【精品推荐】高中数学北师大版必修一课后训练1.3集合的基本运算 Word版含答案

新编人教版精品教学资料1.1.3 集合的基本运算班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后作业【基础过关】1．若，，，，则满足上述条件的集合的个数为A.5B.6C.7D.82．已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5}, B={1,3,6},那么集合{2,7,8}是A.A∪B B.A∩B C.(∁U A)∩(∁U B) D.(∁U A)∪(∁U B) 3．若集合P={x∈N|-1<x<3},Q={x|x=2a,a∈P},则P∩Q=A.⌀B.{x|-2<x<6}C.{x|-1<x<3}D.{0,2}4．设全集U=R,集合M={x|x>1或x<-1},N={x|0<x<2},则N∩(∁U M)=A.{x|-2≤x<1}B.{x|0<x≤1}C.{x|-1≤x≤1}D.{x|x<1} 5．某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.6．集合A={(x,y)|x+y=0},B={(x,y)|x-y=2},则A∩B=.7．设集合A={x|0<x-m<3},B={x|x≤0,或x≥3},分别求满足下列条件的实数m.(1)A∩B=⌀;(2)A∪B=B.8．已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},C={x|x<a}.(1)求A∪B,(∁R A)∩B;(2)若A∩C≠⌀,求a的取值范围.【能力提升】已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-x+2m=0}.(1)若A∪B=A,求a的值;(2)若A∩C=C,求m的取值范围.1.1.3 集合的基本运算课后作业·详细答案【基础过关】1．D2．C【解析】借助Venn图易得{2,7,8}=∁U(A∪B),即为(∁U A)∩(∁U B).3．D【解析】由已知得P={0,1,2},Q={0,2,4},所以P∩Q={0,2}. 4．B【解析】∁U M={x|-1≤x≤1},结合数轴可得N∩(∁U M)={x|0<x≤1}. 5．12【解析】设两项运动都喜爱的人数为x,依据题意画出Venn图,得到方程15-x+x+10-x+8=30,解得x=3,∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12.6．{(1,-1)}【解析】A∩B={(x,y)|}={(1,-1)}.7．因为A={x|0<x-m<3},所以A={x|m<x<m+3}.(1)当A∩B=⌀时,需,故m=0.即满足A∩B=⌀时,m的值为0.(2)当A∪B=B时,A⊆B,需m≥3,或m+3≤0,得m≥3,或m≤-3.即满足A∪B=B时,m的取值范围为{m|m≥3,或m≤-3}.8．(1)因为A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},所以A∪B={x|2≤x<10}.因为A={x|2≤x<7},所以∁R A={x|x<2,或x≥7},则(∁R A)∩B={x|7≤x<10}.(2)因为A={x|2≤x<7},C={x|x<a},且A∩C≠⌀,所以a>2.【能力提升】A={1,2}.(1)因为A∪B=A,所以B⊆A,故集合B中至多有两个元素1,2.而方程x2-ax+a-1=0的两根分别为1,a-1,注意到集合中元素的互异性,有①当a-1=2,即a=3时,B={1,2},满足题意;②当a-1=1,即a=2时,B={1},满足题意.综上可知,a=2或a=3.(2)因为A∩C=C,所以C⊆A.①当C=⌀时,方程x2-x+2m=0无实数解,因此其根的判别式Δ=1-8m<0,即m>.②当C={1}(或C={2})时,方程x2-x+2m=0有两个相同的实数解x=1(或x=2),因此其根的判别式Δ=1-8m=0,解得m=,代入方程x2-x+2m=0,解得x=,显然m=不符合要求.③当C={1,2}时,方程x2-x+2m=0有两个不相等的实数解x1=1,x2=2,因此x1+x2=1+2≠1,x1x2=2=2m,显然不符合要求.综上,m>.。

2019-2020年高中数学必修一1.1.3《集合的基本运算（2）》Word 精讲精析学习目标展示1. 能熟练地进行集全的并、并、补运算2. 理解补集的性质及其应用3. 能够进行集合的运算与性质的综合应用衔接性知识1. 已知全集，集合，求：（1），，，（2），解：（1），，（2），所以，2．观察上题的结果，你能猜想得到什么结论？解：从上题结果可猜想结论， [()]()[()]A B B A B A B A B =C C典例精讲剖析例1．已知全集，集合，，，求集合解：全集，例2. 设全集，，，求解：，由题且，解之或.例3. 设全集，，求、.解：将1、2、3、4代入中，或，当m = 4时，，即A = {1，4}，又当m = 6时，，即A = {2，3}.故满足条件： = {1，4}，m = 4； = {2，3}，m = 6例4．设，集合，；若，求的值解：，由，得而2{|(1)0}{|(1)()0}B x x m x m x x x m =+++==++=当时，，符合；当时，，而，∴，即∴或精练部分A 类试题（普通班用）1. 已知全集{}{}5,42,13,0,2U R A x x B x x P x x x ⎧⎫==-≤<=-<≤=≤≥⎨⎬⎩⎭或求 解：，，2. 已知，，，试用列举法写出集合解：∵，，∴而}，∴3.设全集，方程有实数根，方程有实数根，求解：当时，，即；当时，，解得∴而对于，即，∴从而4. 全集，，如果求实数解：，∴从而实数的值为5. 已知全集{5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5}I =-----，集合，，其中，若，求解：，，，考查集合若，则，此时，，，，与已知矛盾.若，则，此时，，，，与已知相符.，所以B 类试题（尖子班用）1. 设全集，集合，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．解：，，选C2. 设全集，，，那么（ ）A ．B ．C ．D ． 解：3{(,)|1}{(,)|1,2}2y M x y x y y x x x -====+≠-， ，，选B3. 下列命题之中，U 为全集时，不正确的是（ B ） A ．若，则 B ．若，则=或=C ．若，则D ．若，则解：B 不正确，如，，则，但，4．已知全集{}{}5,42,13,0,2U R A x x B x x P x x x ⎧⎫==-≤<=-<≤=≤≥⎨⎬⎩⎭或那么 解：，，5．已知集合，，那么集合 ， ，解：或；；或6. 已知，，，试用列举法写出集合解：∵，，∴而}，∴7.设全集，方程有实数根，方程有实数根，求解：当时，，即；当时，，解得∴而对于，即，∴从而8. 全集，，如果则这样的实数是否存在？若存在，求出；若不存在，请说明理由 解：设满足条件的实数存在，则，∴，解得从而存在实数，满足已知条件9. 已知全集{5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5}I =-----，集合，，其中，若，求解：，，，考查集合若，则，此时，，，，与已知矛盾.若，则，此时，，，，与已知相符.，所以10. 设全集，集合，，且，求实数、的值。

第一章预备知识§1集合1.3 集合的基本运算第1课时交集和并集课后篇巩固提升必备知识基础练1.设集合A={0,2,4,6,8,10},B={x|2x-3<4},则A∩B=()A.{4,8}B.{0,2,6}C.{0,2}D.{2,4,6}又A={0,2,4,6,8,10},∴A∩B={0,2}.2.(重庆高一期末)已知集合A={x|x2-2x-3=0},B={1,y},若A∩B={3},则A ∪B=( )A.{1,3}B.{-1,3}C.{-1,1,3}D.{-3,-1,3},A={x|x2-2x-3=0}={-1,3}.因为A∩B={3},所以y=3,B={1,3},所以A∪B={-1,1,3}.故选C.3.(多选题)(山东泰安高一质检)满足{1,3}∪A={1,3,5}的集合A可能是( )A.{5}B.{1,5}C.{3}D.{1,3,5}{1,3}∪A={1,3,5},知A⊆{1,3,5},且A中至少有1个元素5.所以A={5}或A={1,5}或A={3,5}或A={1,3,5}.故选ABD.4.设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=()A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}5.已知集合A={x|3x-4<0},B={-4,1,3,5},则A∩B=()A.{-4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3},故A∩B={-4,1}.3x-4<0,解得x<436.(广东珠海高一期末)已知集合A={-2,0,2},B={y|y=x 2,x ∈A},则A ∪B=( ) A.{-4,4,-2,2,0} B.{-2,2,0,4}C.{-4,4,0,2}D.{0,2,4}B={y|y=x 2,x ∈A}={0,4},A={-2,0,2},所以A ∪B={-2,0,2,4}.7.已知集合A={x|x<1,或x>5},B={x|a≤x≤b},且A ∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},则2a-b= .,可知a=1,b=6,∴2a-b=-4.8.已知关于x 的方程3x 2+px-7=0的解集为A,方程3x 2-7x+q=0的解集为B,若A∩B={-13}.求A ∪B.{-13},∴-13∈A,且-13∈B.由-13∈A,设3=-73,解得m=7.∴A={-13,7},同理B={-13,83}, ∴A ∪B={-13,83,7}.9.(安徽合肥高一期末)已知集合A={的取值范围.当m=-1时,B={x|-1<x<2},∴A ∪B={x|-1<x<3}. (2)∵A∩B=A,∴A ⊆B, ∴{1-m ≥3,m ≤1,m <1-m ,解得m≤-2, 故实数m 的取值范围为(-∞,-2].关键能力提升练10.(山东,1)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A ∪B=( ) A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3} C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4}数形结合)由数轴可知所以A ∪B={x|1≤x<4},故选C.11.(全国1,理2)设集合A={x|x 2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=( )A.-4B.-2C.2D.4A={x|-2≤x≤2},B={x|x≤-a2}.因为A∩B={x|-2≤x≤1},所以有-a2=1,解得a=-2.12.(湖北荆州中学高一期末)定义集合的商集运算为AB=x∈A,n∈B,已知集合S={2,4,6},T=x x=k2-1,k∈S,则集合TS∪T中的元素个数为( )A.5B.6C.7D.8解析∵集合的商集运算为AB=x∈A,n∈B,集合S={2,4,6},∴T=xx=k2-1,k∈S={0,1,2},∴TS=0,12,13,14,16,1,∴TS∪T=0,12,13,14,16,1,2.∴集合ST∪T元素的个数为7.13.(江西南康中学高一月考)已知方程x2+px+q=0的两个不相等实根为α,β.若集合A={α,β},B={2,4,5,6},C={1,2,3,4},A∩C=A,A∩B=⌀,求p,q的值.A∩C=A知A⊆C,又A={α,β},则α∈C,β∈C.而A∩B=⌀,故α∉B,β∉B.显然既属于C又不属于B的元素只有1和3.令α=1,β=3.对于方程x 2+px+q=0的两根α,β, 根据根与系数的关系可得p=-4,q=3. 14.已知集合A={的取值范围.∪B=B,∴A ⊆B,∴{m ≤-2,m +9≥3,解得-6≤m≤-2,∴实数m 的取值范围是[-6,-2]. (2)当A∩B=⌀时,3≤m,或m+9≤-2, 解得m≥3,或m≤-11, ∴当A∩B≠⌀时,-11<m<3, ∴实数m 的取值范围是(-11,3).学科素养拔高练15.(上海育才中学高一月考)设集合A={x|0≤x+a≤1},B={x|a -1≤x≤0},其中a ∈R,求A∩B.a-1>0,即a>1时,B=⌀时,A∩B=⌀;当a-1=0,即a=1时,A={x|-1≤x≤0},B={0},则A∩B={0};当a-1<0,即a<1时,1-a>0.若-a>0,即a<0时,如右图所示,A∩B=⌀.若-a=0,即a=0时,如下图所示,A={x|0≤x≤1},B={x|-1≤x≤0},则A∩B={0}.若a-1<-a<0,即0<a<1时,2如下图所示,A∩B={x|-a≤x≤0}.若-a≤a-1,即1≤a<1时,如右图所示,A∩B={x|a-1≤x≤0}.2综上所述,当a<0或a>1时,A∩B=⌀;当a=0或a=1时,A∩B={0};时,A∩B={x|-a≤x≤0};当0<a<121≤a<1时,A∩B={x|a-1≤x≤0}.2。

第1课时交集与并集[核心必知] 1．交集与并集的定义2.交集、并集运算的性质(1)交集运算性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B，A⊆B⇔A∩B＝A，(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)．(2)并集运算性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A ⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)，A⊆B⇔A∪B＝B，(A ∪B)∪C＝A∪(B∪C)．[问题思考]1．数学活动课上，小强说：“若x∉(A∩B), 则x∉A且x∉B.”小刚说：“若x∉(A∪B)，则x∉A且x∉B.”这两个同学说的都对吗？为什么？提示：A∩B是由既属于A又属于B的元素确定的集合，x∉(A∩B)可分三种情况：x∉A且x∈B，x∈A且x∉B，x∉A且x∉B，即小强同学说的不正确．A∪B是由属于A或属于B的元素确定的集合，即A、B两集合的元素都在A∪B中，若x∉(A∪B)，则必有x∉A且x∉B，即小刚同学说的正确．2．当集合A与B没有公共元素时，A与B没有交集，对吗？提示：不对，当A与B没有公共元素时，A与B的交集为空集，即A∩B＝∅.3．能否认为A∪B是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合？为什么？提示：不能，因为A与B可能有公共元素，上述观点违背了集合元素的互异性．讲一讲1．(1)设集合M＝{m∈Z|－3＜m＜2}，N ＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N等于() A．{0,1}B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}(2)已知集合A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，求A∩B，A∪B.[尝试解答](1)选B由已知M＝{－2，－1,0,1}，N＝{－1，0,1,2,3}，∴M∩N＝{－2，－1,0,1}∩{－1,0,1,2,3}＝{－1,0,1}．(2)分别在数轴上表示集合A和B，根据A∩B、A∪B的定义，由图知，A∩B＝{x|－1＜x＜2}，A∪B＝{x|－4≤x≤3}．若本例(2)中集合B＝{x|x≤a}，求A∩B.解：因为A＝{x|－4≤x＜2}，∴当a＜－4时，A∩B＝∅，当－4≤a＜2时，A∩B＝{x|－4≤x≤a}，当a≥2时，A∩B＝A＝{x|－4≤x＜2}．解决此类题目首先应看清集合中元素的属性，是数集还是点集，并化简．然后再按下列规律进行运算：(1)如果集合是有限集，则需先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交、并集的定义分别求出；(2)如果集合中的元素是部分连续实数构成时，则常借助于数轴，把集合分别表示在数轴上，然后再利用交、并集的定义去求解，这样处理比较形象直观，但解答过程中需注意边界问题．练一练1．(重庆高考)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,3}，则A ∩B ＝ ( )A ．{2}B ．{1,2}C ．{1,3}D ．{1,2,3} 解析：选C A ∩B ＝{1,2,3}∩{1,3}＝{1,3}．2．已知集合A ＝{x |1≤x ＜3}，B ＝{x |x ＞2}，试求A ∩B 和A ∪B.解：利用数轴易知A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}，A ∪B ＝{x |x ≥1}．讲一讲2．已知A ＝{x |x 2－px －2＝0}，B ＝{x |x 2＋qx ＋r ＝0}，且A ∪B ＝{－2,1,5}，A ∩B ＝{－2}，求p ，q ，r 的值．[尝试解答] ∵A ∩B ＝{－2}，∴－2∈A .将x ＝－2代入x 2－px －2＝0，得p ＝ －1.∴A ＝{1，－2}．∵A ∪B ＝{－2,1,5}，A ∩B ＝{－2}， ∴B ＝{－2,5}．∴4－2q ＋r ＝0且25＋5q ＋r ＝0.解得q ＝－3，r ＝－10.故p ＝－1，q ＝－3，r ＝－10.应用集合的交集、并集求解参数或确定另外集合的关键是将运算结果利用交集、并集的定义转化为元素与集合的关系，从而构造方程，不等式(组)等求解，但当出现交集为空集的情形，应首先讨论集合是否为空集．练一练3．设集合A ＝{|a ＋1|,3,5}，集合B ＝{2a ＋1，a 2＋2a ，a 2＋2a －1}，当A ∩B ＝{2,3}时，求A ∪B .解：∵2∈A ， ∴|a ＋1|＝2. ∴a ＝1或a ＝－3.当a ＝1时，集合B 的元素a 2＋2a ＝3,2a ＋1＝3.由集合中元素的互异性知a ≠1. 当a ＝－3时，2a ＋1＝－5，a 2＋2a ＝3，a 2＋2a －1＝2，即集合B ＝{－5,3,2}． ∴A ∪B ＝{－5,2,3,5}．讲一讲3．设A ＝{x |x 2－2x ＝0}；B ＝{x |x 2－2ax＋a 2－a ＝0}．(1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围；(2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．[尝试解答] 由x 2－2x ＝0，得x ＝0或x ＝2.∴A ＝{0,2}． (1)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，B ＝∅，{0}，{2}，{0,2}． 当B ＝∅时，Δ＝4a 2－4(a 2－a )＝4a <0，∴a <0；当B ＝{0}时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＝0，4a ＝0，∴a ＝0；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧4－4a ＋a 2－a ＝0，4a ＝0，无解；当B ＝{0,2}时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a 2－a ＝0，得a ＝1.综上所述，得a 的取值范围是{a |a ＝1或a ≤0}．(2)∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ，又∵A ＝{0,2}，而B 中方程至多有两个根，∴A ＝B ，由(1)知a ＝1.解答此类题的关键是利用交集与并集的运算性质，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，将运算结果转化为两集合间的关系，从而构造方程或不等式求解．练一练4．已知集合A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |m＜x ＜m ＋9}．(1)若A ∪B ＝B ，求实数m 的取值范围； (2)若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵A ∪B ＝B ， ∴A ⊆B ，由图可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－2，m ＋9≥3，∴－6≤m ≤－2为所求范围． (2)∵A ∩B ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋9＞－2，m ＜3， ∴－11＜m ＜3为所求范围．在2016年春季召开的校运会上，某班共有28名运动员参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛．同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有同时参加三项比赛的运动员．则同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的运动员有多少人？[巧思] 设同时参加田赛和球类比赛的人数为x ，利用Venn 图和题设条件向图中填数，然后利用总人数为28得关于x 的方程求解即可．[妙解] 设参加径赛的运动员组成集合A ，参加田赛的运动员组成集合B ，参加球类比赛的运动员组成集合C .根据题意画出Venn 图，如图所示．设同时参加田赛和球类比赛的人数为x .由题意，得9＋3＋3＋(8－3－x )＋x ＋(14－3－x )＝28，解得x ＝3.所以，同时参加田赛和球类比赛的有3人，只参加径赛的有9人．1．(福建高考)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{－2,2}，下列结论成立的是( )A ．N ⊆MB ．M ∪N ＝MC ．M ∩N ＝ND ．M ∩N ＝{2} 解析：选D 因为－2∉M ，可排除A ；M ∪N ＝{－2,1,2,3,4}，可排除B ；M ∩N ＝{2}．2．已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <3}，则A ∪B ＝( )A ．(－1,3)B ．(－1,0)C ．(0,2)D ．(2,3) 解析：选A 将集合A 与B 在数轴上画出(如图)．由图可知A ∪B ＝(－1,3)，故选A. 3．(浙江高考)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，则S ∩T ＝( )A ．[－4，＋∞)B ．(－2, ＋∞)C ．[－4,1]D ．(－2,1]解析：选D 由已知得S ∩T ＝{x |x >－2}∩{x |－4≤x ≤1}＝{x |－2<x ≤1}＝(－2,1]，故选D.4．设A ＝{0,1,2,4,5,7}，B ＝{1,3,6,8,9}，C ＝{3,7,8}，则A ∩B ＝________，(A ∩B )∪C ＝________.解析：∵A ∩B ＝{1}，∴(A ∩B )∪C ＝{1}∪{3,7,8}＝{1,3,7,8}． 答案：{1} {1,3,7,8}5．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x >a }且满足A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围为________．解析：利用数轴，∵A ∩B ＝∅，∴a ≥1.答案：[1，＋∞)6．已知关于x 的方程3x 2＋px －7＝0的解集为A ，方程3x 2－7x ＋q ＝0的解集为B ，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，求A ∪B .解：∵A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，∴－13∈A 且－13∈B .∴3⎝⎛⎭⎫－132＋p ⎝⎛⎭⎫－13－7＝0且3·⎝⎛⎭⎫－132－7×⎝⎛⎭⎫－13＋q ＝0.∴p ＝－20，q ＝－83. 由3x 2－20x －7＝0得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，7，由3x 2－7x －83＝0得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，83，∴A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，83，7.一、选择题1．(四川高考)设集合A ＝{a ，b }，B ＝{b ，c ，d }，则A ∪B ＝ ( )A ．{b }B ．{b ，c ，d }C ．{a ，c ，d }D ．{a ，b ，c ，d } 解析：选D 依题意得知，A ∪B ＝{a ，b ，c ，d }．2．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由已知A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，a ＝4， ∴a ＝4.3．如图，图形中的阴影部分表示的是 ( )A ．(A ∪C )∩(B ∪C ) B ．(A ∪B )∩(A ∪C ) C ．(A ∪B )∩(B ∪C )D ．(A ∪B )∩C解析：选A 由并集、交集的定义知(A∪C )∩(B ∪C )正确．4．设I ＝{ 1,2,3,4}，A 与B 是I 的子集，若A ∩B ＝{1,3}，则称(A ，B )为一个“理想配集”．那么符合此条件的“理想配集”的个数是(规定(A ，B )与(B ，A )是两个不同的“理想配集”)( )A ．4B ．8C ．9D ．16解析：选C 由题意，可用Venn 图表示所有理想配集如下：所以，符合条件的“理想配集”共有9个． 二、填空题5．(江苏高考)已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝________.解析：集合A ，B 都是以列举法的形式给出，易得A ∪B ＝{1,2，4,6}．答案：{1,2,4,6}6．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________．解析：由题意知：a 2＋4＞3，故a ＋2＝3，即a ＝1，经验证，a ＝1符合题意．∴a ＝1.答案：17．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x ，画出V enn 图得到方程15－x ＋x ＋10－x ＋8＝30⇒x ＝3，∴喜爱篮球运动但不爱乒乓球运动的人数为15－3＝12人．答案：128．已知集合T 是方程x 2＋px ＋q ＝0(p 2－4q ＞0)的解组成的集合，A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{1,4,7,10}，且T ∩A ＝∅，T ∩B ＝T ，则实数p ＝________，q ＝________.解析：∵Δ＝p 2－4q ＞0，∴方程x 2＋px ＋q ＝0必有两个不等的实数根，即集合T 中含有两个元素．∵A ∩T ＝∅，∴1,3,5,7,9∉T . 又T ∩B ＝T ，∴T B .∴T ＝{4,10}，即4和10是方程x 2＋px ＋q ＝0的根．由韦达定理，得⎩⎪⎨⎪⎧4＋10＝－p ，4×10＝q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－14，q ＝40. 答案：－14 40 三、解答题9．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，集合B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且A ∪B ＝A ，试求实数m 的取值范围．解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A . 又∵A ＝{x |－2≤x ≤5}≠∅， ∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，有m ＋1＞2m －1，∴m ＜2. 当B ≠∅时，如图所示，由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.综上可得，实数m 的取值范围是m ＜2或2≤m ≤3，即m ≤3.10．已知集合A ＝{x |x 2－mx ＋m 2－19＝0}，B ＝{y |y 2－5y ＋6＝0}，C ＝{z |z 2＋2z －8＝0}，是否存在实数m ，使得A ∩B ≠∅，A ∩C ＝∅同时成立？若存在，求出实数m 的值；若不存在，则说明理由．解：假设存在这样的实数m ， ∵B ＝{y |y 2－5y ＋6＝0}＝{2,3}， C ＝{z |z 2＋2z －8＝0}＝{－4,2}， 又A ∩C ＝∅，∴2∉A ，－4∉A . 又A ∩B ≠∅，∴3∈A ，把x ＝3代入x 2－mx ＋m 2－19＝0中，解得m ＝5或m ＝－2.当m ＝5时，A ＝{2,3}，与A ∩C ＝∅矛盾，当m ＝－2时，A ＝{－5,3}，符合题意，∴m ＝－2.故存在m ＝－2，使得A ∩B ≠∅，A ∩C ＝∅同时成立．第2课时 全集与补集[核心必知]1．全集(1)定义：在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集．(2)符号表示：全集通常记作U . 2．补集(1)定义：设U 是全集，A 是U 的一个子集(即A ⊆U )，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作U 中子集A 的补集(或余集)．(2)符号表示：U 中子集A 的补集记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．(3)图示：用Venn 图表示∁U A ，如图所示．(4)运算性质：①A ∪(∁U A )＝U ，A ∩(∁U A )＝∅. ②∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )， ∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．[问题思考]1．任何一个集合都可以作为全集，对吗？提示：不对．由全集的定义可知，空集就不能当全集，因为空集不含任何元素．2．∁U A 在U 中的补集∁U (∁U A )与集合A 有什么关系？提示：相等．3．∁A C 与∁B C 相等吗？为什么？ 提示：不一定．依据补集的含义，符号∁A C 和∁B C 都表示集合C 的补集，但是∁A C 表示集合C 在全集A 中的补集，而∁B C 表示集合C 在全集B 中的补集，由于集合A 和B 不一定相等，所以∁A C 与∁B C 不一定相等．因此，求集合的补集时，首先要明确全集，否则容易出错．如集合A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，B ＝{0,1,2,3,4}，C ＝{1,3,4}，则∁A C ＝{2,5,6,7,8,9}，∁B C ＝{0,2}，很明显∁A C ≠∁B C .讲一讲1．(1)(广东高考)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,5}，则∁U M＝() A．U B．{1,3,5}C．{3,4,6} D．{2,4,6}(2)U＝{x|1≤x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－8x ＋15＝0}，B＝{2,3,4}，求∁U A，∁U B.[尝试解答](1)选C由于U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,5}，从而∁U M＝{3,4,6}．(2)法一：U＝{x|1≤x≤5，x∈Z}＝{1,2,3,4,5}，A＝{3,5}，∴∁U A＝{1,2,4}，∁U B＝{1,5}．法二：Venn图表示．∴∁U A＝{1,2,4}，∁U B＝{1,5}．在求集合的补集运算时，①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解．练一练1．(1)已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤3}，求∁U A，(∁UB)∩A；(2)已知全集U＝{不大于10的非负偶数}，A＝{0,2,4,6}，B＝{x|x∈A且x<4}，求∁U A，A∩(∁U B)．解：(1)∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤3}，结合数轴(如图)：可知∁U A＝{x|1<x≤4}，∁U B＝{x|3<x≤4或－1≤x≤0}．结合数轴(如图)．可知(∁U B)∩A＝{x|－1≤x≤0}；(2)法一：由题意知U＝{0,2,4,6,8,10}，A＝{0,2,4,6}，B＝{0,2}，∴∁U A＝{8,10}，∁U B＝{4,6,8,10}．∴A∩(∁U B)＝{4,6}．法二：可用Venn图：∴∁U A＝{8,10}，A∩(∁U B)＝{4,6}．讲一讲2．(1)已知全集U＝{2,0,3－a2}，子集P ＝{2，a2－a－2}，且∁U P＝{－1}，求实数a；(2)已知集合A＝{x|2a－2＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∁R B，求a的取值范围．[尝试解答](1)∵∁U P＝{－1}，∴－1∈U且－1∉P.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a2＝－1，a2－a－2＝0⇒a＝2.经检验知：a＝2适合题意．(2)∁R B＝{x|x≤1或x≥2}≠∅，∵A∁R B ，∴分A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论． ①若A ＝∅，此时有2a －2≥a ，∴a ≥2.②若A ≠∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＜a ，a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＜a ，2a －2≥2.∴a ≤1. 综上所述，a ≤1或a ≥2.解决此类问题要充分利用补集的定义，借助题干条件，建立关于参数的方程或不等式(组)求解，必要时可借助数轴或Venn 图．练一练2．设集合A ＝{|2a －1|,2}，B ＝{2,3，a 2＋2a －3}且∁B A ＝{5}，则实数a 的值是________．解析：由补集的性质可知：∴⎩⎪⎨⎪⎧|2a －1|＝3，a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2. 答案：23．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤2B ．a ＜1C ．a ≥2D ．a ＞2解析：选C ∵B ＝{x |1＜x ＜2}，∴∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}，由A ∪(∁R B )＝R ，如图所示可知a ≥2.讲一讲3．已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求A ∩B ，(∁U A )∪B ，A ∩(∁U B )．[尝试解答]在数轴上分别表示出全集U 及集合A ，B (如图所示)，先求出∁U A 及∁U B ，再求解．则∁U A ＝{x |x ≤－2，或3≤x ≤4}， ∁U B ＝{x |x ＜－3，或2＜x ≤4}． 所以A ∩B ＝{x |－2＜x ≤2}； (∁U A )∪B ＝{x |x ≤2，或3≤x ≤4}； A ∩(∁U B )＝{x |2＜x ＜3}．解答此类交、并、补综合运算问题，常用方法有两种：(1)通法，利用定义，注意求解的顺序．(2)利用Venn图：要善于用图示法来解决集合的交、并、补的运算问题，注意(∁U A)∩B，(∁U B)∩A等在图示法中的表示如图(1)所示：如图(2)所示，两条封闭相交的曲线将集合U分为四个部分：①(∁U A)∩B；②(∁U B)∩A；③A∩B；④∁U(A∪B)．练一练4．已知全集U＝{x|x∈N，且x是不大于20的素数}，M⊆U，N⊆U，且M∩(∁U N)＝{3,5}，(∁U M)∩N＝{7,19}，(∁U M)∩(∁U N)＝{2,17}，求集合M，N.解：用图示法表示集合U，M，N(如图)，将符合条件的元素依次填入图中相应的区域内．由图可知，M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求：A∩B，A∪B，(∁U A)∩(∁U B)，A∩(∁U B)，(∁U A)∪B.[解]法一：A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}．∵∁U A＝{1,2,6,7,8}，∁U B＝{1,2,3,5,6}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．法二：A∩B，A∪B，A∩(∁U B)求法同解法一．(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{1,2,6}，(∁U A)∪B＝∁U(A∩∁U B)＝{1,2,4,6,7,8}．[尝试用另一种方法解题]法三：画出Venn图，如图所示，可得A∩B ＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．1．(辽宁高考)已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A )∩(∁U B )＝( )A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}解析：选B 因为A ∪B ＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{7,9}．2．设集合A ＝{4,5,6,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：选B A ∪B ＝{3,4,5,6,7,8,9}，A ∩B ＝{4,7,9}∴∁U (A ∩B )＝{3,5,6,8}．3．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，M ＝{1,2}，N ＝{2,5}，则如图阴影部分表示的集合是()A ．{3,4,5}B ．{1,3,4}C ．{1,2,5}D ．{3,4}解析：选D 由题知，阴影部分是∁U (M ∪N )＝{3,4}．4．(湖南高考)已知集合U ＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∪(∁U B )＝________.解析：∁U B ＝{2}，A ∪(∁U B )＝{1,3}∪{2}＝{1,2,3}．答案：{1,2,3}5．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2＜x ＜4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，则实数m 的取值范围为________．解析：由已知A ＝{x |x ≥－m }， ∴∁U A ＝{x |x ＜－m }．∵B ＝{x |－2＜x ＜4}，(∁U A )∩B ＝∅， ∴－m ≤－2，即m ≥2， ∴m 的取值范围是[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞)6．已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ≤3}，求∁U A ，A ∩B ，∁U (A ∩B )，(∁U A )∩B .解：把全集U 和集合A ，B 在数轴上表示如图所示，则由图可知∁U A ＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}， A ∩B ＝{x |－2＜x ＜3}，∁U (A ∩B )＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}， (∁U A )∩B ＝{x |－3＜x ≤－2或x ＝3}．一、选择题1．(山东高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为()A．{1,2,4}B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}解析：选C∁U A＝{0,4}，所以(∁U A)∪B ＝{0,4}∪{2,4}＝{0,2,4}．2．图中阴影部分表示的集合是()A．A∩(∁U B)B．(∁U A)∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)解析：选A显然图中阴影部分为B的补集与集合A的公共部分．即：A∩∁U B.3．(浙江高考)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(∁U Q)＝()A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5} D．{1,2}解析：选D∁U Q＝{1,2,6}，故P∩(∁U Q)＝{1,2}．4．(重庆高考)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝()A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3} D．{4}解析：选D因为A∪B＝{1,2,3}，所以∁U(A∪B)＝{4}，故选D.二、填空题5．已知全集U＝R，A＝{x|x＞2}，m∈∁U A，则实数m的取值范围是________．解析：∵U＝R，A＝{x|x＞2}，∴∁U A＝{x|x≤2}．又m∈∁U A，∴m≤2.答案：[2，＋∞)6．已知U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则(∁U A)∪(∁U B)＝________.解析：∁U A＝{钝角三角形或直角三角形}，∁U B＝{锐角三角形或直角三角形}，∴(∁U A)∪(∁U B)＝U.答案：U7．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B ＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁U C)＝________.解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁U C＝{1,2,5}，∴(A∪B)∩(∁U C)＝{2,5}．答案：{2,5}8．设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，a－5}，M⊆U，∁U M＝{5,7}，则实数a的值为________．解析：∵M⊆U，∁U M＝{5,7}，∴a－5＝3，∴a＝8.答案：8三、解答题9．设全集U＝{1,2,3,4}，且集合A＝{x|x2－5x＋m＝0，x∈U}，若∁U A＝{1,4}，求m 的值．解：∵U＝{1,2,3,4}，∁U A＝{1,4}，又A＝{x|x2－5x＋m＝0，x∈U}∴A＝{2,3}．∴2,3是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系得：2×3＝m，得：m ＝6.10．我们知道，如果集合A⊆U，那么U的子集A的补集为∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫作A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{4,5,6,7,8}，则A－B＝{1,2,3}，B－A＝{4,6,7}．据此，回答以下问题：(1)若U是高一(1)班全体同学的集合，A 是高一(1)班女同学组成的集合，求U－A及∁U A；(2)在图中，分别用阴影表示集合A－B；(3)如果A－B＝∅，那么A与B之间具有怎样的关系？解：(1)U－A＝{x|x是高一(1)班的男生}，∁U A＝{x|x是高一(1)班的男生}．(2)阴影部分如下图所示．(3)若A－B＝∅，则A⊆B.1.集合的含义与表示 (1)集合中元素的特征：集合中元素具有三大特征：①确定性；②互异性；③无序性．正确理解一个集合应从这三个性质入手去分析，集合中的元素是不能重复的，它是题干中隐含的条件，必须引起注意．含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理，有时需进行分类讨论．(2)集合的表示法：集合通常有列举法、描述法和图示法三种表示方法．列举法常用来表示有限个或有特殊规律的无限个元素构成的集合；描述法是表示具有某种共同属性的元素构成的集合，要特别注意集合中的代表元素是什么及具备怎样的特征性质．而图示法主要是指集合可借助Venn 图、数轴等直观呈现，体现了数形结合的思想．2．元素与集合、集合与集合的关系 (1)元素与集合的关系有且仅有两种；属于(用符号∈表示)和不属于(用符号∉表示)．如a ∈A ，a ∉B 等．(2)集合与集合的关系是：3．空集的性质空集是一个特殊的集合，它不含任何元素．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解题过程中空集极易被忽视，特别是在题设中隐含有空集参与的集合问题时，忽视空集的特殊性往往导致错解．4．集合的基本运算(1)集合的基本运算包括交集、并集和补集运算．要理解三种运算的自然语言、集合语言和图形语言，正确地处理集合与集合之间的关系．(2)在进行集合的交、并、补集的运算时，要善于采用数形结合的思想，用数轴可以形象地表示集合的交集、并集和补集，特别是方程或不等式组的解集在借用数轴分析时，除要正确表示出各不等式的相关的集合外，还需特别注意不等式端点的虚实．Venn 图是集合的图形语言，集合的交、并、补的运算均可以通过Venn 图表示．[典例1] 已知M ＝{1，t }，N ＝{t 2－t ＋1}，若M ∪N ＝M ，求t 的取值集合．[解] ∵M ∪N ＝M ， ∴N ⊆M ，即t 2－t ＋1∈M .(1)若t 2－t ＋1＝1，即t 2－t ＝0，解得t ＝0或t ＝1，而当t＝1时，M中两元素不符合互异性，∴t＝0.(2)若t2－t＋1＝t，即t2－2t＋1＝0，解得t＝1，由(1)知不合题意．综上所述，t的取值集合为{0}．[借题发挥]对集合含义的考查主要集中于集合中元素的特征，特别是元素互异性的考查，题目中常含有字母参数，解答时，常常先用分类讨论的方法对所给字母逐个讨论，确定出待定字母，再讨论集合间的关系和运算．[对点训练]1．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，则使M∪N＝M成立的a的值是()A．－1B．0C．1 D．1或－1解析：选A由M∪N＝M知N⊆M.∴a2＝0，或a2＝1.∴a＝0，或a＝1，或a＝－1.而当a＝0，或a＝1时，不满足集合中元素的互异性．∴a＝－1.[典例2]已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B ＝{x|a≤x≤a＋3}．(1)若A∩B＝A，求a的取值范围；(2)若(∁R A)∪B＝R，求a的取值范围；(3)是否存在a，使(∁R A)∪B＝R，且A∩B ＝∅？[解](1)∵A∩B＝A.∴A⊆B.结合数轴可知，⎩⎪⎨⎪⎧a≤0，a＋3≥2，即－1≤a≤0.(2)∵A＝{x|0≤x≤2}，∴∁R A＝{x|x<0或x>2}．∵(∁R A)∪B＝R，∴⎩⎪⎨⎪⎧a≤0，a＋3≥2.∴－1≤a≤0.(3)∵(∁R A)∪B＝R，∴－1≤a≤0，故a＋3∈[2,3]，∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾，故a不存在．[借题发挥]解答这类问题，首先要在弄清集合中元素的属性的基础上将集合化简，然后再进行求解，一般规律为：当所给集合是数集，用数轴求解；当所给集合是点集，用数形结合求解；当所给集合是抽象集合，用Venn图求解．[对点训练]2．已知集合A＝{x|－2＜x＜－1或x＞0}，B＝{x|a≤x≤b}满足A∩B＝{x|0＜x≤2}，A∪B＝{x|x＞－2}，求a，b的值．解：将集合A，A∩B，A∪B分别在数轴上表示．由A∩B＝{x|0＜x≤2}，知b＝2，且－1≤a≤0，由A∪B＝{x|x＞－2}，知－2＜a≤－1.综上可知a ＝－1，b ＝2.[典例3] 已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－2x ＋a －1＝0}，A ∩B ＝B ，且B ≠A ，求实数a 的取值范围．[解] ∵A ∩B ＝B ，且B ≠A ， ∴BA .又∵A ＝{1,2}， ∴B ＝∅，{1}，{2}． 当B ＝∅时，Δ＝4－4(a －1)＝4(2－a )<0，a >2. 当B ＝{1}时， 得a －1＝1，a ＝2. 当B ＝{2}时， 无解．综上所述，得a 的取值范围为{a |a ≥2}． [借题发挥] 此类问题常利用集合运算的等价性转化为集合之间的关系求解，注意分类讨论和数形结合思想方法的应用．[对点训练]3．已知集合A ＝{x |x ＜－1或x ≥1}，B ＝{x |2a ＜x ≤a ＋1，a ＜1}，B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：∵a ＜1，∴2a ＜a ＋1，∴B ≠∅. 在数轴上表示集合A ，B ，如图所示．由B ⊆A 知，a ＋1＜－1或2a ≥1，即a ＜－2或a ≥12.又∵a ＜1，∴a ＜－2或12≤a ＜1.故所求a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa <－2或12≤a <1.[典例4] 对于集合A ，B ，我们把集合{(a ，b )|a ∈A ，b ∈B }记作A ×B .例如，A ＝{1,2}，B ＝{3,4}，则有A ×B ＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，B ×A ＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，A ×A ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，B ×B ＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}．据此，试回答下列问题．(1)已知C ＝{a }，D ＝{1,2,3}，求C ×D ； (2)已知A ×B ＝{(1,2)，(2,2)}，求集合A ，B ；(3)A 有3个元素，B 有4个元素，试确定A ×B 中元素的个数．[解] (1)C ×D ＝{(a,1)，(a,2)，(a,3)}． (2)∵A ×B ＝{(1,2)，(2,2)}， ∴A ＝{1,2}，B ＝{2}．(3)集合A 中的任意一个元素与B 中的一个元素对应后，得到A ×B 中的一个新元素．若A 中有m 个元素，B 中有n 个元素，则A ×B 中的元素应为mn 个．所以，若A 中有3个元素，B 中有4个元素，则A ×B 中有3×4＝12个元素．[借题发挥] 以集合为背景的新信息题，常见的有定义新概念型，定义新运算型及开放型，解决此类问题的关键是正确理解新的概念或运算再结合集合的含义和运算来解决．[对点训练]4．若集合A 1，A 2满足A 1∪A 2＝A ，则称(A 1，A 2)为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A 1＝A 2时，(A 1，A 2)与(A 2，A 1)为集合A的同一种分拆，则集合A＝{a1，a2，a3}的不同分拆种数是()A．27 B．26C．9 D．8解析：选A当A1为空集时，A2只有一种可能A2＝A，此时共有1种分拆；当A1含有一个元素时，A2可能含有两个元素或三个元素，此时共有6种分拆；当A1含有两个元素时，A2可能含有一个元素、两个元素或三个元素，此时共有12种分拆；当A1含有三个元素时，A2可能是空集，可能含有一个元素、两个元素或三个元素，此时共有8种分拆．故集合A的不同分拆种数为27种．（时间：90分钟满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合P＝{x|－1≤x≤1}，M＝{a}，若P∪M＝P，则a满足()A．a≤－1B．a≥1C．－1≤a≤1 D．a≤－1或a≥1解析：选C由P∪M＝P，得M⊆P，又M＝{a}，所以－1≤a≤1.2．设集合M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍数}，则M∩N等于()A．{2,4} B．{1,2,4}C．{2,4,8} D．{1,2,4,8}解析：选C∵M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x 是2的倍数}，∴M∩N＝{2,4,8}．3．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x －1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}的关系的韦恩(Venn)图如右图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A．3个B．2个C．1个D．无穷多个解析：选B M＝{x|－2≤x－1≤2}＝{x|－1≤x≤3}．而集合N是连续正奇数构成的集合，∴M∩N＝{1,3}．4．已知集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{x|x ＝2a，a∈A}，则()A．A∩B＝A B．A∩B AC．A∪B＝B D．A∩B A解析：选D∵B＝{x|x＝2a，a∈A}，∴B＝{0,2,4,6}．又A＝{0,1,2,3}，∴A∩B＝{0,2}A.5．(安徽高考)已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B＝()A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}解析：选A集合A＝{x|x>－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，所以(∁R A)∩B＝{－2，－1}．6．已知非空集合P、Q，定义P－Q＝{x|x ∈P，但x∉Q}，则P－(P－Q)等于() A．P B．QC．P∩Q D．P∪Q解析：选C法一：结合V enn进行分析推理即可得出答案．法二：采用赋值法进行验证可得．令P＝{1,2,3,4,5}，Q＝{2,3,4,5}，则P －Q＝{1}＝M，P－(P－Q)＝P－M＝{x|x∈P，但x∉M}＝{2,3,4,5}，结合选项应选C.7．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是() A．1 B．2C．3 D．4解析：选B∵M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}，∴集合M必含有a1，a2，且不含有a3.又∵M⊆{a1，a2，a3，a4}，∴M＝{a1，a2}，{a1，a2，a4}，共2个．8．设I是全集，集合P，Q满足P Q，则下列结论中错误的是()A．P∪(∁I Q)≠∅B．(∁I P)∪P＝IC．P∩(∁I Q)≠∅D．(∁I P)∩(∁I Q)≠∁I P解析：选C依题意画出V enn图，如下图所示，显然A，B，D正确．9．下列四个命题：①{0}是空集；②若a∈N，则－a∉N；③集合{x∈R|x2－2x＋1＝0}有两个元素；④集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x∈Q6x∈N是有限集．其中，正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．0解析：选D①∵{0}是含有一个元素0的集合，而不是空集，∴①不正确．②当a＝0时，∵0∈N，∴②不正确．③∵x2－2x＋1＝0，x1＝x2＝1，∴{x∈R|x2－2x＋1＝0}＝{1}，∴③不正确．④当x为正整数的倒数时，∵6x∈N，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x∈Q|6x∈N是无限集，∴④不正确．10．若非空集合A，B，U满足A∪B＝U，A∩B＝∅，则称(A，B)为U的一个分割，则集合U＝{1,2,3}的不同分割有()A．5个B．6个C．7个D．8个解析：选B依题意可得，当集合A为{1}时，B为{2,3}；当A为{2}时，B为{1,3}；当A为{3}时，B为{1,2}；同时对调A、B的位置，也可得到三对集合，所以符合条件的有6个．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．满足{a，b}∪B＝{a，b，c}的集合B 的个数是________．解析：B＝{c}或{a，c}，或{b，c}，或{a，b，c}，共4个．答案：412．设U＝R，M＝{x|x≥2}，N＝{x|－1≤x<5}，则(∁U M)∪(M∩N)等于________．解析：∁U M＝{x|x<2}，M∩N＝{x|2≤x<5}，(∁U M)∪(M∩N)＝{x|x<5}．答案：{x|x<5}13．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有________人．解析：结合Venn图可知两种都没买的有2人．答案：214．已知集合A、B，定义集合A*B＝{x|x ∈A∪B，且x∉A∩B}．若A＝{－2 011,0,2 012}，B＝{－2 012,0，2 012}，则集合A*B ＝________.解析：由题意知，集合A*B中的元素由集合A，B的并集A∪B中的元素去掉交集A∩B中的元素组成．由于A∪B＝{－2 012，－2 011,0,2 012}，A∩B＝{0，2 012}，于是A*B＝{－2 011，－2 012}．答案：{－2 011，－2 012}三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U ＝R.(1)求A∪B，(∁U A)∩B；(2)如果A∩C≠∅，求a的取值范围．解：(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}＝{x|1<x≤8}．又∁U A＝{x|x<2或x>8}．∴(∁U A)∩B＝{x|x<2或x>8}∩{x|1<x<6}＝{x|1<x<2}．(2)∵A∩C≠∅，结合数轴可知，a<8.16．(本小题满分12分)已知全集U＝R，集合A＝{a|a≥2或a≤－2}，B＝{a|关于x 的方程ax2－x＋1＝0有实数根}．求A∪B，A∩B，A∩(∁U B)．解：对于方程ax2－x＋1＝0，当a＝0时，x＝1，满足题意．当a≠0时，要使该方程有实数根．则Δ＝1－4a≥0，∴a≤14.综上知：a≤14.∴B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa≤14.∴A∪B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa≤14或a≥2，A∩B＝{a|a≤－2}．又∵∁U B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa＞14，∴A∩∁U B＝{a|a≥2}．17.(本小题满分12分)已知全集U＝R，集合A ＝{x |3≤x ≤7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |5－a <x <a }．(1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ；(2)若C ⊆(A ∪B )，求a 的取值范围． 解：(1)借助数轴可知： A ∪B ＝{x |2＜x ＜10}． ∁R A ＝{x |x <3或x >7}．∴(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7<x <10}． (2)当5－a ≥a 即a ≤52时，C ＝∅，满足C ⊆A ∪B.当5－a <a 即a >52时，由C ⊆A ∪B ，得⎩⎪⎨⎪⎧5－a ≥2，a ≤10，解得a ≤3. ∴a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa ≤52∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 52＜a ≤3＝{a |a ≤3}．18．(本小题满分14分)已知A ＝{x |x 2－2x －8＝0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋a 2－12＝0}，若B ∪A ≠A ，求实数a 的取值范围．解：若B ∪A ＝A ，则B ⊆A ，又∵A ＝{x |x 2－2x －8＝0}＝{－2,4}，|a |>4.∴集合B 有以下三种情况：①当B ＝∅时，Δ＝a 2－4(a 2－12)＜0， 即a 2＞16，|a |>4，∴a ＜－4或a ＞4； ②当B 是单元素集时，Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0，∴a ＝－4或a ＝4.若a ＝－4，则B ＝{2}A ；若a ＝4，则B ＝{－2}⊆A ；③当B ＝{－2,4}时，－2,4是方程x 2＋ax ＋a 2－12＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－2＋4，a 2－12＝－2×4.∴a ＝－2. 综上可得，B ∪A ＝A 时，a 的取值范围为a ＜－4或a ＝－2或a ≥4.∴B ∪A ≠A 时，实数a 的取值范围为－4≤a ＜4，且a ≠－2.。

1.1.3集合的基本运算——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练1.设全集,,,则( )A. B. C. D.2.集合,则( )A. B. C. D.3.已知集合，，则( )A. B.S C.T D.Z4.设集合，，若，则实数a 的取值范围为( )A. B. C. D.5.已知集合,,则( )A. B. C. D.6.设全集，集合，，则实数a 的值为( )A.-3 B.-3或-2 C.-2 D.27.已知集合,集合,集合,若,则实数m 的取值范围为( )A. B.C. D.8.已知表示不超过x 的最大整数,集合,,且,则集合B 的子集个数为( )A.4B.8C.16D.329.（多选）已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足，则下列关系一定正确的是( )A. B. C. D.10.（多选）设全集为U ,如图所示的阴影部分用集合可表示为( ){}1,1,2,4A =-{}11B x x =-≥A B =R ð{1}{1,2}-{1,2}{1,2,4}-{}2,1,0,1,2U =--{}2,1,0A =--{}0,1,2B =()A B =U ð{}0{}2,1--{}0,1,2{}1,2{}{}24182A x x B x x x =≤<=-≥-，A B = [)2,4[)3,4[)2,+∞[)3,+∞{21,}S s s n n ==+∈Z ∣{41,}T t t n n ==+∈Z ∣S T = ∅{}2A x x a =<{}B x x a =>A B A =R ð[]0,1[)0,1()0,1(][),01,-∞+∞ {1,2,3,4,5}U ={1,6,5}A a =+{}22,1UA a =-ð{}|02A x x =<<{}|11B x x =-<<{}|10C x mx =+>()A B C ⊆ {}|21m m -≤≤1|12m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭1|12m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭11|24m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭[]x []{}03A x x =∈<<Z ()(){}2220B x x ax x x b =+++=A B =∅ R ð()U A B B = ðA B =∅ A B B = A B U = ()U B A A= ðA. B. C. D.11.已知集合，集合，则________.12.若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”;若两个集合有公共元素,且互不为对方子集,则称两个集合构成“蚕食”,对于集合,,若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”,则a 的取值集合为_______________.13.已知集合，，且，则实数a 的值为______．14.已知集合，.（1）若，求.（2）从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.问题：若__________，求实数a 的所有取值构成的集合C .15.设全集为R ，，.（1）若；（2）若，求实数a 的取值组成的集合C .{}2650A x x x =-+=∣{10}B xax =-=∣1a =A B ()A B U ð()()A B B U ð()A BU ð{}1,2,3,4,5,6A ={14}B x x =∈-<<R ∣A B = {}1,2A =-{}22,0B x ax a ==≥{}21,5,A a ={}1,32B a =+A B A = ()A B Z ð()A B =R R ðA B B = ()B A =∅R ð{}22150A x x x =+-={10}B x ax -==a =()A B R ðA B A =答案以及解析1.答案：D 解析：全集,,,,则 ,故选：D.2.答案：C 解析：由,解得,即,,.故选：C.3.答案：C解析：方法一：在集合T 中，，而集合S 中，，所以必有，所以，故选C.方法二：，，观察可知，，所以，故选C.4.答案：A 解析：因为，所以，又，所以，又，所以，解得，即实数a 的取值范围为.故选：A.5.答案：A 解析：由得或,则,则,又,所以.故选:A.6.答案：C 解析：因为，，，所以由补集的定义可知的可能取值为3或4.当即时，不满足题意；当即时，，此时，，{}02B x x x =≤≥或{}02B x x =<<R ð{1,1,2,4}A =-{1}A B =R ð213a -={1,4,5}A ={2,3}U A =ð {2,1,0,1,2}U =--{0,1,2}A =--{0,1,2}B ={1,2}A ∴=U ð(){1,2}A B =U ð182x x -≥-3x ≥{}3B x x =≥{}24A x x =≤< {}2A B x x ∴=≥ 412(2)1()t n n n =+=+∈Z 21()s n n =+∈Z T S ⊆T S T = {,3,1,1,3,5,}S =-- {,3,1,5,}T =- T S ⊆T S T = {}B x x a =>{}|B x x a =≤R ðA B A =R ðA B ⊆R ð{}2A x x a =<2a a ≤01a ≤≤[]0,1|1|1x -≥0x ≤2x ≥{1,2,3,4,5}U ={1,6,5}A a =+2{2,1}U A a =-ð6a +63a +=3a =-218a -=64a +=2a =-满足题意.综上，.7.答案：B解析：由题意,,集合,,①,,;②时,,成立;③,,,,综上所述,,故选：B.8.答案：C解析：由题设可知,,又因为,所以,而,因为的解为或,的两根,满足,所以1,2分属方程与的根,若1是的根,2是的根,则有,解得,代入与,解得或与或,故;若2是的根,1是的根,则有,解得,代入与,解得或与或,故;所以不管1,2如何归属方程与,集合B 总是有4个元素,故由子集个数公式可得集合的子集的个数为.故选：C.2a =-{|}12A B x x -=<< 1{}0|C x mx =+>()A B C ⊆ 0m <x <12m ≥m ∴≥102m ≤<0m =C =R 0m >x >11m ≤-1m ∴≤01m ∴<≤112m -≤≤[]{}{}|031,2A x x =∈<<=Z ()A B =∅RðA B ⊆()(){}22|20B x x ax x x b =+++=20x ax +=0x =x a =-220x x b ++=1x 2x 122x x +=-20x ax +=220x x b ++=20x ax +=220x x b ++=221+1=02+22+=0a b ⎧⨯⎨⨯⎩=1=8a b -⎧⎨-⎩20x ax +=220x x b ++=0x =1x =2x =4x =-{}0,1,2,4B =-20x ax +=220x x b ++=222+2=01+21+=0a b ⎧⨯⎨⨯⎩=2=3a b -⎧⎨-⎩20x ax +=220x x b ++==0x =2x =1x 3x =-{}0,1,2,3B =-20x ax +=220x x b ++=B 42=169.答案：CD 解析：令，，，满足，但，，故A ，B 均不正确.由，知，所以，所以，所以，故C ，D 均正确.10.答案：BC 解析：如图,可以将图中的位置分成四个区域,分别标记为1,2,3,4四个区域对于A 选项,显然表示区域3,故不正确;对于B 选项,表示区域1和4与4的公共部分,故满足条件;对于C 选项,表示区域1,2,4与区域4的公共部分,故满足;对于D 选项,表示区域1和4与区域4的并集,故不正确;故选：BC.11.答案：解析：因为集合，集合，则.故答案为：12.答案：解析：当时,,此时满足,当时,,此时集合只能是“蚕食”关系,{1,2,3,4}U ={2,3,4}A ={1,2}B =()U A B B = ðA B ≠∅ A B B ≠ ()UA B B =ðU A B ⊆ð()U U A A A B =⊆ ðA B U = ()UB A A = ðA B ()A B U ð()()A B B U ð()A B U ð{}1,2,3{1,2,3,4,5,6}A ={14}B x x =∈-<<R ∣{1,2,3}A B = {1,2,3}10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭0a =B =∅B A ⊆0a >B ⎧⎪=⎨⎪⎩,A B所以当A ,B 集合有公共元素时,解得,时,解得故a 的取值集合为.故答案为：.13.答案：3解析：，则，有或，解得或或，其中时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去，所以实数a 的值为3.故答案为：314.答案：（1）（2）解析：（1）当时，.又，故.（2）方案一：选择条件①.当时，，则，满足.当时，.若或5，解得综上所述，实数a 的所有取值构成的集合C 为.方案二：选择条件②.因为，则.当时，，满足.当时，.1=-2a =2=a =10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭A B A = B A ⊆325a +=232a a +=1a =1a =-3a =1a =±(){5}A B =Z ð10,,15⎧⎫⎨⎬⎩⎭1a ={10}{1}B xx =-==∣{}2650{1,5}A x x x =-+==∣(){5}A B =Z ð0a =B =∅B =R R ð()A B =R R ð0a ≠1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭()A B =R R ð1=a =10,,15⎧⎫⎨⎬⎩⎭A B B = B A ⊆0a =B =∅B A ⊆0a ≠1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭因为或5，解得综上所述，实数a 的所有取值构成的集合C 为.方案三：选择条件③.当时，，满足.当时，则.因为或5，解得综上所述，实数a 的所有取值构成的集合C 为.15.答案：（1）；（2）解析：（1），当则；（2）若，则.当时，，此时满足；当时，，，若满足，解得综上，实数a 的取值组成的集合.B ⊆1=a =10,,15⎧⎫⎨⎬⎩⎭0a =B =∅()B A =∅R ð0a ≠1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭()B A =R ð1=a =10,,15⎧⎫⎨⎬⎩⎭{5,3}-11,,053⎧⎫-⎨⎬⎩⎭{}2|2150{5,3}A x x x =+-==-a ={}1|1055B x x ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭(){}5,3A B =-R ðA B A = B A ⊆B =∅0a =B A ⊆B ≠∅0a ≠1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭B ⊆=-3=a =11,,053C ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭。

最新（新课标）北师大版高中数学必修一§3 集合的基本运算(北师版必修1)§3 集合的基本运算(北师版必修1)得分：7．8．9.三、解答题10.11.12.§3 集合的基本运算（北师版必修1)一、选择题1.B 解析：因为集合{|22}A x x =-<<，集合{|13}B x x =<<，所以{|22}{|1A B x x x x =-<<<<I I 3}{|12}x x =＜＜．故选B ．2.C 解析：因为{12345}U =，，，，，{12}A =，，所以{345}U A =，，ð，所以{2345}U A B =U （），，，ð，故选C ．3.B 解析：根据已知得(){|22}{|03}{|20}U M N x x x x x x x ≤≤<>≤<I I ＝－或＝－ð． 4.A 解析：由2A B I ＝{}，得2log 2a ＝，所以a ＝4，从而b ＝2，所以{}2,3,4A B U ＝．5.C 解析：因为U A B U ＝中有m 个元素，()()()U U U A B A B U I ＝痧?中有n 个元素，所以A B I 中有()m n －个元素．6.B 解析：{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,81,3,5,73,6U A B ＝，＝，＝，所以{}1,3,5,6,7A B U ＝，得{}()2,4,8U A B U ＝ð． 二、填空题7.18 解析：由题意可求A B ⊗中所含的元素有0,4,5，则()A B C ⊗⊗中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.8.2 解析：由20,240,x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得0,2.x y =⎧⎨=⎩又点(0,2)在3y x b ＝＋上，所以b ＝2.9.﹛-1,0﹜解析：由615x >+，得6105x ->+，即105x x -<+，解得51x -<<.所以集合615A x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭= {}|51x x -<<.又{10123}B =-，，，，，所以{|51}{10123}{10}A B x x =-<<-=-I I ，，，，，．三、解答题10.解：由题意得2{|320}{1,2}A x x x ＝－＋＝＝. 因为A B A U ＝，所以B A ⊆.当a ＝0时，ax －2＝0无解，此时B ∅＝，满足B A ⊆； 当a ≠0时，可得2B a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭＝.由B A ⊆，得2a ＝1或2a＝2， 所以a ＝2或a ＝1.所以0,1,2C ＝{}.11.解：如图所示.因为4,5A B I ＝{}，所以将4,5写在A B I 中.因为()1,2,3S B AI ＝{}ð，所以将1,2,3写在A 中. 因为()(){6,7,8}S S B A I ＝痧，所以将6,7,8写在S 中且在,A B 外.因为()S B A I ð与()()S S A B I 痧中均无9,10，所以9,10在B 中. 故{}{}1,2,3,4,54,5,9,10A B ＝，＝.12.解：由2320x x －＋＝，得1x ＝或2x ＝，故集合A ＝{1,2}．(1)因为2A B I ＝{}，所以2B ∈.代入B 中的方程，得2430a a ＋＋＝.解得a ＝－1或a ＝－3.当a ＝－1时，2{|40}{2,2}B x x ＝－＝＝－，满足条件； 当a ＝－3时，2{|440}2B x x x ＝－＋＝＝{}，满足条件. 综上，a 的值为－1或－3.(2)对于集合B ，Δ＝224(1)4(5)8(3)a a a ＋－－＝＋． 因为A B A U ＝，所以B A ⊆.①当Δ＜0，即a ＜－3时，B ∅＝满足条件； ②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ＞0，即a ＞－3时，B A ＝＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系,得2122(1),12 5.a a +=-+⎧⎨⨯=-⎩解得25,27,a a ⎧=-⎪⎨⎪=⎩矛盾. 综上，a 的取值范围是a ≤－3.。

集合的基本运算课后练习一、单选题1．已知集合{}1,0,1A =-，集合{}12B x x =-≤<，则A B =（ ）A ．1,0,1,2B ．{}1,0,1-C ．{}0,2D ．{}1-2．已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，{}1,3B =，则（ ）A ．{}3,5,7,9B ．{}3,5,7C ．{}1,9D ．{}93．设{}2|8150,{|10}A x x x B x ax =-+==-=，若A B B =，则实数a 组成的集合为（ ） A ．13⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．15⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．11,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭4．已知集合{A x y ==，}{2,1,0,1,2B =--，则A B =（ ）A ．}{0,1,2B ．}{1,2C ．}{2D ．}{1,2--5．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,1,3,5,3,4,5U A B ===，则()()U U C A C B =（ ）A ．{}2,6B ．{}3,6C ．{}1,3,4,5D ．{}1,2,4,66．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有95%的学生喜欢篮球或羽毛球，60%的学生喜欢篮球，82%的学生喜欢羽毛球，则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A ．63%B ．47%C ．55%D ．42%7．已知全集{}0,1,2,3,4U =，{}1,2M =，{}0,2,3N =，则（ ） A ．{}1B ．{}0,3C ．{}0,2,3D ．{}0,1,2,3,48．若{}{}|20,A x x B x x a =-<=> 且A B =∅， 则a 的取值范围是（ ）A ．2a ≥B ．2a >C ． 2a ≤D ．2a <9．设{0,1,2,3,4},{0,1,2,4},{2,3,4}U A B ===，则等于（ ）A ．{1}B ．{0,1,3}C ．{0,1}D ．{0,1,2,3,4}10．设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,3A =，{}3,4,6B =，则（ ） A ．∅B ．{2，5}C ．{2，4}D ．{4，6}()=N M C U ()()B C A C U U ()=B A C U11．已知集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2B =，则集合A B 的子集个数是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．1612．某电脑安装了“Windows ”和“Linux ”两个独立的操作系统.每个系统可能正常或不正常，至少有一个系统正常该电脑才能使用.设事件A =“Windows 系统正常”，B =“Linux 系统正常”.以1表示系统正常，0表示系统不正常，用1x ，2x 分别表示“Windows ”和“Linux ”两个系统的状态，()12,x x 表示电脑的状态，则事件A B =（ ）A ．()(){}0,0,0,1B ．()(){}1,0,1,1 C ．()()(){}0,1,1,0,1,1D ．()()()(){}0,0,0,1,1,0,1,113．集合{}{}{}123451452,3,4U S T ===,,,,,,,,，则（ ） A ．{}1,5B ．{}1C ．{}1,4,5D ．{}1,2,3,4,514．已知集合{1,0,1},{|12}A B x x =-=-<<，则A B =（ ）A ．{1,0}-B ．{1,1}-C ．{0,1}D ．{1,0,1}-15．设全集U =R ，{3M x x =<-或}3x >，}{24N x x =≤≤，如图，阴影部分所表示的集合为（ ）A ．}{32x x -≤< B ．}{34x x -≤≤ C ．{2x x ≤或}3x > D ．}{33x x -≤≤二、填空题16．集合U =R ，{}2|20A x x x =--<，11B x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，则图中阴影部分所表示的集合是_________．17．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}||3|2,M x x x Z =-<∈，则U C M =___________.()=T C S U18．已知全集U Z =，定义{|(),A B x x a b a b a A *==⋅+∈且}b B ∈，若{}{}1,0,1,0,1,2A B =-=，则()U C A B B *⋂=_______．19．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．20．已知全集U =R ，{}{}2230,A x x x B x x a =--==>，且，求实数a 的取值范围是_______B C A B C A U U =21．已知全集U Z =，定义{}|,AB x x a b a A b B ==⋅∈∈且，若{}1,2,3A =，{}1,0,1B =-，则()U C AB =___________.22．已知集合{},,,A a b c d =，{},,,B b c d e =，{},,C a d f =，则()AB C 与(A C)(B C)的关系是___________.23．满足{}{},,,x y B x y z ⋃=的集合B 的个数是___________.24．已知集合{}21,3,A a =，{}1,2B a =+，若A B A ⋃=，则实数a =__________.25．设集合{1,2,3}A =，集合{}B x x a =∣，若A B 有两个元素，则a 的取值范围是_____________.三、解答题26．已知集合{}2|80,,{|10,}A x x x m m R B x ax a R =-+=∈=-=∈，且A B A ⋃=．（1）若，求m ，a 的值． （2）若12m =，求实数a 组成的集合．27．已知全集U =R ，集合{|4},{|66}A x x B x x =>=-<<． （Ⅰ）求AB 和A B ；（Ⅰ）求．A B C A U = {}3=B C A B C U参考答案1．B解：Ⅰ{}1,0,1A =-，{}12B x x =-≤<， Ⅰ{}{}{}1,0,1121,0,1A B x x ⋂=-⋂-≤<=-． 故选：B ． 2．D解：由题意，{}{}{}1,1,5,731,3,5,7AB ==，又Ⅰ{}1,3,5,7,9U =，Ⅰ.(){}9B A C U =故选：D. 3．D解：由题意{3,5}A =，因为A B B =，所以B A ⊆，0a =时，B A =∅⊆，若{3}=B ，则310a -=，13a =，若{5}B =，则510a ，15a =，显然B A ≠．所以a 的集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 故选：D ． 4．B解：集合{A x y ==中10x -≥，即1x ≥；而集合}{2,1,0,1,2B =--，那么集合B 中大于等于1的数为1,2，所以A B =}{1,2.故选：B 5．A解：{}{}{}1,2,3,4,5,6,1,3,5,3,4,5U A B ===,{2,4,6},{1,2,6}U U C A C B ∴==, ()(){2,6}U U C A C B ∴=,(){}9B A C U =故选：A 6．B解：设只喜欢篮球的百分比为x ，只喜欢羽毛球的百分比为y ，两个项目都喜欢的百分比为z ，由题意，可得60x z +=，95x y z ++=，82y z +=，解得47z =．∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是47%．故选：B ． 7．B解：因为{}0,1,2,3,4U =，{}1,2M =，{}0,2,3N =所以， 故选：B 8. A解：根据题意得{}|2A x x =<， 因为AB =∅，{}B x x a =>所以2a ≥ 故选：A 9．B 解：{0,1,2,3,4},{0,1,2,4},{2,3,4}U A B ===故选：B 10．D解：因为{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3A =，所以，{}430M C U ，，=(){}30N M C U ，= {}{}()(){}310B C A C 10B C 3A C U U U U ，，，则，，===∴ {}6542A C U ，，，=又{}3,4,6B =，所以. 故选：D. 11．B 解：{}0,1AB =，Ⅰ它的子集个数为224=.故选：B ． 12．C解：由题意可得()0,0表示两个系统都不正常，电脑不能使用；()0,1或()1,0表示两个系统有一个正常，一个不正常，电脑能正常使用； ()1,1表示两个系统都正常，电脑能正常使用.A B 表示电脑能正常使用，所以C 正确.故选：C. 13．A解：， 故选：A 14．C解：由题意，{}0,1A B =故选：C. 15．A解：全集U =R ，{3M x x =<-或}3x >，}{24N x x =≤≤， 由图可得阴影部分所表示的集合为， 故选：A16．{}|12x x ≤<.解：由题意，集合{}{}2|20|12A x x x x x =--<=-<<，{}|1B x y x x ⎧⎫===<⎨⎩，可得，则阴影部分所表示的集合为.(){}64B A C U ，= {}51T C U ，= (){}51T C S U ，=∴ (){}23|C U <≤-=x x N M {}1|C U ≥=x x B {}21|C A U <≤=x x B故答案为：{}|12x x ≤<. 17．{}1,5解：{}{}{}||3|2,|15,2,3,4M x x x Z x x x Z =-<∈=<<∈= 则U C M ={}1,5 故答案为：{}1,5 18．{}1．解：由{|(),A B x x a b a b a A *==⋅+∈且}b B ∈可得 当1,0a b =-=时，0x =；当1,1a b =-=时，()11110x =-⨯⨯-+=； 当1,2a b =-=时，()12122x =-⨯⨯-+=-； 当0,0a b ==时，0x =； 当0,1a b ==时，0x =； 当0,2a b ==时，0x =； 当1,0a b ==时，0x =；当1,1a b ==时，()11112x =⨯⨯+=； 当1,2a b ==时，()12126x =⨯⨯+=；{}0,2,2,6A B ∴*=-则()U C A B B *⋂={}1 故答案为：{}1 19．(－∞，－1] 解：因为C ∩A ＝C ， 所以C ⅠA .Ⅰ当C ＝Ⅰ时，满足C ⅠA ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32； Ⅰ当C ≠Ⅰ时，要使C ⅠA ，则3135a a a a -<+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩解得312a -<≤-，综上：1a ≤-，所以a 的取值范围是(－∞，－1]． 故答案为：(－∞，－1]． 20．[)3,+∞解：由题知{}1,3A =-，， 因为，所以，所以3a ≥. 故答案为：[)3,+∞ 21．{}|||4,x x x Z ≥∈ 解：由题意可知，{}3,2,1,0,1,2,3A B =---，所以{}()|||4,U C AB x x x Z =≥∈.故答案为：{}|||4,x x x Z ≥∈ 22．()A B C ＝(A C)(B C).解：{}{}{}(),,,,,,,AB C a b c d e a d f a d ==；{}{}{}()(),,A C B C a d d a d ==.所以()AB C ＝(A C)(B C).故答案为：()A B C ＝(A C)(B C)23．4{}a x |x B C U ≤=A B C A U = B C A U解：因为{}{},,,x y B x y z ⋃=，所以{}B z =或{},B x z =或 {},B y z =或 {},,B x y z =， 所以集合B 的个数是4， 故答案为：4 24．2解：由已知及A B A ⋃=可得B A ， 所以23a +=或22a a +=，当23a +=即1a =时，此时{}1,3,1A =不满足元素互异性，不符合题意， 当22a a +=即1a =-或2a =，若1a =-则{}1,3,1A =不满足元素互异性，不符合题意， 若2a =则{}1,3,4A =，{}1,3B =，满足B A ，符合题意. 所以实数2a =， 故答案为：2. 25．[2,3)解：因为集合{1,2,3}A =，集合{}B xx a =∣，且A B 有两个元素，所以a 的取值范围是[2,3)， 故答案为：[2,3) 26．（1）15m =，15a =；）（2）110,,26⎧⎫⎨⎬⎩⎭解：（1）因为{}2|80,,{|10,}A x x x m m R B x ax a R =-+=∈=-=∈，且A B A ⋃=．，所以3A ∈，3B ∉，所以23830m -⨯+=解得15m =，所以{}3,5A =，所以5∈B ，所以510a ，解得15a =（2）若12m =，所以{}2,6A =，因为A B A ⋃=，所以B A ⊆ 当B =∅，则0a =； 当{}2B =，则12a =； {}3=B C A当{}6B =，则16a =； 综上可得110,,26a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭27．（Ⅰ）{}|46A B x x =<<，{}|6A B x x ⋃=>-；（Ⅰ）解：（Ⅰ）{}|4A x x =>,{}|66B x x =-<<，{}|46A B x x ∴=<<,{}|6A B x x ⋃=>-（Ⅰ）U =R ，{}|66B x x =-<<，{}66-x |x B C U ≥≤=x 或{}66-x |x B C U ≥≤=∴x 或。

课后训练基础巩固1．下列命题：①空集是任何集合的真子集；②若A B ，B C ，则A C ；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④如果凡不属于B 的元素也不属于A ，则A ⊆B .其中，正确的是( )．A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④2．下列各式中，正确的个数是( )．①∅＝{0}；②∅⊆{0}；③∅∈{0}；④0＝{0}；⑤0∈{0}；⑥{1}∈{1,2,3}；⑦{1,2}⊆{1,2,3}；⑧{a ，b }⊆{b ，a }A ．1B ．2C ．3D ．43．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜1}，则( )．A ．A ＝B B ．A BC ．B AD ．A ⊆B4．若集合A ＝{1, 3，x }，B ＝{x 2,1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．45．集合A ＝{1,2,3}的真子集的个数为( )．A ．6B ．7C ．8D ．96．已知集合M ＝{x |5＜x ＜10}，集合P ＝{x |x ＜m ＋1}，且M ⊆P ，则实数m 的取值范围是( )．A ．m ≥9B ．m ＞9C ．m ≥4D ．m ＞4能力提升7．集合,+=5p A t t p q p q q +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N 其中，且，的所有真子集个数为( )． A ．3 B ．7 C ．15 D ．318．已知集合,3k A x x k ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，,6k B x x k ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，则( )． A ．A B B ．A BC ．A ＝BD ．A 与B 无公共元素9．设A 是非空集合，对于k ∈A ，如果1A k∈，那么称集合A 为“和谐集”，在集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，是和谐集的集合的个数为( )． A ．3 B ．7 C ．15 D ．3110．设含有4个元素的集合的全部子集数为S ，其中由2个元素组成的子集数为T ，则T S的值为________． 11．已知三元素集合A ＝{x ，xy ，x －y }，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，求x 与y 的值．12．已知A ＝{x ||2x －3|＜a }，B ＝{x ||x |≤10}，且A B ，求实数a 的取值范围．13．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ，x ∈R }至多有一个真子集，求a 的取值范围．14．若不等式x －10＞0或x ＋2＜0成立时，不等式x －m ＞1或x ＋m ＜1(m ＞0)不恒成立，且若不等式x－m＞1或x＋m＜1(m＞0)成立时，不等式x－10＞0或x＋2＜0成立，求实数m的取值范围．参考答案1．C 点拨：①错误，∅∅不成立；②正确，真子集满足传递性；③错误，空集的子集只有它本身；④正确，画出Venn 图可直观地看出集合A 与B 的关系为A ⊆B .2．D 点拨：由集合的性质以及元素与集合、集合与集合的关系可知正确的有②⑤⑦⑧.3．C 点拨：将集合A ，B 的元素在数轴上表示出来(如图)，显然，B 中元素都在A 中，而A 中元素不都在B 中，由真子集的定义知B 是A 的真子集，即B A .4．C 点拨：由B ⊆A 可知，集合B 中的元素都在集合A 中，所以x 2＝3或x 2＝x ，解得x =x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，不满足集合中元素的互异性，故舍去．所以实数x 的值有3个．5．B 点拨：23－1＝7.6．A 点拨：由M ⊆P ，将集合M ，P 在数轴上表示出来(如图)，显然有m ＋1≥10成立，所以m ≥9.7．C 点拨：1234,,,4321A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，真子集的个数为24－1＝15. 8．A 点拨：∵2,6k A x x k ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，,6k B x x k ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ， ∴A B . 9．C 点拨：由和谐集的定义知，该集合中可以含有元素－1，1，13和3，12和2，所以共有和谐集的集合的个数为24－1＝15.10．38点拨：含有4个元素的集合的全部子集数S ＝24＝16，其中由2个元素组成的子集数T ＝6，则63168T S ==. 11．解：∵0∈B ，A ＝B ，∴0∈A .∵x ≠xy ，∴x ≠0.又∵0∈B ，y ∈B ，∴y ≠0，从而x －y ＝0，x ＝y ，此时A ＝{x ，x 2,0}，B ＝{0，|x |，x }，∴x 2＝|x |，则x ＝0(舍去)或x ＝1(舍去)或x ＝－1.经检验：x ＝－1，y ＝－1.12．解：B ＝{x |－10≤x ≤10}，当A B 时，A ＝∅或A ≠∅.①若A ＝∅，显然a ≤0.②若A ≠∅，则33,022a a A x x a ⎧-+⎫=<<>⎨⎬⎩⎭.∵A B ，∴310,2310,2a a -⎧≥-⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩， 解得a ≤17，此时0＜a ≤17.综上可知，实数a 的取值范围是a ≤17.13．解：集合A 至多有一个真子集，则集合A 可能有一个真子集，可能无真子集，故分两种情况．(1)当A 无真子集时，A ＝∅，故关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0无实根，∴a ≠0且Δ＝4－4a ＜0，即a ＞1.(2)当A 只有一个真子集时，A 为单元素集，这时有两种情况：①当a ＝0时，2x ＋1＝0，∴12x =-，12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭符合题意． ②当a ≠0时，Δ＝4－4a ＝0，∴a ＝1，此时x ＝－1，A ＝{－1}，符合题意． 综上知a 的取值范围是a ≥1或a ＝0.14．解：设不等式x －10＞0或x ＋2＜0的解集为A ，不等式x －m ＞1或x ＋m ＜1(m ＞0)的解集为B ，即A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}，B ＝{x |x ＞m ＋1或x ＜1－m ，m ＞0}．依题意得：当x ∈B 时，x ∈A ，即B ⊆A .又存在x 0∈A ，使x 0∉B ，则B A .在数轴上作出包含关系图形：由图可知12,110,m m -≤-⎧⎨+≥⎩即3,9,m m ≥⎧⎨≥⎩∴m ≥9. ∴所求实数m 的取值范围为m ≥9.点拨：把不等式的问题转化为两个集合的子集关系问题，利用数轴作出包含关系图形，可清晰地看到实数m 满足的条件．。

高中数学 1.3集合的基本运算课后训练北师大版必修1基础巩固1．已知集合M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{x|x≤－3}，则M∪N等于()．A．∅B．{x|x≥－3}C．{x|x≥1} D．{x|x＜1}2．设集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{2,4}，则(A∪B)＝()．A．{2} B．{3} C．{1,2,4} D．{1,4}3．若A为全体正实数的集合，B＝{－2，－1,1,2}，则下列结论中正确的是()．A．A∩B＝{－2，－1} B．()∪B＝(－∞，0)C．A∪B＝(0，＋∞) D．()∩B＝{－2，－1}4．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()．A．0 B．1 C．2 D．45．设A，B，I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中错误的是()．A．()∪B＝I B．()∪()＝IC．A∩()＝∅D．()∩()＝6．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,3,5}，N＝{2,5}，则Venn图中阴影部分表示的集合是()．A．{5} B．{1,3}C．{2,4} D．{2,3,4}能力提升7．已知集合A＝{3，a2}，集合B＝{0，b,1－a}，且A∩B＝{1}，则A∪B＝()．A．{0,1,3} B．{1,2,4}C．{0,1,2,3} D．{0,1,2,3,4}8．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“⊕”，满足X⊕Y＝(X)∪Y，则对于任意集合X，Y，Z，则X⊕(Y⊕Z)＝()．A．(X∪Y)∪(Z) B．(X∩Y)∪(Z)C．[(X)∪(Y)]∩Z D．(X)∪(Y)∪Z9．如图，I是全集，M，P，S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是()．A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩(I S) D．(M∩P)∪(I S)10．设U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，()∩B＝{3,7}，()∩A＝{2,8}，()∩()＝{1,5,6}，则集合A＝__________，B＝__________.11．集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．12．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|m＜x＜m＋9}．(1)若A∪B＝B，求实数m的取值范围；(2)若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．13．某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求出全班人数．14．我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为S A＝{x|x∈S，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫作集合A与B的差集．．，记作A－B.例如，A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,6,7,8}，则有A－B＝{1,2,3}，B－A＝{6,7,8}，据此，试回答下列问题：(1)S是高一(1)班全体同学的集合，A是高一(1)班全体女同学的集合，求S－A及S A；(2)在图中用阴影表示集合A－B；(3)如果A－B＝∅，那么集合A与B之间具有怎样的关系？参考答案1．D 点拨：在数轴上，把集合M 和N 表示出来，则数轴上被集合M ，N 覆盖的实数构成集合M ∪N ，易知M ∪N ＝{x |x ＜1}．2．B 点拨：∵A ∪B ＝{1,2,4}， ∴U (A ∪B )＝{3}．3．D 点拨：由已知得A ＝{x |x ＞0}，B ＝{－2，－1,1,2}，所以A ∩B ＝{1,2}，A ∪B ＝{x |x ＞0或x ＝－1或x ＝－2}．又R A ＝{x |x ≤0}，故(R A )∩B ＝{－2，－1}，(R A )∪B ＝{x |x ≤0或x ＝1或x ＝2}．4．D 点拨：∵A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，∴216,4.a a ⎧=⎨=⎩∴a ＝4，故选D.5．B 点拨：利用Venn 图可将问题解决．如图．6．B 点拨：∵M ∩N ＝{1,3,5}∩{2,5}＝{5}，∴阴影部分表示的集合是{1,3}．7．C 点拨：由A ∩B ＝{1}得a 2＝1.当a ＝1时，1－a ＝0，B ＝{0，b,0}，这与集合元素的互异性矛盾，故a ＝－1，此时B ＝{0，b,2}，由A ∩B ＝{1}得b ＝1，这样A ＝{3,1}，B ＝{0,1,2}，于是A ∪B ＝{0,1,2,3}．8．D 点拨：由定义知Y ⊕Z ＝(U Y )∪Z ，则X ⊕(Y ⊕Z )＝(U X )∪[(U Y )∪Z ]＝(U X )∪(U Y )∪Z .9．C 点拨：图中阴影部分对于集合M ，P ，S 来说既是M ∩P 的子集，同时又是S 的补集的子集，所以应是上述二者的交集，即(M ∩P )∩(I S )．10．{2,4,8,9} {3,4,7,9} 点拨：用Venn 图表示集合U ，A ，B 的关系，在有关区域内填入相应的元素(如图)，可得A ＝{2,4,8,9}，B ＝{3,4,7,9}．11．a ≤112．解：(1)∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B .由数轴可得，2,93,m m ≤-⎧⎨+≥⎩解得－6≤m≤－2.(2)若A∩B＝∅，利用数轴可得m＋9≤－2，或m≥3.∴m≤－11，或m≥3.∴满足A∩B≠∅的实数m的取值范围为{m|－11＜m＜3}．点拨：(1)A∪B＝B⇔A⊆B；(2)采用补集法求解．13．解：设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A，B，C，由题意可知A，B，C三集合中元素个数分别为27,25,27，A∩B，B∩C，A∩C，A∩B∩C的元素个数分别为10,7,11,4.画出Venn图，如图所示．可知全班人数为10＋13＋12＋6＋4＋7＋3＝55(人)．点拨：本题的关键是把文字语言转化成集合语言，借助于Venn图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求出问题的解．14．解：(1)S－A＝S A＝{x|x是高一(1)班的男同学}．(2)如图．(3)A⊆B.。

第一章 §3 3.1A 级 基础巩固1．(2017·山东文，1)设集合M ＝{x ||x －1|<1}，N ＝{x |x <2}，则M ∩N ( C ) A ．(－1,1) B ．(－1,2) C ．(0,2)D ．(1,2)[解析] 由|x －1|<1，得－1<x －1<1，∴0<x <2， ∴M ＝{x |0<x <2}．∴M ∩N ＝{x |0<x <2}∩{x |x <2}＝{x |0<x <2}，故选C ．2．已知集合A ＝{x |x >0}，B ＝{－1≤x ≤2}，则A ∪B 等于( A ) A ．{x |x ≥－1} B ．{x |x ≤2} C ．{x |0<x ≤2}D ．{x |－1≤x ≤2}[解析] 借助数轴，易知A ∪B ＝{x |x ≥－1}．3．已知A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝3}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝1}，则A ∩B ＝( C ) A ．{2,1} B ．{x ＝2，y ＝1} C ．{(2,1)}D ．(2,1)[解析] 由解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1解得x ＝2，y ＝1，所以A ∩B ＝{(2,1)}．4．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值( D ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4[解析] ∵A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16a ＝4，∴a ＝4.故选D ．5．设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2－4＝0}，则A ∩B ＝( A ) A ．{－2} B ．{2} C ．{－2,2}D ．∅[解析] A ＝{－2}，B ＝{－2,2}，∴A ∩B ＝{－2}．6．设集合M ＝{x |－3<x <2}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( A ) A ．[1,2)B ．[1,2]C ．(2,3]D ．[2,3][解析] 利用数轴分别画出集合M 、N ，如图：∴M ∩N ＝{x |1≤x <2}．7．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x －1}，则A ∩B ＝_{(2,5)}__.[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋3，y ＝3x －1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5.∴A ∩B ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3y ＝3x －1}＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5}＝{(2,5)}．8．已知集合A ＝{x |x <1或x >5}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，且A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |5<x ≤6}，则2a －b ＝_－4__.[解析] 如图所示，可知a ＝1，b ＝6，∴2a －b ＝－4.9．集合A ＝{x |－1≤x <3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}. (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a >0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． [解析] (1)由题意得B ＝{x |x ≥2}， 又A ＝{x |－1≤x <3}，如图．∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}． (2)由题意得，C ＝{x |x >－a2}，又B ∪C ＝C ，故B ⊆C ，∴－a2<2，∴a >－4.∴实数a 的取值范围为{a |a >－4}．10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2－ax ＋2＝0}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围.导学号 00814093[解析] 因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ， 由已知得A ＝{1,2}．(1)若1∈B ，则2×12－a ×1＋2＝0，得a ＝4，当a ＝4时，B ＝{1}⊆A ，符合题意． (2)若2∈B ，则2×22－2a ＋2＝0，得a ＝5. 此时B ＝{x |2x 2－5x ＋2＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12 A ，所以a ＝5不符合题意．(3)若B ＝∅，则a 2－16<0，得－4<a <4，此时B ⊆A ， 综上所述，a 的取值范围为－4<a ≤4.B 级 素养提升1．集合A ＝{a 2，a ＋1，－1}，B ＝{2a －1，|a －2|,3a 2＋4}，A ∩B ＝{－1}，则a 的值是( D )A ．－1B ．0或1C ．2D ．0[解析] 由A ∩B ＝{－1}，得－1∈B ．因为|a －2|≥0,3a 2＋4>0，所以2a －1＝－1，这时a ＝0，这时A ＝{0,1，－1}，B ＝{－1,2,4}，则A ∩B ＝{－1}成立．2．设集合A ＝{x |y ＝x 2－4}，B ＝{y |y ＝x 2－4}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2－4}给出下列关系式：①A ∩C ＝∅；②A ＝C ；③A ＝B ；④B ＝C ，其中不正确的共有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] 事实上A ＝R ，B ＝{y |y ≥－4}，C 是点集，只有①是正确的，其余3个均不正确．3．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |x 2－2x ＝0}，则A ∩B ＝_{2}__，A ∪B ＝_{－3,0,2}__.[解析] ∵A ＝{－3,2}，B ＝{0,2}，∴A ∩B ＝{2}，A ∪B ＝{－3,0,2}．4．已知A ＝{x |a <x ≤a ＋8}，B ＝{x |x <－1，或x >5}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为_－3≤a <－1__.[解析] 由题意A ∪B ＝R 得下图，则⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，a ＋8≥5，得－3≤a <－1. 5．已知集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，B ＝{x |x 2－px －2q ＝0}，且A ∩B ＝{－1}，求A ∪B ． [解析] 因为A ∩B ＝{－1}，所以－1∈A ，－1∈B ， 即－1是方程x 2＋px ＋q ＝0和x 2－px －2q ＝0的解．所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－1)2－p ＋q ＝0，(－1)2＋p －2q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝2.所以A ＝{－1，－2}，B ＝{－1,4}． 所以A ∪B ＝{－2，－1,4}．6．设集合A ＝{－2}，B ＝{x |mx ＋1＝0，x ∈R }，若A ∩B ＝B ，求m 的值. [解析] ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ． ∵A ＝{－2}≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程mx ＋1＝0无解，此时m ＝0. 当B ≠∅时，此时m ≠0，则B ＝{－1m }，∴－1m ∈A ，即有－1m ＝－2，得m ＝12.综上，得m ＝0或m ＝12.C 级 能力拔高已知集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |x <－1，或x >16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围.(1)A ∩B ＝∅；(2)A ⊆(A ∩B )．[解析] (1)若A ＝∅，则A ∩B ＝∅成立．此时2a ＋1>3a －5，即a <6. 若A ≠∅，如图所示， 则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1≥－1，3a －5≤16，解得6≤a ≤7.综上，满足条件A ∩B ＝∅ 的实数a 的取值范围是{a |a ≤7}． (2)因为A ⊆(A ∩B )，且(A ∩B )⊆A ， 所以A ∩B ＝A ，即A ⊆B ． 显然A ＝∅满足条件，此时a <6.若A ≠∅，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≤3a －5，3a －5<－1或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1>16.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≤3a －5，3a －5<－1解得a ∈∅； 由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1>16解得a >152.综上，满足条件A ⊆(A ∩B )的实数a 的取值范围是{a |a <6或a >152}．。

3 集合的基本运算1．交集(1)谈重点(1)由于“A∩B”是由集合A，B的所有公共元素组成的集合，故求“A∩B”的关键是找出它们的公共元素．(2)对于“A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}”，不能仅认为“A∩B中的任一元素都是A与B 的公共元素”，同时还有“A与B的公共元素都属于A∩B”的含义，这就是交集文字定义中“所有”二字的含义，而不是“部分”公共元素．例如：集合{1,2,3}不是集合{0,1,2,3,4,5}与集合{1,2,3,4,6}的交集．因为，虽然{1,2,3}中的任意一个元素都是集合{0,1,2,3,4,5}与集合{1,2,3,4,6}的公共元素，但是集合{0,1,2,3,4,5}与集合{1,2,3,4,6}的公共元素4却不在集合{1,2，3}中．(3)并不是任何两个集合总有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B 没有交集，而是A∩B＝∅.对于A∩B＝∅存在以下三种情况：集合A，B均为空集；集合A，B中有一个是空集；集合A，B均为非空集，但无公共元素．(4)求集合的交集是集合的基本运算，两个集合经过交集运算后仍是一个集合．(5)根据交集的定义，多元方程组的解集则可以看作是组成方程组的各个方程解集的交集；不等式组的解集可以看作是组成不等式组的各个不等式解集的交集．例如：方程x＋y＝0的解集为集合A，方程x－y＝2的解集为集合B，则方程组0,2x yx y+=⎧⎨-=⎩的解集就是集合A与集合B的交集．(2)不同情形的交集的Venn图表示A B时，A∩B＝AB A时，A∩B＝B A＝B时，A∩B＝A＝BA与B有公共元素，但互不包含时，A与B无公共元素时，A∩B为图中阴影部分A∩B＝(2)交集的运算性质①A∩B＝B∩A，即两个集合的交集满足交换律(由交集的定义可得)；②A∩B⊆A，A∩B⊆B，即两个集合的交集是其中任一集合的子集；③A∩A＝A，A∩∅＝∅，即一个集合与其本身的交集是其本身，与空集的交集是空集；④A⊆B⇔A∩B＝A，即若集合A是集合B的子集，则两个集合的交集是集合A，反之亦成立．⑤(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)，即三个集合的交集满足结合律．以上性质可通过Venn图来理解和记忆．【例1－1】已知A＝{x∈N|x≤5}，B＝{x∈N|x＞1}，则A∩B等于( )．A．{1,2,3,4,5} B．{2,3,4}C．{2,3,4,5} D．{x∈R|1＜x≤5}解析：集合A表示小于或等于5的自然数组成的集合，集合B表示大于1的自然数组成的集合，故A∩B＝{2,3,4,5}．答案：C【例1－2】已知集合M＝{x|1＋x＞0}，11N xx⎧⎫>⎨⎬-⎩⎭＝，则M∩N等于( )．A．{x|－1≤x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|－1＜x＜1} D．{x|x≥－1}解析：M＝{x|1＋x＞0}＝{x|x＞－1}，11N xx⎧⎫>⎨⎬-⎩⎭＝＝{x|x＜1}．在数轴上画出集合M和N，根据交集的定义，可得M∩N＝{x|－1＜x＜1}，即图中阴影部分．答案：C析规律求交集的方法用列举法表示的数集在求交集时，可直接通过观察写出两个集合的所有公共元素；用描述法表示的数集在求交集时，如果集合是无限集，且直接观察不出或不易得出运算结果，则应把两个集合在数轴上表示出来，根据交集的定义写出结果．此时要注意：①交集是公共部分；②当端点不在集合中时，在数轴上用“空心圈”表示．【例1－3】已知集合A＝{2，a－1}，B＝{a2－7，－1}，且A∩B＝{2}，求实数a的值．分析：由A∩B＝{2}可知，2是集合A与B的公共元素，也就是说，元素2既在集合A 中又在集合B中，于是可得a2－7＝2且a－1≠2，由此即可求出实数a的值．解：∵A∩B＝{2}，∴2∈A且2∈B.∴a2－7＝2.∴a＝3或a＝－3.当a＝3时，集合A中的元素a－1＝2，不符合集合中元素的互异性，∴a＝3舍去．当a＝－3时，A＝{2，－4}，B＝{2，－1}，符合已知A∩B＝{2}．综上所述，a＝－3.2．并集(1)文字语言由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，叫作A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)．符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}图形语言(1)“或”的内涵：并集中的“或”与生活用语中的“或”的含义是不同的，生活用语中的“或”是“非此即彼”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有．即“x∈A，或x∈B”包含三种情形：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.所以，要求“A∪B”只需把集合A，B的元素合在一起即可．(2)当元素a是集合A，B的公共元素时，由集合中元素的互异性知，集合A与B的并集中仅有一个元素a，不能有两个相同的元素a.即相同的元素在并集中只能出现一次．例如：A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，则A∪B＝{1,2,3,4,5,6}，而不能写成{1,2,3,4,3,4,5,6}．(2)不同情形的并集的Venn图表示A B时，A∪B＝B B A时，A∪B＝A A＝B时，A∪B＝A＝BA与B有公共元素，但互不包含时，A∪B为图中阴影部分A与B无公共元素时，A∪B为图中阴影部分(3)并集的运算性质①A∪B＝B∪A，即两个集合的并集满足交换律(由并集的定义可得)．②A⊆A∪B，B⊆A∪B，即一个集合是其与任一集合并集的子集．③A∪A＝A，A∪∅＝A，即一个集合与其本身的并集是其本身，与空集的并集也是其本身．④(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，即三个集合的并集满足结合律．⑤A∩B⊆A∪B，这是两个集合的交与并之间的关系，即两个集合的交集是这两个集合并集的子集．⑥A∪B＝A⇔A⊇B，这是集合的并集运算与子集的转化，即，若集合A与B的并集为集合A，则集合B是集合A的子集，反之亦成立．以上性质可通过Venn图来理解和记忆．【例2－1】满足条件{1,3}∪B＝{1,3,5}的所有集合B的个数是( )．A．1 B．2C．3 D．4解析：由条件{1,3}∪B＝{1,3,5}，根据并集的定义可知5∈B，而1,3是否在集合B中不确定．所以B可能为{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，故B的个数为4.答案：D【例2－2】已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于( )．A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}C．{x|0＜x≤2} D．{x|－1≤x≤2}解析：集合A，B都是用描述法表示的无限数集，可借助数轴的直观性，把集合A和B 在数轴上表示出来，再根据并集的定义求出A∪B，易知A∪B＝{x|x≥－1}，即图中阴影部分．答案：A【例2－3】已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．解析：由并集的运算性质A∪B＝A⇔A⊇B可知，集合B是集合A的子集，把集合A和B在数轴上表示出来可得m＋1≥2m－1或121,12,217,m mmm+<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解得m≤2或2＜m≤4，即m≤4，故实数m的取值范围是{m|m≤4}．答案：{m|m≤4}3．全集与补集(1)全集在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示．全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素．例如，我们要分别统计A班男同学和女同学的数学成绩，A班的全体同学的数学成绩便是一个全集，同样地，我们把分析对象扩展到整个年级，则全年级同学的数学成绩便是一个全集．谈重点如何理解“全集”的概念1．全集是一个相对的概念，不同的问题中全集可能不同，这要看题目具体的规定．如，当研究数的运算性质时，常常将R当作全集．2．画Venn图时，常用一个矩形的内部表示全集，有时也用椭圆表示．(2)补集设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集(或余集)．记作，即＝{x|x∈U，且x∉A}．用Venn图可表示为(阴影部分)：谈重点如何理解“补集”的概念(1)若从全集U中取出集合A的全部元素，则所有剩余元素组成的集合即.(2)补集运算具有相对性，求集合A的补集时，要先清楚全集是什么，同一集合在不同全集中的补集也不同．(3)表示以U为全集时A的补集，如果全集换成其他集合(如R)时，则记号中“U”也必须换成相应的集合(即)．(4)求集合A的补集的前提是A是全集U的子集．(3)补集的运算性质①A∪()＝U，A∩()＝∅；②∅＝U，U＝∅，()＝A；③(A∩B)＝()∪()，(A∪B)＝()∩()，即补的并等于交的补，补的交等于并的补；利用此性质解题，可以减少计算量．【例3－1】已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩()等于( )．A．{1,5,7} B．{3,5,7}C．{1,3,9} D．{1,2,3}解析：符号N表示自然数集，由B＝{0,3,6,9,12}知中的元素有1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,15，…，其与集合A的公共元素有1,5,7，所以A∩()＝{1,5,7}，选A.答案：A析规律集合运算时括号优先对于集合的交、并、补混合运算，要注意运算顺序，有括号的先算括号里面的．【例3－2】设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，B＝{2,3,4}，则()∩()等于( )．A．{1} B．{5}C．{2,4} D．{1,2,4,5}解析：按照运算顺序，可先计算＝{2,4,5}和＝{1,5}，再计算()∩()＝{5}；也可由()∩()＝(A∪B)，先计算A∪B＝{1,2,3,4}，再求(A∪B)＝{5}．答案：B【例3－3】设全集U＝{3，a，a2＋2a－3}，A＝{2,3}，＝{5}，则a的值为________．解析：∵＝{5}，∴5∉A,5∈U.当a＝5时，U＝{3,5,32}不合题意；当a2＋2a－3＝5时，a＝2或a＝－4，经检验，a＝－4不符合题意，舍去，∴a的值为2.答案：24．利用集合运算的两条性质求参数的值或范围在集合的交、并集运算中，有两条重要的性质，即A∩B＝A⇔A⊆B和A∪B＝A⇔A⊇B.利用这两条性质可以把有关集合的交、并集运算的问题转化为两个集合间的关系问题．利用这两条性质解题时要注意以下两点：(1)当转化为与不等式相关的子集问题时，画数轴可使问题变得形象直观，既易于理解，又提高解题速度．这里要特别注意的是端点值的取舍问题，一般是把端点值代入题目中验证．例如：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∪B＝B，求实数a 的取值范围．由A∪B＝B可知，集合A与B的关系是A⊆B，在数轴上表示出集合A和B，根据题意有下面两种可能：借助数轴的直观性可得a ＋3＜－1或a ＞5，这里要特别注意的是a ＋3能否等于－1和a 能否等于5两个端点值的取舍问题．于是可得实数a 的取值范围是a ＜－4或a ＞5.(2)当转化为与方程有关的子集问题时，若B ⊆A ，特别容易出现的错误是遗漏了B ＝∅的情形，其原因是对B ⊆A 的理解不够充分，忽略了空集是任何集合的子集这一性质．避免出错的方法是培养分类讨论的数学思想方法和注意经验的积累．例如：设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－4x ＋a ＝0}，若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．易知集合A ＝{1,2}，集合B 中元素不确定，由A ∩B ＝B 可知B ⊆A .从而应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论．当B ＝∅时，说明一元二次方程x 2－4x ＋a ＝0没有实数根，所以方程的判别式Δ＝16－4a ＜0，即a ＞4；当B ≠∅时，说明一元二次方程x 2－4x ＋a ＝0有两个相等的实数根1或2，可得21640,1410,a a ∆=-=⎧⎨-⨯+=⎩或21640,2420,a a ∆=-=⎧⎨-⨯+=⎩解得a ＝4.或有两个不相等的实数根1和2，此时由根与系数的关系得，1＋2＝3≠4，矛盾，所以无解．综上可得，实数a 的取值范围是a ≥4.【例4－1】已知A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}． (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝B ，a 的取值范围又如何？ 解：(1)∵A ∩B ＝∅，∴1,35,a a ≥-⎧⎨+≤⎩解得－1≤a ≤2.即当A ∩B ＝∅时，a 的取值范围是－1≤a ≤2.(2)由A ∪B ＝B 知，A ⊆B ，∴a ＋3＜－1或a ＞5，即a ＜－4或a ＞5.∴A ∪B ＝B 时，a 的取值范围是a ＜－4或a ＞5.【例4－2】设集合A ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，B ＝{x |x 2＋4x ＝0}，若A ∩B ＝A ，求实数a 满足的条件．分析：集合A ，B 均是关于x 的一元二次方程的解集．易知B ＝{－4,0}，集合A 中的元素不确定．由A ∩B ＝A 可得A ⊆B ，所以应分A ＝∅和A ≠∅两种情况进行讨论．解：B ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{－4,0}．若A ∩B ＝A ，则A ⊆B .(1)当A ＝∅时，关于x 的一元二次方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实数根，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1.(2)当A ≠∅时，若集合A 仅含有一个元素，则方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1.此时，A ＝{x |x 2＝0}＝{0}⊆B ，即a ＝－1符合题意． 若集合A 含有两个元素，则这两个元素是－4,0，即关于x 的方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的解是－4,0，则有2224(1)4(1)0,(4)02(1),(4)01,a a a a ⎧∆=+-->⎪-+=-+⎨⎪-⨯=-⎩解得a ＝1.综上可得，实数a 满足的条件是a ＝1或a ≤－1. 【例4－3】已知集合A ＝{x |0＜ax ＋1≤5}，集合122B x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭. (1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．(2)A ，B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由． 解：(1)由0＜ax ＋1≤5，得－1＜ax ≤4. 当a ＝0时，A ＝R ，不满足A ⊆B ； 当a ＞0时，14A x x a a ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭. 若A ⊆B ，则11,242,a a⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得a ≥2.当a ＜0时，41A x x aa ⎧⎫=≤<-⎨⎬⎩⎭，若A ⊆B ，则41,212,a a⎧>-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩解得a ＜－8.综上，若A ⊆B ，则a ＜－8或a ≥2.(2)若A ＝B ，由(1)知a ≠0.当a ＞0时，由11,242,a a⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得a ＝2，即a ＝2时满足A ＝B .当a ＜0时，41A x x a a ⎧⎫=≤<-⎨⎬⎩⎭与122B x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭显然不可能相等．综上，若A＝B ，则a 的值为2.5．Venn 图在集合运算中的应用Venn 图是解决集合运算的有效工具，它具有形象、直观的特点，特别是对于有限数集的交、并、补运算问题更具有巨大的优势．我们要做到已知集合运算式作出相应的Venn 图；已知Venn 图能写出相应的集合运算式．Venn 图的应用在运用Venn 图解题时，必须熟悉图形中各部分是如何用集合的交、并、补集表示的，一般地，全集U 的子集A 与B 把全集分为四个区域：A ∩()，()∩B ，A ∩B ，(A ∪B )(如图所示)，在已知全集U 和其中三个区域内的元素的情况下，就可以确定第四个区域内的元素．解题时为了直观，可将集合U中的元素依次填入相应的区域内．【例5】设集合U＝{x∈N＋|x≤10}，A U，B U，且A∩B＝{4,5}，()∩A＝{1,2,3}，()∩()＝{6,7,8}，求集合A和B.分析：此题条件较多，可采用数形结合的方法用Venn图将已知条件在图中标出，从图中找出所求．这样就可以将抽象问题直观化，从而使问题得到快速解答．解：根据题意，画出Venn图如下：∵A∩B＝{4,5}，∴将4,5写在A∩B中．∵()∩A＝{1,2,3}，∴1,2,3写在A中，且不在A∩B内．∵()∩()＝{6,7,8}，即(A∪B)＝{6,7,8}，∴将6,7,8写在U中A，B之外．∵()∩A与()∩()中均无9,10，∴9,10在B中且不在A∩B中，故A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}．6．补集思想的应用——正难则反对于一些比较复杂、抽象、条件和结论之间关系不明朗、难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决．这就是“正难则反”的解题策略，它是处理问题的间接化原则的体现．这种“正难则反”策略运用的是补集思想，如已知全集U ，求子集A ，若直接求A 困难，则可先求，再由()＝A 求A .补集作为一种思想方法，对于我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用，在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．【例6】已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋6－2a ＝0}，B ＝{x |x ＜0}，若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围．分析：由集合A ，B 及A ∩B ≠∅可知，方程x 2－4x ＋6－2a ＝0有实数根，且至少有一个负根，即有两个负根，或一个负根和一个零根，或一个负根和一个正根三种情况．如果分别求解会比较麻烦，可以先求出方程有实数根时实数a 的取值范围作为全集，然后考虑方程的两根都非负时a 的取值范围，最后利用补集求得符合条件的实数a 的取值范围．解：设全集U ＝{a |16－4(6－2a )≥0}＝{}1a a ≥.若方程x 2－4ax ＋2a ＋6＝0的两根都非负，则a ∈U ，且121240,620,x x x x a +=≥⎧⎨=-≥⎩解得1≤a ≤3，即方程两根都非负时，实数a 的值组成的集合为{}13a a ≤≤.其在全集U ＝{}1a a ≥中的补集为{a |a ＞3}．∴满足题意的实数a 的取值范围是a ＞3. 7．集合思想在实际问题中的应用我们可以利用集合思想解决某些实际问题，借助Venn 图将错综复杂的问题清晰地理顺，使问题得以解答．这在阅读能力上常常有较高的要求，一定要深入而全面地理解题意，然后再动手解题．在解决实际问题中，常涉及集合中元素的个数问题．为了方便，我们常用card(A )来表示集合A 中元素的个数．如，若A ＝{a ，b ，c }，则card(A )＝3.一个有用的公式card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )－card(A ∩B )．事实上，由图可知，A ∩B 的元素个数在card(A )和card(B )中均计算一次，因而在card(A )＋card(B )中计算两次，而在card(A ∪B )中只能计算一次，从而有card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )－card(A ∩B )．【例7】通过调查50名学生对A ，B 两事件的态度，有如下结果：赞成事件A 的人数是全体的35，其余的不赞成；赞成事件B 的人数比赞成事件A 的多3人，其余的不赞成．另外，对事件A 与B 都不赞成的学生数比对事件A 与B 都赞成的学生数的13多1人．问对事件A与B 都赞成的和都不赞成的学生各有多少人？分析：设50名学生组成全集U ，赞成事件A 的学生组成集合M ，赞成事件B 的学生组成集合N ，则M ，N 把全集U 分成4个区域，其中(M ∪N )，M ∩(N )，(M )∩N 中元素的个数都可以由M ∩N 中元素个数来表示，根据总元素数为50，列方程可把问题解决．解：设赞成事件A 的学生组成集合M ，赞成事件B 的学生组成集合N,50名学生组成全集U ，对事件A 与B 都赞成的人数设为x .由条件知集合M 中有30个元素，集合N 中有33个元素，集合(M ∪N )中有13x ⎛⎫+⎪⎝⎭个元素，集合M ∩(N )中有(30－x )个元素，集合(M )∩N 中有(33－x )个元素，用Venn 图表示为：由13x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋(30－x )＋x ＋(33－x )＝50，解得x ＝21，183x +=，∴对事件A 与B 都赞成的学生有21人，对事件A 与B 都不赞成的有8人．。