北师大版高中数学必修一第一单元 集合

高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 B{|x x x ∈A A =∅=∅ B A ⊆AB B ⊆B{|x x x ∈A A =A ∅=B A ⊇B B ⊇（ ）⑼ 集合的运算律：交换律：结合律:分配律: 0-1律：等幂律：求补律：A ∩ A ∪ =U 反演律： (A ∩B)=( A)∪( B) (A ∪B)=( A)∩( B)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的.;A B B A A B B A ==)()();()(C B A C B A C B A C B A ==)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==,,,A A A UA A UA U Φ=ΦΦ===.,A A A A A A ==叫做象， 叫做原象。

北师大版高一数学必修1第一单元集合的含义与表示常见考点（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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§1会合的含义与表示学习目标： 1.认识会合的含义，领会元素与会合的附属关系．(要点 )2.理解并掌握会合中元素的三个特征．(要点 )3.掌握会合的表示方法及几个常有数集的表示符号． (要点、难点 )[自主预习·探新知]1．会合与元素的观点阅读教材 P3“一般地”自然段及以上内容，达成以下问题．(1)会合：一般地，指定的某些对象的全体称为会合．会合常用大写字母 A，B，C， D，标志．(2)元素：会合中的每个对象叫作这个会合的元素．常用小写字母 a，b，c，d，表示会合中的元素．思虑 1：(1)某班全部的“大个子”可否构成一个会合？(2)某班身高高于170 cm 的全部学生可否构成一个会合？[提示 ] (1)不可以构成一个会合，由于“大个子”无明确的标准．(2)能构成一个会合，由于标正确立．2．元素与会合的关系阅读教材 P3～P4从“给定一个会合 A”开始至“π∈R等” 之间的内容，完成以下问题．(1)元素与会合的关系关系观点记作读作属于若 a 在会合 A 中，就说 a 属于会合 A a∈A“a属于A”不属于若 a 不在会合 A 中，就说 a 不属于会合a?A “a 不属于 A”A(2)常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N 或 N * Z Q R＋3.会合的表示法阅读教材 P4“会合的常用表示法”至 P5“一般地”以上内容，回答以下问题．(1)会合的表示法①列举法把会合中的元素一一列举出来，写在大括号内的方法．符号表示为{，，}．②描绘法用确立的条件表示某些对象属于一个会归并写在大括号内的方法叫作描绘法．描绘法的格式(2)元素的特征元素的三个特征是指确立性，互异性，无序性．思虑 2：(1)构成单词“bee”的全部字母构成的会合有多少个元素？(2)你会划分数集与点集吗？如会合A＝ {x|0<x<1} ，B＝{( x，y)|y＝ 2x－1} ，哪个是数集？哪个是点集？[提示 ] (1)2 个．(2)若一个会合中全部元素均是数，则这个会合称为数集．相同，若一个集合中全部元素均是点，这个会合称为点集，会合 A 的代表元素是x， x 是大于 0 且小于 1 的实数，故 A 是数集；会合 B 的代表元素是有序实数对(x，y)，(x， y)是一次函数 y＝2x－ 1 图像上的点，故 B 是点集．所以，形如 {x|x 知足的条件，x∈R} 的会合是数集；形如 {( x，y)|x，y 知足的条件， x，y∈R} 的会合是点集．4．会合的分类阅读教材 P5从“一般地”到“练习”上方的内容，达成以下问题．有限集：含有有限个元素的会合非空会合会合无穷集：含有无穷个元素的会合空集：不含有任何元素的会合，用?表示 .[ 基础自测 ]1．思虑辨析(1)有名的数学家能构成一个会合．()(2)－ 1∈N.()(3){ x∈R|2x－ 3>0}是不等式 2x－ 3>0 的解集，它是一个无穷集．()[分析 ](1)×，由于“有名”无明确标准．(2)×，由于－ 1 不是自然数．(3)√ .[答案 ] (1)×(2)×(3)√2．会合 {x∈N* |x2－1＝0} 用列举法可表示为 ________．{ 1}[ 由 x2－ 1＝ 0，得 x＝±1.又 x∈N*，则 x＝1.故会合 {x∈N* |x2－1＝0} 用列举法可表示为 {1} ．]3．若 1∈{ x，x2} ，则 x＝ ________.【导学号：60712000】－1[ 由 1∈{ x， x2} ，得 x＝1，或 x2＝1，即 x＝±1.当 x＝1 时，会合 { x，x2} 中的元素不拥有互异性，故舍去．所以 x＝－ 1.]4．给出以下三个关系：①?＝{0} ；② 0∈ {(0,0)} ；③ 0∈{0} ．此中表述正确的选项是 ()A．①③B．②③C．③D．①②③C[合作研究·攻重难]会合的含义以下每组对象可否构成一个会合：(1)我们班的全部“帅男”；(2)不超出 20 的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；(4)3的近似值的全体．[思路研究 ]判断一组对象可否构成会合的要点是该组对象能否独一确立．[解 ] (1)“帅男”没有明确的标准，所以不可以构成会合； (2)任给一个实数 x，能够明确地判断能否为“不超出20的非负数”，即“0≤x≤ 20”与“x>20或x<0”，二者必居其一，且仅居其一，故“ 不超出20 的非负数”能构成会合；(3)“一些点”无明确的标准，关于某个点能否在“ 一些点”中没法确立，所以“直角坐标平面内第一象限的一些点” 不可以构成会合；(4)“3的近似值”不明确精准到什么程度，所以很难判断一个数如“2”能否是它的近似值，所以“3 的近似值”不可以构成会合．[ 规律方法 ]判断给定的对象能不可以构成会合，要点在于能否给出一个明确的标准，使得关于任何一个对象，都能按此标正确立它能否是给定会合的元素.[追踪训练 ]1．以下各组对象能够构成会合的是()【导学号：60712001】A．数学必修 1 课本中全部的难题B．小于 8 的全部素数C．直角坐标平面内坐标轴上的一些点D．全部小的正数B[A 中的“难题”，C 中的“一些点”，D 中的“小的正数”都没有明确的标准，所以，都不可以构成会合，而B 中小于 8 的素数是明确的，应选 B.]会合的表示方法用合适的方法表示以下会合：(1)全部正奇数构成的会合；(2)方程 x2－ 2＝ 0 的解集；(3)在自然数集中，小于100 的偶数构成的会合；(4)在平面直角坐标系内，全部第二象限的点构成的会合．[思路研究 ]从会合的元素能否便于一一列举出来考虑，若便于一一列举出来可用列举法，不然用描绘法．[解 ](1){ x|x＝2n＋1，n∈N} ；(2){ －2，2} ；(3){ x|x＝ 2n，n<50，且 n∈N} ；(4){( x，y)|x<0，且 y>0} ．[ 规律方法 ] 1.用列举法表示会合的合用条件：(1)会合中的元素较少，能够一一列举出来时，合适用列举法；(2)会合中的元素许多，但体现必定的规律性时，可经过列举部分元素作为代表，其余元素用省略号表示．2．用描绘法表示会合应注意：(1)弄清元素的形式，比方是数，仍是点；(2)元素拥有如何的属性．[追踪训练 ]2．用合适的方法表示以下会合(1)小于 20 的全部质因数构成的会合；(2)大于－ 3 且小于 1 的全部有理数构成的会合；(3)方程 (x－1)(x2－1)＝ 0 的解集；(4)二次函数 y＝x2－9 图像上的全部点构成的会合.【导学号：60712002】[解 ] (1){2,3,5,7,11,13,17,19}；(2){ x∈Q|－ 3<x<1} ；(3){ －1,1} ；(4){( x，y)|y＝ x2－9}.元素与会合的关系[研究问题 ]1．－3∈{ x|x＝ 2n－1，n∈Z } 吗？提示：由 2n－1＝－ 3，得 n＝－ 1，故－ 3∈{x|x＝2n－1， n∈Z } ．2．当 3∈ {x|2x－ 1>a} 时，求 a 的取值范围；当3?{ x|2x－1>a} 时， a 的取值范围又是什么呢？提示：当 3∈{ x|2x－1>a} 时， a<2×3－1，所以 a<5；当 3?{ x|2x－1>a} 时， a≥2×3－1，所以 a≥5.已知 x2∈{1,0 ，x} ，务实数 x 的值．[思路研究 ]从元素与会合的关系下手，求出x 的值后，要注意考证会合的元素能否知足互异性．[解 ]由x2∈{1,0，x}得x2＝1，或x2＝0，或x2＝x，解得 x＝－ 1,0,1.当 x＝－ 1 时，知足题意；当 x＝0 时，会合中的元素不知足互异性，舍去；当 x ＝1 时，会合中的元素不知足互异性，舍去．所以， x ＝－ 1.[ 规律方法 ]此题在求解过程中， 易因忽略查验会合中元素的互异性， 致使产生增解 0，1.[追踪训练 ]3．已知 1∈ { a,2a 2－a} ，则实数 a 的值是 ________.【导学号 ：60712003】－1[ 由 1∈{ a,2a 2－ a} ，得 ＝ ，或 2－ ＝2a 1 2a a 1.1解得 a ＝1 或 a ＝－ 2.当 a ＝ 1 时， a ＝2a 2－a ，会合中的元素不知足互异性，舍去．1当 a ＝－ 2时，知足题意．1所以 a ＝－ 2.][当堂达标·固双基]1．以下所给关系正确的个数是 ()**①π∈R ；② 3?Q ；③ 0∈ N ；④ |－4|?N .A ．1B ．2C ．3D ．4B [ 只有 ①② 正确，应选 B.]2．若 4∈{3 ，x ＋1} ，则实数 x ＝ ________.【导学号 ：60712004】3 [由 4∈{3 ， x ＋1} ，得 x ＋ 1＝ 4，解得 x ＝3.] ．方程组x ＋y ＝1的解集用列举法可表示为 ________．3x －y ＝3x ＝2 x ＋ y ＝ 1，x ＝ 2，y ＝－ 1[ 解方程组 得 故该方程组的解集为x － y ＝ 3， y ＝－ 1，x＝2.]y＝－ 14．若 x?{ x－1，x2－ x} ，则实数 x 知足的条件是 ________.【导学号：60712005】x2－x≠x－1，≠，且≠依题意， x2－x≠x，解得x ≠，且≠，x≠ 0，且 x 1 x 2 [ 0x 1x－1≠x，且 x≠2.]65．设会合 A＝ x∈N2＋x∈N(1)试判断元素1和 2与会合 A的关系；(2)用列举法表示会合 A.6 6[解 ] (1)当 x＝1 时，2＋x ＝3＝2∈N；6 6 3当 x＝2 时，2＋x＝4＝2?N；所以 1∈A,2?A.(2)由 x∈N，得 2＋ x∈N，且 2＋ x≥2.又6∈N，则2＋x是6的正约数．2＋x所以 2＋x＝ 2，或 3，或 6，即 x＝0，或 1，或 4 所以 A＝{0,1,4} ．。

第一章集合课题: §1.1集合的含义与表示（一）教学过程：一、新课引入：集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件。

二、讲授新课：1.集合有关概念的教学：考察几组对象：① 1～20以内所有的质数；②到定点的距离等于定长的所有点；③所有的锐角三角形；④x2, 3x+2, 5y3-x, x2+y2；⑤东升高中高一级全体学生；⑥方程230+=的所有实数根；⑦隆成日用品厂2005年8月生产的所有童车；⑧2005年1月, x x广东所有出生婴儿。

A.提问：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？（数、点、形、式、体、解、物、人）B.概念：一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫作集合（set）（简称集）。

C.讨论集合中的元素的特征：分析“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？→结论：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的。

即集合元素三特征。

确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

互异性：同一集合中不应重复出现同一元素。

无序性：集合中的元素没有顺序。

D.分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：不等式x-3>0的解；3的倍数；方程x2－2x＋1＝0的解； a,b,e,x,y,z；最小的整数；周长为10cm的三角形；中国古代四大发明；全班每个学生的年龄；地球上的四大洋；地球的小河流E. 集合相等：构成两个集合的元素是一样的.2.集合的字母表示：①集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示。

②如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作：a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作：a∉A。

必修（第一册）（共计72 课时）第一章集合与常用逻辑用语（10课时）1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3 集合的基本运算阅读与思考集合中元素的个数1.4 充分条件与必要条件阅读与思考几何命题与充分条件、必要条件1.5 全称量词与存在量词第二章一元二次函数、方程和不等式（8课时）2.1 等式性质与不等式性质2.2 基本不等式2.3 二次函数与一元二次方程，不等式第三章函数的概念与性质（12课时）3.1 函数的概念及其表示阅读与思考函数概念的发展历程3.2 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象3.3 幂函数探究与发现探究函数的图象与性质3.4 函数的应用（一）文献阅读与数学写作* 函数的形成与发展第四章指数函数与对数函数（16课时）4.1 指数4.2 指数函数阅读与思考放射性物质的衰减信息技术应用探究指数函数的性质4.3 对数阅读与思考对数的发明4.4 对数函数探究与发现互为反函数的两个函数图象间的关系4.5 函数的应用（二）阅读与思考中外历史上的方程求解文献阅读与数学写作* 对数概念的形成与发展数学建模（3课时）建立函数模型解决实际问题第五章三角函数（23课时）5.1 任意角和弧度制5.2 三角函数的概念阅读与思考三角学与天文学5.3 诱导公式5.4 三角函数的图象与性质探究与发现函数及函数的周期探究与发现利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质5.5 三角恒等变换信息技术应用利用信息技术制作三角函数表5.6 函数5.7 三角函数的应用阅读与思考振幅、周期、频率、相位必修（第二册）（共计69 课时）第六章平面向量及其应用（18课时）6.1 平面向量的概念6.2 平面向量的运算阅读与思考向量及向量符号的由来6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.4 平面向量的应用阅读与思考海伦和秦九韶数学探究（2课时）用向量法研究三角形的性质第七章复数（8课时）7.1 复数的概念7.2 复数的四则运算阅读与思考代数基本定理7.3*复数的三角表示探究与发现的次方根第八章立体几何初步（19课时）8.1 基本立体图形8.2 立体图形的直观图阅读与思考画法几何与蒙日8.3 简单几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、锥体的体积8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系8.5 空间直线、平面的平行8.6 空间直线、平面的垂直阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法文献阅读与数学写作*几何学的发展第九章统计（13课时）9.1 随机抽样阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应信息技术应用统计软件的应用9.2 用样本估计总体阅读与思考统计学在军事中的应用——二战时德国坦克总量的估计问题阅读与思考大数据9.3 案例统计公司员工的肥胖情况调查分析第十章概率（9课时）10.1 随机事件与概率10.2 事件的相互独立性10.3 频率与概率阅读与思考孟德尔遗传规律选择性必修（第一册）（共计43 课时）第一章空间向量与立体几何（15课时）1.1 空间向量及其运算1.2 空间向量基本定理1.3 空间向量及其运算的坐标表示阅读与思考向量概念的推广与应用1.4 空间向量的应用第二章直线和圆的方程（16课时）2.1 直线的倾斜角与斜率2.2 直线的方程探究与发现方向向量与直线的参数方程2.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何2.4 圆的方程阅读与思考坐标法与数学机械化2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系第三章圆锥曲线的方程（12课时）3.1 椭圆信息技术应用用信息技术探究点的轨迹：椭圆3.2 双曲线探究与发现为什么是双曲线的渐近线3.3 抛物线探究与发现为什么二次函数的图象是抛物线阅读与思考圆锥曲线的关学性质及其应用文献阅读与数学写作* 解析几何的形成与发展选择性必修（第二册）（共计30 课时）第四章数列（14课时）4.1 数列的概念阅读与思考斐波那契数列4.2 等差数列4.3 等比数列阅读与思考中国古代数学家求数列和的方法4.4*数学归纳法第五章一元函数的导数及其应用（16课时）5.1 导数的概念及其意义5.2 导数的运算探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解5.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质文献阅读与数学写作* 微积分的创立与发展选择性必修（第三册）（共计35 课时）第六章计数原理（11课时）6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少6.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质6.3 二项式定理数学探究（2课时）杨辉三角的性质与应用第七章随机变量及其分布（10课时）7.1 条件概率与全概率公式阅读与思考贝叶斯公式与人工智能7.2 离散型随机变量及其分布列7.3 离散型随机变量的数字特征7.4 二项分布与超几何分布探究与发现二项分布的性质7.5 正态分布信息技术应用概率分布图及概率计算第八章成对数据的统计分析（9课时）8.1 成对数据的统计相关性8.2 一元线性回归模型及其应用阅读与思考回归与相关8.3 列联表与独立性检验数学建模（3课时）建立统计模型进行预测。