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数学物理方法7数学物理方程的定解问题精品PPT课件

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《数学物理方法》课件第7章

《数学物理方法》课件第7章

小弦长，与其过点z0的原像曲线在z0处的无穷小弦长之比
的极限，不管曲线的方向如何，都等于|f'(z0)|。换句话说，
一切过z0点的曲线的无穷小弦长都被放大(或缩小)了|f'(z0)|
倍，可知无穷小面积就被放大(或缩小)了|f'(z0)|2倍。这正是
高等数学中定义的面积变换因子雅可比行列式
J
u, x,
k 1
1
2k 13
2k
sin
1 x
cos k
2k
1 at
l
(7.15) 可以验证这个解与用分离变量法得到的结果完全一致。
13
7.2 保角变换法
电学、光学、流体力学和弹性力学中的很多实际问题， 都可以归结为求解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程的边 值问题，而这些边值问题中的边界形状通常十分复杂，我 们可以设法先将它转化为简单形状边界的边值问题，然后 求解。本节所介绍的保角变换法就是按照这种思路求解问 题的有效方法。
27
7.2.2 拉普拉斯方程的解
保角变换之所以受人重视，主要是因为拉普拉斯方程 的解在经过一个保角变换后仍然是拉普拉斯方程的解，即：
定理3 在单叶解析函数的变换(保角变换)下，拉普拉 斯方程式仍然变为拉普拉斯方程。
证明 设w＝f(z)＝u(x，y)＋iv(x，y)是一单叶解析函数，
且j(x，y)满足拉普拉斯方程
(7.17)
16
定理1 若f(z)是D上的单值解析函数，且f'(z)≠0(z∈D)， 则变换w＝f(z)在区域D上构成一一对应的变换(或映射)， 并称该变换为D域上的单叶变换，函数w＝f(z)为D域上的 单叶解析函数。
下面我们进一步来研究这种单叶变换的特点。图7.1中， 设z平面上的原像曲线C经单叶变换w＝f(z)变成w平面上的 变像曲线G；在C上的无穷小弦长为Dz，则在Dz上的变像为 Dw，分别记为

数学物理方程及定解问题

数学物理方程及定解问题

这个初始问题有解
u( x, y) n2 sinh ny sin nx
数学物理方法2015.02
D 为扩散系数
数学物理方法2015.02
第三节 位势方程
稳定的温度场
a2u f ( x, y, z)

膜平衡方程
2u 2u a 2 2 f ( x, y ) x y
2
数学物理方法2015.02
第三节 位势方程
定解条件与定解问题的提法
第一类边界条件： u( x, y, z) g( x, y, z)
b u t2 b t2 u dx dx dt f0dx T0 ux (b, t ) ux (a, t ) dt a a t1 a t1 t t t2 t t t1 b
dt
t1
t2
b
a
数学物理方法2015.02
物理模型 在三维空间中，考虑均匀的、各向同性的物体。 假定它的内部有热源或汇，并且与周围的介质 有热交换，来研究物体内部温度的分布规律。 均匀物体： 物体的密度为常数 各向同性： 物体的比热和热传导系数均为常数
数学物理方法2015.02
第二节 热传导方程与扩散方程
数学模型的建立 设： u(x,y,z,t)表示物体于时刻 t 在位置 x,y,z 处的温度 C 表示是比热 (焦耳/度· 千克) 表示密度 (千克/米3)， k 表示导热系数 f 0(x,y,z,t)表示热源强度(焦耳/千克· 秒)
数学物理方法2015.02
第一节 波动方程及定解条件
三维波动方程或声波方程
2 2u 2u 2u 2 u a 2 2 2 f ( x, y , z , t ) 2 t z x y

数学物理方法课件第七章-----行波法

数学物理方法课件第七章-----行波法

变量代换
x at
x at
2 u( , ) 0
a a u ( x, t ) 0 x t x t
u f1 ( ) f 2 ( )
行波法解题要领
• 行波法的提法来自于研究行进波。其解题要领为： • （1）引入特征变换，把方程化为变量可积的形式，从 而得到方程的通解； • （2）使用定解条件确定通解中的任意函数（对于常微 分方程为常数），从而得到其特解。 • 注意：由于偏微分方程求解较难，大部分偏微分方程 的通解均不易获得，使用定解条件确定其任意函数或 常数也绝非易事，故行波法也有其较大的局限性。但 是对于研究波动问题，行波法自有其独特的优点(实际 上我们主要只使用它研究波动问题)。因此行波法是求 解数学物理方程的基本的和主要的方法之一。
utt a u xx , ( Ⅰ )u |t 0 ( x) u | ( x) t t 0
2
- x
① ② ③
其中 ( x)和 ( x)为已知函数。
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
解： 1 ）做特征变换，求定解问题Ⅰ中方程①的通 () 一、达朗贝尔公式 dx 2 ①的特征方程为： ( ) a2 0 算符分解 dt ①式 dx dx a a u 0 x0 x 即( a )(t a) t dt dt 从而得到两簇特征线 (积分后得到 )如下： x a( ) t 坐标变换： x at c1 , x at c2 做特征变换 x at x at ④
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式 利用复合函数求导法则，有 u u u u u x x x

数学物理方程PPT讲义

数学物理方程PPT讲义

解的存在性：是研究在一定的定解条件下，方程是否有解。
从物理意义上来看，对于合理的提出问题，解的存在似乎 不成问题，因为自然现象本身给出了问题的答案。 在数学上对解的存在性进行证明的必要性 从自然现象归结出偏微分方程时，总要经过一些近似的过 程，并提出一些附加的要求。 对于比较复杂的自然现象，有时也很难断定所给的定解条 件是否过多，或者互相矛盾。
(1) (2)
u方向
由于是微小的横振动，所以
cos 2 cos1 1
sin 2 tan2 ux xdx
sin 1 tan1 ux
x
u
1
T1 o x
2 T 2
x+dx
x
那么，有(1)可知张力T只与位置有关，且
1 T ( x) xdx 2 (l 2 x 2 ) x 2
不含初始条件，只含边界条件条件
注意：初始条件必须写完整，也就是要把整个体系所有点的初始态都写出来。
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
第一类边界条件：直接规定了所研究的物理量 在边界上的数值，即
三 类 边 界 条 件
u S f (t )
第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边 界外法线方向上方向导数的数值，即
如果定解问题的解是稳定的，那么就可断言，只要定 解条件的误差在一定的限制之间，我们所得的解就必然 近似于所需要的解。
2、叠加原理
线性方程的解具有叠加特性
Lui fi
f
i
f
u u
i
Lu f
i
u
Lu 0
Lui 0
u
几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原 因单独产生的效果的累加。(物理上)

数学物理方程：第1章 数学物理方程的定解问题

数学物理方程：第1章 数学物理方程的定解问题

第1章 数学物理方程的定解问题§1.1 数学物理方程的一般概念本节讨论：①数学物理方程的基本概念，②三类基本方程的数学表示，③一些简单解法▲数学物理方程的任务与特点 数学物理方程（亦称数理方程）在数学上为二阶偏微分方程。

它的任务有两个方面：①寻找数学定解问题的求解方法，给出解的表达式和计算方法；②通过理论分析得出问题的通解或某些特解的一般性质。

数学物理方程有如下特点：①它紧密地、直接地联系物理学、力学与工程技术中的许多问题。

②它广泛地运用数学物理中许多的技术成果。

如：数学中的复变函数、积分变换、常微分方程、泛函分析、广义函数等等，物理学中的力学、电学、磁学、热力学、原子物理学、振动与波、空气动力学等等。

⒈ 一些基本概念数学物理方程是物理过程中的一些偏微分方程。

由于物理过程是十分复杂的，故它们的数学表达式也是十分广泛的。

本书不能将众多的数学物理方程一一讨论，仅讨论一些常用的二阶线性微分方程。

一般而言，二阶线性偏微分方程可写为2,11nn ij i i j i i j i u u Lu a b cu f x x x ==∂∂=++=∂∂∂∑∑ （1.1.1） 式中：自变量),,(1n x x x ⋅⋅⋅=，系数ij a 、i b 、c 为x 的函数或为常数，并且ji ij a a =。

由于式中关于未知函数u 的导数最高为二阶导数，故方程称为二阶微分方程；同样，由于x 为n 维向量，方程也称为n 维方程；由于方程中对u 的各阶偏导数为线性的，故称为线性方程，否则就称为非线性方程。

若系数ij a 、i b 、c 均为常数，则称为常系数方程，否则称为变系数方程；若0≡f ，则称为齐次方程，反之称为非齐次方程。

▲方程的数学形式 在所有的自变量i x 中，时间变量t 常常被使用，由于它的独特性，人们常常直接用t 表示而不置于i x 之中，关于t 的导数式为：22u u L u a b t t t∂∂=+∂∂ (1.1.2) 故上述方程可改写为：f Lu u L t += (1.1.3)上述方程习惯上也称为n 维方程。

数学物理方法课件：第7章 数学物理方程定解问题

数学物理方法课件：第7章 数学物理方程定解问题
第二篇 数学物理方程
第七章 数学物理方程定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出 §7.2 定解条件 §7.3 数学物理方程的分类(自学） §7.4 达朗贝公式、定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出
（一）、梯度矢量
i
j
k
x y z
(i
j
k
) (i
j
k
)
x y z x y z
2 x2
2 y 2
2 z 2
令
2 2 2 x2 y2 z2
2 2 2 x2 y2 z2
记
utt
2u t 2
ut
u t
有时记
2
2 x2
2 y 2
u xx
2u x 2
2 2 2 3 x2 y2 z2
（二）、三类数学物理方程的导出
1、弦的横振动
弦的横向位移为 u(x,t)
dm ds T2 cos2 T1 cos1 0
(qx xdx qx x )dydzdt
qx dxdydzdt x
z
dx
y
dz
dy
(x, y, z)
x
x 方向净流入量为
qx dxdydzdt x
(D u )dxdydzdt x x
y 方向净流入量为
(D u )dxdydzdt y y
z 方向净流入量为 (D u )dxdydzdt z z
y
F (x,t)
M2
M1
1
T2
2
T2 sin 2 T1 sin 1 dmutt
T1
x
x+x
x
T2 sin 2 T1 sin 1 dsutt
T2 cos2 T1 cos1 0

数学物理方法课件第七章

数学物理方法课件第七章第二篇数学物理方程第七章数学物理定解问题一、数理方程的概念凡包含未知函数及它的偏导数的方程称为偏微分方程。

一般地说，描写连续体运动规律的方程式都是偏微分方程。

这种将物理规律用偏微分方程表达出来，叫作数学物理方程（P135）。

在数学上，数学物理方程本身（不连带定解条件）叫作泛定方程。

偏微分方程所含有最高偏导数的阶数称为该偏微分方程的阶。

在许多物理问题中，遇到的数学物理方程，如波动方程、输运方程、拉普拉斯方程等都是二阶偏微分方程。

二、二阶偏微分方程的分类——P162二个自变数y x ,的二阶偏微分方程的一般形式为G Fu y u E x u D yu C y x u B x u A =+??+??+??++??22222式中系数G B A ,,, 是y x ,的已知函数或常数。

当0=G 时，则方程称为齐次的；当0≠G 时，则方程称为非齐次的。

二阶偏微分方程可按其系数C B A ,,所满足的条件划分为三类： 1、若042>-AC B 双曲型方程（一维波动方程） 2、若042=-AC B 抛物型方程（一维输运方程） 3、若042<-AC B 椭圆型方程（二维拉普拉斯方程）三、定解条件在数学上，我们把描写系统初始状态的表示式叫做初始条件，把描写系统边界状态的表示式叫做边界条件。

因数理方程满足初始条件和边界条件的解是完全确定的，所以将初始条件、边界条件（及连接条件）统称为定解条件。

这样，问题在数学上的完整提法是：在给定的定解条件下，求解数学物理方程。

这叫作数学物理定解问题或简称为定解问题。

——P135衔接条件边界条件初始条件定解条件数学物理方程泛定方程定解问题)(§7.1 数学物理方程的导出数学物理方程的导出步骤如下：——P135一、波动方程 02=-xx tt u a u（一）均匀弦的微小横振动——书P136 1、均匀弦的自由横振动在以下几个条件下推导弦的自由横振动方程：(1)、均匀细弦：弦的线密度ρ为常数；由于是细弦，所以作为一维空间的问题来处理。

数学物理方法课件：7-数学物理定解问题

19九稳定浓度分布扩散方程随时间变化扩散运动将持续进行下去最终将达到稳定状态即u泊松方程如果在某一区域里无源无汇解满足方程laplace方程20十稳定温度分布热传导方程z不随时间变化热传导将持续进行下去最终将达到稳定状泊松方程如果在某一区域里无热源解满足方程21十一静电场电荷密度分布为xyz电场分布满足方程因此存在标量势uxyz代入上式有poisson方程
，a是弦的振动传播速度，则
utt a2uxx 0 (7.1.6)
如果，弦受到线密度为F(x,t) 的横向 力作用，弦 y方向方程应为：
T2ux xdx T1ux x F(x,t)dx (dx)utt
则弦的受迫振动方程为：
u
T2
B
α2
α1
C
T1 A
o x x+dx x
utt
a2uxx
F ( x, t )
y,
z, t )dxdydzdt
所以三维热传导方程为
cut
x
k
u x
y
k
u y
z
k
u z
F ( x,
y,
z,t)
17
三维 热传导方程
cut
x
k
u x
y
k
u y
z
k
u z
F ( x,
y,
z,t)
➢对于均匀物体，k、c、 ρ是常数
ut a23u f (x, y, z,t)
k k
x u
y u
k ux k uy k uz
z
15
确定物理量：温度的空间和时间分布u(x, y, z, t)
确定研究微元：x, x dxy, y dyz, z dz dV

北京大学数学物理方法经典课件第七章——数学物理方程的定解问题.ppt


数学建模：建立空间各点浓度u(x,y,z,t)的方程
物理规律：以扩散定律和粒子数守恒定律为研究基础 ①扩散定律即裴克定律：这是一条实验定律
②粒子数守恒定律：单位时间内流入某一体积的 粒子数与流出这一体积的粒子数之差等于此体积 内的单位时间内粒子数的增加量
处理方法：在浓度不均匀的无源空间，划出任一小立方体 V为研究对象，分析浓度变化规律。
参考书：R.Haberman著，郇中丹等译，《实用偏微分方
程》 2020/1/31 （原书第四版），机械工业出版社，2007
1
2020/1/31
2
一、数学物理方程(泛定方程):物理规律的数学表示
数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程， 特别是偏微分方程和积分方程。
物理现象数学语言描述 物理量u 在空间和时间中的变
z
扩散（裴克）实验定律：
(x dx, y dy, z dz)
dz
qx
y
dy
(x, y, z) dx
2020/1/31
q xdx
x
q Du

D

u x
i
u y
j

u z
k

扩散系数
15
下面由粒子数守恒定律建立V内粒子数变化规律。
z
考察沿x-方向扩散流情况：
qn qn
面元范围内热流强度近似为常量。
dS nˆ
那么在dt时间内从dS流入V的热量为( nˆ 向为正)： M
u
V
dQ qn
u unˆ
dSdt

qn
dSdt

k
n
dSdt
n
S

数学物理方法 第7章 定解问题

u tt a 2 u f ( x , y , t ) ，其中 a
2
2

T

，
f ( x, y, t )
1

F ( x, y, t ) 。
该方程称为二维波动方程。当 F ( x , y , t ) 0 时，膜自 由振动
【小结】
均匀弦的微小振动和均匀杆的纵振动满足一维波动方 程，均匀薄膜的微小振动方程是二维波动方程
( t ) dt r ( t ) 1 p ( t ) dt ， r ( t dt ) r ( t ) r m ( t ) dt p ( t ) F ( t ) dt p ( t dt ) p ( t ) p
因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求 出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程
2 u u xx u yy 、 u u xx u yy u zz 。常数 a 具有速度
量纲，以后将看到 a 就是波速。
二、输运方程
1．扩散方程
u t D ( u ) 0 ，或 u t a u 0 （其中 a
2
2
。 D）
2．热传导方程
u 0 ，这是拉普拉斯方程。
3．静电场方程 由麦克斯韦方程，静电场满足两方程
1 E (r )
0
E 0， 由于 E 0 ，因此存在电势函数 u ，使得 E u 。
静电势满足
u 1
0
(r )

这是一个有源稳定场方程，称为泊松方程。
u
x0
u
xl
0
t 0，
此为第一类齐次边界条件。
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参考书：R.Haberman著，郇中丹等译第四版），机械工业出版社，2007
1
2020/10/5
2
一、数学物理方程(泛定方程):物理规律的数学表示
数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程， 特别是偏微分方程和积分方程。
物理现象数学语言物描述理量u 在空间和时间中的变化规
(3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略
(4)设单位长度上弦受力F(x,t)，线力密度为：
2020/10/5
f(x,t)F(x,t)/ 质量线密度， 9
u(x)
F
u+du
u 1
B
T1
0
x
x+dx
T2 B段弦的原长近似为dx. 2 振动拉伸后：
ds (dx)2 (du)2 dx 1 (du / dx)2 dx
律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间
的联系。 泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体
条件无关。
例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律，
跟具体条件无关。
2020/10/重5 点讨论：二阶线性偏微分方程。
3
三类典型的数学物理方程
三类典型的数学物理方程
双曲型方程 波动方程为代表
抛物型方程 扩散方程为代表
B段的质量：弦长dx ，质量线密度，则B段质量
m= dx
物理规律：
用牛顿运动定律分析B段弦的受力及运动状态：
牛顿运动定律：
2020/10/5
d2u f mdt2 mutt
10
u(x)
F
u+du
u 1
B
T1
0
x
x+dx
T2 ①沿x-方向：
2
弦横向振动不出现x方向平移， 得力平衡方程
T 2co s2 T 1co s10（1）
②沿垂直于x-轴方向：
由牛顿运动定律得运动方程
T 2 s i n 2 T 1 s i n 1 F ( x ,t) d x (d x ) u t t （2）
在微小振动近似下：
1 ， 2 0 , co s1 ， 2 1 .
由（1）式，弦中各点的张力相等
T2 T1
sin1 tan1 u xxux x
（3）按物理定律写出 数理方程（泛定方程）。
2020/10/5
7
(一）均匀弦横振动方程 现象描述（如图） ：沿x轴绷紧的均匀柔软的细弦， 在平衡位置(x轴)附近产生振幅极小的横向振动 目的：建立与细弦上各点的振动规律相应的方程
设定: (1)弦不振动时静止于x轴; (2)用u(x,t)表示t时刻弦上任一点x在垂直于
特殊性，即个性。 → 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。
泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。
三、定解问题
它反映了问题的共性。 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在
给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。
2020/10/5
5
具体问题求解的一般过程：
3、求解方法 —— 行波法、分离变量法、积分变换法、格林 函数法和变分法
数学建模：建立空间各点浓度u(x,y,z,t)的方程 物理规律：以扩散定律和粒子数守恒定律为研究基础
①扩散定律即裴克定律：这是一条实验定律
②粒子数守恒定律：单位时间内流入某一体积的 粒子数与流出这一体积的粒子数之差等于此体积 内的单位时间内粒子数的增加量
处理方法：在浓度不均匀的无源空间，划出任一小立方体 V为研究对象，分析浓度变化规律。
椭圆型方程 泊松方程为代表
utt a2uxxf(x,t)
ua2uF(x, t
y,z,t)
a2uF(x,y,z)
F 0
2020/10/5
退化为拉普拉斯方程
u 0
4
二、定解条件
1 边界问题---边界条件 体现边界状态的数学方程称为边界条件
2 历史问题----初始条件
定解条体件现：历边史界状条态件的和数初学始方条程件称的为总初体始。条它件反映了问题的 例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件
x轴方向上的横向位移（偏离）情况
弦的横振动
2020/10/5
8
研究对象:
u(x)
F
T2
u+du
2
选取不包括端点的一微元 u
B
1
[x, x+dx]弧B段作为研究对象.
T1
假设与近似：
0
x x+dx
(1)弦是柔软的 (不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向
(2)振幅极小, 张力与水平方向的夹角1和2 很小，仅 考虑1和2的一阶小量，略去二阶小量
1、根据系统的内在规律列出泛定方程——客观规律．
2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和
2020/初10/5始条件——求解所必须的已知条件．
6
7.1 数学模型（泛定方程）的建立
建模步骤：
（1）明确要研究的物理量是什么？ 从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部分
与 （2它）的研相究互物作理用量。遵循哪些物理规律？
令 a2 T / 波速a
f(x,t)F(x,t)/
波动方程：
2020/10/5
utt a2uxxf(x,t)
受迫振动方程
………一维波动方程
单位质量弦所受 外力，线力密度
12
u(x)
F
u+u
讨论：
T2 2
如考虑弦的重量：
u 1
T1
B
gdx
沿x-方向，不出现平移
T 2cos2T 1cos1 （1）
2020/10/5
14
处理方法：在浓度不均匀的无源空间，划出任一小立方体V为研究对象， 分析浓度变化规律。
Tdd du xF(x,t)dxgdx(dx)utt
所以有：
2tu2 a2
u2 x2
f
g
------非齐次方程
忽略重力和外力作用：
………一维波动方程
2020/10/5
2u t2
a2
u2 x2
0
------齐次方程
13
（二）输动问题--扩散问题
扩散现象：系统的浓度 不均匀时，将出现物质从高浓度处 向低浓度处转移的现象，称之为扩散。
0
x
x+x
沿垂直于x-轴方向
T 2 s i n 2 T 1 s i n 1 F ( x , t ) d x g d x (d x ) u t t （2）
因为： T 2 s in2 T 1 s in1 T u xx d x u xxd x 0 T d u x T d d d u x
2020/10/5 sin2 tan2u xxd x
T2 sin2 T1 sin1
T ux xdx ux x
11
T （ u xx d x u xx ） F (x ,t) d x (d x ) u tt
T u xx d d x x u xx F (x ,t) T u x x F (x ,t)u tt