外力作用在弦上，方向垂直于x轴，设其力密 度为F（x，t），由于弦段很小，其上各点外力近 似相等，故该段所受外力为
F 外 F (3 ,t ) x ( x 3 x x )
此时竖直方向上的牛顿第二定律为
F外F拉竖直 ma
同样利用前面关系代换，有
2 u
2 u
T x21 x F (3,t) x x t22
8
波动方程的导出
（一）均匀弦横振动方程(一维波动方程） 设：均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附近
产生振幅极小的横振动 u(x,t): 坐标为x 的点在t时刻沿垂线方向的位移
求：细弦上各点的振动规律
弦的横振动
9
建立方程 （1）确定物理变量 位移u(x,t) （2）系统中取一小部分，分析临近部分与之 关系（建立等式）
数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域十 分广泛，它深刻地描绘了自然界中的许多物理现 象和普遍规律.
2
从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的 是场和产生这种场的源之间的关系．
声振动是研究声源与声波 场之间的关系
定解 问题
热传导是研究热源与温度 场之间的关系
泊松（S. D. Poisson 1781～1840，法国数学家） 方程表示的是电势（或电场） 和电荷分布之间的关系
t2 u 2 a 2 ( x 2 u 2 y 2 u 2 z 2 u 2) f(x ,y ,z,t)
在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在 给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。
定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的
特殊性，即个性。
泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。
它反映了问题的共性。
5
具体的问题的求解的一般过程： 1、根据系统的内在规律列出泛定方程——客观规律
2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和 初始条件——求解所必须用的
3、求解方法 —— 行波法、分离变量法等
三类数学物理方程的一种最常用解法 分离变量法
偏微分方程 标准的常微分方程
标准解，即为各类特
殊函数
6
模型（方程）类型：
1、波动方程（描述振动和波动特征）； 2、热传导方程（反映输运过程）； 3、泊松方程及拉普拉斯方程（反映稳定过 程）。
10
研究对象:
u(x)
F
T
u+u
2
选取不包括端点的一微元(x, u
2
1
x+dx), 弦长dx ，
T
简化假设：
01
x
x+x
(1)弦是柔软的 (不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向
(2)振幅极小, 张力与水平方向的夹角1和2 很小，仅 考虑1和2的一阶小量，略去二阶小量
(3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略。
19
两边约去Δx，并令Δx→0，得到 t2u 2a2 x 2u 2f(x,t)
其中 f(x,t)F (x,t)/
（3）
（3）式为弦的强迫振动方程（非齐次方程）。
20
类似可得到二维波动方程（薄膜振动）和三维波动 方程（电磁波、声波的传播）：
t2u 2a2( x 2u 2 y 2u 2)f(x,y,t)
泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条
件无关。
4
二、边界问题---边界条件 体现边界状态的数学方程称为边界条件
三、历史问题----初始条件 体现历史状态的数学方程称为初始条件
例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件
→ 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。 定解问题的完整提法：
则(a 在 ,b)内至少， 存f使 在 (b)f一 (a)个 f'()）
ba
15
竖直方向上满足牛顿第二定律：
F竖直ma
由前知弦长Δx(dx） ，质量线密度，质量为m= Δx
由于所取x弦 很长 短，其上每点 近加 似速 相度 等，
故用其中任 2处 一的 点加速 t2u2 度 2代替 a
故 ma x2u