2018-2019学年北师大版必修一第一章3 集合的基本运算学案

3.2 全集与补集学习目标核心素养1.理解全集、补集的概念．(重点)2．会求给定集合的补集．(重点)3．熟练掌握集合的综合运算，并能解决简单的应用问题．(难点)1．通过学习全集、补集的概念，培养数学抽象素养．2．通过集合间的交、并、补的运算，提升数学运算、逻辑推理素养.阅读教材P12从本节开始至P14“练习”以上部分，完成下列问题．1．全集(1)定义：在研究某些集合时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素．(2)记法：全集通常记作U.思考：全集唯一吗？我们研究奇数或偶数的有关问题时，应选取的全集通常是什么？[提示]全集不唯一，通常选取整数集作为全集．2．补集文字语言设U是全集，A是U的一个子集(即A U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合称为U中子集A的补集(或余集)，记作U A符号语言U A＝{x|x∈U，且x A}图形语言性质A∪(U A)＝U，A∩(U A)＝，U(U A)＝A1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,4}，B＝{2,4}，则U(A∪B)＝( )A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}C[因为A∪B＝{1,2,4}，U＝{1,2,3,4}，所以U(A∪B)＝{3}．]2．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,4}，B＝{2}，则A∩(U B)＝( )A．{1,2,3,4,5} B．{1,4}C．{1,2,4} D．{3,5}B[U B＝{1,3,4,5}，又A＝{1,2,4}，则A∩(U B)＝{1,4}．]3．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则U A＝________.{x|x<1}[如图所示：由上图知，U A＝{x|x<1}．]4．设全集U＝{1,2,3,4,5}，U A＝{1,3,5}，则A＝________.{2,4}[由补集的定义知，A＝{2,4}．]Venn图在补集中的应用【例1】图中阴影部分所表示的集合是( )A．B∩U(A∪C) B．(A∪B)∪(B∪C)C．(A∪C)∩(U B) D．U(A∪C)∪BA[阴影部分可表示为B∩U(A∪C)．]1．当阴影是凹陷图形时，常用补集表示；2．当题目涉及多个集合的补集时，常利用Venn图分析解决；3．应用题常用Venn图分析求解．[跟进训练]1．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，U A＝{2,4,6,8}，U B＝{1,4,6,8,9}，则集合B ＝________.{2,3,5,7}[借助Venn图，如图所示．得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．因为U B＝{1,4,6,8,9}，所以B＝{2,3,5,7}．]补集的有关运算【例2】(1)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－3<x≤2}，则U A＝______，U B ＝________.(2)设U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则U A＝________，U B＝________.(1){x|x<－3} {x|x≤－3，或x>2}(2){－5，－4,3,4} {－5，－4,5}[(1)因为A＝{x|x≥－3}，所以U A＝R A＝{x|x<－3}．又因为B＝{x|－3<x≤2}，所以U B＝{x|x≤－3，或x>2}．(2)法一：在集合U中，因为x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，所以U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，所以U A＝{－5，－4,3,4}，U B＝{－5，－4,5}．法二：(Venn图法)可用Venn图表示则U A＝{－5，－4,3,4}，U B＝{－5，－4,5}．]求集合补集的策略1如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解.另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解.这样处理起来，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错.2如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解.[跟进训练]2．(1)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∪U B＝( )A．{3} B．{4}C．{3,4} D．(2)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(R S)∪T等于( )A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1}D．{x|x≥1}(1)A(2)C[(1)因为U＝{1,2,3,4}，U(A∪B)＝{4}，所以A∪B＝{1,2,3}，又因为B＝{1,2}，所以{3}A{1,2,3}．又U B＝{3,4}，所以A∩U B＝{3}．(2)因为S＝{x|x>－2}．所以R S＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，所以(R S)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．]与补集相关的参数值的求解[探究问题]1．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，U A＝{5}，求实数a的值．提示：∵U A＝{5}，∴5∈U，且5A.∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2，或a＝－4.当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}符合题意．当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A U，故a＝－4舍去．综上知a＝2.2．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(U A)∩B＝，求实数m 的取值范围．提示：由已知A ＝{x |x ≥－m }，得U A ＝{x |x <－m }，因为B ＝{x |－2<x <4}，(U A )∩B ＝，所以－m ≤－2，即m ≥2，所以实数m 的取值范围是{m |m ≥2}． 3．设全集U ＝R ，M ＝{x |3a <x <2a ＋5}，P ＝{x |－2≤x ≤1}，若M (U P )，求实数a 的取值范围．提示：U P ＝{x |x <－2，或x >1}， 因为M (U P )，所以分M ＝，M ≠两种情况讨论．(1)M ＝时，应有3a ≥2a ＋5，所以a ≥5. (2)M ≠时，如图可得：⎩⎪⎨⎪⎧3a <2a ＋5，2a ＋5≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧3a <2a ＋5，3a ≥1，所以a ≤－72或13≤a <5，综上可知，实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥13或a ≤－72. 【例3】 已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若(R A )∪B ＝R ，求实数a 的取值范围． [思路探究] 先求出R A ，再借助数轴寻找a 满足的条件． [解]RA ＝{x |x ≤1，或x ≥2}．画出符合题意的图形．由上图得，a ≥2.(变条件)将例3中的“(R A )∪B ＝R ”，改为“A ∩(R B )＝”，求实数a 的取值范围．[解] 由A ∩(R B )＝，得AB .画出符合题意的图形：由图，得a ≥2.由集合补集求参数的方法1．对全集概念的三点理解(1)全集的概念可以理解为在研究集合与集合之间的关系时，所要研究的集合都是某一个集合的子集，就把这个给定的集合称为全集．(2)全集是对于所研究的问题而言的一个概念，它不是一成不变的，它会根据所研究问题的不同而有不同的选择．所以说全集是一个相对的概念．2．补集定义的理解(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集．比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当做全集．(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想．(3)从符号角度来看，若x∈U，A U，则x∈A和x∈U A二者必居其一．求两个集合的并集与交集时，先化简集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直观观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．3．与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．4．不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．1．思考辨析(1)全集包含任何一个元素．( )(2)A C＝B C. ( )(3)若x∈U，A U，则x∈A，或x∈U A. ( )[答案](1)×(2)×(3)√2．已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}A[阴影部分表示的集合为B∩(Z A)＝{－1,2}．]3．已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(U B)＝__________.{1,2,3}[U B＝{2}，A∪(U B)＝{1,3}∪{2}＝{1,2,3}．]4．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若U A＝{1,2}，求实数m的值．[解]由U A＝{1,2}，得A＝{0,3}．所以9＋3m＝0，解得m＝－3.。

3．2 全集与补集学习目标 1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．知识点一全集(1)定义：在研究某些集合时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素．(2)记法：全集通常记作U.知识点二补集思考实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？答案剩下不大于1的数，用集合表示为{x∈R|x≤1}．梳理补集的概念1．根据研究问题的不同，可以指定不同的全集．( √ ) 2．存在x 0∈U ，x 0∉A ，且x 0∉∁U A .( × )3．设全集U ＝R ，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x >1，则∁U A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x ≤1.( × ) 4．设全集U ＝错误!，A ＝{(x ，y )|x >0且y >0}，则∁U A ＝{(x ，y )|x ≤0且y ≤0)}.( × )类型一求补集例1 (1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁U A等于( ) A．{x|0<x<2} B．{x|0≤x<2}C．{x|0<x≤2} D．{x|0≤x≤2}考点补集的概念及运算题点无限集合的补集答案 C解析∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，∴∁U A＝{x|0<x≤2}，故选C.(2)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求∁U A，∁U B.考点补集的概念及运算题点有限集合的补集解根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁U A＝{4,5,6,7,8}，∁U B＝{1,2,7,8}．(3)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁U(A∪B)．考点补集的概念及运算题点无限集合的补集解根据三角形的分类可知A∩B＝∅，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，∁U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．反思与感悟求集合的补集，需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn图、数轴、坐标系来求解．跟踪训练1 (1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A＝________.考点补集的概念及运算题点有限集合的补集答案{3,4,5}(2)已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，则∁U A＝________.考点补集的概念及运算题点无限集合的补集答案{x|－1<x<2}(3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy>0}，则∁U A＝________.考点补集的概念及运算题点无限集合的补集答案{(x，y)|xy≤0}类型二补集性质的应用命题角度1 补集性质在集合运算中的应用例2 已知A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1，－3,1,3}，∁U B＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.考点补集的概念及运算题点有限集合的补集解∵A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1，－3,1,3}，∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．而∁U B＝{－1,0,2}，∴B＝∁U(∁U B)＝{－3,1,3,4,6}．反思与感悟从Venn图的角度讲，A与∁U A就是圈内和圈外的问题，由于(∁U A)∩A＝∅，(∁U A)∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推．跟踪训练2 如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________.考点补集的概念及运算题点无限集合的补集答案{x|0≤x≤1或x＞2}解析A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥0}，由图可得A*B＝∁(A∪B)(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}．命题角度2 补集性质在解题中的应用例3 关于x的方程：x2＋ax＋1＝0，①x2＋2x－a＝0，②x2＋2ax＋2＝0，③若三个方程至少有一个有解，求实数a 的取值范围． 考点 交并补集的综合问题题点 与交并补集运算有关的参数问题 解 假设三个方程均无实根，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝a2－4<0，Δ2＝4＋4a<0，Δ3＝4a2－8<0，即⎩⎨⎧－2<a<2，a<－1，－2<a<2.解得－2<a <－1，∴当a ≤－2或a ≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根，即a 的取值范围为{a |a ≤－2或a ≥－1}．反思与感悟 运用补集思想求参数取值范围的步骤 (1)把已知的条件否定，考虑反面问题． (2)求解反面问题对应的参数的取值范围． (3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集．跟踪训练3 若集合A ＝{x |ax 2＋3x ＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a 的取值范围． 考点 交并补集的综合问题题点 与交并补集运算有关的参数问题 解 假设集合A 中含有2个元素， 即ax 2＋3x ＋2＝0有两个不相等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧a≠0，Δ＝9－8a>0，解得a <98且a ≠0，则集合A 中含有2个元素时，实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a<98且a≠0. 在全集U ＝R 中，集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a<98且a≠0的补集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a≥98或a ＝0， 所以满足题意的实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a≥98或a ＝0.类型三 集合的综合运算例4 (1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合P ＝{1,3,5}，Q ＝{1,2,4}，则(∁U P )∪Q 等于A．{1} B．{3,5}C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,5}考点交并补集的综合问题题点有限集合的交并补运算答案 C解析∵∁U P＝{2,4,6}，∴(∁U P)∪Q＝{1,2,4,6}．(2)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是________．考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算答案{a|a≥2}解析∵∁R B＝{x|x<1或x>2}且A∪(∁R B)＝R，∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.即实数a的取值范围是{a|a≥2}．反思与感悟解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分．有限集混合运算可借助Venn图，与不等式有关的可借助数轴．跟踪训练4 (1)已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2,6}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1,3,7}，A∩(∁U B)＝{4,9}，则B等于( )A．{1,2,3,6,7} B．{2,5,6,8}C．{2,4,6,9} D．{2,4,5,6,8,9}考点交并补集的综合问题题点有限集合的交并补运算答案 B解析根据题意可以求得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，画出Venn图(如图所示)，可得B＝{2,5,6,8}，故选B.(2)已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算解如图所示．∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，∴∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3或2<x≤4}．A∩B＝{x|－2<x≤2}，∴(∁U A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}.1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M等于( )A．U B．{1,3,5}C．{3,5,6} D．{2,4,6}考点补集的概念及运算题点有限集合的补集答案 C2．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于( ) A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}考点交并补集的综合问题题点有限集合的交并补运算答案 D3．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于( )A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算答案 C4．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是( )A．Z∪(∁U N) B．N∩(∁U N)C．∁U(∁U∅) D．∁U Q考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算答案 A5．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(∁U N)＝{2,4}，则N等于( ) A．{1,2,3} B．{1,3,5}C．{1,4,5} D．{2,3,4}考点交并补集的综合问题题点有限集合的交并补运算答案 B1．全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(3)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．2．补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A，求A.一、选择题1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为( ) A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}考点交并补集的综合问题题点有限集合的交并补运算答案 C解析∁U A＝{0,4}，所以(∁U A)∪B＝{0,2,4}，故选C.2．已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B等于( )A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}考点并交补集的综合问题题点有限集合的并交补运算答案 A解析因为集合A＝{x|x＞－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，则(∁R A)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．3．已知全集U ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，∁U A ＝{3}，则实数a 等于( ) A ．0或2 B ．0C ．1或2D ．2考点 补集的概念及运算题点 由补集运算结果求参数的值答案 D解析 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，a2－2a ＋3＝3，则a ＝2.4．图中的阴影部分表示的集合是( )A ．A ∩(∁UB ) B ．B ∩(∁U A )C ．∁U (A ∩B )D ．∁U (A ∪B )考点 交并补集的综合问题题点 用并交补运算表示Venn 图指定区域答案 B解析 阴影部分表示集合B 与集合A 的补集的交集．因此阴影部分所表示的集合为B ∩(∁U A )．5．已知U 为全集，集合M ，N ⊆U ，若M ∩N ＝N ，则( )A ．∁U N ⊆∁U MB ．M ⊆∁U NC ．∁U M ⊆∁U ND ．∁U N ⊆M考点 交并补集的综合问题题点 与集合运算有关的子集或真子集答案 C解析 由M ∩N ＝N 知N ⊆M ，∴∁U M ⊆∁U N .6．设全集U ＝{x ∈N |x ≥2}，集合A ＝{x ∈N |x 2≥5}，则∁U A 等于()A ．∅B ．{2}C ．{5}D ．{2,5}考点 补集的概念及运算题点 无限集合的补集答案 B解析 因为A ＝{x ∈N |x ≤－5或x ≥5}，所以∁U A＝{x∈N|2≤x<5}，故∁U A＝{2}．7．设U＝{1,2,3,4}，M＝{x|x∈U|x2－5x＋p＝0}，若∁U M＝{2,3}，则实数p的值为( ) A．－4 B．4 C．－6 D．6考点补集的概念及运算题点与补集运算有关的参数问题答案 B解析∵∁U M＝{2,3}，∴M＝{1,4}，∴1,4是方程x2－5x＋p＝0的两根．由根与系数的关系可知p＝1×4＝4.二、填空题8．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝______，(∁U A)∩(∁U B)＝________.考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算答案{x|0<x<1} {x|0<x<1}解析A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．∁U A＝{x|x>0}，∁U B＝{x|x<1}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|0<x<1}．9．若全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x>0，y>0}，则点(－1,1)________∁U A.(填“∈”或“∉”)考点补集的概念及运算题点无限集合的补集答案∈解析显然(－1,1)∈U，且(－1,1)∉A，∴(－1,1)∈∁U A.10．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x<0或x>1}，则图中阴影部分所表示的集合为________．考点Venn图表达的集合关系及运用题点Venn图表达的集合关系答案{x|x≤1或x>2}解析如图，设U＝A∪B＝R，A∩B＝{x|1<x≤2}，∴阴影部分为∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}．11．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝错误!，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，则(∁U A)∩B＝________.考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算答案{(2,3)}解析∵A＝错误!＝{(x，y)|y＝x＋1，x≠2}，∴∁U A＝{(x，y)|y≠x＋1}∪{(2,3)}．又B＝{(x，y)|y＝x＋1}，∴(∁U A)∩B＝{(2,3)}．三、解答题12．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(∁U A)＝R，B∩(∁U A)＝{x|0<x<1或2<x<3}，求集合B.考点交并补集的综合问题题点无限集合的交并补运算解∵A＝{x|1≤x≤2}，∴∁U A＝{x|x<1或x>2}．又B∪(∁U A)＝R，A∪(∁U A)＝R，可得A⊆B.而B∩(∁U A)＝{x|0<x<1或2<x<3}，∴{x|0<x<1或2<x<3}⊆B.借助于数轴可得B＝A∪{x|0<x<1或2<x<3}＝{x|0<x<3}．13．已知A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|m≤x<1＋3m}．(1)当m＝1时，求A∪B；(2)若B⊆∁R A，求实数m的取值范围．考点交并补集的综合问题题点与交并补集运算有关的参数问题解(1)当m＝1时，B＝{x|1≤x<4}，又A＝{x|－1<x≤3}，所以A∪B＝{x|－1<x<4}．(2)∁R A＝{x|x≤－1或x＞3}．当B＝∅时，即m≥1＋3m，得m ≤－12，满足B ⊆∁R A ， 当B ≠∅时，使B ⊆∁R A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ m<1＋3m ，1＋3m≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧ m<1＋3m ，m ＞3，解得m ＞3.综上可知，实数m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m ＞3或m≤－12. 四、探究与拓展14.如图，已知I 是全集，A ，B ，C 是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．(∁I A ∩B )∩CB ．(∁I B ∪A )∩CC ．(A ∩B )∩(∁I C )D ．(A ∩∁I B )∩C考点 Venn 图表达的集合关系及运用题点 Venn 图表达的集合关系答案 D解析 由题图可知阴影部分中的元素属于A ，不属于B ，属于C ，则阴影部分表示的集合是(A ∩∁I B )∩C .15．设全集U ＝{x |x ≤5，且x ∈N ＋}，其子集A ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，B ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，且(∁U A )∪B ＝{1,3,4,5}，求实数p ，q 的值．考点题点解 由已知得U ＝{1,2,3,4,5}．(1)若A ＝∅，则(∁U A )∪B ＝U ，不合题意；(2)若A ＝{x 0}，则x 0∈U ，且2x 0＝5，不合题意；(3)设A ＝{x 1，x 2}，则x 1，x 2∈U ，且x 1＋x 2＝5，∴A ＝{1,4}或{2,3}．若A ＝{1,4}，则∁U A ＝{2,3,5}，与(∁U A)∪B＝{1,3,4,5}矛盾，舍去；若A＝{2,3}，则∁U A＝{1,4,5}，由(∁U A)∪B＝{1,3,4,5}知3∈B，同时可知B中还有一个不等于3的元素x，由3x＝12得x＝4，即B＝{3,4}．综上可知，A＝{2,3}，B＝{3,4}，∴q＝2×3＝6，p＝－(3＋4)＝－7.。

§3集合的基本运算3．1交集与并集课时目标 1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．1．一般地，由________________________的所有元素组成的集合，叫作A与B的交集，记作________(读作“A交B”)，即A∩B＝________________.2．一般地，由属于________________的所有元素组成的集合，叫作A与B的并集，记作______(读作“A并B”)，即A∪B＝________________.3．A∩A＝____，A∪A＝____，A∩∅＝____，A∪∅＝____.4．若A⊆B，则A∩B＝____，A∪B＝____.5．A∩B____A，A∩B____B，A____A∪B，A∩B____A∪B.一、选择题1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{1,2} D．{0}2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩B等于()A．{x|x<1} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1≤x<1}3．若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是()A．A⊆B B．B⊆CC．A∩B＝C D．B∪C＝A4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为()A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)C．{3，－1} D．{(3，－1)}5．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是()A．1 B．2 C．3 D．46．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则()A．N∈M B．M∪N＝MC．M∩N＝M二、填空题7．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.8．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.9．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝______，b＝______.三、解答题10．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝∅.求p，q的值．11．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．能力提升12．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B 的所有元素之和为()A．0 B．2C．3 D．613．设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．1．对并集、交集概念全方面的感悟(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B .因此，A ∪B 是由所有至少属于A 、B 两者之一的元素组成的集合．(2)A ∩B 中的元素是“所有”属于集合A 且属于集合B 的元素，而不是部分，特别地，当集合A 和集合B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A ∩B ＝∅.2．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．拓展 交集与并集的运算性质，除了教材中介绍的以外，还有A ⊆B ⇔A ∪B ＝B ，A ⊆B ⇔A ∩B ＝A .这种转化在做题时体现了化归与转化的思想方法，十分有效．§3 集合的基本运算3．1 交集与并集知识梳理1．既属于集合A 又属于集合B A ∩B {x |x ∈A ，且x ∈B }2．集合A 或属于集合B A ∪B {x |x ∈A ，或x ∈B }3．A A ∅ A 4.A B 5.⊆ ⊆ ⊆ ⊆作业设计1．A2．D [由交集定义得{x |－1≤x ≤2}∩{x |x <1}＝{x |－1≤x <1}．]3．D [参加北京奥运会比赛的男运动员与参加北京奥运会比赛的女运动员构成了参加北京奥运会比赛的所有运动员，因此A ＝B ∪C .]4．D [M 、N 中的元素是平面上的点，M ∩N 是集合，并且其中元素也是点，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.] 5．B [由已知得M ＝{2,3}或{1,2,3}，共2个．]6．B [∵N M ，∴M ∪N ＝M .]7．0或1解析 由A ∪B ＝A 知B ⊆A ，∴t 2－t ＋1＝－3，①或t 2－t ＋1＝0，②或t 2－t ＋1＝1.③①无解；②无解；③t ＝0或t ＝1.8．1解析 ∵3∈B ，由于a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，即a ＝1.9．－1 2解析 ∵B ∪C ＝{x |－3<x ≤4}，∴A (B ∪C )．∴A ∩(B ∪C )＝A ，由题意{x |a ≤x ≤b }＝{x |－1≤x ≤2}，∴a ＝－1，b ＝2.10．解 由A ∩C ＝A ，A ∩B ＝∅，可得：A ＝{1,3}，即方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实根为1,3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3＝－p 1×3＝q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－4q ＝3. 11．解 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A . ∵A ＝{－2}≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0.当B ≠∅时，此时a ≠0，则B ＝{－1a }， ∴－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12. 综上，得a ＝0或a ＝12. 12．D [x 的取值为1,2，y 的取值为0,2，∵z ＝xy ，∴z 的取值为0,2,4，所以2＋4＝6，故选D.]13．解 符合条件的理想配集有①M ＝{1,3}，N ＝{1,3}．②M ＝{1,3}，N ＝{1,2,3}．③M ＝{1,2,3}，N ＝{1,3}．共3个．3．2 全集与补集课时目标 1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.2.熟练掌握集合的基本运算．1．在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的______，这个给定的集合叫作全集，常用符号____表示．全集含有我们所要研究的这些集合的______元素．2．设U 是全集，A 是U 的一个子集(即______)，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作U 中子集A 的______(或______)，记作______，即∁U A ＝___________________.3．补集与全集的性质(1)∁U U ＝______；(2)∁U ∅＝____；(3)∁U (∁U A )＝____；(4)A ∪(∁U A )＝____；(5)A ∩(∁U A )＝____.一、选择题1．已知集合U ＝{1,3,5,7,9}，A ＝{1,5,7}，则∁U A 等于( )A ．{1,3}B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9}2．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2－4≤0}，则∁U M 等于( )A ．{x |－2<x <2}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |x <－2或x >2}D ．{x |x ≤－2或x ≥2}3．设全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3,5}，B ＝{2,5}，则A ∩(∁U B )等于( )A ．{2}B ．{2,3}C ．{3}D ．{1,3}4．设全集U 和集合A 、B 、P 满足A ＝∁U B ，B ＝∁U P ，则A 与P 的关系是( )A ．A ＝∁U PB ．A ＝PC ．A PD ．A P5．如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．(M ∩P )∩SB ．(M ∩P )∪SC．(M∩P)∩(∁I S) D．(M∩P)∪(∁I S)6．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是()A．A∪B B．A∩BC．∁U(A∩B)二、填空题7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.8．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁U A＝________，∁U B ＝______，∁B A＝________.9．已知全集U，A B，则∁U A与∁U B的关系是____________________．三、解答题10．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁U A＝{5}，求实数a，b的值．11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设全集为U，若B∪(∁U B)＝A，求∁U B.能力提升12．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A等于()A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}13．学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？1．全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象、含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(3)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．2．补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.3．2全集与补集知识梳理1．子集U全部 2.A⊆U补集余集∁U A{x|x∈U，且x∉A}3．(1)∅(2)U(3)A(4)U(5)∅作业设计1．D[在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成∁U A.]2．C[∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁U M＝{x|x<－2或x>2}．]3．D[由B＝{2,5}，知∁U B＝{1,3,4}．A∩(∁U B)＝{1,3,5}∩{1,3,4}＝{1,3}．]4．B[由A＝∁U B，得∁U A＝B.又∵B＝∁U P，∴∁U P＝∁U A.即P＝A，故选B.]5．C[依题意，由图知，阴影部分对应的元素a具有性质a∈M，a∈P，a∈∁I S，所以阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩(∁I S)，故选C.]6．D[由A∪B＝{1,3,4,5,6}，得∁U(A∪B)＝{2,7}，故选D.]7．－3解析∵∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.8．{0,1,3,5,7,8}{7,8}{0,1,3,5}解析由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得∁U A＝{0,1,3,5,7,8}，∁U B＝{7,8}，∁B A＝{0,1,3,5}．9．(∁U B)(∁U A)解析画Venn图，观察可知(∁U B)(∁U A)．10．解∵∁U A＝{5}，∴5∈U且5∉A.又b ∈A ，∴b ∈U ，由此得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝5，b ＝3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3经检验都符合题意． 11．解 因为B ∪(∁U B )＝A ，所以B ⊆A ，U ＝A ，因而x 2＝3或x 2＝x .①若x 2＝3，则x ＝±3.当x ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，3}，此时∁U B ＝{3}；当x ＝－3时，A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，－3}，此时∁U B ＝{－3}．②若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，A 中元素x 与1相同，B 中元素x 2与1也相同，不符合元素的互异性，故x ≠1； 当x ＝0时，A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}，U ＝A ＝{1,3,0}，从而∁U B ＝{3}．综上所述，∁U B ＝{3}或{－3}或{3}．12．D [借助于Venn 图解，因为A ∩B ＝{3}，所以3∈A ，又因为(∁U B )∩A ＝{9}，所以9∈A ，故选D.]13. 解 如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a ，b ，x .根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋x ＝20，b ＋x ＝11，a ＋b ＋x ＝30－4.解得x ＝5，即两项都参加的有5人．。

1 集合的基本运算本节教材分析课本从学生熟悉的集合（自然数的集合、有理数的集合等）出发，结合实例，通过类比实数加法运算引入集合间的运算，同时，结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时，课本注重体现逻辑思考的方法，如归纳等.值得注意的问题：在集合间的关系教学中，建议重视使用venn 图表，这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导区分一些容易混淆的关系和符号.三维目标1. 知识与技能：(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.(3)能使用Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.2. 过程与方法：学生通过观察和类比，借助Venn 图理解集合的基本运算.3.情感.态度与价值观：(1)进一步树立数形结合的思想.(2)进一步体会类比的作用.(3)感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确.教学重点：集合的交集与并集的概念；全集与补集的概念教学难点：是理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系..教学建议：本节的重点是交集与并集、全集与补集的概念..难点是理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系..教学时，应通过具体例子，借助Venn 图，帮助学生直观理解交集、并集的概念，在这个基础上，抽象概括出集合的交集、并集的一般概念.结合集合运算的两个性质，运用图形直观说明.在全集与补集教学中，应注意利用图形的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用直观图形进行求补集的运算.进行补集运算，需要正确理解补集的概念，求某一集合的补集的前提必须明确全集，同一个集合在不同全集中的补集是不同的. 新课导入设计导入一:我们知道，实数有加法运算，两个实数可以相加，例如.835=+类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？教师直接点出课题.导入二：请同学们考查下列各个集合，你能说出集合C 与集合A 、B 之间的关系吗？（1）};6,5,4,3,2,1{},6,4,2{},5,3,1{===C B A（2）A={x x 是有理数}，B={x x 是无理数}，C={x x 是实数}.引导学生通过观察、类比、思考和交流，得出结论.教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容.。

1.3 集合的基本运算第1课时交集与并集[核心必知] 1．交集与并集的定义2.交集、并集运算的性质(1)交集运算性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B，A⊆B⇔A∩B＝A，(A∩B)∩C ＝A∩(B∩C)．(2)并集运算性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆(A ∪B)，B⊆(A∪B)，A⊆B⇔A∪B＝B，(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)．[问题思考]1．数学活动课上，小强说：“若x∉(A∩B), 则x∉A且x∉B.”小刚说：“若x∉(A∪B)，则x∉A且x∉B.”这两个同学说的都对吗？为什么？提示：A∩B是由既属于A又属于B的元素确定的集合，x∉(A∩B)可分三种情况：x∉A且x∈B，x∈A且x∉B，x∉A且x∉B，即小强同学说的不正确．A∪B是由属于A或属于B 的元素确定的集合，即A、B两集合的元素都在A∪B中，若x∉(A∪B)，则必有x∉A且x∉B，即小刚同学说的正确．2．当集合A与B没有公共元素时，A与B没有交集，对吗？提示：不对，当A与B没有公共元素时，A与B的交集为空集，即A∩B＝∅.3．能否认为A∪B是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合？为什么？提示：不能，因为A与B可能有公共元素，上述观点违背了集合元素的互异性．讲一讲1．(1)设集合M＝{m∈Z|－3＜m＜2}，N ＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N等于( ) A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}(2)已知集合A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，求A∩B，A∪B.[尝试解答] (1)选 B 由已知M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1，0,1,2,3}，∴M∩N＝{－2，－1,0,1}∩{－1,0,1,2,3}＝{－1,0,1}．(2)分别在数轴上表示集合A和B，根据A∩B、A∪B的定义，由图知，A∩B＝{x|－1＜x＜2}，A∪B＝{x|－4≤x≤3}．若本例(2)中集合B＝{x|x≤a}，求A∩B.解：因为A＝{x|－4≤x＜2}，∴当a＜－4时，A∩B＝∅，当－4≤a＜2时，A∩B＝{x|－4≤x≤a}，当a≥2时，A∩B＝A＝{x|－4≤x＜2}．解决此类题目首先应看清集合中元素的属性，是数集还是点集，并化简．然后再按下列规律进行运算：(1)如果集合是有限集，则需先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交、并集的定义分别求出；(2)如果集合中的元素是部分连续实数构成时，则常借助于数轴，把集合分别表示在数轴上，然后再利用交、并集的定义去求解，这样处理比较形象直观，但解答过程中需注意边界问题．练一练1．(重庆高考)已知集合A＝{1,2,3}，B ＝{1,3}，则A∩B＝( )A．{2} B．{1,2}C．{1,3} D．{1,2,3}解析：选 C A∩B＝{1,2,3}∩{1,3}＝{1,3}．2．已知集合A＝{x|1≤x＜3}，B＝{x|x ＞2}，试求A∩B和A∪B.解：利用数轴易知A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|x≥1}．讲一讲2．已知A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，求p，q，r的值．[尝试解答] ∵A∩B＝{－2}，∴－2∈A.将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1.∴A＝{1，－2}．∵A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，∴B＝{－2,5}．∴4－2q＋r＝0且25＋5q＋r＝0.解得q＝－3，r＝－10.故p＝－1，q＝－3，r＝－10.应用集合的交集、并集求解参数或确定另外集合的关键是将运算结果利用交集、并集的定义转化为元素与集合的关系，从而构造方程，不等式(组)等求解，但当出现交集为空集的情形，应首先讨论集合是否为空集．练一练3．设集合A＝{|a＋1|,3,5}，集合B＝{2a＋1，a2＋2a，a2＋2a－1}，当A∩B＝{2,3}时，求A∪B.解：∵2∈A，∴|a＋1|＝2.∴a＝1或a＝－3.当a＝1时，集合B的元素a2＋2a＝3,2a ＋1＝3.由集合中元素的互异性知a≠1.当a＝－3时，2a＋1＝－5，a2＋2a＝3，a2＋2a－1＝2，即集合B＝{－5,3,2}．∴A∪B＝{－5,2,3,5}．讲一讲3．设A＝{x|x2－2x＝0}；B＝{x|x2－2ax ＋a2－a＝0}．(1)若A∩B＝B，求a的取值范围；(2)若A∪B＝B，求a的值．[尝试解答] 由x2－2x＝0，得x＝0或x＝2.∴A＝{0,2}．(1)∵A∩B＝B，∴B⊆A，B＝∅，{0}，{2}，{0,2}．当B＝∅时，Δ＝4a2－4(a2－a)＝4a<0，∴a<0；当B＝{0}时，⎩⎪⎨⎪⎧a2－a＝0，4a＝0，∴a＝0；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧4－4a ＋a 2－a ＝0，4a ＝0，无解；当B ＝{0,2}时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a 2－a ＝0，得a ＝1.综上所述，得a 的取值范围是{a |a ＝1或a ≤0}．(2)∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ，又∵A ＝{0,2}，而B 中方程至多有两个根，∴A ＝B ，由(1)知a ＝1.解答此类题的关键是利用交集与并集的运算性质，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，将运算结果转化为两集合间的关系，从而构造方程或不等式求解． 练一练4．已知集合A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |m＜x ＜m ＋9}．(1)若A ∪B ＝B ，求实数m 的取值范围； (2)若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵A ∪B ＝B ， ∴A ⊆B ，由图可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－2，m ＋9≥3，∴－6≤m ≤－2为所求范围． (2)∵A ∩B ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋9＞－2，m ＜3，∴－11＜m ＜3为所求范围．在2016年春季召开的校运会上，某班共有28名运动员参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛．同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有同时参加三项比赛的运动员．则同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的运动员有多少人？[巧思] 设同时参加田赛和球类比赛的人数为x ，利用Venn 图和题设条件向图中填数，然后利用总人数为28得关于x 的方程求解即可．[妙解] 设参加径赛的运动员组成集合A ，参加田赛的运动员组成集合B ，参加球类比赛的运动员组成集合C .根据题意画出Venn 图，如图所示．设同时参加田赛和球类比赛的人数为x .由题意，得9＋3＋3＋(8－3－x )＋x ＋(14－3－x )＝28，解得x ＝3.所以，同时参加田赛和球类比赛的有3人，只参加径赛的有9人．1．(福建高考)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{－2,2}，下列结论成立的是( )A ．N ⊆MB ．M ∪N ＝MC ．M ∩N ＝ND ．M ∩N ＝{2}解析：选D 因为－2∉M ，可排除A ；M ∪N ＝{－2,1,2,3,4}，可排除B ；M ∩N ＝{2}．2．已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <3}，则A ∪B ＝( )A ．(－1,3)B ．(－1,0)C ．(0,2)D ．(2,3) 解析：选A 将集合A 与B 在数轴上画出(如图)．由图可知A ∪B ＝(－1,3)，故选A. 3．(浙江高考)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，则S ∩T ＝( )A ．[－4，＋∞)B ．(－2, ＋∞)C ．[－4,1]D ．(－2,1] 解析：选 D 由已知得S ∩T ＝{x |x >－2}∩{x |－4≤x ≤1}＝{x |－2<x ≤1}＝(－2,1]，故选D.4．设A ＝{0,1,2,4,5,7}，B ＝{1,3,6,8,9}，C ＝{3,7,8}，则A ∩B ＝________，(A ∩B )∪C ＝________.解析：∵A ∩B ＝{1}，∴(A ∩B )∪C ＝{1}∪{3,7,8}＝{1,3,7,8}．答案：{1} {1,3,7,8}5．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x >a }且满足A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围为________．解析：利用数轴，∵A ∩B ＝∅，∴a ≥1.答案：[1，＋∞)6．已知关于x 的方程3x 2＋px －7＝0的解集为A ，方程3x 2－7x ＋q ＝0的解集为B ，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，求A ∪B .解：∵A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，∴－13∈A 且－13∈B .∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋p ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－7＝0且3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－132－7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋q ＝0.∴p ＝－20，q ＝－83.由3x 2－20x －7＝0得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，7， 由3x 2－7x －83＝0得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，83，∴A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，83，7.一、选择题1．(四川高考)设集合A ＝{a ，b }，B ＝{b ，c ，d }，则A ∪B ＝ ( )A ．{b }B ．{b ，c ，d }C ．{a ，c ，d }D ．{a ，b ，c ，d } 解析：选D 依题意得知，A ∪B ＝{a ，b ，c ，d }．2．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由已知A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，a ＝4，∴a ＝4.3．如图，图形中的阴影部分表示的是 ( )A ．(A ∪C )∩(B ∪C ) B ．(A ∪B )∩(A ∪C ) C ．(A ∪B )∩(B ∪C )D ．(A ∪B )∩C解析：选 A 由并集、交集的定义知(A ∪C )∩(B ∪C )正确．4．设I ＝{ 1,2,3,4}，A 与B 是I 的子集，若A ∩B ＝{1,3}，则称(A ，B )为一个“理想配集”．那么符合此条件的“理想配集”的个数是(规定(A ，B )与(B ，A )是两个不同的“理想配集”)( )A ．4B ．8C ．9D ．16解析：选C 由题意，可用Venn 图表示所有理想配集如下：所以，符合条件的“理想配集”共有9个．二、填空题5．(江苏高考)已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝________.解析：集合A ，B 都是以列举法的形式给出，易得A ∪B ＝{1,2，4,6}．答案：{1,2,4,6}6．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________．解析：由题意知：a 2＋4＞3，故a ＋2＝3，即a ＝1，经验证，a ＝1符合题意．∴a ＝1.答案：17．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x ，画出Venn 图得到方程15－x ＋x ＋10－x ＋8＝30⇒x ＝3，∴喜爱篮球运动但不爱乒乓球运动的人数为15－3＝12人．答案：128．已知集合T 是方程x 2＋px ＋q ＝0(p2－4q ＞0)的解组成的集合，A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{1,4,7,10}，且T ∩A ＝∅，T ∩B ＝T ，则实数p ＝________，q ＝________.解析：∵Δ＝p 2－4q ＞0，∴方程x 2＋px ＋q ＝0必有两个不等的实数根，即集合T 中含有两个元素．∵A ∩T ＝∅，∴1,3,5,7,9∉T . 又T ∩B ＝T ，∴TB .∴T ＝{4,10}，即4和10是方程x 2＋px ＋q ＝0的根．由韦达定理，得⎩⎪⎨⎪⎧4＋10＝－p ，4×10＝q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－14，q ＝40.答案：－14 40 三、解答题9．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，集合B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且A ∪B ＝A ，试求实数m 的取值范围．解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A . 又∵A ＝{x |－2≤x ≤5}≠∅， ∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，有m ＋1＞2m －1，∴m ＜2. 当B ≠∅时，如图所示，由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.综上可得，实数m 的取值范围是m ＜2或2≤m ≤3，即m ≤3.10．已知集合A ＝{x |x 2－mx ＋m 2－19＝0}，B ＝{y |y 2－5y ＋6＝0}，C ＝{z |z 2＋2z －8＝0}，是否存在实数m ，使得A ∩B ≠∅，A ∩C ＝∅同时成立？若存在，求出实数m 的值；若不存在，则说明理由．解：假设存在这样的实数m ， ∵B ＝{y |y 2－5y ＋6＝0}＝{2,3}，C ＝{z |z 2＋2z －8＝0}＝{－4,2}，又A ∩C ＝∅，∴2∉A ，－4∉A .又A ∩B ≠∅，∴3∈A ，把x ＝3代入x 2－mx ＋m 2－19＝0中，解得m ＝5或m ＝－2.当m ＝5时，A ＝{2,3}，与A ∩C ＝∅矛盾，当m ＝－2时，A ＝{－5,3}，符合题意，∴m ＝－2.故存在m ＝－2，使得A ∩B ≠∅，A ∩C ＝∅同时成立．第2课时 全集与补集[核心必知]1．全集(1)定义：在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集．(2)符号表示：全集通常记作U . 2．补集(1)定义：设U 是全集，A 是U 的一个子集(即A ⊆U )，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作U 中子集A 的补集(或余集)．(2)符号表示：U 中子集A 的补集记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．(3)图示：用Venn 图表示∁U A ，如图所示．(4)运算性质：①A ∪(∁U A )＝U ，A ∩(∁U A )＝∅. ②∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )， ∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．[问题思考]1．任何一个集合都可以作为全集，对吗？提示：不对．由全集的定义可知，空集就不能当全集，因为空集不含任何元素．2．∁U A 在U 中的补集∁U (∁U A )与集合A 有什么关系？提示：相等．3．∁A C 与∁B C 相等吗？为什么？ 提示：不一定．依据补集的含义，符号∁A C 和∁B C 都表示集合C 的补集，但是∁A C 表示集合C 在全集A 中的补集，而∁B C 表示集合C 在全集B 中的补集，由于集合A 和B 不一定相等，所以∁A C 与∁B C 不一定相等．因此，求集合的补集时，首先要明确全集，否则容易出错．如集合A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，B ＝{0,1,2,3,4}，C ＝{1,3,4}，则∁A C ＝{2,5,6,7,8,9}，∁B C ＝{0,2}，很明显∁A C ≠∁BC .讲一讲1．(1)(广东高考)设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,5}，则∁U M ＝( )A ．UB ．{1,3,5}C ．{3,4,6}D ．{2,4,6}(2)U ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z }，A ＝{x |x 2－8x＋15＝0}，B＝{2,3,4}，求∁U A，∁U B.[尝试解答](1)选C由于U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,5}，从而∁U M＝{3,4,6}．(2)法一：U＝{x|1≤x≤5，x∈Z}＝{1,2,3,4,5}，A＝{3,5}，∴∁U A＝{1,2,4}，∁U B＝{1,5}．法二：Venn图表示．∴∁U A＝{1,2,4}，∁U B＝{1,5}．在求集合的补集运算时，①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．练一练1．(1)已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A ＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤3}，求∁U A，(∁U B)∩A；(2)已知全集U＝{不大于10的非负偶数}，A＝{0,2,4,6}，B＝{x|x∈A且x<4}，求∁U A，A∩(∁U B)．解：(1)∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤3}，结合数轴(如图)：可知∁U A＝{x|1<x≤4}，∁U B＝{x|3<x≤4或－1≤x≤0}．结合数轴(如图)．可知(∁U B)∩A＝{x|－1≤x≤0}；(2)法一：由题意知U＝{0,2,4,6,8,10}，A＝{0,2,4,6}，B＝{0,2}，∴∁U A＝{8,10}，∁U B＝{4,6,8,10}．∴A∩(∁U B)＝{4,6}．法二：可用Venn图：∴∁U A＝{8,10}，A∩(∁U B)＝{4,6}．讲一讲2．(1)已知全集U＝{2,0,3－a2}，子集P＝{2，a2－a－2}，且∁U P＝{－1}，求实数a；(2)已知集合A＝{x|2a－2＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∁R B，求a的取值范围．[尝试解答] (1)∵∁U P＝{－1}，∴－1∈U且－1∉P. ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a2＝－1，a2－a－2＝0⇒a＝2.经检验知：a＝2适合题意．(2)∁R B＝{x|x≤1或x≥2}≠∅，∵A∁R B，∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论．①若A＝∅，此时有2a－2≥a，∴a≥2.②若A ≠∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＜a ，a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＜a ，2a －2≥2.∴a ≤1.综上所述，a ≤1或a ≥2.解决此类问题要充分利用补集的定义，借助题干条件，建立关于参数的方程或不等式(组)求解，必要时可借助数轴或Venn 图．练一练2．设集合A ＝{|2a －1|,2}，B ＝{2,3，a 2＋2a －3}且∁B A ＝{5}，则实数a 的值是________．解析：由补集的性质可知：∴⎩⎪⎨⎪⎧|2a －1|＝3，a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2.答案：23．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，A ∪(∁RB )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤2B ．a ＜1C ．a ≥2D ．a ＞2解析：选C ∵B ＝{x |1＜x ＜2}，∴∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}，由A ∪(∁R B )＝R ，如图所示可知a ≥2.讲一讲3．已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求A ∩B ，(∁U A )∪B ，A ∩(∁U B )．[尝试解答]在数轴上分别表示出全集U 及集合A ，B (如图所示)，先求出∁U A 及∁U B ，再求解．则∁U A ＝{x |x ≤－2，或3≤x ≤4}，∁U B ＝{x |x ＜－3，或2＜x ≤4}． 所以A ∩B ＝{x |－2＜x ≤2}； (∁U A )∪B ＝{x |x ≤2，或3≤x ≤4}；A ∩(∁UB )＝{x |2＜x ＜3}．解答此类交、并、补综合运算问题，常用方法有两种：(1)通法，利用定义，注意求解的顺序．(2)利用Venn图：要善于用图示法来解决集合的交、并、补的运算问题，注意(∁U A)∩B，(∁U B)∩A等在图示法中的表示如图(1)所示：如图(2)所示，两条封闭相交的曲线将集合U分为四个部分：①(∁U A)∩B；②(∁U B)∩A；③A∩B；④∁U(A ∪B)．练一练4．已知全集U＝{x|x∈N，且x是不大于20的素数}，M⊆U，N⊆U，且M∩(∁U N)＝{3,5}，(∁U M)∩N＝{7,19}，(∁U M)∩(∁U N)＝{2,17}，求集合M，N.解：用图示法表示集合U，M，N(如图)，将符合条件的元素依次填入图中相应的区域内．由图可知，M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求：A∩B，A∪B，(∁U A)∩(∁U B)，A∩(∁U B)，(∁U A)∪B.[解]法一：A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}．∵∁U A＝{1,2,6,7,8}，∁U B＝{1,2,3,5,6}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．法二：A∩B，A∪B，A∩(∁U B)求法同解法一．(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{1,2,6}，(∁U A)∪B＝∁U(A∩∁U B)＝{1,2,4,6,7,8}．[尝试用另一种方法解题]法三：画出Venn图，如图所示，可得A∩B ＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．1．(辽宁高考)已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(∁UA )∩(∁UB )＝( )A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6} 解析：选B因为A ∪B ＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A )∩(∁U B )＝∁U(A ∪B )＝{7,9}．2．设集合A ＝{4,5,6,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：选B A ∪B ＝{3,4,5,6,7,8,9}，A ∩B ＝{4,7,9}∴∁U (A ∩B )＝{3,5,6,8}．3．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，M ＝{1,2}，N ＝{2,5}，则如图阴影部分表示的集合是()A ．{3,4,5}B ．{1,3,4}C ．{1,2,5}D ．{3,4}解析：选 D 由题知，阴影部分是∁U (M∪N )＝{3,4}．4．(湖南高考)已知集合U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∪(∁U B )＝________.解析：∁U B ＝{2}，A ∪(∁U B )＝{1,3}∪{2}＝{1,2,3}．答案：{1,2,3}5．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2＜x ＜4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，则实数m 的取值范围为________．解析：由已知A ＝{x |x ≥－m }， ∴∁U A ＝{x |x ＜－m }．∵B ＝{x |－2＜x ＜4}，(∁U A )∩B ＝∅， ∴－m ≤－2，即m ≥2， ∴m 的取值范围是[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞)6．已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ≤3}，求∁U A ，A ∩B ，∁U (A ∩B )，(∁U A )∩B .解：把全集U 和集合A ，B 在数轴上表示如图所示，则由图可知∁U A ＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}，A ∩B ＝{x |－2＜x ＜3}，∁U (A ∩B )＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}， (∁U A )∩B ＝{x |－3＜x ≤－2或x ＝3}．一、选择题1．(山东高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为( )A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}解析：选C ∁U A＝{0,4}，所以(∁U A)∪B ＝{0,4}∪{2,4}＝{0,2,4}．2．图中阴影部分表示的集合是()A．A∩(∁U B) B．(∁U A)∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)解析：选A 显然图中阴影部分为B的补集与集合A的公共部分．即：A∩∁U B.3．(浙江高考)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(∁U Q)＝( )A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5} D．{1,2}解析：选D ∁U Q＝{1,2,6}，故P∩(∁U Q)＝{1,2}．4．(重庆高考)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝( )A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}解析：选D 因为A∪B＝{1,2,3}，所以∁U(A∪B)＝{4}，故选D.二、填空题5．已知全集U＝R，A＝{x|x＞2}，m∈∁U A，则实数m的取值范围是________．解析：∵U＝R，A＝{x|x＞2}，∴∁U A＝{x|x≤2}．又m∈∁U A，∴m≤2.答案：[2，＋∞)6．已知U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则(∁U A)∪(∁U B)＝________.解析：∁U A＝{钝角三角形或直角三角形}，∁U B＝{锐角三角形或直角三角形}，∴(∁U A)∪(∁U B)＝U.答案：U7．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁U C)＝________.解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁U C＝{1,2,5}，∴(A∪B)∩(∁U C)＝{2,5}．答案：{2,5}8．设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，a－5}，M⊆U，∁U M＝{5,7}，则实数a的值为________．解析：∵M⊆U，∁U M＝{5,7}，∴a－5＝3，∴a＝8.答案：8三、解答题9．设全集U＝{1,2,3,4}，且集合A＝{x|x2－5x＋m＝0，x∈U}，若∁U A＝{1,4}，求m的值．解：∵U＝{1,2,3,4}，∁U A＝{1,4}，又A＝{x|x2－5x＋m＝0，x∈U}∴A＝{2,3}．∴2,3是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系得：2×3＝m，得：m ＝6.10．我们知道，如果集合A⊆U，那么U 的子集A的补集为∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫作A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{4,5,6,7,8}，则A－B ＝{1,2,3}，B－A＝{4,6,7}．据此，回答以下问题：(1)若U是高一(1)班全体同学的集合，A 是高一(1)班女同学组成的集合，求U－A及∁U A；(2)在图中，分别用阴影表示集合A－B；(3)如果A－B＝∅，那么A与B之间具有怎样的关系？解：(1)U－A＝{x|x是高一(1)班的男生}，∁U A＝{x|x是高一(1)班的男生}．(2)阴影部分如下图所示．(3)若A－B＝∅，则A⊆B.1.集合的含义与表示 (1)集合中元素的特征：集合中元素具有三大特征：①确定性；②互异性；③无序性．正确理解一个集合应从这三个性质入手去分析，集合中的元素是不能重复的，它是题干中隐含的条件，必须引起注意．含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理，有时需进行分类讨论．(2)集合的表示法：集合通常有列举法、描述法和图示法三种表示方法．列举法常用来表示有限个或有特殊规律的无限个元素构成的集合；描述法是表示具有某种共同属性的元素构成的集合，要特别注意集合中的代表元素是什么及具备怎样的特征性质．而图示法主要是指集合可借助Venn 图、数轴等直观呈现，体现了数形结合的思想．2．元素与集合、集合与集合的关系 (1)元素与集合的关系有且仅有两种；属于(用符号∈表示)和不属于(用符号∉表示)．如a ∈A ，a ∉B 等．(2)集合与集合的关系是：3．空集的性质空集是一个特殊的集合，它不含任何元素．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解题过程中空集极易被忽视，特别是在题设中隐含有空集参与的集合问题时，忽视空集的特殊性往往导致错解．4．集合的基本运算(1)集合的基本运算包括交集、并集和补集运算．要理解三种运算的自然语言、集合语言和图形语言，正确地处理集合与集合之间的关系．(2)在进行集合的交、并、补集的运算时，要善于采用数形结合的思想，用数轴可以形象地表示集合的交集、并集和补集，特别是方程或不等式组的解集在借用数轴分析时，除要正确表示出各不等式的相关的集合外，还需特别注意不等式端点的虚实．Venn 图是集合的图形语言，集合的交、并、补的运算均可以通过Venn 图表示．[典例1] 已知M ＝{1，t }，N ＝{t 2－t＋1}，若M ∪N ＝M ，求t 的取值集合．[解] ∵M ∪N ＝M ， ∴N ⊆M ，即t 2－t ＋1∈M .(1)若t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，解得t＝0或t＝1，而当t＝1时，M中两元素不符合互异性，∴t＝0.(2)若t2－t＋1＝t，即t2－2t＋1＝0，解得t＝1，由(1)知不合题意．综上所述，t的取值集合为{0}．[借题发挥] 对集合含义的考查主要集中于集合中元素的特征，特别是元素互异性的考查，题目中常含有字母参数，解答时，常常先用分类讨论的方法对所给字母逐个讨论，确定出待定字母，再讨论集合间的关系和运算．[对点训练]1．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，则使M∪N＝M成立的a的值是( )A．－1 B．0C．1 D．1或－1解析：选A 由M∪N＝M知N⊆M.∴a2＝0，或a2＝1.∴a＝0，或a＝1，或a＝－1.而当a＝0，或a＝1时，不满足集合中元素的互异性．∴a＝－1.[典例2] 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B ＝{x|a≤x≤a＋3}．(1)若A∩B＝A，求a的取值范围；(2)若(∁R A)∪B＝R，求a的取值范围；(3)是否存在a，使(∁R A)∪B＝R，且A∩B ＝∅？[解] (1)∵A∩B＝A.∴A⊆B.结合数轴可知，⎩⎪⎨⎪⎧a≤0，a＋3≥2，即－1≤a≤0.(2)∵A＝{x|0≤x≤2}，∴∁R A＝{x|x<0或x>2}．∵(∁R A)∪B＝R，∴⎩⎪⎨⎪⎧a≤0，a＋3≥2.∴－1≤a≤0.(3)∵(∁R A)∪B＝R，∴－1≤a≤0，故a＋3∈[2,3]，∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾，故a不存在．[借题发挥] 解答这类问题，首先要在弄清集合中元素的属性的基础上将集合化简，然后再进行求解，一般规律为：当所给集合是数集，用数轴求解；当所给集合是点集，用数形结合求解；当所给集合是抽象集合，用Venn图求解．[对点训练]2．已知集合A＝{x|－2＜x＜－1或x＞0}，B＝{x|a≤x≤b}满足A∩B＝{x|0＜x≤2}，A∪B＝{x|x＞－2}，求a，b的值．解：将集合A，A∩B，A∪B分别在数轴上表示．由A ∩B ＝{x |0＜x ≤2}，知b ＝2，且－1≤a ≤0，由A ∪B ＝{x |x ＞－2}，知－2＜a ≤－1. 综上可知a ＝－1，b ＝2.[典例3] 已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－2x ＋a －1＝0}，A ∩B ＝B ，且B ≠A ，求实数a 的取值范围．[解] ∵A ∩B ＝B ，且B ≠A ， ∴BA .又∵A ＝{1,2}， ∴B ＝∅，{1}，{2}． 当B ＝∅时，Δ＝4－4(a －1)＝4(2－a )<0，a >2. 当B ＝{1}时， 得a －1＝1，a ＝2. 当B ＝{2}时， 无解．综上所述，得a 的取值范围为{a |a ≥2}． [借题发挥] 此类问题常利用集合运算的等价性转化为集合之间的关系求解，注意分类讨论和数形结合思想方法的应用．[对点训练]3．已知集合A ＝{x |x ＜－1或x ≥1}，B ＝{x |2a ＜x ≤a ＋1，a ＜1}，B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：∵a ＜1，∴2a ＜a ＋1，∴B ≠∅. 在数轴上表示集合A ，B ，如图所示．由B ⊆A 知，a ＋1＜－1或2a ≥1，即a＜－2或a ≥12.又∵a ＜1，∴a ＜－2或12≤a ＜1.故所求a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa <－2或12≤a <1.[典例4] 对于集合A ，B ，我们把集合{(a ，b )|a ∈A ，b ∈B }记作A ×B .例如，A ＝{1,2}，B ＝{3,4}，则有A ×B ＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，B ×A ＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，A ×A ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，B ×B ＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}．据此，试回答下列问题．(1)已知C ＝{a }，D ＝{1,2,3}，求C ×D ； (2)已知A ×B ＝{(1,2)，(2,2)}，求集合A ，B ；(3)A 有3个元素，B 有4个元素，试确定A ×B 中元素的个数．[解] (1)C ×D ＝{(a,1)，(a,2)，(a,3)}．(2)∵A ×B ＝{(1,2)，(2,2)}， ∴A ＝{1,2}，B ＝{2}．(3)集合A 中的任意一个元素与B 中的一个元素对应后，得到A ×B 中的一个新元素．若A 中有m 个元素，B 中有n 个元素，则A ×B 中的元素应为mn 个．所以，若A 中有3个元素，B 中有4个元素，则A ×B 中有3×4＝12个元素．[借题发挥] 以集合为背景的新信息题，常见的有定义新概念型，定义新运算型及开放型，解决此类问题的关键是正确理解新的概念或运算再结合集合的含义和运算来解决．[对点训练]4．若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A＝{a1，a2，a3}的不同分拆种数是( )A．27 B．26C．9 D．8解析：选A 当A1为空集时，A2只有一种可能A2＝A，此时共有1种分拆；当A1含有一个元素时，A2可能含有两个元素或三个元素，此时共有6种分拆；当A1含有两个元素时，A2可能含有一个元素、两个元素或三个元素，此时共有12种分拆；当A1含有三个元素时，A2可能是空集，可能含有一个元素、两个元素或三个元素，此时共有8种分拆．故集合A的不同分拆种数为27种．（时间：90分钟满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合P＝{x|－1≤x≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a满足( )A．a≤－1 B．a≥1C．－1≤a≤1 D．a≤－1或a≥1解析：选C 由P∪M＝P，得M⊆P，又M＝{a}，所以－1≤a≤1.2．设集合M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍数}，则M∩N等于( )A．{2,4} B．{1,2,4}C．{2,4,8} D．{1,2,4,8}解析：选C ∵M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍数}，∴M∩N＝{2,4,8}．3．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}的关系的韦恩(Venn)图如右图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A．3个 B．2个C．1个 D．无穷多个解析：选B M＝{x|－2≤x－1≤2}＝{x|－1≤x≤3}．而集合N是连续正奇数构成的集合，∴M∩N＝{1,3}．4．已知集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{x|x＝2a，a∈A}，则( )A．A∩B＝A B．A∩B AC．A∪B＝B D．A∩B A解析：选D ∵B＝{x|x＝2a，a∈A}，∴B＝{0,2,4,6}．又A＝{0,1,2,3}，∴A∩B＝{0,2}A.5．(安徽高考)已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B＝( )A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}解析：选A 集合A＝{x|x>－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，所以(∁R A)∩B＝{－2，－1}．6．已知非空集合P、Q，定义P－Q＝{x|x∈P，但x∉Q}，则P－(P－Q)等于( )A．P B．QC．P∩Q D．P∪Q解析：选C 法一：结合Venn 进行分析推理即可得出答案．法二：采用赋值法进行验证可得．令P ＝{1,2,3,4,5}，Q ＝{2,3,4,5}，则P －Q ＝{1}＝M ，P －(P －Q )＝P －M ＝{x |x ∈P ，但x ∉M }＝{2,3,4,5}，结合选项应选C.7．满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B ∵M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}， ∴集合M 必含有a 1，a 2，且不含有a 3.又∵M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，∴M ＝{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 4}，共2个． 8．设I 是全集，集合P ，Q 满足P Q ，则下列结论中错误的是( )A ．P ∪(∁I Q )≠∅B ．(∁I P )∪P ＝IC ．P ∩(∁I Q )≠∅D ．(∁I P )∩(∁I Q )≠∁I P解析：选C 依题意画出Venn 图，如下图所示，显然A ，B ，D 正确．9．下列四个命题： ①{0}是空集； ②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}有两个元素；④集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Q 6x∈N 是有限集．其中，正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0解析：选D ①∵{0}是含有一个元素0的集合，而不是空集， ∴①不正确．②当a ＝0时，∵0∈N ，∴②不正确．③∵x 2－2x ＋1＝0，x 1＝x 2＝1，∴{x ∈R|x 2－2x ＋1＝0}＝{1}，∴③不正确．④当x 为正整数的倒数时，∵6x∈N ， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Q |6x ∈N 是无限集，∴④不正确． 10．若非空集合A ，B ，U 满足A ∪B ＝U ，A ∩B ＝∅，则称(A ，B )为U 的一个分割，则集合U ＝{1,2,3}的不同分割有( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个解析：选B 依题意可得，当集合A 为{1}时，B 为{2,3}；当A 为{2}时，B 为{1,3}；当A 为{3}时，B 为{1,2}；同时对调A 、B 的位置，也可得到三对集合，所以符合条件的有6个．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．满足{a ，b }∪B ＝{a ，b ，c }的集合B 的个数是________．解析：B ＝{c }或{a ，c }，或{b ，c }，或{a ，b ，c }，共4个．答案：412．设U ＝R ，M ＝{x |x ≥2}，N ＝{x |－1≤x <5}，则(∁U M )∪(M ∩N )等于________． 解析：∁U M ＝{x |x <2}，M ∩N ＝{x |2≤x <5}，(∁U M )∪(M ∩N )＝{x |x <5}．答案：{x |x <5}13．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有________人．解析：结合Venn 图可知两种都没买的有2人．答案：214．已知集合A 、B ，定义集合A *B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }．若A ＝{－2 011,0,2 012}，B ＝{－2 012,0，2 012}，则集合A *B ＝________.解析：由题意知，集合A *B 中的元素由集合A ，B 的并集A ∪B 中的元素去掉交集A ∩B 中的元素组成．由于A ∪B ＝{－2 012，－2 011,0,2 012}，A ∩B ＝{0，2 012}，于是A *B ＝{－2 011，－2 012}．答案：{－2 011，－2 012}三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1<x <6}，C ＝{x |x >a }，U ＝R .(1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ；(2)如果A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．解：(1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1<x <6}＝{x |1<x ≤8}．又∁U A ＝{x |x <2或x >8}．∴(∁U A )∩B ＝{x |x <2或x >8}∩{x |1<x <6}＝{x |1<x <2}．(2)∵A ∩C ≠∅，结合数轴可知，a <8.16．(本小题满分12分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{a |a ≥2或a ≤－2}，B ＝{a |关于x 的方程ax 2－x ＋1＝0有实数根}．求A ∪B ，A ∩B ，A ∩(∁U B )．解：对于方程ax 2－x ＋1＝0，当a ＝0时，x ＝1，满足题意．当a ≠0时，要使该方程有实数根．则Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14. 综上知：a ≤14.∴B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa ≤14. ∴A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa ≤14或a ≥2，A ∩B ＝{a |a ≤－2}． 又∵∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa ＞14，∴A ∩∁U B ＝{a |a ≥2}． 17.(本小题满分12分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |3≤x ≤7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |5－a <x <a }．(1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ；(2)若C ⊆(A ∪B )，求a 的取值范围．解：(1)借助数轴可知：A ∪B ＝{x |2＜x ＜10}．∁R A ＝{x |x <3或x >7}．∴(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7<x <10}．(2)当5－a ≥a 即a ≤52时，C ＝∅，满足C ⊆A ∪B .当5－a <a 即a >52时， 由C ⊆A ∪B ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 5－a ≥2，a ≤10，解得a ≤3.∴a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa ≤52∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 52＜a ≤3＝{a |a ≤3}． 18．(本小题满分14分)已知A ＝{x |x 2－2x －8＝0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋a 2－12＝0}，若B ∪A ≠A ，求实数a 的取值范围．解：若B ∪A ＝A ，则B ⊆A ，又∵A ＝{x |x 2－2x －8＝0}＝{－2,4}，|a |>4.∴集合B 有以下三种情况：①当B ＝∅时，Δ＝a 2－4(a 2－12)＜0，即a 2＞16，|a |>4，∴a ＜－4或a ＞4；②当B 是单元素集时，Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0，∴a ＝－4或a ＝4.若a ＝－4，则B ＝{2}A ；若a ＝4，则B ＝{－2}⊆A ；③当B ＝{－2,4}时，－2,4是方程x 2＋ax ＋a 2－12＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝－2＋4，a 2－12＝－2×4.∴a ＝－2.综上可得，B ∪A ＝A 时，a 的取值范围为a ＜－4或a ＝－2或a ≥4.∴B ∪A ≠A 时，实数a 的取值范围为－4≤a ＜4，且a ≠－2。

1．3 集合的基本运算第1课时【学习目标】1．理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；2．会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题．【课前导学】一、复习回顾1．回忆概念：子集，真子集，补集．2．已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5},则A S，{x|x∈S且x A}= ．3．用适当符号填空：0 {0}；0 Φ；Φ{x|x＋1＝0, x∈R}；{0} {x|x<3且x>5}；{x|x>6} {x|x<－2或x>5}；{x|x>－3} {x|x>2}．4．如果全集U={x|0≤x<6,x∈Z},A=｛1,3,5｝,B=｛1,4｝那么，C U A=____, C U B=____．二、问题情境5、用Venn图分别表示下列各组中的三个集合：①A={-1,1,2,3},B={-2,-1,1},C={-1,1}；②A={x|x≤3},B={x|x>0},C={x|0<x≤3}；③A={x|x为高一(1)班语文测验优秀者}，B={x|x为高一(1)班英语测验优秀者}，C={x|x为高一(1)班语文、英语测验都优秀者}．上述每组集合中，A,B,C之间都具有怎样的关系？对于①中若D={-2,-1,1,2,3}，A,B,D之间都具有怎样的关系？讨论：如何用文字语言、符号语言分别表示上述两个集合的关系？【课堂活动】一、建构数学：1．交集定义：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集．记作：A∩B（读作“A交B”）（intersection set）；符号语言为：A∩B={x∣x∈A,且x∈B }；图形语言为：2．并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A∪B（读作＂A并B＂）(union set)；符号语言为：A∪B={x∣x∈A或x∈B }．图形语言为：3．区间的表示法：设a，b是两个实数，且a<b，我们规定：[a， b] = _____________________；（a， b）= _____________________；[a ，b）= _____________________；（a ，b] = ______________________；（a，+∞）=______________________；（-∞，b）=______________________；（-∞，+∞）=____________________．其中 [a， b]，（a， b）分别叫闭区间、开区间；[a ，b），（a ，b] 叫半开半闭区间；a，b叫做相应区间的端点.注意：（1）区间是数轴上某一线段或数轴上的点所对应的实数的取值集合又一种符号语言；（2）区间符号内的两个字母或数之间用“，”号隔开；（3）∞读作无穷大，它是一个符号，不是一个数.思考:A ∩B=A ，可能成立吗？A ∪B=A ，可能成立吗？A ∪U C A 是什么集合？结论： A ∩B = A ⇔ A ⊆B ；A ∪B = B ⇔ A ⊆B ．二、应用数学：例1 设A={x|x>-2}，B={x|x<3},求A ∩B ．【思路分析】涉及不等式有关问题，利用数形结合即运用数轴是最佳方案． (如图1—6)解：在数轴上作出A 、B 对应部分如图1—6，A ∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2<x<3}．【解后反思】数形结合思想的应用----数轴是常用工具．例2 设A={x|x 是等腰三角形}，B={x|x 是直角三角形}，求A ∩B 。

１．１．３集合的基本运算课时教学三维目标一、知识与技能1.理解并集、交集的概念和意义.2.掌握有关集合并集、交集的术语和符号，并会用它们正确地表示一些简单的集合，能用图示法表示集合之间的关系.3.掌握两个较简单集合的并集、交集的求法.二、过程与方法1.自主学习，了解并集、交集来源于生活、服务于生活，又高于生活.2.通过对并集、交集概念的讲解，培养学生观察、比较、分析、概括等能力，使学生认识由具体到抽象的思维过程.3.探究数学符号化表示问题的简洁美.三、情感态度与价值观认识共性存在于个性之间，“并”能够产生特殊的集体，有包容现象，小集体可合成大集体.教学教学重点并集、交集的概念.教学难点并集、交集的概念、符号之间的区别与联系.教具准备投影仪、打印好的材料.教学流程一、创设情景，引入新课师：同学们，今天我们来做一些统计，符合条件的同学请举手.第一项统计：“我班45名同学中爱好数学的同学请举手”（喜欢数学的同学举起了手）.师：我们可以用集合A来表示我班45名同学中爱好数学的同学.第二项统计：请爱好物理的同学举手”（喜欢物理的同学举起了手）.师：我们可以用集合B来表示我班45名同学中爱好物理的同学.师：第三项统计：请我班同学中爱好数学或爱好物理的同学举手（喜欢数学或喜欢物理的同学举起了手）.师：同样，我们可以用集合C来表示我班45名同学中喜欢数学或喜欢物理的同学.上面的描述我们可以用图来表示，我们看下图（用投影仪打出）．我班喜欢数学的同学我班喜欢物理的同学A B师：图中的阴影部分表示什么？生：我班喜欢数学或喜欢物理的同学，即刚才所说的集合C.二、讲解新课1．并集（问题1）师：大家说得很对，就是集合C，试问这个新集合中的元素与集合A、B的元素有何关系？生：它的元素属于集合A 或属于集合B .师：对！我们把所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集.由此引入并集的概念.（问题2）那么你能用适当的方法将A U B 表示出来吗？生：描述法：A ∪B =｛x |x ∈A 或x ∈B ｝图示法师：并集定义的数学表达式中“或”字的意义应引起注意，用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的。

§1.1.3 集合的基本运算（1）1. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题；3. 能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.89复习1：用适当符号填空.0 {0}； 0 ∅；∅ {x|x2＋1＝0,x∈R}；{0} {x|x<3且x>5}；{x|x>－3} {x|x>2}；{x|x>6} {x|x<－2或x>5}.复习2：已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5}，则A S， {x|x∈S且x∉A}= .思考：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？二、新课导学※学习探究探究：设集合{4,5,6,8}B=.A=，{3,5,7,8}（1）试用Venn图表示集合A、B后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）；（2）讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？新知：交集、并集.①一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A、B的交集（intersection set），记作A∩B，读“A交B”，即：且=∈∈{|,}.A B x x A x BVenn图如右表示.②类比说出并集的定义.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B 的并集（union set），记作：A B，读作：A并B，用描述法表示是：或.A B x x A x B=∈∈{|,}Venn 图如右表示.试试：（1）A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∪B ＝ ；（2）设A ＝{等腰三角形}，B ＝{直角三角形}，则A ∩B ＝ ；（3）A ＝{x |x >3}，B ＝{x |x <6}，则A ∪B ＝ ，A ∩B ＝ .（4）分别指出A 、B 两个集合下列五种情况的交集部分、并集部分.反思：（1）A ∩B 与A 、B 、B ∩A 有什么关系？（2）A ∪B 与集合A 、B 、B ∪A 有什么关系？（3）A ∩A ＝ ；A ∪A ＝ .A ∩∅＝ ；A ∪∅＝ .※ 典型例题例1 设{|18}A x x =-<<，{|45}B x x x =><-或，求A ∩B 、A ∪B .变式：若A ＝{x |-5≤x ≤8}，{|45}B x x x =><-或，则A ∩B = ；A ∪B = .小结：有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究.例2 设{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|327}B x y x y =+=，求A ∩B .变式：A（1）若{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|43}B x y x y =+=，则A B = ；（2）若{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|8212}B x y x y =+=，则A B = .反思：例2及变式的结论说明了什么几何意义？※ 动手试试练1. 设集合{|23},{|12}A x x B x x =-<<=<<.求A ∩B 、A ∪B .练2. 学校里开运动会，设A ={x |x 是参加跳高的同学}，B ={x |x 是参加跳远的同学}，C ={x |x 是参加投掷的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释A B 与B C 的含义.三、总结提升※ 学习小结1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质；2. 求交集、并集的两种方法：数轴、Venn 图.※ 知识拓展A B C A B A C =（）（）（），A B C A B A C =（）（）（），A B C A B C =（）（），A B C A B C =（）（），A AB A A A B A ==（），（）.你能结合Venn 图，分析出上述集合运算的性质吗？※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设{}{}5,1,A x Z x B x Z x =∈≤=∈>那么AB 等于（ ）.A ．{1,2,3,4,5}B ．{2,3,4,5}C ．{2,3,4}D ．{}15x x <≤ 2. 已知集合M ＝｛(x , y )|x +y =2｝，N ={(x , y )|x －y =4},那么集合M ∩N 为（ ）.A. x =3, y =－1B. (3，－1)C.｛3，－1｝D.｛(3，－1)｝3. 设{}0,1,2,3,4,5,{1,3,6,9},{3,7,8}A B C ===，则()A B C 等于（ ）.A. {0,1,2,6}B. {3,7,8,}C. {1,3,7,8}D. {1,3,6,7,8}4. 设{|}A x x a =>，{|03}B x x =<<，若A B =∅，求实数a 的取值范围是 .5. 设{}{}22230,560A x x x B x x x =--==-+=，则A B = .1. 设平面内直线1l 上点的集合为1L ，直线2l 上点的集合为2L ，试分别说明下面三种情况时直线1l 与直线2l 的位置关系？（1）12{}L L P =点； （2）12L L =∅； （3）1212L L L L ==.2. 若关于x 的方程3x 2+px －7=0的解集为A ，方程3x 2－7x +q =0的解集为B ，且A ∩B ={13-}，求A B .§1.1.3 集合的基本运算（2）1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；2. 能使用Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.1011复习1：集合相关概念及运算.① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的 ，记作 .若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的 ，记作 . 若A B B A ⊆⊆且，则 . ② 两个集合的 部分、 部分，分别是它们交集、并集，用符号语言表示为： A B = ；A B = .复习2：已知A ＝{x |x ＋3>0}，B ＝{x |x ≤－3}，则A 、B 、R 有何关系？二、新课导学※ 学习探究探究：设U ={全班同学}、A ={全班参加足球队的同学}、B ={全班没有参加足球队的同学}，则U 、A 、B 有何关系？新知：全集、补集.① 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U .② 补集：已知集合U , 集合A ⊆U ，由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作A 相对于U 的补集，记作：U C A ，读作：“A 在U 中补集”，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且.补集的Venn 图表示如右：说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制. 试试：（1）U ={2,3,4}，A ={4,3}，B =∅，则U C A = ，U C B = ；（2）设U ＝{x |x <8，且x ∈N}，A ＝{x |(x -2)(x -4)(x -5)＝0}，则U C A ＝ ；（3）设集合{|38}A x x =≤<，则R A ð= ；（4）设U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则U C A ＝ .反思：（1）在解不等式时，一般把什么作为全集？在研究图形集合时，一般把什么作为全集？（2）Q 的补集如何表示？意为什么？※ 典型例题例1 设U ＝{x |x <13，且x ∈N}，A ＝{8的正约数}，B ＝{12的正约数}，求U C A 、U C B .例2 设U =R ，A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，求A ∩B 、A ∪B 、U C A 、U C B .变式：分别求()U C A B 、()()U U C A C B .※ 动手试试练 1. 已知全集I ={小于10的正整数}，其子集A 、B 满足()(){1,9}I I C A C B =，(){4,6,8}I C A B =，{2}A B =. 求集合A 、B .练2. 分别用集合A 、B 、C 表示下图的阴影部分.（1） ； （2） ；（3） ； （4） .反思：结合Venn 图分析，如何得到性质：（1）()U A C A = ，()U A C A = ；（2）()U U C C A = .三、总结提升※ 学习小结1. 补集、全集的概念；补集、全集的符号.2. 集合运算的两种方法：数轴、Venn 图.※ 知识拓展试结合Venn 图分析，探索如下等式是否成立？（1）()()()U U U C A B C A C B =；（2）()()()U U U C A B C A C B =.）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设全集U =R ，集合2{|1}A x x =≠，则U C A =（ ）A. 1B. －1，1C. {1}D. {1,1}-2. 已知集合U ={|0}x x >，{|02}U C A x x =<<，那么集合A =（ ）.A. {|02}x x x ≤≥或B. {|02}x x x <>或C. {|2}x x ≥D. {|2}x x >3. 设全集{}0,1,2,3,4I =----,集合{}0,1,2M =--,{}0,3,4N =--，则()I M N =ð（ ）.A ．｛０｝B ．{}3,4--C ．{}1,2--D ．∅4. 已知U ={x ∈N|x ≤10}，A ={小于11的质数}，则U C A = .5. 定义A —B ={x |x ∈A ，且x ∉B }，若M ={1,2,3,4,5}，N ={2,4,8}，则N —M = .1. 已知全集I =2{2,3,23}a a +-，若{,2}A b =，{5}I C A =，求实数,a b .2. 已知全集U =R ，集合A ={}220x x px ++=，{}250,B x x x q =-+= 若{}()2U C A B =，试用列举法表示集合A。