证明三心定理的解析法

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇天津四中：刘晖一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x⇔O 是ABC ∆的重心.证法2：如图OCOB OA ++02=+=OD OA∴ODAO 2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为A B C ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⋅⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥⇔同理BC OA ⊥，AB OC ⊥⇔O 为A B C ∆的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为A B C ∆的内心.证明：bACc AB、分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴bAC cAB +平分BAC ∠,(λ=∴AO bAC cAB +)，令cb a bc ++=λ∴cb a bc AO ++=（bAC cAB +)化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a∴0=++OC c OB b OA a（4）==⇔O 为A B C ∆的外心。

三角形的沉心之阳早格格创做沉心是三角形三边中线的接面，三线接一面可用燕尾定理说明，格中简朴.三角形沉心已知：△ABC中，D为BC中面，E为AC中面，AD 取BE接于O，CO延少线接AB于F.供证：F为AB中面.说明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证.沉心的几条本量：1.沉心到顶面的距离取沉心到对于边中面的距离之比为2：1.2.沉心战三角形3个顶面组成的3个三角形里积相等.3.沉心到三角形3个顶面距离的仄圆战最小.4.正在仄里直角坐标系中，沉心的坐标是顶面坐目标算术仄衡，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 横坐标：（Z1+Z2+Z3）/35.沉心战三角形3个顶面的连线的任性一条连线将三角形里积仄分.说明：刚刚才说明三线接一时已证.6.沉心是三角形内到三边距离之积最大的面.如果用塞瓦定理证，则极易证三条中线接于一面.如图，正在△ABC中，AD、BE、CF是中线则AF=FB，BD=DC，CE=EA∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1∴AD、BE、CF接于一面即三角形的三条中线接于一面定义三角形中接圆的圆心喊干三角形的中心．三角形中接圆的圆心也便是三角形三边中垂线的接面,三角形的三个顶面便正在那个中接圆上编写原段三条中垂线同面说明.∵l、m为中垂线∴AF=BF=FC所以BC中垂线必过F编写原段三角形中心的本量设⊿ABC的中接圆为☉G(R)，角A、B、C的对于边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．本量1：（1）钝角三角形的中心正在三角形内；（2）直角三角形的中心正在斜边上，取斜边中面沉合；（3）钝角三角形的中心正在圆心上.本量2：∠BGC=2∠A，（或者∠BGC=2(180°-∠A).本量3：∠GAC+∠B=90°说明：如图所示延少AG取圆接取P∵A、C、B、P四面同圆∴∠P=∠B∵∠P+∠GAC=90°∴∠GAC+∠B=90°本量4：面G是仄里ABC上一面，面P是仄里ABC上任性一面，那么面G是⊿ABC中心的充要条件是：（1）背量PG=((tanB+tanC)背量PA+(tanC+tanA)背量PB+(tanA+tanB)背量PC)/2(tanA+tanB+tanC).或者（2）背量PG=(cosA/2sinBsinC)背量PA+(cosB/2sinCsinA)背量PB+(cosC/2sinAsinB)背量PC.本量5：三角形三条边的笔直仄分线的接于一面，该面即为三角形中接圆的圆心.中心到三顶面的距离相等.本量6：面G是仄里ABC上一面，那么面G是⊿ABC中心的充要条件(背量GA+背量GB)·背量AB= (背量GB+背量GC)·背量BC=(背量GC+背量GA)·背量CA=背量0.编写原段三角形中心的干法分别做三角形二边的中垂线接面计做O以O为圆心OA为半径绘圆圆O即为所供编写原段中心的供法设三角形三边及其对于角分别为a、b、c，∠A、∠B、∠C正弦定理有r=a/（2sinA）=b/（2sinB）=c/（2sinC）r=abc/（4S△ABC）定义正在三角形中,三个角的角仄分线的接面是那个三角形内切圆的圆心而三角形内切圆的圆心便喊干三角形的内心,编写原段三条角分线同面说明说明：如图所示做∠B、∠C角分线取AC、AB接取F、DCD取BF接取I对接AI接BC于E由塞瓦定理有（AD/BD）*（BE/CE）*（CF/AF）=1 ∵BF、CD为角分线∴由角分线定理有AD/BD=AC/BC CF/AF=BC/AB∴BE/CE=AB/AC由角仄分线定理的顺定理有AE为∠A的角分线证毕编写原段三角形内心的本量设△ABC的内切圆为☉I(r)，角A、B、C的对于边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、三角形的内心到三边的距离相等，皆等于内切圆半径r．2、∠BIC=90°+A/2．3、如图正在RT△ABC中，∠A=90°△内切圆切BC 于D则S△ABC=BD*CD4、面O是仄里ABC上任性一面，面I是△ABC内心的充要条件是：背量OI=[a(背量OA)+b(背量OB)+c(背量OC)]/(a+b+c)．5、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．6、(欧推定理)⊿ABC中，R战r分别为中接圆为战内切圆的半径，O战I分别为其中心战内心，则OI^2=R^2-2Rr．7、面O是仄里ABC上任性一面，面I是△ABC内心的充要条件是：a(背量OA)+b(背量OB)+c(背量OC)=背量0．8、单直线上任一收上一面取二中心组成的三角形的内心正在真轴的射影为对于应收的顶面.9、△ABC中，内切圆分别取AB，BC，CA相切于P，Q，R，则AP=AR=（b+c-a）/2，BP =BQ =(a +c-b)/2,CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2.10、（内角仄分线定理）△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角仄分线分别接BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.编写原段三角形内心的干法干出三角形的内接圆○O过O分别做AC、BC（任性二边）垂线取圆O接于E、F 对接AF、BE接于I，面I即为内心编写原段三角形内接圆半径1、正在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．2、正在RT△ABC中，∠C=90°，r=ab/a+b+c3任性△ABC中r=（2*S△ABC）/C△ABC （C 为周少）。

三角形三心定理
三角形三心定理指出，在任何三角形中，存在三个特殊点，它们分别称为三角形的内心、重心和垂心。

内心是三角形内部的一个点，它到三角形的三条边的距离相等。

内心是三角形内切圆的圆心，内切圆是唯一与三角形的三条边都相切的圆。

重心是三角形内部的一个点，它到三角形的三条中线的距离相等。

中线是三角形的任意两个角的中垂线的交点。

重心是三角形的重心线的交点，重心线是三角形的三个顶点与它们所对的边的中垂线。

垂心是三角形内部的一个点，它到三角形的三条边的垂线的交点。

垂线是从三角形的一个顶点垂直于对边的直线。

垂心是三角形的垂心线的交点，垂心线是从三角形的一个顶点垂直于对边的直线。

垂线还可以用于构造三角形的高线，高线是从三角形的一个顶点垂直于对边的线段。

三角形的内心、重心和垂心具有很多重要的性质和应用，它们在三角形的面积、周长、角度、角平分线、外接圆、垂直平分线等方面都有着重要的作用。

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三心定理确定断开点 分段式横拉杆铰接点（或称断开点）的位置与独立悬架的结构型式有关。

采用双横臂式和滑柱摆臂式（McPherson Sturt ，麦克弗逊式）独立悬架时，常用图解法确定横拉杆铰接点的位置，如图3-4所示。

该图是在悬架摆臂轴线的垂直平面上绘出的，其中图（a ），（b ），（c ）为已知双横臂的上横臂EC 、下横臂GD 及转向节臂球销中心U 在该平面的投影位置，求横拉杆铰接点T 的投影位置。

在图3-4（a ），（b ）中，图解是这样进行的：按图中的箭头方向绘
EC 、GD 的延长线求得立柱EG 的瞬心1P 点，再由1P 点作直线U P 1；由GE 、DC 的延长线得
2P 点；绘UE 的延长线，再过1P 点作直线与UE 的延长线交于3P 点，并使31P P 线与21P P 线的夹角等于G P 1与U P 1线的夹角 ，且当U P 1高于G P 1线时，31P P 亦应高于21P P 线；过3P 点作C P
3的延长线交U P 1于T 点，T 即为横拉杆铰接点的理想投影位置。

当上、下横臂EC 与GD 平行如图3-4（c ）所示，则如上法求出2P 点后，则应过2P 点绘平行于GD 平行线，再在
UE 的延长线上找出一点，使该点与过2P 点的平行线的垂直距离等于U
点至GD 线的垂直距离，这个点即为3P 点，再绘C P 3的延长线交于过U 并平行于GD 的线于T 点，T 即是横拉杆铰接点的理想投影位置。

根据以上方法确定梯形断开点的坐标，进而得到转向器长度370mm 。

文章编号:1009 0207(2001)02 075-02三心定理的证明*杨爱民(新疆油学院机电系,乌鲁木齐 830000)摘 要:本文运用理论力学中运动学的速度合成定理,给出了一般情况下平面机构运动三心定理的求证过程。

方法简明,结论正确。

关键词:速度合成;速度瞬心中图分类号:TH112 文献标识码:A1 速度瞬心定义的讨论文献[2]给出的速度瞬心的定义是:在每一瞬时,运动的平面图形上都唯一存在速度为零的点。

此点称为瞬时速度中心(instantaneous center of velocity),简称速度瞬心。

文献[1]给出的速度瞬心的定义是:互相作平面运动的两构件上,瞬时相对速度为零的点,或瞬时速度相等的重合点,此点称为瞬时速度中心,简称瞬心。

若该点的绝对速度为零则称为绝对瞬心;若该点的绝对速度不等于零则为相对瞬心。

用符号Pij 表示构件i 及构件j 的瞬心。

本文采用文献[1]给出的速度瞬心定义及其表示方法。

2 三心定理的求证在运用瞬心法分析平面机构运动情况时,经常运用三心定理,既三个作平面运动的构件有三个瞬心,且三个瞬心位于同一条直线上。

文献[1]给出了特定情况下三心定理的证明,如图一所示,即假定构件3固定,构件1和构件2分别与构件3铰接,则构件1和构件3的瞬心P13位于铰链A 中心处,构件2和构件3的瞬心P 23位于铰链B 中心处。

位于两铰链中心连线(瞬心P 13和P 23的连线)之外的任一点C,由于构件1在C 点的速度方向直于直线CA,而构件2在C 点的速度方向直于直线CB,直线CA 不平行于直线CB,因而在C 点处V 1 V 2,所以C 点不是构件1和构件2的瞬心P 12,而只有位于AB 连线上的点,即两瞬心P 23P 13连线上的点,V 1与V 2的方向才能一致,均垂直于AB 连线,所以构件1和构件2的瞬心P 12必位于两瞬心P 23P 13连线上。

瞬心P 12在该线上的具体位置则取决于构件1的角速度 1和构件2的角速度 2的转向和大小。

三心定理的证明三心定理，当两构件直接组成运动副时，其瞬心的位置可以很容易地通过直接观察加以确定；如果两构件没有直接连接形成运动副，则它们的瞬心位置需要用三心定理来确定。

三心定理的内容是：四连杆机构中，作平面平行运动的三个构件共有三个瞬心，它们位于同一直线上。

定义三心定理是作相对平面运动的三构件之间共有三个瞬心，它们必位于同一直线上。

如图1所示的铰链四杆机构，它共有六个瞬心，其中P01，P12，P23和P03分别为P的下标所表示的两构件瞬心：即为相应两构件组成转动副(铰链)的中心(铰接点)。

尚有两个瞬心P02和P13可按三心定理确定：直线P01P12与P23P03的交点为P02，直线P12P23与P01P03的交点为P13。

相关概念速度瞬心两构件作平面相对运动时，在任意瞬间总能找到这样的点：两构件的相对运动可以认为是绕该点的转动。

深入理解速度瞬心：1）两构件上相对速度为零的重合点，即同速点；2）瞬时具有瞬时性（时刻不同，位置不同）；3）两构件的速度瞬心位于无穷远，表明两构件的角速度相同或仅作相对移动；4）相对速度瞬心：两构件都是运动的；绝对速度瞬心：两构件之一是静止的（绝对速度为零的点；并非接触点的变化速度）。

瞬心数目瞬心位置确定1）直接观察法（定义法，由于直接形成运动副的两构件）；2）三心定理法：用于没有直接形成运动副的两构件。

应用应用三心定理求瞬心，再用速度瞬心法求解问题。

速度瞬心法：1）速度瞬心法仅用于求解速度问题，不能用于求解加速度问题；2）速度瞬心法用于简单机构（构件较少），很方便、几何意义强；3）对于复杂机构，瞬心数目太多，速度瞬心法求解不便（可以只找与解题有关的瞬心）；4）瞬心落在图外，解法失效；5）瞬心多边形求解的实质为三心定理，对超过4个以上构件的机构借助于瞬心多边形求解较方便。

三角形的三心指的是什么（二）引言概述：在前一篇文档中（《三角形的三心指的是什么（一）》），我们已经介绍了三角形的三心中的垂心。

在本文档中，我们将继续介绍三角形的另外两个重要概念：重心和外心。

这三个点统称为三角形的三心，它们在几何学中有着重要的应用和意义。

正文：一、重心重心被定义为三角形三条中线的交点，即连接三角形的中点与对边中点的线段。

下面是与重心相关的几个要点：1. 重心是一个三角形的重要特征点，具有特殊的性质和应用。

2. 重心将三角形分为六个三角形，每个子三角形的面积之和等于整个三角形的面积的二分之一。

3. 重心到三角形的各个顶点的距离之和等于重心到三条边的距离之和。

4. 重心是一个三角形的质心，也就是说，三角形的质量均匀分布时，重心是三角形的平衡点。

5. 在解决三角形相关问题时，重心经常被用作坐标系的原点，简化计算过程。

二、外心外心是一个三角形的外接圆心，即通过三角形的三个顶点作垂直平分线，其交点即为外心。

以下是与外心相关的几个要点：1. 外心存在的充分必要条件是三角形的三个顶点不共线。

2. 外心到三角形的各个顶点的距离相等，也就是说，外心到三个顶点的线段相等。

3. 外心是通过三角形三边合同相交点建立的唯一圆心。

4. 外心到三角形三个顶点的连线形成一个等边三角形。

5. 外接圆的半径等于外心到任意一个顶点的距离。

总结：本文档中我们介绍了三角形的两个重要概念：重心和外心。

重心是通过连接三角形的中点与对边中点的线段形成，具有特殊的性质和应用。

外心是通过三角形的三个顶点的垂直平分线交点形成，是一个三角形的外接圆心。

这两个概念在几何学中都具有重要的意义，建立了许多相关的定理和计算方法，对解决三角形问题起到了重要的作用。