矩阵的秩与向量组的秩一致

第二节向量组的秩最大线性无关向量组第四章向量空间向量组的秩矩阵的秩与向量组的秩的关系12r r ∴≤推论等价向量组秩相等.反之不一定.定理1 给定向量组和，若设12V V {}{}1122,.r V r r V r ==且可由线性表出，则12V V .12r r ≤证明：设分别为的最大无关组，,12U U ,12V V 则所含向量个数分别为,12U U ,12r r 可由线性表出12V V 12U U ⇒可由线性表出又线性无关，1U,),,,(),,,,(2121k r r n n ==αααβααα ,1),,,,(21+=k r n γααα =),,,,,(21γβαααn r 【例1】已知且则（）(A) k (B) k + 1 (C) 2k + 1 (D) 1【解】由,),,,(),,,,(2121k r r n n ==αααβααα 知可由线性表出，βn ααα,,,21 所以向量组与等价，βααα,,,,21n n ααα,,,21 从而与等价, γβααα,,,,,21n γααα,,,,21n 1),,,,(),,,,,(2121+==k r r n n γαααγβααα 故【例2 】求向量组的最大无关组及秩．123456121021121020120111001111120111αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪======----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，,,,,,123456αααααα方法：将每一向量作为一列构造矩阵，再对其进行行变换化为行梯形阵，然后在每个台阶上取一列，则得最大无关组的序号。

定理3T()()()()()()()r A r A r A r A r A B r A r B λ==+≤+，，()r AB ()min ()()r A r B ≤，()()r A r B s +-≤(1) 若A , B 是任意的m ×n 矩阵，数，则0λ≠(2) 若A 是m ×s 矩阵, B 是s ×n 矩阵，则证明(1) 若A , B 是任意的m ×n 矩阵, 则r (A +B )≤r (A )+r (B ).1212,,,;,,,sti i i j j jαααβββ {}{}12121122,,,,,,,s t n n i i i j j j r r αβαβαβαααβββ∴+++≤ ，，，s t≤+()()()r A B r A r B ⇒+≤+()()1212n n A B αααβββ== ，，，，，，，将A , B 列分块，()1122n n A B αβαβαβ+=+++ ，，，则若r (A ) = s , r (B ) = t ，则可分别设向量组1212n n αααβββ ，，，，，，与的最大无关组为：从而向量组可由向量组1122n n αβαβαβ+++ ，，，1212,,,,,,,sti i i j j j αααβββ 线性表出．11()()s n A AB ααγγ== ，，，，，111111(,,)(,,)n n s s sn b b b b γγαα⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭ ()()r AB r A ∴≤利用此结论可得：()()()TTTT()r AB r BAr B =≤()()r AB r B ≤()()min ()()r AB r A r B ∴≤，(2) 对A m ×s , B s ×n 有()r AB ()min ()()r A r B ≤，将A 和AB 列分块：设B = ( b ij )，则由知矩阵AB 的列向量组能由矩阵A 的列向量组线性表出即【例3】设A 为n 阶方阵，且A 2=I ，证明：()()r A I r A I n++-=()()()()r A I r A I r A I r I A ++-=++-()(2)r A I I A r I ≥++-=()()r A I r A I n++--()()()r A I A I ≤+-2()()0r A I r O =-==()()n r A I r A I n∴≤++-≤()()r A I r A I n⇒++-=()()r A r B n+≤【证明】n=又一般地，对n 阶方阵A ，B ，若A B ＝O ，则有。

高等代数第二次大作业1120133839 周碧莹30011303班矩阵的秩的性质1.阶梯型矩阵J的行秩和列秩相等，它们都等于J的非零行的数目；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。

2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。

证明：设矩阵A的行向量组是a1，…,as.设A经过1型初等行变换变成矩阵B，则B的行向量组是a1，…,ai,kai+aj,…,as.显然a1，…,ai,kai+aj,…,as可以由a1，…,as线性表处。

由于aj=1*(kai+aj)-kai,因此a1，…,as可以由a 1，…,ai,kai+aj,…,as线性表处。

于是它们等价。

而等价的向量组由相同的秩，因此A的行秩等于B的行秩。

同理可证2和3型初等行变换使所得矩阵的行向量组与原矩阵的行向量组等价，从而不改变矩阵的行秩。

3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性。

证明：一是为什么初等行变换不改变列向量的线性相关性?二是列向量进行初等行变换后，为什么可以根据行最简形矩阵写出不属于极大无关组的向量用极大无关组表示的表示式?第一个问题：设α1，α2，…，αn是n个m维列向量，则它们的线性相关性等价于线性方程组AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn线性相关等价于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn 线性无关等价于AX=0只有零解。

而对A进行三种行初等变换分别相当于对线性方程组中的方程进行：两个方程交换位置，对一个方程乘一个非零常数，将一个方程的常数倍对应加到另一个方程上。

显然进行三种变换后所得方程组与原方程组同解，若设所得方程组为BX=0，则B即为对A进行行初等变换后所得矩阵。

B 的列向量的线性相关性与BX=0是否有解等价，也就是与AX=0是否有解等价，即与A的列向量的线性相关性等价!第二个问题以一个具体例子来说明。

例：设矩阵，求A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。

2020年秋季国家开放大学《工程数学本》形考任务（1-5）试题与答案解析（红色标注为正确答案）工程数学作业（第一次）（满分100分）第2章矩阵（一）单项选择题（每小题2分，共20分）⒈设，则（D）．A. 4B. －4C. 6D. －6⒉若，则（A）．A. B. －1 C. D. 1⒊乘积矩阵中元素（C）．A. 1B. 7C. 10D. 8⒋设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B）．A. B.C. D.⒌设均为阶方阵，且，则下列等式正确的是（D）．A. B.C. D.⒍下列结论正确的是（A）．A. 若是正交矩阵，则也是正交矩阵B. 若均为阶对称矩阵，则也是对称矩阵C. 若均为阶非零矩阵，则也是非零矩阵D. 若均为阶非零矩阵，则⒎矩阵的伴随矩阵为（C）．A. B.C. D.⒏方阵可逆的充分必要条件是（B）．A. B. C. D.⒐设均为阶可逆矩阵，则（D）．A. B.C. D.⒑设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D）．A. B.C. D.（二）填空题（每小题2分，共20分）⒈7 ．⒉是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ．⒊若为矩阵，为矩阵，切乘积有意义，则为5×4 矩阵．⒋二阶矩阵．⒌设，则．⒍设均为3阶矩阵，且，则-72 ．⒎设均为3阶矩阵，且，则-3 ．⒏若为正交矩阵，则0 ．⒐矩阵的秩为 2 ．⒑设是两个可逆矩阵，则．（三）解答题（每小题8分，共48分）⒈设，求⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹．⒉设，求．⒊已知，求满足方程中的．⒋写出4阶行列式中元素的代数余子式，并求其值．⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：⑴；⑵；⑶．⒍求矩阵的秩．（四）证明题（每小题4分，共12分）⒎对任意方阵，试证是对称矩阵．⒏若是阶方阵，且，试证或．⒐若是正交矩阵，试证也是正交矩阵．工程数学作业（第二次）(满分100分)第3章 线性方程组（一）单项选择题(每小题2分，共16分)⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为（C ）．A. [,,]102-'B. [,,]--'722C. [,,]--'1122D. [,,]---'1122 ⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪（B ）．A. 有无穷多解B. 有唯一解C. 无解D. 只有零解⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为（A ）． A. 3 B. 2 C. 4 D. 5⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,,,，则（B ）是极大无关组．A. αα12,B. ααα123,,C. ααα124,,D. α1⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D ）． A. 秩()A =秩()A B. 秩()A <秩()A C. 秩()A >秩()A D. 秩()A =秩()A -1⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D. 齐次线性方程组一定有解⒏若向量组ααα12,,, s 线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出．A. 至少有一个向量B. 没有一个向量C. 至多有一个向量D. 任何一个向量（二）填空题(每小题2分，共16分) ⒈当λ= 1 时，齐次线性方程组x x x x 121200+=+=⎧⎨⎩λ有非零解．⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性 相关 ．⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩是 3 ．⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量ααα123,,是线性 相关 的． ⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是 ．⒍向量组ααα12,,, s 的秩与矩阵[]ααα12,,, s 的秩 相同 ．⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量，且秩()A =3，则其基础解系中线性无关的解向量有 2 个．⒏设线性方程组AX b =有解，X 0是它的一个特解，且AX =0的基础解系为X X 12,，则AX b =的通解为 ．（三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分) 1．设有线性方程组λλλλλ11111112⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥x y z λ为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?2．判断向量β能否由向量组ααα123,,线性表出，若能，写出一种表出方式．其中βααα=---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥83710271335025631123,,,3．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关；（2）求出该向量组的一个极大无关组。

86线性代数规定只含零向量的向量组的秩为0. 由定义3.3.2可知，例1中()123 ,,2r =ααα.一般来说，要求向量组的秩，首先需要求出极大无关组，若按照定义3.3.1去求极大无关组比较麻烦，尤其是定义3.3.1中的第二个条件的判断很困难，在3.3.2节我们还将介绍另外的方法求向量组的极大无关组以及秩.由向量组秩的定义可得：（1）向量组12,,,s "ααα线性相关()12,,,s r s ⇔<ααα"；向量组12,,,s "ααα线性无关(1,r ⇔α)2,,s s =αα"（线性无关的向量组的极大无关组就是该向量组本身）. （2）任何一个部分组的秩≤向量组的秩≤向量组中向量的个数. （3）若向量组12,,,s "ααα可由向量组12,,,t βββ"线性表示，则()()1212,,,,,,s t r r αααβββ""≤.证 设12,,,r i i i ααα"是向量组12,,,s "ααα的极大无关组，12,,,m j j j βββ"是向量组12,,,t βββ"的极大无关组. 因为向量组12,,,s "ααα可由向量组12,,,t βββ"线性表示，而向量组与极大无关组是等价的，所以12,,,r i i i ααα"可由12,,,m j j j βββ"线性表示. 又因为12,,,r i i i ααα"线性无关，根据推论3.2.7，得r m ≤，即()()1212,,,,,,s t r r αααβββ""≤.证毕.（4）等价的向量组具有相同的秩.证 设向量组12,,,s "ααα与向量组12,,,t βββ"等价，它们的秩分别为r 和m . 一方面，向量组12,,,s "ααα能由向量组12,,,t βββ"线性表示，则有r m ≤；另一方面，向量组12,,,t βββ"能由向量组12,,,s "ααα线性表示，则m r ≤. 综合这两方面的结论，可得r m =，即等价的向量组的秩相等.证毕.需要注意的是，若两个向量组的秩相等，它们不一定等价.如向量组()()121,2,1,2,4,2=−=−αα，1α是向量组12,αα的极大无关组，秩为1；而向量组()()120,2,1,0,4,2==ββ，1β是向量组12,ββ的极大无关组，秩为1. 两个向量组的秩相等，但是这两个向量组不等价.例2 试证：若一个向量组的秩为r ，则在向量组内，任意r 个线性无关的向量都构成它的一个极大无关组.证 设12,,,r i i i ααα"为向量组12,,,s "ααα中r 个线性无关的向量. 任取{}12,,,j s ∈αααα"，如果 {}12,,,rj i i i ∈αααα"，则12,,,,r ji i i αααα"线性相关；如果{}12,,,rj i i i ∉αααα"，因为向量组12,,,,r j i i i αααα"的秩不超过向量组12,,,s "ααα的秩，所以()12,,,,1r j i i i r r r <+αααα"≤，于是向量组12,,,,r j i i i αααα"线性相关. 从而12,,,r i i i ααα"是向量组12,,,s "ααα的一个极大无关组.3.3.2 向量组的秩与矩阵的秩的关系由于矩阵和向量组之间存在着一定的关系，所以向量组的秩与矩阵的秩之间也有一定的关系.。

矩阵的秩与向量组的秩一致矩阵和向量组是线性代数中非常重要的概念，秩也是矩阵和向量组中的一个重要性质。

矩阵的秩和向量组的秩之间有一个非常重要的关系，本文将对这个关系进行详细的探讨，希望能够帮助读者更好地理解这一概念。

一、矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一个重要属性，它可以反映出矩阵所包含的线性空间的维数。

在矩阵中，如果某些行或列之间有一定的线性关系，那么这些行或列就会被称为线性相关的行或列，相反，如果行或列之间没有任何线性关系，那么它们就被称为线性无关的行或列。

在进行矩阵的行变换或列变换时，矩阵的秩不会发生改变。

因此，我们可以通过这些变换来简化矩阵的计算，并最终得出矩阵的秩。

其中最常用的方法是高斯消元法和初等矩阵法。

从几何意义上讲，矩阵的秩可以表示为矩阵所包含的向量空间的维数。

在二维平面内的向量空间中，我们可以用一个二维矩阵来表示，这个矩阵的秩就等于所包含向量的个数；同样，在三维空间内，我们可以用一个三维矩阵来表示向量空间，其秩就代表该空间所包含的向量数。

二、向量组秩向量组秩是指一组向量的线性无关的个数，即向量组中最大的线性无关向量个数。

如果向量组中某些向量之间存在线性依赖关系，那么称这些向量是线性相关的。

因此，向量组的秩和矩阵的秩是有密切联系的。

从几何角度来看，向量组的秩可以理解为所构成的向量空间的维数。

当向量组的秩等于向量空间的维数时，这个向量组就可以作为向量空间的一组基，而向量空间中的任何向量都可以表示为这个向量组的线性组合。

矩阵的秩和向量组秩之间有一种非常重要的一致性，即矩阵的秩等于它所包含向量组的秩。

这个定理有以下两种不同的表述方式：1. 若矩阵A的秩为r，则矩阵A所包含的向量组的秩也为r。

这两种表述方式的本质是一样的，它们都说明了矩阵的秩与其所包含的向量组秩是完全一致的。

这个定理在线性代数的理论和实际应用中都发挥着非常重要的作用，因为它可以方便地将矩阵和向量组之间的关系进行转换和应用。

四、应用举例在实际应用中，矩阵的秩与向量组秩的一致性有很多不同的应用。