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第一章非线性代数方程组的数值解法1.1 直接迭代法1.2 牛顿法和修正牛顿法1.3 拟牛顿法1.4 增量方法1.5 增量弧长法非线性问题可分为三类：材料非线性不管那类非线性问题，最终都归结为一组非线性方程Ψ(a )=0，a 为待求的未知量。
对许多问题，用某些方法可将Ψ(a )=0改造成Ψ(a ) =P (a )-R =K (a ) a -R =0的形式。
对非线性问题的方程Ψ(a )=0，一般只能用数值方法求近似解答。
、几何非线性和边界非线性。
我们只讨论前两类问题。
其实质是，用一系列线性方程组的解去逼近所讨论非线性方程组的解。
本章将简单介绍有限元分析中常见的各种求解非线性方程组的数值方法。
1.1 直接迭代法当用某些方法将Ψ(a )=0改造成迭代格式Ψ(a ) =P (a )-R =K (a ) a -R =0后a 1= K (a 0)-1R如果问题是收敛的，a 1将比a 0有所改善。
a n +1= K (a n )-1R Δa n =a n +1-an 当设范数为i n a a ∆∆max =或设范数为2/1T ])[(n n n a a a ∆∆∆=收敛条件则为10 <<≤αα∆n n a a ，设一初始未知量a 0，则由它可得如此反复迭代可得4如果考虑到每步迭代Ψ(a n ) =P (a n )-R =K (a n ) a n -R ≠0将Ψ(a n )视为不平衡力（或失衡力）并作为衡量收敛的标准应指出的是，对单变量情况，如讲义图示，直接迭代实质是“割线”法10 )( <<≤ββR a Ψn 1.1 直接迭代法1.2 牛顿法和修正牛顿法如果将非线性方程如果将非线性方程ΨΨ((a a ) =0) =0在在a an 附近展开，则又如果[Ψ’(a )]n 的逆存在，则Δa n 近似等于记K (a n )=[Ψ’(a )]n ，P n =Ψ(a n )Δa n ≈-[Ψ’(a )]n -1Ψ(a n )则Δa n ≈-K T (a n )-1 P n ，a n +1=a n +Δa n 切线矩阵不平衡力如此逐步计算，即可得到非线性方程的解答，这就是牛顿-拉夫森法。
弧长法（Riks method）是目前结构非线性分析中数值计算最稳定、计算效率最高且最可靠的迭代控制方法之一，它有效地分析结构非线性前后屈曲及屈曲路径跟踪使其享誉"结构界"。
大多数商业有限元软件(如ABAQUS、ANSYS等)也都将其纳入计算模块，作为一名工科生，机械式地"Step by Step"点击这些商业软件对话框的时候需"知其然，知其所以然"，否则必将"Rubbish in，Rubbish out"。
图1 弧长法迭代求解过程图1 所示为弧长法的迭代求解过程，下标表示第个荷载步，上标表示第个荷载步下的第次迭代，显然，若荷载增量，则迭代路径为一条平行于轴的直线，即为著名的牛顿—拉夫逊法。
设第个荷载步收敛于，那么对于第个荷载步来说，需要进行次迭代才能达到新的收敛点。
外部参照力，在ABAQUS需要用户以外荷载的形式输入，因此，作用在结构上的真实力大小为。
由于牛顿—拉夫逊法在迭代过程中，以荷载控制（或位移控制）时，荷载增量步（或位移增量步）为常数，它无法越过极值点得到完整的荷载—位移曲线，事实上，也只有变化的荷载增量步才能使求解过程越过极值点。
从图1中可以看出，弧长法的荷载增量步是变化的，可以自动控制荷载，但这又使原方程组增加了一个多余的未知量，因此需要额外补充一个控制方程，即：（1）该控制方程说明，其迭代路径是以上一个荷载步收敛点为圆心半径为的圆弧，所以称为弧长法。
通常用户需指定初始弧长半径或固定的弧长半径，当设定了初始弧长半径时，根据收敛速率，一般按式（2）计算，其中为荷载步期望收敛迭代次数，一般取6, 为上一荷载步的迭代次数，大于10时取10。
（2）1. 当时，根据上一个荷载步收敛结束时的构形，得到用于第个荷载步收敛计算的切线刚度矩阵，即图1中的蓝色平行线的斜率。
通过式（2）可得相应的切线位移。
（3）（4）（5）很容易由式（5）求得，但不能确定其符号，而的符号决定了跟踪分析是向前还是返回，因此非常重要。
塑性成形过程中的有限元法金属塑性成形技术是现代化制造业中金属加工的重要方法之一。
它是金属材料在模具和锻压设备作用下发生变形，获得所需要求的形状、尺寸和性能的制件的加工过程。
金属成形件在汽车、飞机仪表、机械设备等产品的零部件中占有相当大的比例。
由于其具有生产效率高，生产费用低的特点，适合于大批量生产，是现代高速发展的制造业的重要成形工艺。
据统计，在发达国家中，金属塑性成形件的产值在国民经济中的比重居行业之首，在我国也占有相当大的比例。
随着现代制造业的高速发展，对塑性成形工艺分析和模具设计方面提出了更高的要求。
若工艺分析不完善、模具设计不合理或材料选择不当，则会造成产品达不到质量要求，造成大量的次品和废品，增加了模具的设计制造时间和费用。
为了防止缺陷的产生，以提高产品质量，降低产品成本，国内外许多大公司企业及大专院校和研究机构对塑性成形件的性能、成形过程中的应力应变分布及变化规律进行了大量的理论分析、实验研究与数值计算，力图发现各种制件、产品成形工艺所遵循的共同规律以及力学失效所反映的共同特征。
由于塑性成形工艺影响因素甚多，有些因素如摩擦与润滑、变形过程中材料的本构关系等机理尚未被人们完全认识和掌握，因而到目前为止还未能对各种材料各种形状的制件成形过程作出准确的定量判定。
正因为大变形机理非常复杂，使得塑性成形研究领域一直成为一个充满挑战和机遇的领域。
一般来说，产品研究与开发的目标之一就是确定生产高质量产品的优化准则，而不同的产品要求不同的优化准则，建立适当的优化准则需要对产品制造过程的全面了解。
如果不掌握诸如摩擦条件、材料性能、工件几何形状、成形力等工艺参数对成形过程的影响，就不可能正确地设计模具和选择加工设备，更无法预测和防止缺陷的生成。
在传统工艺分析和模具设计中，主要还是依靠工程类比和设计经验，经过反复试模修模，调整工艺参数以期望消除成形过程中的产品缺陷如失稳起皱、充填不满、局部破裂等。
仅仅依靠类比和传统的经验工艺分析和模具设计方法已无法满足高速发展的现代金属加工工业的要求。
