不等式的证明(习题课)

南化一中高三数学第一轮复习讲义61 第六章《不等式》不等式的解法（习题课）【复习目标】1．能利用解不等式的手段解决含参数的不等式的综合问题；2．渗透分类讨论、数形结合、函数与方程等数学思想。

【课前预习】1.下列各组不等式中同解的是（）A ．x>6与22)5(6)5(x x x B ．3231332xx x x x 与0232x xC ．0)2(12xx与2xD．0)1()2(32xx x与0322xx 2.已知关于x 的不等式02cbx ax的解集为xx |其中β>α>0，则20cxbx a的解集是。

3.已知关于x 的不等式()()ab xab 230的解集为(,)13，则关于x 的不等式(3)(2)0ab xb a 的解集是。

4.若不等式ax x11的解集为x x x12或，则a=。

5.不等式()()()xxx x2123032的解集是。

【典型例题】例 1 若使不等式x xxx22430680和同时成立的x 的值使关于x 的不等式2902xxa也成立，求a 的范围。

例 2 设二次函数2()f x axbx c 对一切实数x [－1,1]，都有|()|1f x ，证明：对一切x[－1,1],都有|2|4axb .第61课：不等式的解法（习题课）《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写例3已知滿足不等式|x 2－4x+p|+|x －3|5的x 的最大值为 3. （1）求p 的值；（2）若11)(xx pp x f ，解关于x 的不等式kx x fp1log)(1.【巩固练习】1.若函数f x kxkx k()()268的定义域为R ，则k 的取值范围为。

2.若不等式ax xx 24的解集为}40|{xx ，则实数a 的取值范围是（）A ．0a B ．0aC ．4a D ．0a【本课小结】【课后作业】1．已知|x+y|=4，求xy 的最大值。

2．解关于x 的不等式：0922aa axx 3．设,,R ba 关于x 的方程02baxx的实根为α　、β，若.1||||b a 求证：||1，且||1.4．设P=(log 2x)2+(t －2)log 2x －t+1，若t 在区间[－2，2]上变动时，P 恒为正值，试求x 的变化范围．。

9.1.2 不等式的性质(习题课)一、教材内容分析：《不等式的性质》是人教版初中数学教材七年级下册第9章第3节内容。

在此之前学生已学习了等式的基本性质，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

不等式是初中代数的重要内容之一。

数学关系中的相等与不等是事物运动和平衡的反映，学习研究数量的不等关系，可以更好地认识和掌握事物运动变化的规律。

“不等式的性质”是学生学习整个不等式知识的理论基础，为以后学习解不等式（组）起到奠基的作用。

二、教学目标1.知识与技能目标：掌握不等式的三个性质，并能熟练的应用不等式的性质进行不等式的变形。

2.过程与方法目标：通过类比，理解不等式的基本性质与等式的基本性质之间的区别和联系。

3.情感态度与价值观目标：通过探索不等式的性质，让学生体会数学的乐趣，同时提高新旧知识的迁移学习能力。

三、学情分析七年级学生思维活跃，求知欲望强，在知识掌握上，学生已学过等式的基本性质，许多同学出现知识遗忘，所以应全面系统的去讲述，深入浅出的分析。

四、重难点重点：熟练掌握不等式的三个基本性质难点：对不等式的基本性质3的理解和熟练运用五、教学方法教法：本节课从学生的认知规律出发，采用引导探究法，讲练结合法，进行教学学法：本节课的学习以学生动脑思考、自主探索与合作交流为主，调动学生学习的积极性和课堂参与程度。

六、教具准备：多媒体课件、课时练七、教学过程1.复习回顾上节课我们已经学过了不等式的基本性质，现在一起回顾一下不等式的基本性质有哪些？（1）不等式的性质1是什么？符号语言呢？（2）不等式的性质2是什么？符号语言呢？（3）不等式的性质3是什么？符号语言呢？老师提问并总结不等式的性质通过让学生复习回顾不等式的性质，为本节课用不等式基本性质解决问题做铺垫2.典例解析在这个不等式两边进行怎么样的变形，才能得到其中的不等式。

比较大小时,要明确不等式两边进了哪种变形,再依据对应的不等式性质,确定不等号方向是否改变.变式1 (课时练94页第2题)已知x<y，用“>”或“<”填空：（1）-2x______ -2y（2）2x _____ 2y .（3）x+3 _____ y+3 .（4）3x-100m _____ 3y-100m .教师先做示范，然后提问学生：每一道题都提问学生回答，并且每个小题分两步：一不等式两边进行了哪种变形？二根据不等式性质，不等号方向是否改变。

习题课 基本不等式课时对点练1．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则t 与s 的大小关系是( ) A ．s ≥t B ．s >t C ．s ≤t D ．s <t 答案 A解析 ∵b 2＋1≥2b ，∴a ＋2b ≤a ＋b 2＋1，即t ≤s . 2．若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( ) A ．a 2＋b 2≥2|ab | B ．a 2＋b 2＝2|ab | C ．a 2＋b 2≤2|ab | D ．a 2＋b 2>2|ab |答案 A解析 ∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)．3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <ab B ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2答案 A解析 设甲、乙两地的距离为s ， 则v ＝2ss a ＋s b ＝21a ＋1b . 由于a <b ，∴1a ＋1b <2a ，∴v >a ，又1a ＋1b>21ab，∴v <ab . 故a <v <ab .4．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则ab 的最大值为( ) A ．1 B ．2 2 C ．2 D ．4 答案 A解析 由基本不等式得，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．5．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba ≥2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是任意非零实数，而a b ＋ba ≥2成立的条件是a ，b 同号，由集合的关系可知选B.6．(多选)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，对于代数式⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ，下列说法正确的是( ) A ．最小值为9 B ．最大值是9C ．当a ＝b ＝12时取得最小值D ．当a ＝b ＝12时取得最大值答案 AC解析 原式＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ，因为ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，所以1ab≥4.所以原式＝1＋2ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．7．已知a >b >c ，则(a －b )(b －c )与a －c2的大小关系是________________． 答案(a －b )(b －c )≤a －c 2解析 因为a >b >c ，所以a －b >0，b －c >0， 所以a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c )，当且仅当a －b ＝b －c 时，等号成立．8．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________．答案 －2解析 y ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2.当且仅当t ＝1时，等号成立．9．已知a >b >c ，你能比较出4与⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c (a －c )的大小吗？解 ⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c (a －c )≥4，理由如下：因为a －c ＝(a －b )＋(b －c )， 所以⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c [(a －b )＋(b －c )]＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c，又a >b >c ，所以a －b >0，b －c >0， 所以b －c a －b ＋a －b b －c ≥2，故⎝⎛⎭⎫1a －b ＋1b －c (a －c )≥4， 当且仅当b －c a －b ＝a －b b －c 时，取“＝”．10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解 (1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64， 当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64. (2)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2y＝1， 则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.11．已知a >0，b >0，ab ＝1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 B解析 m ＋n ＝b ＋1a ＋a ＋1b ＝2a ＋2b ≥24ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．12．已知a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2 B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab ≥2abD.2ab a ＋b>ab 答案 D 解析 a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥22， 当且仅当a ＝b ＝22时，等号成立，A 成立； (a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4， 当且仅当a ＝b 时，等号成立，B 成立； ∵a 2＋b 2≥2ab >0，∴a 2＋b 2ab≥2ab ， 当且仅当a ＝b 时，等号成立，C 成立； ∵a ＋b ≥2ab ，a >0，b >0， ∴2ab a ＋b ≤1，2aba ＋b≤ab ， 当且仅当a ＝b 时，等号成立，D 不成立．13．设自变量x 对应的因变量为y ，在满足对任意的x ，不等式y ≤M 都成立的所有常数M 中，将M 的最小值叫做y 的上确界．若a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则－12a －2b 的上确界为( )A ．－92 B.92 C.14 D ．－4答案 A解析 因为a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1， 所以12a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋2b ×(a ＋b )＝52＋⎝⎛⎭⎫b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ×2a b ＝92， 当且仅当b ＝2a ，即a ＝13，b ＝23时，等号成立，因此有－12a －2b ≤－92，即－12a －2b 的上确界为－92.14．设x ∈(0,1)，则当11－x ＋4x 取得最小值时，x 的值是________．答案 23解析 ∵x ∈(0,1)，则1－x >0，由基本不等式可得11－x ＋4x＝[(1－x )＋x ]·⎝⎛⎭⎫11－x ＋4x ＝x 1－x ＋4(1－x )x＋5≥2x 1－x ·4(1－x )x ＋5＝9，当且仅当x 1－x＝4(1－x )x ，即x ＝23时，等号成立．15．若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0<x <12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 答案 8解析 ∵实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0<x <12， ∴x ＝3y ＋3，∴0<3y ＋3<12，解得y >3.则3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6 ≥2(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当y ＝4，x ＝37时，等号成立．16．已知a ，b 都是正数，求证：21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22. 证明 ∵1a ＋1b ≥21ab， ∴11a ＋1b ≤ab 2， 即21a ＋1b≤ab . 又∵⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝a 2＋2ab ＋b 24≤a 2＋a 2＋b 2＋b 24＝a 2＋b 22，∴a ＋b 2≤a 2＋b 22. 又由基本不等式得a ＋b2≥ab ，故21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时，等号成立)．。

基本不等式习题课一、知识回顾1、基本不等式2：2、若a,b&R+,则当a・b为______ 值，且—=—时，a+b有最 ________ 值_若a,b&R+,则当a + b为_____ 值，且—=—时，a •。

有最________ 值3、一,二,三__________________二、典例解析【题型一：利用不等式求最值】例1、已知X>1,则当x=时，x + -i—有最_______________ 值_______X — \变1：已知x<0,则当x=时，2工+上-1有最 _______________ 值________X例2、若》者0,求x + -的取值范围X变2：若ab = i,求a+b的取值范围2 5例3、已知x〉O,y >0,—+ —= 1,求x+y的最小值x y- 1 Q练1、已知x〉0,y >0, —+ —= 1,求尤+ y的最小值x y- 4 1练2、已知x>0,y >0,x + y = 1,求一 +—的最小值x y变3：已知x > 0, y > 0,2x - 8^ - xy = 0 ,求x + y的最小值彳列4、若。

＞0,》＞0,。

/? =。

+/? + 3 ,求。

的取值范围9例5、已知0＜尤＜；,求y = x2（2-5x）的最大值【题型二：利用不等式解应用题】例6、某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m,如果池底每lm2的造价为150元，池壁每lm2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？【题型二：不等式的证明】例7、已知 a > 0, > 0,a+ 力=1,求证H+ —Vl + ^-j>9变4：已矢na>0,b>0,c>0,a + b + c = l, iRiiH — + — + — > 9 a b c二、感受高考(06年上海高考卷)若a,b,c cR+,旦a(a+ b + c) + bc = 4 — 2右，贝U 2a+ Z?+ c 的最小值为。

第一讲 不等式的基本性质与证明一、 知识点分析不等式概念：我们把含有不等号的式子叫做不等式。

不等式的基本性质：（1）a b b a <⇔>（对称性） （2）c a c b b a >⇒>>,（传递性） （3）c b c a b a ±>±⇒>（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向相加性） （5）bc ac c b a >⇒>>0,.，bc ac c b a <⇒<>0,（6）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向相乘性） （7）a ﹥b ，ab ﹥0，a 1⇒﹤b1(倒数变向性) （8）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则），)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）注：1、无同向相减性和同向相除性，且同向相乘性须正数2、性质（8）中，若n 为正奇数，则无须b a ,都大于零两个实数大小的比较：作差法 b a b a >⇔>-0；b a b a =⇔=-0；b a b a <⇔<-0作商法 若b a ,﹥0，则b a ﹥1a ⇔﹥b ；b a ﹤1a ⇔﹤b ；ba=1a ⇔=b不等式的证明方法： ①作差法②作商法③综合法：由因到果 ④分析法：执果索因 ⑤放缩法：常见类型有⑴nn n n n n n n n111)1(11)1(11112--=-<<+=+- （放缩程度较大）;⑵)1111(2111122+--=-<n n n n （放缩程度较小）;⑶1(212221--=-+<=n n n n nn⑥数学归纳法：常用于数列类的不等式 ⑦利用函数单调性法二、 例题精选例1.⑴比较a 与b 的大小：a =m 3－m 2n －3mn 2 与 b =2m 2n －6mn 2＋n 3⑵设21x x <，比较1211x x -+与2221x x -+的大小⑶设0,0>>b a ，试比较a b b a b a b a 与的大小 例2．⑴已知y x x yx y x y x ---≤≤≤≤5,,2,51,322求的取值范围 ⑵已知y x y x y -≤-≤≤+≤2,51,3x 2求的取值范围例3. 判断下列命题A 是命题B 的什么条件 ⑴ A ：x >3 B:x 1<31 ⑵ A ：x <3 B ：x 1>31 ⑶ A ：x >y B ：yx 11< ⑷ A ：32>>y x 且 B:65>>+xy y x 且例4. 甲乙两人从A 地同时出发沿同一条路线步行到B 地，甲在前一半时间行走的速度为x ，后一半时间行走的速度为y ，乙用速度x 走完前半段路程，用速度y 走完后半段路程，若x ≠y ，试指出谁先到达B 地，并说明理由。