探讨定积分不等式的证明方法

利用定积分证明数列和型不等式我们把形如(为常数)或的不等式称之为数列和型不等式，这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中，由于证明难度较大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定积分的几何意证明，则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果.下面举例说明供参考.一、(为常数)型For personal use only in study and research; not for commercial use例1(2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题)已知正整数，求证.For personal use only in study and research; not for commercial use分析这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式，标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式，这个不等式是怎么来的令人费解.若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步，则可考虑用定积分的几何意义求解.证明构造函数并作图象如图1所示.因函数在上是凹函数，由函数图象可知，在区间上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，For personal use only in study and research; not for commercial use图1即，因为，所以.所以.例2 求证.证明构造函数，又，而函数在上是凹函数，由图象知，在区间上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图2即，所以.例3证明。

证明构造函数，因，又其函数是凹函数，由图3可知，在区间上个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，图3即.所以.二、型例4若，求证:.证明不等式链的左边是通项为的数列的前项之和，右边通项为的数列的前项之和，中间的可当作是某数列的前项之和.故只要证当时这三个数列的通项不等式成立即可.构造函数，因为，作的图象，由图4知，在区间上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长，以左右端点对应的函数值为另一边长的两个矩形面积之间，即，而，故不等式成立，从而所证不等式成立.图4例5（2010年高考湖北卷理科第21题）已知函数的图象在点处的切线方程为.（Ⅰ）用表示出；（Ⅱ）若在内恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）证明:.本题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏，具有综合性强、难度大、思维含金量高、区分度大等特点.这个不等式的证明既可用第二问的结论证明也可用定积分来证明.证明（Ⅲ）不等式左边是通项为的数列的前项之和，我们也可把右边当作是通项为的数列的前项之和，则当时，，此式适合，故只要证当时，即，也就是要证.由此构造函数，并作其图象如图5所示.由图知，直角梯形的面积大于曲边梯形的面积，即.图5而，所以，故原不等式成立.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

2021考研高等数学如何求证不等式？
利用微分中值定理：微分中值定理在高数的证明题中是非常大的，在等式和不等式的证明中都会用到。

当不等式或其适当变形中有函数值之差时，一般可考虑用拉格朗日中值定理证明。

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，当不等式或其适当变形中有两个函数在两点的函数值之差的比值时，可考虑用柯西中值定理证明。

利用定积分中值定理：该定理是在处理含有定积分的不等式证明中经常要用到的理论，一般只要求被积函数具有连续性即可。

基本思路是通过定积分中值定理消去不等式中的积分号，从而与其他项作大小的比较，进而得出证明。

除此之外，最常用的方法是左右两边相减构造辅助函数，若函数的最小值为0或为常数，则该函数就是大于零的，从而不等式得以证明。

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关于定积分不等式的证法探悉作者：张笛来源：《科教导刊》2014年第02期摘要本文讨论、研究了利用定积分定义，性质，定积分计算，初等不等式，泰勒公式，构造变限积分函数，中值定理，被积函数相关性态，二重积分和柯西—施瓦茨不等式等方法来证明积分不定式；并加以例题分析，阐述运用这些方法时的基本思路和解题技巧。

关键词定积分不等式证明中图分类号：O172.2 文献标识码：AAbout the Proof Method of Definite Integral InequalityZHANG Di（College of Science， China University of Mining and Technology， Beijing 100083）Abstract This article discusses the use of the definite integral definition， nature， definite integral calculation， elementary inequality， Taylor formula， structural change limit integral function， the mean value theorem， the plot function-related behavior， double integrals and Cauchy - Schwarz inequality integration and other methods to prove the infinitive； analyze and make examples to explain the basic ideas and problem-solving skills when using these methods.Key words definite integral； inequality； proof0 引言定积分不等式证明是高等数学的重点和难点，下面通过例题分析，来探讨在定积分不等式证明过程中的基本思路、技巧和方法。

题目：积分不等式的若干证明技巧学院：数学科学学院专业班级：数学07－4实验班学生姓名：努尔艾拉.阿西木指导教师：塔实甫拉提副教授答辩日期：2011年5月10日新疆师范大学教务处目录1引言 (1)2 利用有些定义证明积分不等式 (1)2.1利用定积分的定义证明积分不等式 (1)2.2利用积分和及凸函数的性质证明积分不等式 (2)3 利用函数的单调性证明积分不等式 (4)4利用微分中值定理证明积分不等式 (4)5利用积分中值定理证明积分不等式 (6)6利用一些基本不等式证明积分不等式 (7)7利用泰勒展开式证明积分不等式 (7)8利用将单积分化为重积分的方法 (8)9利用分部积分法来证明积分不等式 (9)10 结论 (10)参考文献： (11)致谢 (12)积分不等式的若干证明技巧摘要：不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种联系。

论证不等式的方法很多，本文的目的主要是利用徽积分学原理归纳、总结“高等数学”中证明积分不等式的常用方法.由于积分具有较大的灵活性，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性，是理工科学生学习的一个难点，以下我们仅从讨论过程中的关键步骤出发，大致地分成若干种方法，介绍有关证题的技巧和规律。

关键词：积分不等式，积分中值定理；Rolle中值定理；Cauchy中值定理；Lagrange中值定理Integral inequality of several proof skillsAbstracts：inequality is higher mathematics and the important content of modern mathematics analysis, it reflects the one between the variables a contact is very important. Demonstrates many methods, this paper the inequality in the main purpose of the principle is to use badge integral calculus "advanced mathematics synthesized and summarized in" the commonly used method proved integral inequality. Because integral has greater flexibility, so integral inequality proof often rich strong skilled, an engineering student learning a difficulty, below we only from a critical step in discussion, starting into several ways roughly, introduces relevant papers topic the skills and law.Keywords: integral inequality, integral mean-value theorem; Rolle mid-value theorem; Cauchy mid-value theorem; Lagrange mid-value theorem。

高等数学之定积分证明题的问题方法总结
定积分的证明题是考研中必考题型，主要涉及到讨论变限积分所定义的函数的极限、导数、奇偶性、周期性、单调性和求被积函数；讨论定积分或变限积分的不等式，或者定积分、变限积分的零点问题。

需要重点掌握定积分的如下性质：
证明某积分不等式，是考研中经常见到的问题，处理这类问题有三种方法：
（1）将要证的某某>0的一边看成变限函数，用微分学的办法证此不等式（例如单调性，最值，拉格朗日中值定理等），这是考研中经常用到的方法。

（2）利用积分性质，例如积分中值定理，积分变量代换，分部积分等方法，经变形并计算。

例1：
分析：凡是微分中值定理中又涉及积分中值定理的，应首先应用积分中值定理获取一些特定点的函数值信息，再用微分中值定理证明。

证明：
利用积分中值定理证明
例2：
证明：
利用第一种方法证明。

证明积分不等式的几种方法周景芝不等式涉及数量之间大小的比较,而通过比较常能显示出变量变化之间相互制约的关系。

因此,从某种意义上说,不等式的探讨,在数学分析学习中甚至比等式的推演更为重要。

积分不等式反映的是某些积分值之间的关系,其证明也是数学分析证题中的难点,其主要原因是其证法没有固定的程序可循,方法多样,技巧性强。

为此,通过典型的一些例题来熟悉积分不等式证明的不同方法,这样对提高证明能力是有益的。

下面就用三种基本方法来证明积分不等式。

一、根据定积分的定义及连续函数的性质来证明定义定积分的方法是分割、代替、作和、取极限。

对于积分和,我们可以把它看成一个级数的部分和,根据各种平均值之间的大小关系,就可以相应的写出关于级数的不等式,然后通过取极限的办法而得到类似的积分不等式。

例1设f(x)在[a,b]上可积,且f(x)在此区间上有正的下界,则b-a Q b a dxf(x)[e1b-a Q b a lnf(x)dx[1b-aQ b a f(x)dx证明:因分f(x)在[a,b]上可积,且有正的下界,因此,积分Q badxf(x)与Q balnf(x)dx均存在,令f k =f(a+kzn),zn=b-an则可证limn y]1nE nk=1fk=1b-aQ baf(x)dx limn y]11nE nk=11fk=b-aQ badxf(x)limn y]n n11K=1fk=e1b-a Q b a lnf(x)dx因为对于n个正数有:调和平均值[几何平均值[算术平均值,因此nE n k=11fk[n n11k=1fk[1nE nk=1fk当n y+]时,有b-aQ badxf(x)[e1b-a Q b a lnf(x)dx[1b-aQ baf(x)d x由上面的例子可以看出,根据积分不等式的特征,用定积分的定义来解的确很方便,在熟练掌握定积分的概念以及各种平均值之间的关系的基础上,在解题实践中有意识的、自觉的加强这方面的训练。

衡阳师范学院毕业论文（设计）题目：积分不等式的证明及应用所在系：数学与计算科学系专业：数学与应用数学学号：08090233作者姓名：盛军宇指导教师：肖娟2012年4 月27 日积分不等式的证明及应用数学与计算科学系 数学与应用数学专业 学号:08090233 姓名:盛军宇 指导老师:肖娟摘要 本文主要研究了如何利用积分中值定理、辅助函数、以及一些特殊积分不等式等方法证明积分不等式,并通过若干实例总结有关积分不等式的证明方法及规律,讨论了一些特殊积分不等式的应用.关键词 积分不等式；中值定理；函数0. 引言积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.对积分不等式证明方法的介绍,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.目前国内外对该课题的研究比较普遍,主要研究了如何利用微积分相关知识来解决一些比较复杂的积分不等式的证明.积分不等式的常用证法有: 定积分的定义、定积分的性质、泰勒公式、分部积分法、线性变换等.本文主要从以下几个方面讨论和归纳了一系列积分不等式的证明方法:利用积分中值定理来证积分不等式、利用Schwarz 不等式来证积分不等式、利用微分中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式等.1. 积分不等式的证明方法1.1 利用积分第一中值定理证明积分不等式积分第一中值定理(定理1) 若()x f 在][b a ,上连续, 则至少存在一点ζ∈][b a ,,使得()()()a b f dx x f b a-=⎰ζ.积分第一中值定理在证明积分不等式中有着举足轻重的作用. 例1 设()x f 在][1,0上可微,而且对于任意)(1,0∈x ,有()M x f ≤'||, 求证:对任意正整数n 有()nMn i f n dx x f n i ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑⎰=111,其中M 是一个与x 无关的常数. 分析 由于目标式中一个式子为∑=⎪⎭⎫⎝⎛n i n i f n 11,另一个式子为()dx x f ⎰10,故把()dx x f ⎰10按区间可加性写成一些定积分的和,并应用积分第一中值定理加以证明.证 由定积分的性质及积分中值定理,有()()⎰∑⎰=-=111ni n ini dx x f dx x f ()∑==ni i n f 11ζ,⎢⎣⎡⎥⎦⎤-∈n i n i i ,1ζ,.,,2,1n i =又因为()x f 在][1,0上可微,所以由微分中值定理可知,存在 ⎝⎛⎪⎭⎫∈n i i i ,ζη,使得,()()⎪⎭⎫⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛i i i n i f f n i f ζηζ,.,,2,1n i = 因此()()∑∑⎰∑===⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n i n i i n i n i f n f n n i f n dx x f 1111111ζ()()()nM n M n n i f n f n i f n f n i f n n i i n i i n i i n i i =≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-'=-⎪⎭⎫⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑∑∑====111111111ζηζζ.在抽象函数()x f 的积分不等式中,若出现和号∑、幂函数、对数函数等,一般可以利用定积分的定义或区间可加性,将区间][b a ,n 等分,点i ζ也可采用特殊的取法. 1.2 利用拉格朗日中值定理证明积分不等式拉格朗日中值定理(定理2) 若函数f 满足如下条件:()i f 在][b a ,上连续；()ii f 在)(b a ,内可导, 则在)(b a ,内至少存在一点ζ,使得()()()ab a f b f f --='ζ. 利用拉格朗日中值定理的关键是根据题意选取适当的函数()f x 和区间[],a b ,使它们满足拉格朗日定理条件,然后运用拉格朗日公式或等价形式来运算得出所要的结论.例2 设()x f '在][b a ,上连续.证明:若()a f =()b f 0=,则()⎰badx x f ≤()M a b 42-,][()x f Max Mb a x '=∈,.分析 由条件()a f =()b f 0=,及()x f '与()x f ,故想到利用拉格朗日中值定理.证 由拉格朗日中值定理得: 对任意的∈x ⎢⎣⎡⎥⎦⎤+2,b a a , ()()()a f x f x f -=()()x a a x f <<-=11,ζζ.对任意的∈x ⎢⎣⎡⎥⎦⎤+b b a ,2,()()()b f x f x f -=()()b x b x f <<-=22,ζζ.()()()()⎢⎣⎡⎥⎦⎤+∈-≤⎢⎣⎡⎥⎦⎤+∈-≤⇒b b a x x b M x f b a a x a x M x f ,2,,2,,, 故()()()⎰⎰⎰+++=b b a b a ab adx x f dx x f dx x f 22()()⎰⎰+++≤bb a b a adx x f dx x f 22()()⎰⎰++-+-≤bb a b a adxx b M dx a x M 22()M a b 42-=.注意到M 是()x f '在][b a ,上的最大值,所以解题的关键是如何使()x f 与()x f '联系起来,因而不难想到拉格朗日中值定理来证明.1.3 构造变上限函数证明积分不等式作辅助函数,将结论的积分上限或下限换成x ,式中相同的字母也换成x ,移项,使得不等式的一端为零,则另一端为所作的辅助函数,这种方法在证明一些特定类型积分不等式时有重要作用.例3 设函数()x f 在][1,0上连续,证明不等式()()⎰⎰≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡102210dx x f dx x f .分析 此例若令()()()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xxdt t fdt t f x F 0220,则()x F '的正负不易判断,需进一步的改进.证 由待证的积分不等式构造变上限定积分的辅助函数,令()()()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xx dt t fx dt t f x F 0220显然,()00=F ,且()x F 可导,有()()x f x F 2='()dt t f x⎰0()()t xf dt t fx202--⎰()()[]⎰≤--=xdt t f x f 020,则()x F 在0≥x 时单调减小,即有()()0,00≥=≤x F x F ,特别地,(),01≤F 即证得不等式()()⎰⎰≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡102210dx x f dx x f .例4 设函数()x f 在][1,0上可微,且当)(1,0∈x 时,()10<'<x f ,()00=f ,试证 ()()⎰⎰>⎥⎦⎤⎢⎣⎡103210dx x f dx x f .证 问题在于证明()()0103210>-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰dx x f dx x f , 令()()()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xx dt t f dt t f x F 0320,因为()00=F ,()()()()()()(){}x fdt t f x f x f dt t f x f x F xx23022-=='⎰-⎰,已知()00=f ,()10<'<x f ,故当)(1,0∈x 时,()0>x f , 记()=x g ()()x fdt t f x22-⎰,则()00=g ,()()()()x f x f x f x g '-='22=()()[]012>'-x f x f ,)(1,0∈x , 于是()=x g ()()>-⎰x fdt t f x 22()00=g ,)(1,0∈x ,故(),0>'x F )(1,0∈x ,所以()()001=>F F ,即()()⎰⎰>⎥⎦⎤⎢⎣⎡103210dx x f dx x f .通过上述两例,我们知道了构造变上限函数证明积分不等式,遇到特殊情况,不能按常规直接作辅助函数需要稍微变化一下,有时甚至要在一个题中构造两个辅助函数,以便判断所作函数的单调性.1.4 利用二重积分证明积分不等式在积分不等式的证明中利用定积分与积分变量形式无关的这一性质,将定积分的平方项或者定积分之间的乘积转化为积分变量形式不同的定积分之积,把定积分化为二重积分,可以达到有效的作用.例5 若函数()x f ,()x p ,()x g 在][b a ,上连续,()x p 是正值函数,()x f ,()x g 是单调增加函数,则()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰≤babababadx x g x f x p dx x p dx x g x p dx x f x p .该不等式称为切贝谢夫不等式.分析 只要证()()()()()()()()0≥-=∆⎰⎰⎰⎰babababadx x g x p dx x f x p dx x g x f x p dx x p即可,而上述式子又可视为累次积分,从而化为二重积分.证 因定积分的值与积分变量无关,故()()⎰⎰=babady y p dx x p ,()()()()⎰⎰=babady y g y p dx x g x p .()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰-=∆babababady y g y p dx x f x p dx x g x f x p dy y p()()()()()()()()[]dxdy y g x f y p x p x g x f x p y p D⎰⎰-=()()()()()[]dxdy y g x g x f y p x p D⎰⎰-= ()1其中,积分区域()b y a b x a D ≤≤≤≤;.因为定积分与积分变量的形式无关, 所以交换x 与y 的位置,得到()()()()()[]dxdy x g y g y f x p y p D⎰⎰-=∆ ()2将()1式与()2式相加,得()()()()[]()()[]dxdy y g x g y f x f y p x p D--=∆⎰⎰21,由已知, 可知()x p 是正值函数,()x f ,()x g 是单调增加函数,从而()()[]y f x f -与()()[]y g x g -同号, 于是在D 上()()y p x p ()()[]y f x f -()()[]y g x g -0≥,从而,0≥∆. 即()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰≤babababadx x g x f x p dx x p dx x g x p dx x f x p .例6 若函数()x f 在][1,0上不恒为零且连续增加,则()()()()⎰⎰⎰⎰≤1210312103dxx xf dxx xf dxx fdx x f . 证 由于在][1,0上,结论式中的分母均为正值,所以结论等价于()()⎰⎰-=∆101032dx x xf dx x f()()0102103≥⎰⎰dx x xf dx x f ,而 ()()⎰⎰-=∆11032dx x xf dx x f()()⎰⎰102103dx x xf dx x f()()()()dxdy y xf x f dxdy y yf x f DD⎰⎰⎰⎰-=3232()()()dxdy x y y f x f D⎰⎰-=32 ()3其中,积分区域()10;10≤≤≤≤y x D 因定积分的值与积分变量的形式无关,故又有()()()dxdy y x x f y f D⎰⎰-=∆32 ()4将()3式与()4式相加,得()()()()()[]dxdy y f x f x f y f y x D--=∆⎰⎰2221,由已知,函数()x f 在][1,0上连续增加,从而对任意的][1,0,∈y x ,有()()()()()[]022≥--y f x f x f y f y x ,故()()()()⎰⎰⎰⎰≤1213102103dx x xf dx x xf dx x f dx x f. 从以上的积分不等式证明中,可知把定积分化为重积分能巧妙地解决一些积分不等式的证明问题.1.5 借助于判别式来证明积分不等式引入适当的参数,构造合适的函数,讨论参数的判别式,以便证明所求证的积分不等式.例7 设()0>x f ,且在][b a ,上连续,试证()()()2a b x f dx dx x f bab a-≥⎰⎰. 分析 可构造多项式,利用多项式的性质来证明积分不等式. 证 由题设对任意的λ,考察函数()()x f x f λ+,因为()()02≥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+x f x f λ,有 ()()022≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎰dx x f x f ba λλ,即()()022≥++⎰⎰⎰dx x f dx x f dx b a b a b a λλ, 不等式的左端可以看成λ的二次三项式,且对任意的λ上述不等式均成立, 故判别式()()()0422≤-⎰=∆⎰⎰b abab adx x f x f dx dx ,即()()()2a b x f dx dx x f b a b a -≥⎰⎰. 用判别式解题的关键是要有一个函数值恒定（大于或小于零、大于或等于零、小于或等于零）的一元二次方程()x g ,而()02≥x g ,于是我们构造()02≥⎰dx x g ba这样一个方程,再结合这种情况下的判别式也是一个不等式,便可证明此题. 1.6 利用对称性证明积分不等式命题1 当积分区域关于直线x y =对称时,被积函数的两个变量交换位置后,二重积分的值不变.这一条规律有助于解决一些特定类型的积分不等式的证明. 例8 函数()x f 在][b a ,上取正值且()x f 在][b a ,上连续试证:()()()2a b dxdy y f x f h-≥⎰⎰,][b a b a h ,;,=.证 因为][b a b a h ,;,=关于直线x y =对称,从而()()()()dxdy x f y f dxdy y f x f I hh⎰⎰⎰⎰==,所以()()dxdy y f x f I h⎰⎰=()()()()dxdy x f y f y f x f h ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=21()21a b dxdy h-=≥⎰⎰. 由上例可知,在积分不等式的证明过程中,我们可以应用基本不等式,它可能起到重要作用.1.7 利用积分第二中值定理的推论证明积分不等式积分第二中值定理的推论:设函数f 在][b a ,上可积.若g 为单调函数,则存在][b a ,∈ζ,使得()()()()()()dx x f b g dx x f a g dx x g x f ba ba ⎰⎰⎰+=ζζ.应用这个推论可以较容易地解决某些恒等式与某些不等式的证明.例9 设函数()x f 在][b a ,上单调递增连续,则()()dx x f b a dx x xf ba b a ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥2. 证 假设函数()2ba x x g +-=,显然()x g 在][b a ,上可积,又函数()x f 在][b a ,上递增连续,根据积分第二中值定理的推论知存在][b a ,∈ζ,使得()()()()()()dx x g b f dx x g a f dx x g x f baba⎰⎰⎰+=ζζ()*且()*式又可变为()()()()[]()()dx x g b f dx x g a f dx x g x f ba ba ⎰⎰⎰+--=ζζ.由定积分的几何意义知()()[]dx x g dx x g ba⎰⎰-=ζζ,][b a ,∈ζ,同时,()()b f a f ≤,于是,()()()()[]()0≥-=⎰⎰dx x g a f b f dx x g x f bbaζ,即()02≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎰dx x f b a x ba ,故()()dx x fb a dx x xf ba b a ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥2. 2. 一些特殊积分不等式的应用2.1 Chebyshew 不等式及其应用Chebyshew 不等式 设()()x g x f ,同为单调递减或当调递增函数,则有()()()()()⎰⎰⎰-≤⋅bab abadx x g x f a b dx x g dx x f .若()()x g x f ,中一个是增函数,另一个为减函数,则不等式变为()()()()()⎰⎰⎰-≥⋅bab ab adx x g x f a b dx x g dx x f .Chebyshew 不等式有广泛应用,特别在证明一类积分不等式中发挥重要作用.例10 设()x g 是][1,1-上的下凸函数,()x f 为][1,1-上的偶函数且在][1,0上递增,则,()()()()⎰⎰⎰---≤1111112dx x g x f dx x g dx x f .分析 从所证的不等式看,它有点类似于Chebyshew 不等式,如果能够构造出一个单调函数满足Chebyshew 不等式的条件,问题就容易解决了,为此构造辅助函数,令()()()x g x g x -+=ϕ.证 令()()()x g x g x -+=ϕ,显然()x ϕ也为][1,1-上的偶函数,由于()x g 是][1,1-上的下凸函数,故当1021≤≤≤x x ,()()()()()21212121x x x g x g x x x g x g --≤------, 即()()()()1221x g x g x g x g -≤---,即()()21x x ϕϕ≤,所以()x f ,()x ϕ在][1,0上为增函数, 由Chebyshew 不等式知,()()()()dx x x f dx x dx x f ⎰⎰⎰≤1101ϕϕ()()()()dx x x f dx x dx x f ⎰⎰⎰---≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔11111122121ϕϕ,可得()()()()⎰⎰⎰---≤1111112dx x g x f dx x g dx x f .2.2 利用Schwarz 不等式证明积分不等式Schwarz 不等式 若()()x g x f ,在][b a ,上可积,则()()()()()dx x g x fdxx g x f bab a222⎰≤⎰.Schwarz 不等式是一个形式简单,使用方便的积分不等式,在证明某些含有乘积及平方项的积分不等式时颇为有效.例11 已知()0≥x f ,在][b a ,上连续,()1=⎰b adx x f , k 为任意实数,求证:()()()()1sin cos 22≤⎰+⎰dx kx x f dx kx x f ba b a ()5证 ()5式左端第一项应用Schwarz 不等式得()()()()()[]22cos cos dx kx x f x f dx kx x f ba b a⎰=⎰()()dx kx x f dx x f baba⎰⎰⋅≤2cos ()dx kx x f ba⎰=2cos ()6同理()()()dx kx x f dxkx x f bab a⎰≤⎰22sin sin ()7()()()式即得576+.此题证明的关键在将()x f 写成()()x f x f ⋅的形式,以便应用Schwarz 不等式.2.3 Jensen 不等式定理3 设()x f 在][b a ,上连续,且()M x f m ≤≤,又()t ϕ是][M m ,上的连续凸函数（指下凸函数）,则有积分不等式()()()⎰⎰-≤⎪⎭⎫⎝⎛-b a b a dx x f a b dx x f a b ϕϕ11 ()8 注 若()t ϕ是][M m ,上的连续凹函数,则()8式中的不等式号反向.定理4 设()()x p x f ,在][b a ,上连续,且()M x f m ≤≤,()()b x a x p ≤≤>0,()t ϕ是][M m ,上的连续凸函数,则有()()()()()()()⎰⎰⎰⎰≤⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛b ababa b adxx p dx x f x p dx x p dx x f x p ϕϕ ()9注 当()t ϕ是][M m ,上的连续凹函数时,()9式中的不等号反向. 例12 设()x f 在][b a ,上连续,且()0>x f ,则对任意的自然数n ,有()()⎰⎰-≥⎪⎭⎫⎝⎛-b ab a dx x f n ab dx x f a b n ln 11ln .证 令()t n t ln =ϕ,那么()t n t 1='ϕ,()012<-=''tn t ϕ,故()t ϕ为凹函数,显然()x f 在()t ϕ的定义域内有意义,故由定理3知,结论成立.例13 设()()x p x f ,是][b a ,上的正值连续函数,则对任意的自然数n ,有()()()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤⎰⎰⎰⎰b a b a babadx x p dx x f x p n dxx p dxx f x np ln ln .证 令()t n t ln =ϕ由上例知()t ϕ为凹函数,故由定理4知结论成立. 2.4 Young 不等式的应用Young 不等式 设()x f 是单调递增的,连续于][a ,0上,()00=f ,0,≥b a ,()x f 1-表示()x f 的反函数,则()()dy y fdx x f ab ab⎰⎰-+≤01,其中等号成立当且仅当()b a f =.Young 不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解.例14 证明:1,≥b a 时,不等式b b e ab a ln 1+≤-成立. 证 设()1-=x e x f ,则()x f 单调并连续,()()y y f +=-1ln 1,因为1,≥b a ,由Young 不等式有,()()()()⎰⎰----+--+=+≤--11111ln 11a b a b a b b e dy y fdx x f b a ,故b b e ab a ln 1+≤-. 2.5 Steffensen 不等式Steffensen 不等式 设在区间][b a ,上,()x g 1 ,()x g 2连续,()x f 一阶可导,任给][b a x ,∈,成立不等式()()dt t g dt t g xaxa⎰⎰≤21,且()()dx x g dx x g baba⎰⎰=21.若()x f 在][b a ,上单调递减,则()()()()dx x g x f dx x g x f b aba21⎰⎰≤;若()x f 在上单调递增上述不等式变号.例15 证明dx x x dx x x ⎰⎰+≤+2022021cos 1sin ππ. 证 对任意的∈x ⎢⎣⎡⎥⎦⎤2,0π,因为x x sin 1cos ≤+-,所以有⎰⎰≤x x tdt tdt 00cos sin ;此外,显然有1cos sin 2020==⎰⎰ππxdx xdx 且函数211x +在⎢⎣⎡⎥⎦⎤2,0π上单调递减,从而根据Steffensen 不等式,知dx x x dx x x ⎰⎰+≤+2022021cos 1sin ππ. 结论总之,以上讨论的积分不等式的主要证明方法都离不开积分的性质,主要是通过函数的可微性和函数的可积性,利用二重积分、拉格朗日中值定理和积分中值定理来证积分不等式；以及巧妙的利用Schwarz 不等式和Jensen 不等式等,在实际应用中需要结合各方面灵活使用题中条件或不等式,才会使问题得以正确解决.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001:223.[2]宋海涛.几个定积分不等式的证明[J].高等数学研究,2003,6(4):34-35. [3]陈兴荣,杜家安.关于积分不等式的证明[J].工科数学,1993,9(2):77.[4]孙清华,孙昊.数学分析内容、方法与技巧（上）[M].武汉:华中科技大学出版社,2003. [5]张瑞.定积分不等式证明方法的研究[J].内江科技,2001,(5):102. [6]丰刚.几个积分不等式及其应用[J].牡丹江大学报,2010,19(7):88-89.[7]刘玉记.再谈Young ’s 不等式的证明[J].齐齐哈尔师范高等专科学校学报,2009,(4):108. [8]舒阳春.高等数学中的若干问题解析[M].北京:科学出版社,2005:108-109. [9]杨和稳.积分不等式证明技巧解析[J].高等数学研究,2009,12(6):38.[10]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993.The proof and application of integral inequalityDepartment of Mathematics and Computational Science Mathematics and Application Mathematics specialty Number:08090233 Name:ShengJunyu Instructor:XiaoJuanAbstract: This paper studied to use the integral mean value theorem、the auxiliary function、some special integral inequality and other methods to prove integral inequality, and summarized some examples about proof methods and rules of integral inequality, and discussed the application of some special integral inequality.Key word: integral inequality; theorem of mean; function。

拉格朗日中值定理是数学分析中的一种重要定理，它是利用微积分知识对函数在给定区间内的性质进行分析的基本工具之一。

本文将结合定积分不等式，对拉格朗日中值定理进行证明，以展示数学证明题的逻辑推理和技巧运用。

一、拉格朗日中值定理的数学表述1. 拉格朗日中值定理是微分学中最基本的定理之一，它描述了函数在区间内的平均变化率与函数在该区间内某一点的导数之间的关系。

2. 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可微分，那么存在c∈(a,b)，使得一条过点(a,f(a))和点(b,f(b))的直线与曲线y=f(x)在点(c,f(c))处相切。

3. 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可微，则存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ) = (f(b) - f(a))/(b - a)4. 这个定理说明了在一定条件下，函数在一个闭区间内取得了某个值，那么在开区间内一定存在一个点，函数的导数在这个点上的值等于函数在这个闭区间上的平均变化率。

也就是说，导数会在某个点上取得平均变化率的值。

二、定积分不等式在数学证明中的作用1. 定积分不等式是微积分中常用的一种工具，它可以用于对函数在一定区间内的性质进行分析，并给出关于函数值大小的估计。

2. 定积分不等式可以帮助我们证明定理和推论，尤其在函数极值、函数单调性等问题的证明中，经常会运用到定积分不等式。

3. 特别是在利用定积分不等式证明拉格朗日中值定理时，定积分不等式可以提供关于函数平均值的估计，从而辅助完成证明过程。

三、基于定积分不等式的拉格朗日中值定理证明1. 我们考虑将函数f(x)在闭区间[a,b]上的平均值与定积分通联起来。

根据定积分的定义，可得（1）∫[a,b] f(x) dx = (b-a) * (f(ξ))其中，ξ∈[a,b]。

2. 又根据拉格朗日中值定理的表述，存在ξ∈(a,b)，使得（2）f'(ξ) = (f(b) - f(a))/(b - a)3. 将（1）（2）式相结合，得到（3）f(ξ) = f(a) + (ξ - a) * f'(c)4. 将（3）式代入（1）式，得到（4）∫[a,b] f(x) dx = (b - a) * f(a) + (b - a) * (ξ - a) * f'(c)5. 对（4）式进行变形和化简，得到（5）∫[a,b] f(x) dx - (b - a) * f(a) = (b - a) * (ξ - a) * f'(c)6. 由（5）式可知，定积分∫[a,b] f(x) dx 与函数导数f'(c) 和区间长度(b - a) 相关，从而得到关于平均值与导数之间的关系的表达式。

定积分证明题方法总结（精选5篇）定积分证明题方法总结篇11、原函数存在定理●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。

●分部积分法如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。

如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。

2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。

定积分1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。

●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。

3、定积分的若干重要性质●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。

●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的'最大值和最小值，则m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

●性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立：∫abf(x)dx=f(b-a)。

4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a定积分的应用1、求平面图形的面积(曲线围成的面积)●直角坐标系下(含参数与不含参数)●极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2)●旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程)●平行截面面积为已知的立体体积(V=∫ab A(x)dx,其中A(x)为截面面积)●功、水压力、引力●函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)定积分证明题方法总结篇2一、不定积分计算方法1. 凑微分法2. 裂项法3. 变量代换法1) 三角代换2) 根幂代换3) 倒代换4. 配方后积分5. 有理化6. 和差化积法7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）8. 降幂法二、定积分的计算方法1. 利用函数奇偶性2. 利用函数周期性3. 参考不定积分计算方法三、定积分与极限1. 积和式极限2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限3. 洛必达法则4. 等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用1. 不计算积分，比较积分值的大小1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),则 >= dx2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)b) 当0<x<兀/2时，2/兀<<12. 估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则M(b-a)<= <=M(b-a)3. 具体函数的定积分不等式证法1) 积分估值定理2) 放缩法3) 柯西积分不等式≤ %4. 抽象函数的定积分不等式的证法1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性2) 积分中值定理3) 常数变易法4) 利用泰勒公式展开法五、变限积分的导数方法定积分证明题方法总结篇3《复变函数与积分变换》是电气技术、自动化及信号处理等工科专业的重要基础课，也是重要的工具性课程。