实验矩阵的秩与向量组的极大无关组

格式：doc
大小：119.50 KB
文档页数：6

下载文档原格式

第四节向量组的秩和矩阵的秩

2 1 0 α1 −3 1 α 0 −4 1α2 −2α1 0 −4 0α3 0 0 0α4 −α3 +α2 +α1
由最后的阶梯形矩阵，得r (A)=3。因此向量组 α1,α2 ,α3,α4 的秩也是3。
由阶梯形矩阵的最后一行，得 α4 −α3 +α2 +α1 = 0 由此可知
α4 = −α1 −α2 +α3
r( A+ B) ≤ r( A) + r(B)
证设矩阵 A, B的列向量组分别为 α1,α2 ,⋯,αn和 1, β2 ,⋯, βn， β 则要证
A+ B = (α1 + β1,α2 + β2 ,⋯,αn + βn ) r( A+ B) ≤ r( A) + r(B)
例2 设向量组 a = (1,0,0), a = (0,1,0), a = (0,0,1). 1 2 3 不难看出，部分组a1, a 2是线性无关的，且 a1, a 2 , a3中的任一向量都可以由此部分组线性表示：
a1 = a1 + 0ia 2 , a 2 = 0ia1 + a 2 , a3 = a1 + a 2
向量用此极大无关组线性表示。
解把向量 α1,α2 ,α3,α4看作一个矩阵的行向量组，得矩阵
1 −1 2 −2 A= 3 0 0 3
2 1 0 α1 4 −2 0α2 6 −1 1α3 0 0 1α4
对A仅施以初等行变换，并在矩阵右侧标注所作的变换，把A化为阶梯形矩阵：
所以部分组a1, a 2是向量组a1, a 2 , a3的一个极大无关组。例3 设向量组 a1, a 2 ,⋯, a s线性无关，其极大无关组就是自身。如果一个向量组仅含零向量，则该向量组不存在极大无关组。

线性代数 3-6 第3章6讲-极大线性无关组和秩(2)

0 0
1 0
1 0
1 4
0
B
4
(3) 将其余向量用该极大无关组线性表示.
0 0 0 0
0
化为梯形阵后每个阶梯选一个向量得一个极大无关组：1,2,5 ；
(3) 把矩阵B继续作初等行变换：
1 0 3 2 1 1 0 3 2 1 1 0 3 1 0
B 0 1 1 1
0
0
1
1
1
0 0
1
1
1
0
0 0 0 4 4 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1
所以向量组1，
，
2
， n 与向量组e1，e2，
，en等价.
5
本讲内容
01 极大线性无关组和向量组的秩 02 向量组的秩和矩阵的秩的关系
二、向量组的秩和矩阵的秩的关系
定理3.7 设A是一个m n矩阵，则A 的秩等于A 的行秩，也等于A 的列秩.
记1，
，
2
， n
是A
的列向量组 (m
维)，1，2，
，m是A
的行向量组 (n
维)，
则
r( A)
r
(1，
，
2
，n )
r
(1，
，
2
，m ).
7
二、向量组的秩和矩阵的秩的关系
例3 求向量组的秩与极大无关组：
1 (1,1, 4)T ,2 (1, 0, 4)T ,3 (1, 2, 4)T ,4 (1,3, 4)T .
1 1 1 1 1 1 1 1
解
A 1,2,3,4 1 0 2 3 0 1 1 2
b11
b1s
AB (1, 2,, s )=(1,2,, Nhomakorabean

3.3 向量组的极大无关组与秩

矩阵 C的列向量组能由 A的列向量组线性表示，
因此r ( C ) r ( A). 又因为 C T B T AT ,由上段证明知 r ( C T ) r ( B T ), 25 即r ( C ) r ( B).
练习
1.求下列向量组的秩:
T T (1) 1 (2, 1, 1) , 2 (5, 4, 2, ) , 3 (3, 6, 0) T T ( 3 , 1 , 0 , 2 ) ( 1 , 1 , 2 , 1 ) (2) 1 , , 2 3 (1, 3, 4, 4) T .
20
得
1 1 3 2 , 2 1 2 .
1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 2 2 3 1 1 2 2 , 0 0 0 0 0 0
2 0 1 1 而 ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 3 1 3 1
9
定理3.10
若向量组A可由向量组B线性表示，则
r(A) ≤ r(B)。推论若向量组A与向量组B等价，则 r(A) = r(B)。
10
回顾
α1 α2
αm
矩阵A既对应一个行向量组,又对应一个列向量组: 其中 i ( a i 1 , a i 2 , , a in ), i 1, , m a1 j 1 a2 j 2 j 1, 2, , n
28
23
则r 1 1 , 2 2 , , n n r t r ( A) r ( B) r ( A B) r ( A) r ( B)
r i 1 , i 2 , ir , j 1 , j 2 , jt

第四章-向量组与矩阵的秩

…,
e n 线性无关. 证毕.
例4
维向量组必定线性相关. 含有零向量的 n 维向量组必定线性相关
证若向量组 a1, a2, …, as 含有零向量，不妨设 a1= 0，则有 1⋅a1+0⋅a2+ …+ 0⋅as = 0,
其系数不全为0，按定义此向量组线性相关。证毕。
定理2 定理2 当 s ≥2 时，向量组 a1, a2, …, as 线性相关的充要条件是其中至少充要条件是其中至少有一个向量能由其余向量线性是其中至少有一个向量能由其余向量线性表2+ …+xn an = b,
⇒
定理 1 对于方程组Ax=b，，对于方程组 (1) Ax=b有解有解性表示；性表示向量b能由向量组向量能由向量组a1, a2, …,an 线能由向量组
(2) Ax=b有唯一解向量能由向量组 1, a2, …,an 能由向量组a 有唯一解向量b能由向量组并且表示方法唯一. 并且表示方法唯一线性表，线性表，
关高( 亦无关；相关矮( 亦相关. 矮(短)无关高(长)亦无关；高(长)相关矮(短)亦相关.
例6 证明：对于矩阵满足B=PA, 如果的列如果A的列证明：对于矩阵A, B, P满足满足向量组线性相关，的列向量组也线性相关。向量组线性相关，则B的列向量组也线性相关。的列向量组也线性相关证由已知，方程Ax=0有非零解，设u为其一个非零解，则有Au=0. 则Bu=PAu=0, 则u也是Bx=0的非零解，从而u也是Bx=0的一个非零解，因此B的列向量组线性相关。证毕。
推论5 推论5 向量组a 线性无关，向量b不能由不能由a 向量组 1,…ar 线性无关，向量不能由 1,…ar 线性表示，则向量组a 线性无关。线性表示，则向量组 1,…ar , b线性无关。线性无关

数学实验在线性代数教学中的应用——以极大线性无关组为例

数学实验在线性代数教学中的应用——以极大线性无关组为例摘要：线性代数内容的高度抽象性以及计算过程繁复性，是学生学习过程中的一大难点。

本文基于案例教学法，以极大线性无关组为例，将数学实验应用于实际问题的求解中。

加深学生对知识点的理解，提高学生动手能力和解决问题的能力。

关键词：线性代数；数学实验；案例教学法一、数学实验数学实验是借助与MATLAB编程语言，快速实现自高等数学、线性代数和概率统计课程中数学方法与数学模型的应用实践探索。

随着计算机技术的飞速发展，数学的应用日益广泛，利用 MATLAB软件为实验平台，借助其强大的直观呈现功能，实现传统的数学理论内容与程序实验内容交错进行。

MATLAB软件包含大量计算算法。

其拥有600多个工程中要用到的数学运算函数，可以方便的实现用户所需的各种计算功能。

通过程序计算，一方面能够加深学生对线性方程组的求解、向量空间以及矩阵相关概念、性质的理解；另一方面在摆脱耗时枯燥的计算的同时也保证了计算结果的正确性和可靠性，提升学生的学习效率和学习兴趣。

二、线性代数课程概述及现状随着科技的迅猛发展，社会对于高校毕业生的综合要求也越来越高，要具备更高的专业素养、综合能力以及创新能力，达到复合型、应用型人才的要求。

线性代数课程是线性代数是高等学校理、工、经管类等多个专业的公共基础课，为现代社会诸多领域提供必备的数学分析工具，是本科阶段教学的重要必修课之一。

线性代数的研究对象多为离散量，如向量、向量空间、线性方程组、矩阵等，具有高度的抽象性、计算的复杂性以及广泛的应用性。

在线性代数的教材中，定义定理较多，涉及到计算的方面，方法虽易掌握，但计算量大、容易出错，定理证明较为抽象，学生理解起来难度比较大。

[2]这就要求教师在实际的线性代数授课过程中，要改进教学理念及教学方式，借助有实际背景的案例，在提高学生理解的基础上，结合计算机程序，使用MATLAB等数学软件求解线性代数问题，提高学生的分析问题、科学计算能力及理论与实践相结合的能力。

极大无关组与向量组的秩

提示: 极大无关组不唯一，但是所含向量的个数都相等
线性代数
16
例3 设矩阵 2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9
求矩阵A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示 .
0 1 0
即得
a 3 a1 a 2 , a5 4a1 3a 2 3a4
线性代数
20
练习：义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V 非空，且集合V对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合 V 为向量空间．
说明 1．集合V 对于加法及数乘两种运算封闭指
知R(a1 , a2 , a4 ) 3，故a1 , a2 , a4线性无关
要把a3 , a5用a1 , a2 , a4线性表示，必须将 A再变成行最简形矩阵.
线性代数
19
A
初等行变换
~
1 0 0 0
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
验证a1 , a 2 , a 3 , 是R 3的一个基，并把 b1 , b2用这个基线性表示.
线性代数
27
解要证a1 , a2 , a3是R 的一个基，只要证 a1 , a2 , a3 线性无关，即只要证 A ~ E.
设
即 x11 (b1 , b2 ) (a1 , a 2 , a 3 ) x 21 x 31 记作B AX .
k1 k n 0时, 才有 k1 1 k 2 2 k n n 0 成立 .
线性代数
8
2. 对于任一向量组, 不是线性无关就是线性相关 .

矩阵的秩及向量组的极大无关组求法

位于k行k列交叉位置上的k2个元素，按原有的次序组成的k阶行列
式，称为A的k阶子式. 如矩阵
1 A 1
1 1
0 2
2 1
0 0 3 2
第1,3行及第2,4列交叉位置上的元素组成的一个二阶子式为
12
三阶子式共有4个
02
1 10
1 12
102 1 02
1 1 2 1 1 1
1 2 1 1 2 1
0 4 4
0 4 4
3 0 6
0 3 3
3 21 2 3 2 1 2
《线性代数》
返回
下页
结束
矩阵A2
矩阵A3
矩阵B
1 0
1 4
1 (1/ 4)r2 1
4
0
1 1
1 1
r3 3r2
1 0
1 1
1 1
r1 r2 1
0
0 1
2 1
0 3 3
0 3 3
0 0 0
0 0 0
二、单选题
１．设A是n阶方阵且|A|＝0，则（）． 1) A中必有两行（列）元素对应成比例． 2) A中至少有一行（列）的元素全为0 ． 3) A中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合． 4) A中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合．
《线性代数》
返回
下页
结束
2．设n阶矩阵A的秩为r，则结论（）成立. ①|A| ≠0; ② |A| ＝0; ③ r>n; ④ r≤n.
00
c1n
c2n
crn
0
0
结论：行阶梯形矩阵Br的非零行的个数，即为矩阵A的秩.
《线性代数》
返回

向量组的秩与矩阵秩的关系

向量组1
a12
a22
a1n a2n
am1 am2 amn
A的列向量组为1,2 ,,n ； A的行向量组为 1T , 2T ,, mT.
➢ 称A的列向量组的秩为A的列秩;
➢ 称A的行向量组的秩为A的行秩.
向量组的秩与矩阵秩的关系
设矩阵A
1 0
1 1
1 2
，试确定矩阵的秩，行秩，列秩.
0 0 0
➢ 矩阵A的秩为 2；
➢ A的行向量组为：1T 1 1 1, 2T 0 1 2, 3T 0 0 0.
➢
1T
,
T 2
是
A 的行向量组的一个极大无关组，A 的行秩是2.
向量组的秩与矩阵秩的关系
1
1
1
A的列向量组为 1 0,2 1,3 2.
感谢观赏
小学教育专业群教学资源库
向量组的秩与矩阵秩的关系
Lorem Ipsum is simply dummy text of the printing and typesetting industry
01
向量组的秩与矩阵秩的关系
向量组的秩与矩阵秩的关系
含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应
Amn 1 2 n
向量组的秩与对应的矩阵的秩具有什么联系？
0
0
0
由于 1，2线性无关，3 22 1 ，故 1，2是A的列向量
组的一个极大无关组，因而A的列秩为2.
在本例中，我们发现矩阵的秩等于其行秩和列秩！这一结论是否具有普遍意义呢？
向量组的秩与矩阵秩的关系
回顾
1 0
0 1
0 0
c11 c21
c1,nr c2,nr
A B 0 0 1 cr1 cr,nr

向量组的极大无关组与秩的定义

复习
向量组的等价
1.定义1: 设有两个 n 维向量组 (I ) : 1,2 ,,r (II ) : 1, 2 ,, s
若向量组（I ）中每个向量都可由向量组（II）线性
表示，则称向量组（I ）可由向量组（II）线性表示；
若向量组（I ）与向量组（II）可以互相线性表示，
则称向量组（I ）与向量组（II）等价。
向量组的极大无关组定义1：设向量组T 的部分向量组1,2 ,,r 满足
(i) 1,2,,r线性无关 (ii) T 中向量均可由1,2,,r线性表示。
或T 中任一向量. ,1,2 ,,r线性相关。则称1,2 ,,r是向量组T 的一个极大线性
无关组，简称极大无关组。
极大无关组的含义有两层：1无关性; 2.极大性。
as1
a12 a22
as2
a1s 1 a2s 2
ass s
a11
K
a21
as1
a12 a22
as2
a1s a2s
ass
证明: 若r(K) s，则1, 2 ,, s线性无关。
r(K) s K可逆 1,2,,s可由1, 2,, s表示 1,2,,s与1, 2,, s等价。
1
2
C
s
12
s
O
O
.
r
O
r r(A) r(C) s.
推论1：若向量组1,2 ,,r可由向量组 1, 2 ,, s 线
性表示，且r >s,则向量组1,2,,r线性相关。
推论2：任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相等。
定理2：一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相等。
若向量组(I )线性无关，且可由向量组(II )线性表

几何与代数-极大无关组_向量组秩与矩阵秩

§4.2.2 向量组的极大线性无关组与秩
一. 定义
如果向量组1, 2, …, s的部分组 i1 , i2 , …, ir
满足以下列条件:
(1) i1 , i2 , …, ir 线性无关;
(2) 1, 2, …, s中任一向量都可由
i1 , i2 , …, ir 线性表示,
则称 i1 , i2 , …, ir 为1, 2, …, s的一个
第四章 n维向量
§4. 2 向量组的线性相关性
我们在谈论一个向量组的线性相关性或其极大无关组或其秩时，没有强调这个向量组是行向量组还是列向量组. 为什么？
1, 2, …, s作为列向量组线性相关
1T, 2T, …, sT 作为行向量组线性相关事实上， k11 + k22 + …+ kss= .
定义4.5 向量组1, 2, …, s中极大无关组
中向量的个数称为这个向量组的秩，记为
秩{1, 2, …, s} 或r{1, 2, …, s}.
注：1. r{1, 2, …, s} ≤ s, 向量i的维数； 2. 向量组1, 2, …, s线性无关 <=> r{1, 2, …, s} = s .
第四章 n维向量
A的列向量组
第四章 n维向量
§4. 2 向量组的线性相关性
§4.2.3 向量组的秩与矩阵的秩
A= …
=
…
A的行向量组
问3：A的列向量组与AT的行向量组有何关系？
A的列向量组
第四章 n维向量
§4. 2 向量组的线性相关性
初等
引理4.1 如果A 行变换 B,则 A 与B的行向量组等价, 从而，A与B的行向量组的秩相等.

3[1].4向量组的极大无关组

1 0 1 0 4
例如：
0
1
1
0
3
B
0 0 0 1 3
0
0
00
0
注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。
0 0 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1
例1 ：对矩阵
A
0
1
1
0
0
1
0 2 2 0 0 1
0
1
1 2 2 2
作行初等变换,使成为行阶梯矩阵.
又等价的向量组有相同的秩，
A 的行秩＝ A2 的行秩，即A的行秩不变。
（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上
1
1
i
i
A
kri
A3
j
j
k i
显然，A3 中的行向量组可以由 A的行向量组线性表示
m
m 而 A的行向量组可以由
A3 中的行向量组线性表示。
所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变，所以矩阵的行秩不变。
0
0
0
1
1
1
r3r2 0 0 0 0 0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
例2：求上三角矩阵的秩
a11 a12 a13 a14 a15
0
a22
a23
a24
a25
A 0
0 0
0 a33 a34 a35 aii 0 i 1, 2, 3
0
0
0
0
0 0 0 0
解：看行秩 1 a11,a12 ,a13 ,a14 ,a15 2 0,a22 ,a23 ,a24 ,a25

§3.4 向量组的最大无关组与秩

2 1 1 1 2
A
(a1
,
a2
,
a3
,
a4
,
a5
)
1 4
1 6
2 2
1 2
4
4
3
6 9
7 9
思考：如何把 a3, a5 表示成a1, a2, a4 的线性组合？
思路1：利用P.83 定理1 的结论
向量 b 能由向量组 A 线性表示
线性方程组 Ax = b 有解
令 A0 = (a1, a2, a4) 求解 A0x = a3
注: 1. 只含零向量的向量组没有最大无关组. 规定它的秩为0.
2. 向量组{1,,m } 线性无关 R(1,,m ) = m . 3. 向量组{1,,m } 线性相关 R(1,,m ) < m .
例：全体 n 维向量构成的向量组记作 Rn，求 Rn 的一个最大无关组及 Rn 的秩．
1 0 L
列向量组的最大无关组具体求法: 将矩阵 A 用
初等行变换化为行阶梯形矩阵 B, 即可找出 B 的最高阶非零子式所在的列, 其对应于A 所在的列向量就是A的列向量组的一个最大无关组.
三、向量组秩的一些结论
§3.2的定理3.6中矩阵的秩均可改为向量组的秩.
定理3.14 向量组 1, 2, , s 能由向量组 1, 2, , m 线性表示的充分必要条件是 R(1, 2, , m ) =R(1, 2, , m, 1, 2, , s) .
0
00
0
于是 Ax = 0 与 Bx = 0 ，即 x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a4 + x5a5 = 0
x1b1 + x2b2 + x3b3 + x4b4 + x5b5 = 0

11向量组的秩与矩阵的秩

的已知条件相矛盾! 的已知条件相矛盾证毕
推论1：推论：若α1, α2, …, αr和β1, β2, …, βs皆线性无关，并且相互等价，则r = s 并且相互等价，定义2. 是一组n维向量定义设A是一组维向量，α1, α2, …, αr是A的是一组维向量，的一个极大线性无关组。为向量组的秩向量组的秩, 一个极大线性无关组。称r为A向量组的秩记为R(A). 记为推论2:若向量组和向量组等价, 推论若向量组A和向量组等价则R(A) = R(B) 若向量组和向量组B等价是向量组A的一个极大线性设证明：证明： α1, α2, …, αr是向量组的一个极大线性无关组；是向量组B的一个极大线性无关组；β1, β2, …, βs是向量组的一个极大线性无关组. 无关组
等价；与等价等价，由于α1, α2, …, αr与A等价； A与B等价，同等价等价，时B与β1, β2, …, βs等价，所以α1, α2, …, αr与β1, 与
β2, …, βs等价
故r = s，即R(A)=R(B) ，证毕
二.寻找极大线性无关组的方法寻找极大线性无关组的方法
2 2 1 2
2 1 2 1 1 2 1 0 0 3 2 2 1 0 3 2 → → 0 0 0 6 2 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0
0
2 2 1 3 1 0 0
1 0 1 0 2 0 1 2 0 1 记 β1 = , β 2 = , β 3 = , β 4 = , β 5 = 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
依据定理3得知：依据定理得知：得知 Pβ1, Pβ2, …, Pβr线性无关，并且在中任意线性无关，并且在A中任意向量组P 选取一个向量βj，向量组 β1, Pβ2, …, Pβr, Pβj皆是线性相关的。是线性相关的。从而P 是向量组B的极大线性从而 β1, Pβ2, …, Pβr是向量组的极大线性无关组. 无关组也就是说：矩阵的初等行变换不改变矩阵也就是说：的列秩. 类似可证：矩阵的初等列变换也不改的列秩类似可证：变矩阵的行秩. 变矩阵的行秩综上所述，综上所述，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩和列秩. 行秩和列秩证毕

4.3 向量组的极大无关组与向量组的秩

1 1 2 一次行 B = 2 A= ① r r ③ kr ② k r i j i m m
则显然有
1, 2 ,, m 1 , 2 ,, m
行秩(A)=行秩(B)。
所以，初等行变换不改变矩阵的行秩与列秩。类似有：定理2.12 初等列变换不改变矩阵的行秩与列秩。
定理4 初等列变换不改变矩阵的行秩与列秩。定理5 初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。定理6
① 将向量组以列向量构成矩阵
② 对矩阵A 施以初等行变换化为行最简形矩阵;
A = (1, 2 ,, s ) ;
行

A = (1, 2 ,, s ) B = ( 1, 2 ,, s )
③ 所得矩阵的列向量组中基本单位向量对应位置的向量即为所求极大无关组，即
1, 2 ,, s 的极大无关组对应
2 n ) 则称向量组 1, 2 ,, m 为矩阵A的行向量组；
则称向量组 1, 2 ,, n 为矩阵A的列向量组。
1．矩阵的行秩与列秩定义2 矩阵A的行向量组的秩，称为A的行秩，记为行秩A); 矩阵A的列向量组的秩，称为A的列秩，记为列秩A)。例如，矩阵
r ( A) = 2 ,
推论3 向量组中任两个极大无关组等价。【由等价的传递性】推论4 向量组的极大线性无关组所含向量的个数唯一。【上节定理5？】【称这个唯一的数为向量组的秩】
【称这个唯一的数为向量组的秩】 3. 向量组的秩（1）秩的概念定义2 向量组 1, 2 ,, s 的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩, 记为
1 0 1 1 A= 0 1 3 2
行秩A)＝2，列秩A)＝2

向量组的极大无关组与向量组的秩

一个向量。
若
k 11 2 2 r r
0 ( k 1 1 ) 1 ( k 2 2 ) 2 ( k r r ) r
因 a1,a2,,ar线性无关，
3

k1 k2 k3
1 0 1
所以
4 13
上一页 31 下一页
同理可求得
5123
□
一个向量由它所在的向量组中的极大无关组线性表示,其线性表达式是否唯一呢?我们有下面的命题.
命题12.12 一个向量由它所在向量组中极大无关组线性表示,其表达式唯一.
证设 a1,a2, ,ar是向量组T中的一个极大无关组, 是向量组T中任意
则必有
k 1 1 k 2 2 k r r 0
即
k 11 ,k 22 , ,k rr
所以，由 a1,a2, ,ar线性表示的表达式唯一.
am1x1 am2x2 amnn 0
上面的齐次线性方程组可写成 1 ,2 , ,n X 0 , ( 这 X x 1 , x 2 里 , x n ')
现设
1 , 2 , , n 经过初 1 ,等 2 , 行 , n变换
由命题12.1知
1 ,2 , ,n X 0 与 1 ,2 ,n X 0
同解.所以向量组 a 1 ,a 2 , ,a n 与 1 , 2 , , n的线性相关性相同.
□
由此我们知道,矩阵A的秩就是列向量组T中极大线性无关组所含向量的个数.
又会命题11.11显然下面的命题成立.
11234
00 0 0 0
由命题12.11知,向量组的秩等于3,且 1,2,3 就是一个极大无关组.下面球4 ,5

4-4矩阵的秩

例7
设矩阵
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7
2 4 4 9
求矩阵 A 的列向量组的秩和极大无关组，并把不属于该极大无关组的列向量用此极大无关组线性表示.
解对 A 施行初等行变换变为行最简形矩阵
1 0 0 0 1 2 1 4 1 1 1 1 0 r 0 ~ 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0 0 1 0
A 非奇异 A 可逆
1 2 3 2 3 5 A 例1 求矩阵的秩. 4 7 3
解
1 2 在 A 中， 0. 2 3
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
r ( A) 3，即 3，求该矩阵的秩．例2 已知 A 2 0 1 5
即矩阵 A 的秩就是 A 中非零子式的最高阶数. 规定：零矩阵的秩为零.
注 1、若 A 为一个 m n 矩阵，则有0 r ( A) min m , n . 2、对 m n 的矩阵 A ，若 r ( A) min m , n ，则称 A 为满秩矩阵.
3、特别地，若 A 为 n 阶方阵，且 r ( A) n ，则 A 为满秩矩阵，此时显然有 A 非奇异. 即有：方阵 A 满秩
例3
1 2 3 4 求矩阵 A 0 1 2 3 的秩. 0 0 0 1
解
1 2 0 1
0,
1 2 4 0 1 3 0 0 1
0,
r A 3.
注行阶梯形矩阵的秩等于其非零行行数.
例4
3 2 2 1 0 0 3 1 2 5 的秩. 求矩阵 B 0 0 4 3 0 0 0 0 0 0

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

项目五矩阵运算与方程组求解
实验2 矩阵的秩与向量组的极大无关组
实验目的学习利用Mathematica 求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换; 求向量组的秩与极大无关组.
基本命令
1. 求矩阵M 的所有可能的k 阶子式组成的矩阵的命令:Minors[M,k].
2. 把矩阵A 化作行最简形的命令:RowReduce[A].
3. 把数表1,数表2, …,合并成一个数表的命令:Join[list1,list2,…]. 例如输入
Join[{{1,0,-1},{3,2,1}},{{1,5},{4,6}}]
则输出 {{1,0,-1},{3,2,1},{1,5},{4,6}}
实验举例
求矩阵的秩
例2.1 (教材例2.1) 设,815073*********⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-------=M 求矩阵M 的秩. 输入
Clear[M];
M={{3,2,-1,-3,-2},{2,-1,3,1,-3},{7,0,5,-1,-8}};
Minors[M,2]
则输出
{{-7,11,9,-5,5,-1,-8,8,9,11},{-14,22,18,-10,10,-2,
-16,16,18,22},{7,-11,-9,5,-5,1,8,-8,-9,-11}}
可见矩阵M 有不为0的二阶子式. 再输入
Minors[M,3]
则输出
{{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}}
可见矩阵M 的三阶子式都为0. 所以.2)(=M r
例2.2 已知矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=1t 0713123123M 的秩等于2, 求常数t 的值.
左上角的二阶子式不等于0. 三阶子式应该都等于0. 输入
Clear[M];
M={{3,2,-1,-3},{2,-1,3,1},{7,0,t,-1}};
Minors[M,3]
输出为
{{35-7t,45-9t,-5+t}}
当5=t 时, 所有的三阶子式都等于0. 此时矩阵的秩等于2.
例2.3 (教材例2.2) 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----322
4211631095114047116的行最简形及其秩. 输入
A={{6,1,1,7},{4,0,4,1},{1,2,-9,0},{-1,3,-16,-1},{2,-4,22,3}}
MatrixForm[A]
RowReduce[A]//MatrixForm
则输出矩阵A 的行最简形
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000000010000510
01
01 根据矩阵的行最简形,便得矩阵的秩为3.
矩阵的初等行变换
命令RowfReduce[A]把矩阵A 化作行最简形. 用初等行变换可以求矩阵的秩与矩阵的逆.
例2.4 设,41311221222832A ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=求矩阵A 的秩. 输入
Clear[A];
A={{2,-3,8,2},{2,12,-2,12},{1,3,1,4}};
RowReduce[A]//MatrixForm
输出为
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-00003232102301 因此A 的秩为2.
例2.5 (教材例2.3) 用初等变换法求矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛343122321的逆矩阵.
输入 A={{1,2,3},{2,2,1},{3,4,3}}
MatrixForm[A]
Transpose[Join[Transpose[A],IdentityMatrix[3]]]//MatrixForm
RowReduce[%]//MatrixForm
Inverse[A]//MatrixForm
则输出矩阵A 的逆矩阵为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---1112/532/3231
向量组的秩
矩阵的秩与它的行向量组, 以及列向量组的秩相等, 因此可以用命令RowReduce 求向量组的秩.
例2.6 求向量组)0,3,0,2(),2,5,4,0(),1,1,2,1(231=--=-=ααα的秩.
将向量写作矩阵的行, 输入
Clear[A];
A={{1,2,-1,1},{0,-4,5,-2},{2,0,3,0}};
RowReduce[A]//MatrixForm
则输出
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-00002154
1002301 这里有两个非零行, 矩阵的秩等于2. 因此, 它的行向量组的秩也等于2.
例2.7 (教材例2.4) 向量组)7,5,1,3(),5,4,3,1(),1,1,1,1(),3,2,1,1(4321==-==αααα是否线性相关?
输入
Clear[A];
A={{1,1,2,3},{1,-1,1,1},{1,3,4,5},{3,1,5,7}};
RowReduce[A]//MatrixForm
则输出
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0000010010102001 向量组包含四个向量, 而它的秩等于3, 因此, 这个向量组线性相关.
例2.8 向量组)3,1,1(),2,1,3(),7,2,2(321=-==ααα是否线性相关?
输入
Clear[A];
A={{2,2,7},{3,-1,2},{1,1,3}};
RowReduce[A]//MatrixForm
则输出
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛100010001 向量组包含三个向量, 而它的秩等于3, 因此, 这个向量组线性无关.
向量组的极大无关组
例2.9 (教材例2.5) 求向量组
)0,5,1,2(),0,2,1,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα
的极大无关组, 并将其它向量用极大无关组线性表示.
输入
Clear[A,B];
A={{1,-1,2,4},{0,3,1,2},{3,0,7,14},{1,-1,2,0},{2,1,5,0}};
B=Transpose[A];
RowReduce[B]//MatrixForm
则输出
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-000002/51000101102/10301 在行最简形中有三个非零行, 因此向量组的秩等于3. 非零行的首元素位于第一、二、四列,因此421,,ααα是向量组的一个极大无关组. 第三列的前两个元素分别是3,1,于是 .3213ααα+=第五列的前三个元素分别是,2
5,1,21-于是.25214215αααα++-=
向量组的等价可以证明:两个向量组等价的充分必要条件是: 以它们为行向量构成的矩阵的行最简形具有相同的非零行, 因此, 还可以用命令RowReduce 证明两个向量组等价.
例2.10 设向量
),7,3,5,4(),12,5,8,5(),2,1,2,3(),3,1,1,2(2121--=--=--=-=ββαα
求证:向量组21,αα与21,ββ等价.
将向量分别写作矩阵A , B 的行向量, 输入
Clear[A,B];
A={{2,1,-1,3},{3,-2,1,-2}};
B={{-5,8,-5,12},{4,-5,3,-7}};
RowReduce[A]//MatrixForm
RowReduce[B]//MatrixForm
则输出
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--7137510747101 与
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--7137510747101 两个行最简形相同, 因此两个向量组等价.
实验习题
1.求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=12412116030242201211A 的秩. 2.求t , 使得矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=t A 23312231的秩等于2.
3.求向量组)0,0,1(),1,1,1(),1,1,0(),1,0,0(4321====αααα的秩.
4.当t 取何值时, 向量组),3,1(),3,2,1(),1,1,1(321t ===ααα的秩最小?
5.向量组)1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321-=--=--==αααα是否线性相关?
6.求向量组)6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(321===ααα的最大线性无关组. 并用极大无关组线性表示其它向量.
7.设向量),6,3,3,2(),6,3,0,3(),18,3,3,8(),0,6,3,1(2121=-=-=-=ββαα求证:向量组21,αα 与21,ββ等价.。