向量组与矩阵的秩

第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩向量是研究代数问题的重要工具。

在解析几何里，曾经讨论过二维与三维向量。

但是，在很多实际问题中，往往需要研究更多维的向量。

例如，描述卫星的飞行状态需要知道卫星的位置()z y x ,,、时间t 以及三个速度分量z y x v v v ,,，这七个量组成的有序数组()z yxv vv t z y x ,,,,,,称为七维向量。

更一般地，本章将引入n 维向量的概念，定义向量的线性运算，并在此基础上讨论向量组的线性相关性，研究向量组与矩阵的秩、向量组的正交化等问题。

这将为以后利用向量的线性关系来分析线性方程组解的存在性，化二次型为标准形等奠定理论上的基础。

§1 n 维向量作为二维向量、三维向量的推广，现给出n 维向量的定义定义1 n 个数n a a a ,,,21 组成的有序数组（n a a a ,,,21 ），称为n 维向量。

数i a 称为向量的第i 个分量（或第i 个分量）。

向量通常用希腊字母γβα,, ,等来表示。

向量常写为一行α=（n a a a ,,,21 ）有时为了运算方便，又可以写为一列=α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛na a a 21前者称为行向量，后者称为列向量。

行向量、列向量都表示同一个n 维向量。

设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，当且仅当它们各个对应的分 量相等，即),,2,1(n i b a i i ==时，称向量α与向量β相等，记作，βα=。

分量全为零的向量称为零向量，记为0，即 0=)0,,0,0(若),,,(21n a a a =α，则称),,,(21n a a a --- 为α的负向量，记为α-。

下面讨论n 维向量的运算。

定义2 设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，那么向量),,,(2211n n b a b a b a +++ 叫做向量α与β的和向量，记做βα+，即),,,(2211n n b a b a b a +++=+ βα 向量α与β的差向量可以定义为α+)(β-，即),,,()(2211n n b a b a b a ---=-+=- βαβα定义3 设),,,(21n a a a =α是n 维向量，λ是一个数，那么向量),,,(21n a a a λλλ 叫做数λ与向量α的数量乘积（简称数乘），记为λα，即),,,(21a a a λλλλα =向量的和、差及数乘运算统称为向量的线性运算。

第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩何建军§3 • 1 概念与性质3.1.1向量的概念和运算1、n维向量：n个数构成的一个有序数组（a i，a2,…，a n），称为一个n维向量，记为〉=佝，a2 ,…，a n ），并称为n维行向量，a i称为〉的第i个分量，〉的转置T T（a1,a2, a n）称为n维向量。

2、相等：若a =@182,…,a n），p =（D,b2,…,b n），当且仅当a i =b i（i =1,2,…，n）时，：，：。

3、加法：」-a b!,a2 b2^ ,a n b n4、数乘：k ka1,ka2,…,ka n ，（k 为常数）5、內积:匕0 】=aQ +a?b2 + …+a“b n3.1.2向量组的线性相关性1、线性组合：给定向量组A : 对于任何一组实数匕出,…，k m，向量k V1 k^ 2肚m称为向量组A的一个线性组合，匕*?,…，k m称为这个线性组合的组合系数2、线性表示：给定向量组A : 〉1「2,i「m和向量：，如果存在一组数n n « n'1, '2, ，‘ m ,使得■- = ‘1〉1 ‘2〉2 •…-'rn'm则向量-能有向量组A线性表示，向量-是向量组A的线性组合。

3、线性相关：给定向量组A : ‘1厂2,厂m,如果存在一组不全为零的数k1 , k2 , , k m，使得kr 1 k2〉2 k m〉m=o则称向量组A是线性相关的。

4、线性无关：向量组A ：r,〉2,…，〉m,不线性相关，称向量组A线性无关，即不存在不全为零的数k1,k2, , k m使得1• k2「2•■ k m m=0成立，即只有当k1二Q二=k m=0时，才有k^ 1 k2「2 ' k^' m=0成立。

（如果存在一组数k-k2，,k m 使得k V 1 k^ ■k m「m=0，则必有k1= k2 = = k m=0，称向量组A 线性无关）注：含有零向量的向量组一定线性相关。

矩阵的“秩”，是线性代数第一部分的核心概念。

“矩阵的秩与向量组的秩一致。

矩阵的秩就是其行（或列）向量组的秩。

”怎样证明？就当做习题练一练。

设矩阵A的秩为r ，则A必有一个r 阶子式不为0，而所有 r + 1阶子式全为 0逻辑1——r 阶子式不为0，则 r个r 维向量线性无关。

分析这是格莱姆法则推论，带来的直接判别方法。

（画外音：r个未知量 r个方程的齐次线性方程组仅有0 解的充分必要条件是其系数行列式不为0）逻辑思维链——这r 个r 维向量与A 的行（或列）向量组有何关系？逻辑2——（“线性无关，延长无关。

”定理）——已知一个n 维向量组线性无关，如果在相同的位置，给组内每个向量都增加一个分量，则所得的n + 1维向量组也线性无关。

分析不妨认为给线性无关的n 维向量组a1，a 2，…，a k 的每个向量都加上第n + 1个分量，形成一个n + 1 维向量组b1，b 2，…，b k若有一组不全为零的数c1，c2，…，c k ，使得c1b1+ c2b 2+ ---+ c k b k = 0，如何证明“这组常数只能全为0”？每个向量有n + 1 分量，向量“线性组合为0”实际上是n + 1个等式。

前n 个等式即c1 a1+ c2a2+ ---+ c k a k = 0由已知线性无关即得，这组常数只能全为0，而最后那个（第n + 1个）等式自然成立。

逻辑3 ——将线性无关的 r个r 维向量，逐次延长为矩阵A 的r 个行向量（或列向量），它们线性无关。

（潜台词：简而言之，不为0的r阶子式所在的r个行向量（或列向量）线性无关。

）逻辑思维链（关键问题）——这r 个行向量是行向量组的最大无关组吗？唯一信息——A的所有r + 1阶子式全为0分析不妨设不为0 的r 阶子式就由这r 个行的左起前r 个分量排成。

（画外音：画个示意图最好。

）任取A的一行，其左起前 r个分量形成的r 维向量，必定可以被r 阶子式的r 个行线性表示。

86线性代数规定只含零向量的向量组的秩为0. 由定义3.3.2可知，例1中()123 ,,2r =ααα.一般来说，要求向量组的秩，首先需要求出极大无关组，若按照定义3.3.1去求极大无关组比较麻烦，尤其是定义3.3.1中的第二个条件的判断很困难，在3.3.2节我们还将介绍另外的方法求向量组的极大无关组以及秩.由向量组秩的定义可得：（1）向量组12,,,s "ααα线性相关()12,,,s r s ⇔<ααα"；向量组12,,,s "ααα线性无关(1,r ⇔α)2,,s s =αα"（线性无关的向量组的极大无关组就是该向量组本身）. （2）任何一个部分组的秩≤向量组的秩≤向量组中向量的个数. （3）若向量组12,,,s "ααα可由向量组12,,,t βββ"线性表示，则()()1212,,,,,,s t r r αααβββ""≤.证 设12,,,r i i i ααα"是向量组12,,,s "ααα的极大无关组，12,,,m j j j βββ"是向量组12,,,t βββ"的极大无关组. 因为向量组12,,,s "ααα可由向量组12,,,t βββ"线性表示，而向量组与极大无关组是等价的，所以12,,,r i i i ααα"可由12,,,m j j j βββ"线性表示. 又因为12,,,r i i i ααα"线性无关，根据推论3.2.7，得r m ≤，即()()1212,,,,,,s t r r αααβββ""≤.证毕.（4）等价的向量组具有相同的秩.证 设向量组12,,,s "ααα与向量组12,,,t βββ"等价，它们的秩分别为r 和m . 一方面，向量组12,,,s "ααα能由向量组12,,,t βββ"线性表示，则有r m ≤；另一方面，向量组12,,,t βββ"能由向量组12,,,s "ααα线性表示，则m r ≤. 综合这两方面的结论，可得r m =，即等价的向量组的秩相等.证毕.需要注意的是，若两个向量组的秩相等，它们不一定等价.如向量组()()121,2,1,2,4,2=−=−αα，1α是向量组12,αα的极大无关组，秩为1；而向量组()()120,2,1,0,4,2==ββ，1β是向量组12,ββ的极大无关组，秩为1. 两个向量组的秩相等，但是这两个向量组不等价.例2 试证：若一个向量组的秩为r ，则在向量组内，任意r 个线性无关的向量都构成它的一个极大无关组.证 设12,,,r i i i ααα"为向量组12,,,s "ααα中r 个线性无关的向量. 任取{}12,,,j s ∈αααα"，如果 {}12,,,rj i i i ∈αααα"，则12,,,,r ji i i αααα"线性相关；如果{}12,,,rj i i i ∉αααα"，因为向量组12,,,,r j i i i αααα"的秩不超过向量组12,,,s "ααα的秩，所以()12,,,,1r j i i i r r r <+αααα"≤，于是向量组12,,,,r j i i i αααα"线性相关. 从而12,,,r i i i ααα"是向量组12,,,s "ααα的一个极大无关组.3.3.2 向量组的秩与矩阵的秩的关系由于矩阵和向量组之间存在着一定的关系，所以向量组的秩与矩阵的秩之间也有一定的关系.。

矩阵的秩与向量组的秩一致矩阵和向量组是线性代数中非常重要的概念，秩也是矩阵和向量组中的一个重要性质。

矩阵的秩和向量组的秩之间有一个非常重要的关系，本文将对这个关系进行详细的探讨，希望能够帮助读者更好地理解这一概念。

一、矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一个重要属性，它可以反映出矩阵所包含的线性空间的维数。

在矩阵中，如果某些行或列之间有一定的线性关系，那么这些行或列就会被称为线性相关的行或列，相反，如果行或列之间没有任何线性关系，那么它们就被称为线性无关的行或列。

在进行矩阵的行变换或列变换时，矩阵的秩不会发生改变。

因此，我们可以通过这些变换来简化矩阵的计算，并最终得出矩阵的秩。

其中最常用的方法是高斯消元法和初等矩阵法。

从几何意义上讲，矩阵的秩可以表示为矩阵所包含的向量空间的维数。

在二维平面内的向量空间中，我们可以用一个二维矩阵来表示，这个矩阵的秩就等于所包含向量的个数；同样，在三维空间内，我们可以用一个三维矩阵来表示向量空间，其秩就代表该空间所包含的向量数。

二、向量组秩向量组秩是指一组向量的线性无关的个数，即向量组中最大的线性无关向量个数。

如果向量组中某些向量之间存在线性依赖关系，那么称这些向量是线性相关的。

因此，向量组的秩和矩阵的秩是有密切联系的。

从几何角度来看，向量组的秩可以理解为所构成的向量空间的维数。

当向量组的秩等于向量空间的维数时，这个向量组就可以作为向量空间的一组基，而向量空间中的任何向量都可以表示为这个向量组的线性组合。

矩阵的秩和向量组秩之间有一种非常重要的一致性，即矩阵的秩等于它所包含向量组的秩。

这个定理有以下两种不同的表述方式：1. 若矩阵A的秩为r，则矩阵A所包含的向量组的秩也为r。

这两种表述方式的本质是一样的，它们都说明了矩阵的秩与其所包含的向量组秩是完全一致的。

这个定理在线性代数的理论和实际应用中都发挥着非常重要的作用，因为它可以方便地将矩阵和向量组之间的关系进行转换和应用。

四、应用举例在实际应用中，矩阵的秩与向量组秩的一致性有很多不同的应用。

矩阵和向量组的关系概述
矩阵和向量组之间存在密切的关系，主要表现在以下几个方面：
1. 向量可以视为矩阵的特例：单个向量可以视为一个一阶矩阵，而多个向量组合在一起就组成了矩阵。

矩阵的每一行可以视为一个行向量，每一列可以视为一个列向量。

2. 矩阵的秩等于其所在向量组的秩：矩阵的秩是其行向量组和列向量组的秩的最小值。

这意味着矩阵的秩反映了其所在向量组的线性相关性。

3. 矩阵的乘法对应于向量的线性变换：如果矩阵A左乘一个向量x，得到的结果是A的列向量对x进行线性组合后的结果。

这表明矩阵的乘法对应于向量的线性变换。

4. 矩阵的特征值和特征向量对应于向量组的线性变换：对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零向量x和实数λ，使得Ax=λx成立，则称λ是A的特征值，x是A的特征向量。

这表明矩阵的特征值和特征向量对应于向量组的线性变换。

5. 矩阵的行空间和列空间对应于向量组的线性子空间：矩阵的行空间是由其行向量张成的线性子空间，列空间是由其列向量张成的线性子空间。

这表明矩阵的行空间和列空间对应于向量组的线性子空间。

综上所述，矩阵和向量组之间存在密切的关系，它们在许多方面是相
互关联的。

了解矩阵和向量组之间的关系有助于更好地理解它们的性质和应用。

第三节向量组的秩与矩阵的秩一、向量组的秩二、矩阵的秩三、小结12一、向量组的秩（1）线性无关；12,,,r ααα （2）从原向量组T 中任意添加一个向量(如果还有的话)所得部分组都线性相关；则称是原向量组T 的一个极大线性无关组，简称极大无关组.12,,,r ααα 一个向量组的极大线性无关组一般不唯一定义3.15 如果向量组T 中的一个部分组满足12,,,r ααα3()()()123 3:1,2,1,2,3,1,4,1,1ααα例如维行向量组T =-=-=-12122331,,,,,T T T αααααααα易知向量组是线性相关的，但向量组是线性无关的因而是原向量组的极大无关组。

另外，或也是原向量组的极大无关组。

说明：极大无关组不唯一.()()()123 3:1,0,0,0,1,0,0,0,1ααα例如维行向量组T ===123,T T T ααα易知向量组是线性无关的，所以向量组本身,就是向量组的极大无关组。

4性质：向量组线性无关极大无关组即为向量组本身1.2.向量组是向量组T 的一个极大无关组12:,,,rA ααα A 与T 等价证2任取，由极大无关组定义，T α∈12α,α,...,α,αr 线性相关，则能由线性表示，从而12α,α,...,αr αT 能由A 线性表示，而A 能由T 线性表示显然，因此极大无关组A 与向量组T 等价.5,证明因向量组的极大无关组都与向量组本身等价，由等价的传递性知任意两个极大无关组也等价，故所含向量个数相同（教材88页推论2）.定理说明向量组的极大无关组所含向量个数与极大无关组的选取无关，反映了向量组本身的性质.定义3.16 向量组T 的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩.记为r (T ).定理3.9向量组的极大无关组所含向量个数相同.定理3.10 等价的向量组具有相同的秩.定理3.11 如果向量组(I)能由向量组(II)线性表示，则向量组(I)的秩小于或等于向量组(II)的秩.证因为向量组（I）可以由向量组（II）线性表示，利用定理3.8，所以向量组（I）的极大线性无关组可以由向量组（II）的极大线性无关组线性表示. 进而由教材88页推论1可知，向量组（I）的秩不超过向量组（II）的秩.67不难看出，如果向量组的秩等于它所含向量的个数，则向量组就是它自身的极大线性无关组. 下面的结论进一步说明了如何确定向量组的极大线性无关组.定理3.12 如果向量组的秩为r ,则向量组中任意r 个线性无关的向量都为它的一个极大线性无关组.12121212 ,,, (1) ,,,.(2) ,,,,.,,,,().r r r r T r T T r T r αααααααααααααα推论设在向量组中有个向量满足：线性无关任取能由线性表示则是的一个极大无关组且∈=二、矩阵的秩如果把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以认为是由这些行向量所组成的；如果把矩阵的每一列看成一个向量，那么矩阵就可以认为是由这些列向量所组成的.定义3.17 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩.89例如矩阵000r E A ⎛⎫= ⎪⎝⎭不难看出矩阵A 的行秩为r , A 的列秩也为r ，A 的行秩等于列秩且等于矩阵A 的秩.下面说明任何矩阵A 的行秩与列秩都是相等的,它们都等于A 的秩.例10000100001000000000⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，A ()3===，的行秩3，的列秩3r A A A10引理1两个n 维列向量组与，若存在可逆的矩阵P ,使得12s α,α,...,α12s β,β,...,βn n ⨯1212()(),s s P α,α,...,αβ,β,...,β=则向量组线性无关当且仅当向量组线性无关.12s α,α,...,α12s β,β,...,β证假设线性无关，考虑方程12s ,,...,ααα12...12s βββ+++=0s x x x 由条件，利用分块矩阵的乘法，我们有11代入上式，得即i i ,1,2,...,,P i s βα==1122...s P αP αP α+++=0,s x x x 1122...s ααα+++=0s x x x 1122(...)s s P x x x ααα+++=0.因P 可逆，上式两边同时左乘，得1P-因线性无关，则12s α,α,...,α12...0,====s x x x 所以线性无关.12s β,β,...,β12进而由上述证明可得，向量组11212()()s s P β,β,...,βα,α,...,α-=12,,...,s ααα线性无关.反之,假设向量组线性无关,有12s β,β,...,β推论，如果存在可逆矩阵P , 使得1212()(),s s P α,α,...,αβ,β,...,β=则向量组和向量组的秩相等。