实验十二矩阵的秩和向量组的最大线性无关组

附录Ⅰ大学数学实验指导书项目五矩阵运算与方程组求解实验1 行列式与矩阵实验目的把握矩阵的输入方式. 把握利用Mathematica 以上版本) 对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算, 并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.大体命令在Mathematica中, 向量和矩阵是以表的形式给出的.1. 表在形式上是用花括号括起来的假设干表达式, 表达式之间用逗号隔开.如输入{2,4,8,16}{x,x+1,y,Sqrt[2]}那么输入了两个向量.2. 表的生成函数(1)最简单的数值表生成函数Range, 其命令格式如下:Range[正整数n]—生成表{1,2,3,4,…,n};Range[m, n]—生成表{m,…,n};Range[m, n, dx]—生成表{m,…,n}, 步长为d x.2. 通用表的生成函数Table. 例如,输入命令Table[n^3,{n,1,20,2}]那么输出{1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859}输入Table[x*y,{x,3},{y,3}]那么输出{{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}}3. 表作为向量和矩阵一层表在线性代数中表示向量, 二层表表示矩阵. 例如,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5432 能够用数表{{2,3},{4,5}}表示.输入A={{2,3},{4,5}}那么输出 {{2,3},{4,5}}命令MatrixForm[A]把矩阵A 显示成通常的矩阵形式. 例如,输入命令:MatrixForm[A]那么输出 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛5432注:一样情形下,MatrixForm[A]所代表的矩阵A 不能参与运算. 下面是一个生成抽象矩阵的例子. 输入Table[a[i,j],{i,4},{j,3}] MatrixForm[%]那么输出⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛]3,4[]2,4[]1,4[]3,3[]2,3[]1,3[]3,2[]2,2[]1,2[]3,1[]2,1[]1,1[a a a a a a a a a a a a 注:那个矩阵也能够用命令Array 生成,如输入Array[a,{4,3}]4. 命令IdentityMatrix[n]生成n 阶单位矩阵. 例如,输入IdentityMatrix[5]那么输出一个5阶单位矩阵(输出略).5. 命令DiagonalMatrix[…]生成n 阶对角矩阵. 例如,输入DiagonalMatrix[{b[1],b[2],b[3]}]那么输出 {{b[1],0,0},{0,b[2],0},{0,0,b[3]}}它是一个以b[1], b[2], b[3]为主对角线元素的3阶对角矩阵.6. 矩阵的线性运算:A+B 表示矩阵A 与B 的加法;k*A 表示数k 与矩阵A 的乘法; 或 Dot[A,B]表示矩阵A 与矩阵B 的乘法.7. 求矩阵A 的转置的命令:Transpose[A]. 8. 求方阵A 的n 次幂的命令:MatrixPower[A,n]. 9. 求方阵A 的逆的命令:Inverse[A]. 10.求向量a 与b 的内积的命令:Dot[a,b].实验举例矩阵的运算例 设,421140123,321111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B A 求A AB 23-及.B A T输入A={{-1,1,1},{1,-1,1},{1,2,3}} MatrixForm[A]B={{3,2,1},{0,4,1},{-1,2,-4}} MatrixForm[B]-2A AAB 23-BA T ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----334421424141010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10120821444,5123641033252312⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A .1-A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1652116114581081218192829211161121162147.11111111111122222222ddd d c c c c b b b b a a a a D ++++=2222)1)()()()()()((dc b a abcd d c d b d a c b c a b a +--------,60975738723965110249746273⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A .),(|,|3A A tr A 3),(|,|AA tr A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12574547726668013841222451984174340410063122181713228151626315018483582949442062726,150421321,111111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=B A 求A AB 23-及.B A '2.设,001001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλA 求.10A 一样地?=k A (k 是正整数).3.求⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++a a a aa1111111111111111111111111的逆.4.设,321011324⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A 且,2B A AB +=求.B5.利用逆矩阵解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.353,2522,132321321321x x x x x x x x x实验2 矩阵的秩与向量组的最大无关组实验目的 学习利用Mathematica 以上版本)求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换; 求向 量组的秩与最大无关组.大体命令1. 求矩阵M 的所有可能的k 阶子式组成的矩阵的命令:Minors[M,k].2. 把矩阵A 化作行最简形的命令:RowReduce[A].3. 把数表1,数表2, …,归并成一个数表的命令:Join[list1,list2,…]. 例如输入Join[{{1,0,-1},{3,2,1}},{{1,5},{4,6}}]那么输出 {{1,0,-1},{3,2,1},{1,5},{4,6}}实验举例求矩阵的秩例 设,815073*********⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=M 求矩阵M 的秩.输入Clear[M];M={{3,2,-1,-3,-2},{2,-1,3,1,-3},{7,0,5,-1,-8}}; Minors[M,2]那么输出{{-7,11,9,-5,5,-1,-8,8,9,11},{-14,22,18,-10,10,-2, -16,16,18,22},{7,-11,-9,5,-5,1,8,-8,-9,-11}}可见矩阵M 有不为0的二阶子式. 再输入Minors[M,3]那么输出{{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}}可见矩阵M 的三阶子式都为0. 因此.2)(=M r例 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3224211631095114047116的行最简形及其秩.输入A={{6,1,1,7},{4,0,4,1},{1,2,-9,0},{-1,3,-16,-1},{2,-4,22,3}} MatrixForm[A]RowReduce[A]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000000100005100101矩阵的初等行变换例 用初等变换法求矩阵.343122321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛的逆矩阵.输入 A={{1,2,3},{2,2,1},{3,4,3}}MatrixForm[A]Transpose[Join[Transpose[A],IdentityMatrix[3]]]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1112/532/3231)7,5,1,3(),5,4,3,1(),1,1,1,1(),3,2,1,1(4321==-==αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000010010102001向量组的最大无关组 例 求向量组)0,5,1,2(),0,2,1,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα的最大无关组, 并将其它向量用最大无关组线性表示.输入Clear[A,B];A={{1,-1,2,4},{0,3,1,2},{3,0,7,14},{1,-1,2,0},{2,1,5,0}}; B=Transpose[A];RowReduce[B]⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000002/51000101102/10301非零行的首元素位于第一、二、四列,因此421,,ααα是向量组的一个最大无关组. 第三列的前两个元素别离是3,1,于是.3213ααα+=第五列的前三个元素别离是,25,1,21-于是.25214215αααα++-=实验习题1.求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=12412116030242201211A 的秩.2.求t , 使得矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=t A 23312231的秩等于2.3.求向量组)0,0,1(),1,1,1(),1,1,0(),1,0,0(4321====αααα的秩.4.当t 取何值时, 向量组),3,1(),3,2,1(),1,1,1(321t ===ααα的秩最小?5.向量组)1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321-=--=--==αααα是不是线性相关?6.求向量组)6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(321===ααα的最大线性无关组. 并用最大无关 组线性表示其它向量.7.设向量),6,3,3,2(),6,3,0,3(),18,3,3,8(),0,6,3,1(2121=-=-=-=ββαα求证:向量组21,αα 与21,ββ等价.实验3 线性方程组实验目的 熟悉求解线性方程组的经常使用命令,能利用Mathematica 命令各类求线性方程组的解. 明白得运算机求解的有效意义.大体命令1.命令NullSpace []A ,给出齐次方程组0=AX 的解空间的一个基.2.命令LinearSolve []b A ,,给出非齐次线性方程组b AX =的一个特解.3.解一样方程或方程组的命令Solve 见Mathematica 入门.实验举例求齐次线性方程组的解空间设A 为n m ⨯矩阵,X 为n 维列向量,那么齐次线性方程组0=AX 必然有解. 假设矩阵A 的秩等于n ,那么只有零解;假设矩阵A 的秩小于n ,那么有非零解,且所有解组成一贯量空间. 命令NullSpace 给出齐次线性方程组0=AX 的解空间的一个基.例 求解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=++=+--=--+.0532,0375,023,02432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x输入Clear[A];A={{1,1,-2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}}; NullSpace[A]那么输出{{-2,1,-2,3}}说明该齐次线性方程组的解空间是一维向量空间,且向量(-2,1,-2,3)是解空间的基. 注:若是输出为空集{ },那么说明解空间的基是一个空集,该方程组只有零解.例 向量组)7,5,1,3(),5,4,3,1(),1,1,1,1(),3,2,1,1(4321==-==αααα是不是线性相关? 依照概念,若是向量组线性相关,那么齐次线性方程组044332211='+'+'+'ααααx x x x 有非零解.输入Clear[A,B];A={{1,1,2,3},{1,-1,1,1},{1,3,4,5},{3,1,5,7}}; B=Transpose[A]; NullSpace[B]输出为{{-2,-1,0,1}}说明向量组线性相关,且02421=+--ααα非齐次线性方程组的特解例 求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=++=+--=--+45322375222342432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 的特解.输入Clear[A,b];A={{1,1,-2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}}; b={4,2,-2,4} LinearSolve[A,b]输出为{1,1,-1,0}注: 命令LinearSolve 只给出线性方程组的一个特解.例 求出通过平面上三点(0,7),(1,6)和(2,9)的二次多项式,2c bx ax ++并画出其图形.依照题设条件有 ,924611700⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅+⋅=+⋅+⋅=+⋅+⋅c b a c b a c b a 输入Clear[x];A={{0,0,1},{1,1,1},{4,2,1}} y={7,6,9}p=LinearSolve[A,y]Clear[a,b,c,r,s,t];{a,b,c}.{r,s,t} f[x_]=p.{x^2,x,1};Plot[f[x],{x,0,2},GridLines ->Automatic,PlotRange ->All];那么输出c b a ,,的值为 {2,-3,7}并画出二次多项式7322+-x x 的图形(略).非齐次线性方程组的通解用命令Solve 求非齐次线性方程组的通解.例当a 为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++111321321321ax x x x ax x x x ax 无解、有唯一解、有无穷多解?当方程组有解时,求通解.先计算系数行列式,并求a ,使行列式等于0. 输入Clear[a];Det[{{a,1,1},{1,a,1},{1,1,a}}]; Solve[%==0,a]那么输出{{a →-2},{a →1},{a →1}} 当a 2-≠,a 1≠时,方程组有唯一解.输入Solve[{a*x +y +z ==1,x +a*y +z ==1,x +y +a*z ==1},{x,y,z}]则输出{{x →,21a + y →,21a+ z →a +21}}当a =-2时,输入Solve[{-2x+y+z==1,x -2y+z==1,x+y -2z==1},{x,y,z}]则输出{ }说明方程组无解. 当a =1时,输入Solve[{x+y+z==1,x+y+z==1,x+y+z==1},{x,y,z}]则输出{{x →1-y -z}}}说明有无穷多个解.非齐次线性方程组的特解为(1,0,0),对应的齐次线性方程组的基础解 系为为(-1,1,0)与(-1,0,1).例 求非齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534422312432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.解法1输入A={{2,1,-1,1},{3,-2,1,-3},{1,4,-3,5}};b={1,4,-2}; particular=LinearSolve[A,b] nullspacebasis=NullSpace[A]generalsolution=t*nullspacebasis[[1]]+k*nullspacebasis[[2]]+Flatten[particular]generalsolution 其通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛007/57/6107/97/1017/57/14321t k x x x x (k ,t 为任意常数)实验习题1.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-.024,02,032321321321x x x x x x x x x2.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-.0111784,02463,03542432143214321x x x x x x x x x x x x3. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+-=-+-.22,3,44324314324321x x x x x x x x x x4.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+++=-++.254,32,22432143214321x x x x x x x x x x x x5.用三种方式求方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=-+=-+127875329934,8852321321321321x x x x x x x x x x x x 的唯一解.6.当b a ,为何值时,方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有唯一解、无解、有无穷多解?对后者求通解.实验4 投入产出模型(综合实验)实验目的 利用线性代数中向量和矩阵的运算, 线性方程组的求解等知识,成立在经济 分析中有重要应用的投入产出数学模型. 把握线性代数在经济分析方面的应用.应用举例假设某经济系统只分为五个物质生产部门:农业、轻工业、重工业、运输业和建筑业, 五个部门间某年生产分派关系的统计数据可列成下表1. 在该表的第一象限中,每一个部门都以生产者和消费者的双重身份显现. 从每一行看,该部门作为生产部门以自己的产品分派给各部门;从每一列看,该部门又作为消耗部门在生产进程中消耗各部门的产品. 行与列的交叉点是部门之间的流量,那个量也是以双重身份显现,它是行部门分派给列部门的产品量,也是列部门消耗行部门的产品量.表1投入产出平稳表(单位: 亿元)注: 最终产品舍去了净出口.(修改表:加双线区分为四个象限)在第二象限中,反映了各部门用于最终产品的部份. 从每一行来看,反映了该部门最终产 品的分派情形;从每一列看,反映了用于消费、积存等方面的最终产品别离由各部门提供的数 量情形.在第三象限中,反映了总产品中新制造的价值情形,从每一行来看,反映了各部门新制造 价值的组成情形;从每一列看,反映了该部门新制造的价值情形.采纳与第三章第七节完全相同的记号,可取得关于表1的产品平稳方程组y x A E =-)( (1)其中,A 为直接消耗系数矩阵,依照直接消耗系数的概念),,2,1,(n j i x x a jij ij ==,易求出表1所对应的直接消耗系数矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⨯0603.00425.00372.00227.00371.00411.00250.00416.00240.00143.03425.02083.05013.01451.00923.00685.00417.00252.01438.00231.00329.00250.00462.02557.01709.01825110120051540620131297135101171825751200305406225312975351045182562512002505406271031294543510324182512512005054061363129450351081182560120030540625031298003510600)(55ij a A 利用Mathematica 软件(以下计算进程均用此软件实现,再也不重述),可计算出⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--11036.10739105.00982964.00672149.00637761.00884203.005447.1100805.00594445.0035022.0859487.0529259.016653.2495145.032573.0122005.00752055.00006552.020166.10492156.0132248.00874144.015254.0402651.024175.1)(1A E 为方便分析,将上述列昂节夫逆矩阵列成表2.表2下面咱们来分析上表中各列诸元素的经济意义. 以第2列为例,假设轻工业部门提供的 最终产品为一个单位, 其余部门提供的最终产品均为零, 即最终产品的列向量为 ,)0,0,0,1,0(T y =于是,轻工业部门的单位最终产品对5个部门的直接消耗列向量为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==0227.00240.01451.01438.02557.0000100603.00425.00372.00227.00371.00411.00250.00416.00240.00143.03425.02083.05013.01451.00923.00685.00417.00252.01438.00231.00329.00250.00462.02557.01709.0)0(Ay x通过中间产品向量)0(x 产生的间接消耗为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==0205373.00146768.0129979.00327974.00885192.0)0()1(Ax x , ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==0107259.000867109.00881789.00120554.00305619.0)0(2)2(x A x⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00570305.000505222.0054254.000575796.00129491.0)0(3)3(x A x , ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==00318798.000294103.00322339.000309566.000650578.0)0(4)4(x A x于是,轻工业部门的单位最终产品对五个部门总产品的需求量为++++++=)4()3()2()1()0(x x x x x y x.0629.00553.04497.01975.13942.000318798.000294103.00322339.000309566.000650578.000570305.000505222.0054254.000575796.00129491.00107259.000867109.00881789.00120554.00305619.00205733.00146768.0129979.00327974.00885192.000010⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=其中向量x 为列昂惕夫逆矩阵1)(--A E 的第2列, 该列5个元素别离是部门2生产一个单位 最终产品对部门一、二、3、4、5总产品的需求量, 即总产品定额. 同理, 能够说明列昂节夫 逆矩阵中第一、3、4、5列别离是部门一、3、4、5生产一个单位最终产品对部门一、二、3、 4、5的总产品定额.对应于附表1的完全消耗系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=-11036.00739105.00982964.00672149.00637761.00884203.005447.0100805.00594445.0035022.0859487.0529259.016653.1495145.032573.0122005.00752055.00006552.020166.00492156.0132248.00874144.015254.0402651.024175.0)(1EA E B最终产品是外生变量, 即最终产品是由经济系统之外的因素决定的, 而内生变量是由经济系统内的因素决定的. 此刻假定政府部门依照社会进展和人民生活的需要对表1的最终产品作了修改, 最终产品的增加量别离为农业2%, 轻工业7%, 重工业5%, 运输业5%, 建筑业 4%, 写成最终产品增量的列向量为,)51,5.37,15.52,09.160,4.35(T y =∆那么产品的增加量x ∆可由式(8)近似计算到第5项, 得+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+∆+∆+∆+∆+∆=∆515.3715.5209.1604.35515.3715.5209.1604.35515.3715.5209.1604.35515.3715.5209.1604.35515.375.5209.1604.35432)3()2()1()0(A A A A x x x x y x .)8033.744899.57169.238749.204083.121(T ≈其中,y A x ∆=∆)0(为各部门生产y ∆直接消耗各部门产品数量;而后面各项的和为各部门生 产y ∆的全数间接消耗的和.实验报告下表给出的是某城市某年度的各部门之间产品消耗量和外部需求量(均以产品价值计算, 单位: 万元), 表中每一行的数字是某一个部门提供给各部门和外部的产品价值.(1) 试列出投入—产出简表, 并求出直接消耗矩阵;(2) 依照预测, 从这一年度开始的五年内, 农业的外部需求每一年会下降1%, 轻工业和商业的外部需求每一年会递增6%, 而其它部门的外部需求每一年会递增3%, 试由此预测这五年内该城市和各部门的总产值的平均年增加率;(3) 编制第五年度的打算投入产出表.实验5 交通流模型(综合实验)实验目的利用线性代数中向量和矩阵的运算, 线性方程组的求解等知识,成立交通流模型. 把握线性代数在交通计划方面的应用.应用举例假设某城市部份单行街道的交通流量(每小时通过的车辆数)如图5-1所示.300 300 300+-432xxx=300+54xx=500-67xx=200+21xx=800+51xx=800+87xx=10009x=400-910xx=20010x=600++638xxx=1000⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪排版时只保留图,不要方程组图5-1试成立数学模型确信该交通网络未知部份的具体流量.假定上述问题知足以下两个大体假设(1)全数流入网络的流量等于全数流出网络的流量;(2)全数流入一个节点的流量等于流出此节点的流量.那么依照图5-1及上述大体两个假设,可成立该问题的线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++==+-==+=+=+=+-=+=+-1000600200400100080018002005003008631010998751217654432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x , 即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100060020040010008008002005003000010100110000000001100000000010000000000110000000000010001000000001100011000000000011000000000111010987654321x x x x x x x x x x 假设将上述矩阵方程记为b Ax =,那么问题就转化为求b Ax =的全数解. 下面咱们利用 Mathmatica 软件来求解一、输入矩阵A ,并利用RowReduce[A ]命令求得A 的秩为8. 输入RowReduce[A]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000000000000000000100000000001000000000011000000001010000000000110000000000100000001001000000100010=Ax 输入In[3]:=NullSpace[A]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00000110110011100000⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=00000110110011100000212211C C c c ξξη21,C C 3、输入增广阵(A b ),求出其秩为8, 由,108)()(=<==n Ab r A r 知方程组有无穷多个解.输入RowReduce[Ab]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000000000000000000006001000000000400010000000010000011000000800001010000050000000110002000000000100000000100108000000010001b Ax =输入 LinearSolve[A,b]Out[9]={{800},{0},{200},{500},{0},{800},{1000},{0},{400},{600}}那么取得所求非齐次线性方程组的一个特解:T )6004000100080005002000800(*=ξ综上所述,咱们就取得了非齐次线性方程组b Ax =的全数解为,*2211*ξξξξη++++=C C x (21,C C 为任意常数).在解的表示式中, x 的每一个分量即为交通网络中未知部份的具体流量, 该问题有无穷 多解(什么缘故? 并试探其实际意义).本模型具有实际应用价值, 求出该模型的解, 能够为交通计划设计部门提供解决交通堵 塞、车流运行不顺畅等问题的方式, 明白在何处应建设立交桥, 那条路应设计多宽等, 为城镇交通计划提供科学的指导意见. 可是,在本模型中,咱们只考虑了单行街道如此一种简单情形, 更复杂的情形留待读者在更高一级的课程中去研究. 另外,本模型还可推行到电路分析中的 网络节点流量等问题中.实验报告请读者应用本模型的思想方式, 为你所在或你熟悉的城镇成立一个区域的交通流量模 型. 并提供一个具体的解决方案, 即从无穷多个解中依照具体限制确信出一个具体的解决方 案.。

项目五 矩阵运算与方程组求解实验2 矩阵的秩与向量组的极大无关组实验目的 学习利用Mathematica 求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换; 求向量组的秩与极大无关组.基本命令1. 求矩阵M 的所有可能的k 阶子式组成的矩阵的命令:Minors[M,k].2. 把矩阵A 化作行最简形的命令:RowReduce[A].3. 把数表1,数表2, …,合并成一个数表的命令:Join[list1,list2,…]. 例如输入Join[{{1,0,-1},{3,2,1}},{{1,5},{4,6}}]则输出 {{1,0,-1},{3,2,1},{1,5},{4,6}}实验举例求矩阵的秩例2.1 (教材 例2.1) 设,815073*********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=M 求矩阵M 的秩. 输入Clear[M];M={{3,2,-1,-3,-2},{2,-1,3,1,-3},{7,0,5,-1,-8}};Minors[M,2]则输出{{-7,11,9,-5,5,-1,-8,8,9,11},{-14,22,18,-10,10,-2,-16,16,18,22},{7,-11,-9,5,-5,1,8,-8,-9,-11}}可见矩阵M 有不为0的二阶子式. 再输入Minors[M,3]则输出{{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}}可见矩阵M 的三阶子式都为0. 所以.2)(=M r例2.2 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1t 0713123123M 的秩等于2, 求常数t 的值.左上角的二阶子式不等于0. 三阶子式应该都等于0. 输入Clear[M];M={{3,2,-1,-3},{2,-1,3,1},{7,0,t,-1}};Minors[M,3]输出为{{35-7t,45-9t,-5+t}}当5=t 时, 所有的三阶子式都等于0. 此时矩阵的秩等于2.例2.3 (教材 例2.2) 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3224211631095114047116的行最简形及其秩. 输入A={{6,1,1,7},{4,0,4,1},{1,2,-9,0},{-1,3,-16,-1},{2,-4,22,3}}MatrixForm[A]RowReduce[A]//MatrixForm则输出矩阵A 的行最简形⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000000100005100101 根据矩阵的行最简形,便得矩阵的秩为3.矩阵的初等行变换命令RowfReduce[A]把矩阵A 化作行最简形. 用初等行变换可以求矩阵的秩与矩阵的逆.例2.4 设,41311221222832A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=求矩阵A 的秩. 输入Clear[A];A={{2,-3,8,2},{2,12,-2,12},{1,3,1,4}};RowReduce[A]//MatrixForm输出为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00003232102301 因此A 的秩为2.例2.5 (教材 例2.3) 用初等变换法求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛343122321的逆矩阵.输入 A={{1,2,3},{2,2,1},{3,4,3}}MatrixForm[A]Transpose[Join[Transpose[A],IdentityMatrix[3]]]//MatrixFormRowReduce[%]//MatrixFormInverse[A]//MatrixForm则输出矩阵A 的逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1112/532/3231向量组的秩矩阵的秩与它的行向量组, 以及列向量组的秩相等, 因此可以用命令RowReduce 求向量组的秩.例2.6 求向量组)0,3,0,2(),2,5,4,0(),1,1,2,1(231=--=-=ααα的秩.将向量写作矩阵的行, 输入Clear[A];A={{1,2,-1,1},{0,-4,5,-2},{2,0,3,0}};RowReduce[A]//MatrixForm则输出⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000021541002301 这里有两个非零行, 矩阵的秩等于2. 因此, 它的行向量组的秩也等于2.例2.7 (教材 例2.4) 向量组)7,5,1,3(),5,4,3,1(),1,1,1,1(),3,2,1,1(4321==-==αααα是否线性相关?输入Clear[A];A={{1,1,2,3},{1,-1,1,1},{1,3,4,5},{3,1,5,7}};RowReduce[A]//MatrixForm则输出⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000010010102001 向量组包含四个向量, 而它的秩等于3, 因此, 这个向量组线性相关.例2.8 向量组)3,1,1(),2,1,3(),7,2,2(321=-==ααα是否线性相关?输入Clear[A];A={{2,2,7},{3,-1,2},{1,1,3}};RowReduce[A]//MatrixForm则输出⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001 向量组包含三个向量, 而它的秩等于3, 因此, 这个向量组线性无关.向量组的极大无关组例2.9 (教材 例2.5) 求向量组)0,5,1,2(),0,2,1,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα的极大无关组, 并将其它向量用极大无关组线性表示.输入Clear[A,B];A={{1,-1,2,4},{0,3,1,2},{3,0,7,14},{1,-1,2,0},{2,1,5,0}};B=Transpose[A];RowReduce[B]//MatrixForm则输出⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000002/51000101102/10301 在行最简形中有三个非零行, 因此向量组的秩等于3. 非零行的首元素位于第一、二、 四列,因此421,,ααα是向量组的一个极大无关组. 第三列的前两个元素分别是3,1,于是 .3213ααα+=第五列的前三个元素分别是,25,1,21-于是.25214215αααα++-=向量组的等价 可以证明:两个向量组等价的充分必要条件是: 以它们为行向量构成的矩阵的行最简形具有相同的非零行, 因此, 还可以用命令RowReduce 证明两个向量组等价.例2.10 设向量),7,3,5,4(),12,5,8,5(),2,1,2,3(),3,1,1,2(2121--=--=--=-=ββαα求证:向量组21,αα与21,ββ等价.将向量分别写作矩阵A , B 的行向量, 输入Clear[A,B];A={{2,1,-1,3},{3,-2,1,-2}};B={{-5,8,-5,12},{4,-5,3,-7}};RowReduce[A]//MatrixFormRowReduce[B]//MatrixForm则输出⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--7137510747101 与⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--7137510747101 两个行最简形相同, 因此两个向量组等价.实验习题1.求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=12412116030242201211A 的秩. 2.求t , 使得矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t A 23312231的秩等于2.3.求向量组)0,0,1(),1,1,1(),1,1,0(),1,0,0(4321====αααα的秩.4.当t 取何值时, 向量组),3,1(),3,2,1(),1,1,1(321t ===ααα的秩最小?5.向量组)1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321-=--=--==αααα是否线性相关?6.求向量组)6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(321===ααα的最大线性无关组. 并用极大无关 组线性表示其它向量.7.设向量),6,3,3,2(),6,3,0,3(),18,3,3,8(),0,6,3,1(2121=-=-=-=ββαα求证:向量组21,αα 与21,ββ等价.。

求向量组的秩与最大无关组、对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵【定理】 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩 •（三秩相等）① 把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵2 护1 -2 O OO O >因为阶梯形矩阵的列秩为 2,所以向量组的秩为 2 .阶梯形矩阵后可求•2 30 -1 -20 0 0 0」②对矩阵 A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵 B ;③阶梯形 B 中非零行的个数即为所求向量组的秩.【例1】 求下列向量组 a i =(1,2, 3, 4) , a 2 =( 2, 3, 4, 5),a 3 =(3, 4, 5, 6)的秩. a i ,a 2 ,a 3为列向量作成矩阵 A ,用初等行变换将A 化为阶梯形矩阵后可求2 -1 -2 -3—石丿 解2:以a i ,a 2 ,a 3为行向量作成矩阵 A ,用初等行变换将 A 化为因为阶梯形矩阵的行秩为2,所以向量组的秩为 2 .2、求向量组的最大线性无关组的方法方法1逐个选录法给定一个非零向量组 A : :T, : 2,…,:-n①设0丰0,则线性相关，保留②加入：2，若：2与：1线性相关，去掉：2;若：2与：-1线性无关，保留「1 , :-2；③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组【例2】求向量组：T T T一1,2, -1 , >2 - 2, 3,1 , ： 3 一4,1,-1 ,的最大无关组解：因为a1非零，故保留a1取a2,因为a1与a2线性无关，故保留a1, a2取a3,易得a3=2a1+a2，故a1, a2 , a3线性相关。

所以最大无关组为a1, a2方法2初等变换法【定理】矩阵A经初等行变换化为B，则B的列向量组与A对应的列向量组有相同的线性相关性证明从略,下面通过例子验证结论成立.向量组：：1=(1,2,3) T, ：2=(-1,2,0) T, ：-3=(1,6,6) T技性关系：耳=绍十耳 厲=2酉十爲丹=2歼十丹L由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法：(1) 列向量行变换① 把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵 A ；② 对矩阵A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵 B ;③ A 中的与B 的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组.【例 3】求向量组：冷=(2,1,3,-1) T ,「2=(3,-1,2,0) T ,「3=(1,3,4,-2) T ,為=(4,-3,1,1) T的秩和一个最大无关组并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。

求向量组的秩与极大无关组对于具体给出的向量组,求秩与极大无关组的常用方法如下.方法1 将向量组排成矩阵：（列向量组时)或（行向量组时) （＊）并求的秩，则即是该向量组的秩;再在原矩阵中找非零的阶子式，则包含的个列(或行）向量即是的列（或行)向量组的一个极大无关组.方法2 将列（或行）向量组排成矩阵如（＊)式，并用初等行(或列）变换化为行(或列)阶梯形矩阵（或)，则（或)中非零行(或列）的个数即等于向量组的秩，且是该向量组的一个极大无关组,其中是（或)中各非零行(或列）的第1个非零元素所在的列(或行）。

方法3 当向量组中向量个数较少时,也可采用逐个选录法：即在向量组中任取一个非零向量作为，再取一个与的对应分量不成比例的向量作为，又取一个不能由和线性表出的向量作为，继续进行下去便可求得向量组的极大无关组。

对于抽象的向量组，求秩与极大无关组常利用一些有关的结论，如“若向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示，则(Ⅰ)的秩不超过（Ⅱ）的秩”，“等价向量组有相同的秩”,“秩为的向量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的极大无关组”等。

例1 求向量组，,，，的秩与一个极大无关组.解法1,所以向量组的秩为3；又中位于1,2，4行及1,2，4列的3阶子式故是向量组的一个极大无关组（可知;均可作为极大无关组）.法2由于的第1，2，4个行向量构成的向量组线性无关，故是向量组的一个极大无关组。

例2 求向量组，,，的秩和一个极大无关组。

解(1）当且时，，故向量组的秩为3，且是一个极大无关组；(2）当时,，故向量组的秩为3，且是一个极大无关组；（3）当时,若，则，此时向量组的秩为2，且是一个极大无关组。

若，则，此时向量组的秩为3，且是一个极大无关组.例3 设向量组的秩为。

又设，，求向量组的秩.解法1 由于,且所以故向量组与等价，从而的秩为.法2 将看做列向量，则有其中可求得，即可逆，从而可由线性表示，故这两个向量组等价，即它们有相同的秩.例4 设向量组(Ⅰ）：和向量组(Ⅱ):的秩分别为和，而向量组(Ⅲ)：的秩为。

求向量组的秩与最大无关组一、对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵【定理】矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等)①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A；②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩．【例1】求下列向量组a１=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩. 解1：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的列秩为2，所以向量组的秩为2．解2：以a１,a２,a３为行向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的行秩为2，所以向量组的秩为2．2、求向量组的最大线性无关组的方法方法1 逐个选录法给定一个非零向量组A：α1, α2,…, αn①设α1≠ 0，则α1线性相关，保留α1②加入α2，若α2与α1线性相关，去掉α2；若α2与α1线性无关，保留α1，α2；③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组【例2】求向量组：()()()1231,2,12,3,14,1,1,,,T T Tααα=-=-=-的最大无关组 解：因为a 1非零，故保留a 1取a 2，因为a 1与a 2线性无关，故保留a 1，a 2 取a 3，易得a 3=2a 1+a 2，故a 1，a 2 ，a 3线性相关。

所以最大无关组为a 1，a 2 方法2 初等变换法【定理】 矩阵A 经初等行变换化为B ，则B 的列向量组与A 对应的列向量组有相同的线性相关性. 证明从略,下面通过例子验证结论成立.向量组：α1=(1,2,3)T, α2=(-1,2,0)T, α3=(1,6,6)T由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法： （1）列向量行变换①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A ； ②对矩阵A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵B ；③A 中的与B 的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组．【例3】求向量组 ：α1=(2,1,3,-1)T, α2=(3,-1,2,0)T, α3=(1,3,4,-2)T, α4=(4,-3,1,1)T的秩和一个最大无关组, 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。

向量组的秩和最大线性无关组 引例：对于方程组12312312321221332x x x x x x x -+=-⎧⎪+-=⎨⎪-+=-⎩容易发现其有效方程的个数为2个，因为第3个方程可由第1个方程减去第2个方程得到（或者第3个方程是第1个方程和第2个方程的线性组合）；由于本章的内容是用向量的关系来研究方程组解的情况，进而从方程组3个方程对应的3个向量来说“有用”（或者也可以说成等价有效）的最少的向量是2个。

因此，对于一个给定的向量组，其中“有用”（或者也可以说成等价有效）的最少的向量应该有多少个呢？在此我们提出最大线性无关组的概念： 最大线性无关组：在s ααα,,,21Λ中，存在ip i i ααα,,,21Λ满足：（1）ip i i ααα,,,21Λ线性无关；（2）在ip i i ααα,,,21Λ中再添加一个向量就线性相关。

则称ip i i ααα,,,21Λ是s ααα,,,21Λ的一个最大线性无关组，注：Ⅰ、不难看出条件（2）等价的说法还有s ααα,,,21Λ中任一向量均可由ip i i ααα,,,21Λ线性表示；或者亦可以说成s ααα,,,21Λ中任意1p +个向量均线性相关；Ⅱ、从最大线性无关组的定义可以看出最大线性无关组与原先的向量组可以相互线性表示，进而最大线性无关组与原先的向量组是等价的（即有效的最少的方程构成的方程组与原先的方程组是等价的）；Ⅲ、从上面的方程组可以看出同解的有效方程组可以是第1、2两个方程构成，也可以是第2、3两个方程构成（因为第1个方程可以看成第2、3两个方程的和），因此从其对应的向量组来说，向量组的最大线性无关组是不唯一的；Ⅳ、可以发现，虽然同解的有效方程组的形式可以不一样，但是同解的有效方程组中所含的方程的个数是唯一的，即从其对应的向量组来说，最大线性无关组虽然不唯一，但是最大线性无关组中所含向量的个数唯一的。

这是从数的角度反映了向量组的性质，在此给出向量组的秩的概念：向量组的秩：称最大线性无关组中所含向量的个数为向量组的秩，如上面定义中ip i i ααα,,,21Λ是s ααα,,,21Λ的一个最大线性无关组，则称s ααα,,,21Λ的秩为p ，记为12(,,,)s R p ααα=L 。

矩阵A的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩.
如果向量组α1, α2, …, αm中的每一个向量均可由向量组β1, β2, …, βr线性表出，并且m > r，那么向量组α1, α2, …, αm线性相关.
如果向量组α1, α2, …, αm中的每一个向量均可由β1, β2, …, βr线性表出，并且α1, α2, …, αm 线性无关，那么m≤r .
同一向量组的最大线性无关组所含向量的个数相同.
向量组的最大线性无关组所含向量的个数就是该向量组的秩.
对矩阵A m n作行(或列)的初等变换不改变矩阵列(或行)向量组的线性关系(线性相关性).
对列向量而言, 设矩阵A=(α1, α2, …, αn)经有限次行初等变换得到矩阵B=(β1, β2, …, βn), 则A 的任意k个列向量与B中对应的k个列向量有相同的线性相关性.。